北京市海淀區北京57中2025屆數學高一上期末考試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．定義在上的函數滿足，且，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.2．已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊上一點，則A. B.C. D.3．函數的定義域為，且為奇函數，當時，，則函數的所有零點之和是（）A.2 B.4C.6 D.84．若函數是偶函數，則的單調遞增區間為（）A. B.C. D.5．設集合，．則（）A. B.C. D.6．已知，，，則大小關系為（）A. B.C. D.7．下列四組函數中，表示同一函數的一組是（）A. B.C. D.8．已知點．若點在函數的圖象上，則使得的面積為2的點的個數為A.4 B.3C.2 D.19．已知是第二象限角，且，則點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限10．不等式成立x的取值集合為（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知點，，在函數的圖象上，如圖，若，則______.12．若角的終邊經過點，則___________13．在某高傳染性病毒流行期間，為了建立指標顯示疫情已受控制，以便向該地區居民顯示可以過正常生活，有公共衛生專家建議的指標是“連續7天每天新增感染人數不超過5人”，根據連續7天的新增病例數計算，下列各個選項中，一定符合上述指標的是__________(填寫序號)①平均數；②標準差；③平均數且極差小于或等于2；④平均數且標準差；⑤眾數等于1且極差小于或等于414．若函數在單調遞增，則實數的取值范圍為________15．過點且在軸，軸上截距相等的直線的方程為___________.16．若直線：與直線：互相垂直，則實數的值為__________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在區間上，如果函數為增函數，而函數為減函數，則稱函數為“弱增”函數.試證明：函數在區間上為“弱增”函數.18．某視頻設備生產廠商計劃引進一款新型器材用于產品生產，以提高整體效益.通過市場分析，每月需投入固定成本5000元，每月生產臺該設備另需投入成本元，且，若每臺設備售價1000元，且當月生產的視頻設備該月內能全部售完.（1）求廠商由該設備所獲的月利潤關于月產量臺的函數關系式；（利潤＝銷售額－成本）（2）當月產量為多少臺時，制造商由該設備所獲得的月利潤最大？并求出最大月利潤.19．已知，，，為第二象限角，求和的值.20．如圖，欲在山林一側建矩形苗圃，苗圃左側為林地，三面通道各寬，苗圃與通道之間由柵欄隔開（1）若苗圃面積，求柵欄總長的最小值；（2）若苗圃帶通道占地總面積為，求苗圃面積的最大值21．（1）計算（2）已知角的終邊過點，求角的三個三角函數值

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】對變形得到，構造新函數，得到在上單調遞減，再對變形為，結合，得到，根據的單調性，得到解集.【詳解】，不妨設，故，即，令，則，故在上單調遞減，，不等式兩邊同除以得：，因為，所以，即，根據在上單調遞減，故，綜上：故選：B2、A【解析】由三角函數定義得tan再利用同角三角函數基本關系求解即可【詳解】由三角函數定義得tan，即,得3cos解得或（舍去）故選A【點睛】本題考查三角函數定義及同角三角函數基本關系式，熟記公式，準確計算是關鍵，是基礎題3、B【解析】根據題意可知圖象關于點中心對稱，由的解析式求出時的零點，根據對稱性即可求出時的零點，即可求解.【詳解】因為為奇函數，所以函數的圖象關于點中心對稱，將的圖象向右平移個單位可得的圖象，所以圖象關于點中心對稱，當時，，令解得：或，因為函數圖象關于點中心對稱，則當時，有兩解，為或，所以函數的所有零點之和是，故選：B第II卷（非選擇題4、B【解析】利用函數是偶函數，可得，解出．