河北省宣化第一中學2025屆高一數學第一學期期末達標檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知定義在上的函數滿足，則（）A. B.C. D.2．某國近日開展了大規模COVID-19核酸檢測，并將數據整理如圖所示，其中集合S表示（）A.無癥狀感染者 B.發病者C.未感染者 D.輕癥感染者3．已知兩直線，.若，則的值為A.0 B.0或4C.-1或 D.4．已知函數是定義在上奇函數．且當時，，則的值為A. B.C. D.25．下列四組函數中，表示同一函數的是（）A. B.C D.6．已知函數則（）A.－ B.2C.4 D.117．已知，則的大小關系是A. B.C. D.8．若，則（）A. B.C. D.9．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，則cos(α－β)的值等于A.－ B.C.－ D.10．cos600°值等于A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數在區間是單調遞增函數，則實數的取值范圍是______12．已知是定義在上的奇函數，且為偶函數，對于函數有下列幾種描述：①是周期函數；②是它的一條對稱軸；③是它圖象的一個對稱中心；④當時，它一定取最大值；其中描述正確的是__________13．已知是銳角，且sin＝，sin＝_________.14．已知，則_______.15．已知函數，若關于的方程在上有個不相等的實數根，則實數的取值范圍是___________.16．已知函數的定義域為R，，且函數為偶函數，則的值為________，函數是________函數（從“奇”、“偶”、“非奇非偶”、“既奇又偶”中選填一個）.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知實數，定義域為的函數是偶函數，其中為自然對數的底數（Ⅰ）求實數值；（Ⅱ）判斷該函數在上的單調性并用定義證明；（Ⅲ）是否存在實數，使得對任意的，不等式恒成立．若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由18．已知函數.（1）求函數的周期和單調遞減區間；（2）將的圖象向右平移個單位，得到的圖象，已知，，求值.19．已知函數是定義在上的奇函數，且.（1）確定函數的解析式并用定義證明在上是增函數（2）解不等式：.20．已知（其中a為常數，且）是偶函數.（1）求實數m的值；（2）證明方程有且僅有一個實數根，若這個唯一的實數根為，試比較與的大小.21．某保險公司決定每月給推銷員確定具體的銷售目標，對推銷員實行目標管理.銷售目標確定的適當與否，直接影響公司的經濟效益和推銷員的工作積極性，為此，該公司當月隨機抽取了50位推銷員上個月的月銷售額（單位：萬元），繪制成如圖所示的頻率分布直方圖：（1）①根據圖中數據，求出月銷售額在小組內的頻率；②根據直方圖估計，月銷售目標定為多少萬元時，能夠使的推銷員完成任務？并說明理由；（2）該公司決定從月銷售額為和的兩個小組中，選取2位推銷員介紹銷售經驗，求選出的推銷員來自同一個小組的概率.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】分別令，，得到兩個方程，解方程組可求得結果【詳解】∵，∴當時，，①，當時，，②，，得，解得故選：B2、A【解析】由即可判斷S的含義.【詳解】解：由圖可知，集合S是集合A與集合B的交集，所以集合S表示：感染未發病者，即無癥狀感染者，故選：A.3、B【解析】分兩種情況：一、斜率不存在，即此時滿足題意；二、斜率存在即，此時兩斜率分別為，，因為兩直線平行，所以，解得或(舍)，故選B考點：由兩直線斜率判斷兩直線平行4、B【解析】化簡，先求出的值，再根據函數奇偶性的性質，進行轉化即可得到結論【詳解】∵，∴，是定義在上的奇函數，且當時，，∴，即，故選B【點睛】本題主要考查函數值的計算，考查了對數的運算以及函數奇偶性的應用，意在考查靈活應用所學知識解答問題的能力，屬于基礎題5、A【解析】求得每個選項中函數的定義域，結合對應關系是否相等，即可容易判斷.【詳解】對于A：，，定義域均為，兩個函數的定義域和對應關系都相同，表示同一函數；對于B：的定義域為R，的定義域為，兩個函數的定義域不同，不是同一函數；對于：的定義域為，的定義域為，兩個函數的定義域不同，不是同一函數；對于D：的定義域為，的定義域為或，兩個函數的定義域不同，不是同一函數.故選：A.【點睛】本題考查函數相等的判斷，屬簡單題；注意函數定義域的求解.6、C【解析】根據分段函數的分段條件，先求得，進而求得的值，得到答案.【詳解】由題意，函數，可得，所以.故選：C.【點睛】本題主要考查了分段函數的求值問題，其中解答中根據分段函數的分段條件，代入準確運算是解答的關鍵，著重考查運算與求解能力.7、B【解析】根據指數函數的單調性以及對數函數的單調性分別判斷出的取值范圍，從而可得結果.【詳解】，，，，故選B.【點睛】本題主要考查對數函數的性質、指數函數的單調性及比較大小問題，屬于難題.