再利用二次函數的單調性即可得出單調區間【詳解】解：函數是偶函數，，，化為，對于任意實數恒成立，，解得；，利用二次函數的單調性，可得其單調遞增區間為故選：B【點睛】本題考查函數的奇偶性和對稱性的應用，熟練掌握函數的奇偶性和二次函數的單調性是解題的關鍵.5、A【解析】先求得，然后求得.【詳解】.故選：A6、B【解析】分別判斷與0,1等的大小關系判斷即可.【詳解】因為.故.又,故.又,故.所以.故選：B【點睛】本題主要考查了根據指對冪函數的單調性判斷函數值大小的問題,屬于基礎題.7、A【解析】判斷兩函數定義域與函數關系式是否一致即可；【詳解】解：．和的定義域都是，對應關系也相同，是同一函數；的定義域為，的定義域為，，定義域不同，不是同一函數；的定義域為，的定義域為，定義域不同，不是同一函數；的定義域為，的定義域為或，定義域不同，不是同一函數故選：8、A【解析】直線方程為即．設點，點到直線的距離為，因為，由面積為可得即，解得或或．所以點的個數有4個．故A正確考點：1直線方程；2點到線的距離9、B【解析】根據所在象限可判斷出，，從而可得答案.【詳解】為第二象限角，，，則點位于第二象限.故選：B.10、B【解析】先求出時，不等式的解集，然后根據周期性即可得答案.【詳解】解：不等式，當時，由可得，又最小正周期為，所以不等式成立的x的取值集合為.故選：B.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】設的中點為，連接，由條件判斷是等邊三角形，并且求出和的長度，即根據周期求.【詳解】設的中點為，連接，，，且，是等邊三角形，并且的高是,，即，，即，解得：.故答案為：【點睛】本題考查根據三角函數的周期求參數，意在考查數形結合分析問題和解決問題的能力，屬于基礎題型，本題的關鍵是利用直角三角形的性質和三角函數的性質判斷的等邊三角形.12、【解析】根據定義求得，再由誘導公式可求解.【詳解】角的終邊經過點,則，所以.故答案為：.13、③⑤【解析】按照平均數、極差、方差依次分析各序號即可.【詳解】連續7天新增病例數：0，0，0，0，2，6，6，平均數是2<3，①錯；連續7天新增病例數：6，6，6，6，6，6，6，標準差是0<2，②錯；平均數且極差小于或等于2，單日最多增加4人，若有一日增加5人，其他天最少增加3人，不滿足平均數，所以單日最多增加4人，③對；連續7天新增病例數：0，3，3，3，3，3，6，平均數是3且標準差小于2，④錯；眾數等于1且極差小于或等于4，最大數不會超過5，⑤對.故答案為：③⑤.14、【解析】根據復合函數單調性性質將問題轉化二次函數單調性問題，注意真數大于0.【詳解】令，則，因為為減函數，所以在上單調遞增等價于在上單調遞減，且，即，解得.故答案為：15、或【解析】當直線不過原點時設截距式方程；當直線過原點時設,分別將點代入即可【詳解】由題,當直線不過原點時設,則,所以,則直線方程為,即；當直線過原點時設,則,所以,則直線方程為,即,故答案為:或【點睛】本題考查求直線方程,考查截距式方程的應用,截距相同的直線問題,需注意過原點的情況16、-2【解析】由于兩條直線垂直，故.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、見解析【解析】根據定義，只要證明函數在是單調減函數即可，這可以通過單調減函數的定義去證明.證明：設任意，且，由于，所以在區間上，為增函數.令，則有：.由于，則且，故.故在區間上，函數為減函數.由“弱增”函數的定義可知，函數在區間上為“弱增”函數.18、（1）（2）當時，獲得增加的利潤最大，且增加的最大利潤為4000元【解析】（1）分和時兩種情況，利用利潤＝銷售額－成本列式即可；（2）利用二次函數求時的最大值，利用基本不等式求時的最大值，取最大即可.【小問1詳解】當時，；當時，【小問2詳解】當時，，當時，當時，，當且僅當，即時，當時，獲得增加的利潤最大，且增加的最大利潤為4000元19、，【解析】由已知可求得，，根據和的余弦公式可求得，再利用二倍角公式即可求出.詳解】，，，，為第二象限角，則，解得，，，.20、（1）200米（2）4608平方米【解析】(1)設苗圃的兩邊長分別為a，b，依題意列出已知和所求，由基本不等式直接可得；(2)根據題意列出已知，利用基本不等式將條件化為不等式，然