解答比較大小問題，常見思路有兩個：一是判斷出各個數值所在區間（一般是看三個區間）；二是利用函數的單調性直接解答；數值比較多的比大小問題也可以兩種方法綜合應用.8、A【解析】令，則，所以，由誘導公式可得結果.【詳解】令，則，且，所以.故選：A.9、D【解析】∵α∈，∴2α∈(0，π)．∵cosα＝，∴cos2α＝2cos2α－1＝－，∴sin2α＝，而α，β∈，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝，∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝＝.10、B【解析】利用誘導公式化簡即可得到結果.【詳解】cos600°故選B【點睛】本題考查利用誘導公式化簡求值，考查特殊角的三角函數值，屬于基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】求出二次函數的對稱軸，即可得的單增區間，即可求解.【詳解】函數的對稱軸是，開口向上，若函數在區間單調遞增函數，則，故答案為：．12、①③【解析】先對已知是定義在的奇函數，且為偶函數用定義轉化為恒等式，再由兩個恒等式進行合理變形得出與四個命題有關的結論，通過推理證得①③正確.【詳解】因為為偶函數，所以，即是它的一條對稱軸；又因為是定義在上的奇函數，所以，即，則，，即是周期函數，即①正確；因為是它的一條對稱軸且，所以（）是它的對稱軸，即②錯誤；因為函數是奇函數且是以為周期周期函數，所以，所以是它圖象的一個對稱中心，即③正確；因為是它的一條對稱軸，所以當時，函數取得最大值或最小值，即④不正確.故答案為：①③.13、【解析】由誘導公式可求解.【詳解】由，而.故答案為：14、【解析】將條件平方可得答案.【詳解】因為，所以，所以故答案為：15、【解析】數形結合，由條件得在上有個不相等的實數根，結合圖象分析根的個數列不等式求解即可.【詳解】作出函數圖象如圖所示：由，得，所以，且，若，即在上有個不相等的實數根，則或，解得.故答案為：【點睛】方法點睛：判定函數的零點個數的常用方法：（1）直接法：直接求解函數對應方程的根，得到方程的根，即可得出結果；（2）數形結合法：先令，將函數的零點個數，轉化為對應方程的根，進而轉化為兩個函數圖象的交點個數，結合圖象，即可得出結果.16、①.7②.奇【解析】利用函數的奇偶性以及奇偶性定義即可求解.【詳解】函數為偶函數，由，則，所以，所以，，定義域為，定義域關于原點對稱.因為，所以，所以函數為奇函數.故答案為：7；奇三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）1；（Ⅱ）在上遞增，證明詳見解析；（Ⅲ）不存在.【解析】（Ⅰ）根據函數是偶函數，得到恒成立，即恒成立，進而得到，即可求出結果；（Ⅱ）任取，且，根據題意，作差得到，進而可得出函數單調性；（Ⅲ）由（Ⅱ）知函數在上遞增，由函數是偶函數，所以函數在上遞減，再由題意，不等式恒成立可化為恒成立，即對任意的恒成立，根據判別式小于0，即可得出結果.【詳解】（Ⅰ）因為定義域為的函數是偶函數，則恒成立，即，故恒成立，因為不可能恒為，所以當時，恒成立，而，所以（Ⅱ）該函數在上遞增，證明如下設任意，且，則，因為，所以，且；所以，即，即；故函數在上遞增（Ⅲ）由（Ⅱ）知函數在上遞增，而函數是偶函數，則函數在上遞減．若存在實數，使得對任意的，不等式恒成立．則恒成立，即，即對任意的恒成立，則，得到，故，所以不存在【點睛】本主要考查由函數奇偶性求參數，用單調性的定義判斷函數單調性，以及由不等式恒成立求參數的問題，熟記函數單調性與奇偶性的定義即可，屬于常考題型.18、（1），（2）【解析】（1）首先利用二倍角公式及輔助角公式將函數化簡，再根據正弦函數的性質計算可得；（2）首先根據三角函數的平移變換規則求出的解析式，根據，得到，再根據同角三角函數的基本關系求出，最后根據兩角和的余弦公式計算可得；【小問1詳解】解：∵，即，所以函數的最小正周期，令，解得.故函數的單調遞減區間為.【小問2詳解】解：由題意可得，∵，∴，∵，所以，則，因此.19、（1），證明見解析（2）【解析】（1）由題意可得，從而可求出，再由，可求出，從而可求出函數的解析式，然后利用單調性的定義證明即可，（2）由于函數為奇函數，所以將轉化為，再利用函數為增函數可得，從而求得解集【小問1詳解】因為函數是定義在上的奇函數，所以，即，得，所以，因為，所以，解得，所以，證明：任取，且，則，因為，所以，，，所以，即，所以在上是增函數【小問2詳解】因為在上為奇函數，所以轉化為，因為在上是增函數，所以，解得，所以不等式的解集為20、（1）（2）【解析】（1）由偶函數的定義得對任意的實數恒成立，進而整理得恒成立，故；（2）設，進而得唯一實數根，使得，即，故，再結合得得答案.【小問1詳解】解：因為是偶函數，所以對于任意的實數，有，所以對任意的實數恒成立，即恒成立，所以，即，【小問2詳解】解：設，因為當時，，所以在區間上無實數根，當時，因為，，所以，使得，又在上單調遞減，所以存在唯一實數根；因為，所以，又，所以，所以.所以21、（1）①；②17，理由見解析（2）【解析】（1）①利用各組的頻率和為1求解，②由題意可得的推銷員不能完成該目標，而前兩組的頻率和，前三組的頻率和為，所以月銷售目標應在第3組，從而可求得結果，（2）由頻率分布