福建省福州市師大附中2025屆高二數學第一學期期末聯考模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．拋物線準線方程為()A. B.C. D.2．雅言傳承文明，經典浸潤人生．某市舉辦“中華經典誦寫講大賽”，大賽分為四類：“誦讀中國”經典誦讀大賽、“詩教中國”詩詞講解大賽、“筆墨中國”漢字書寫大賽、“印記中國”學生篆刻大賽．某人決定從這四類比賽中任選兩類參賽，則“誦讀中國”被選中的概率為（）A. B.C. D.3．在四面體OABC中，點M在線段OA上，且，N為BC中點，已知，，，則等于（）A. B.C. D.4．已知一質點的運動方程為，其中的單位為米，的單位為秒，則第1秒末的瞬時速度為（）A. B.C. D.5．已知橢圓：與雙曲線：有相同的焦點、，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點P為橢圓與雙曲線的交點，且，則的最大值為（）A. B.C. D.6．，則（）A. B.C. D.7．已知點、為橢圓的左、右焦點，若點為橢圓上一動點，則使得的點的個數為（）A. B.C. D.不能確定8．已知直線，橢圓．若直線l與橢圓C交于A，B兩點，則線段AB的中點的坐標為（）A. B.C. D.9．《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況，隨機調查了100學生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學生人數與該校學生總數比值的估計值為A. B.C. D.10．若過點（2，1）的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線的距離為（）A. B.C. D.11．已知函數與，則它們的圖象交點個數為（）A.0 B.1C.2 D.不確定12．在中，角、、的對邊分別是、、，若．則的大小為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若在數列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，形成新的數列，再把所得數列按照同樣的方法不斷構造出新的數列，現將數列進行構造，第次得到數列；第次得到數列；依次構造，第次得到數列；記，則(1)___________，(2)___________14．已知空間向量，，，若，，共面，則實數___________.15．設，，若將函數的圖像向左平移個單位能使其圖像與原圖像重合，則正實數的最小值為___________.16．若，，，，與，，，，，，均為等差數列，則______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，，其中.（1）試討論函數的單調性；（2）若，證明：.18．（12分）設：實數滿足，：實數滿足（1）若，且為真，求實數的取值范圍；（2）若是的必要不充分條件，求實數的取值范圍19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，M是PA的中點，N是BC的中點，平面ABCD，且，（1）求證：∥平面PCD；（2）求平面MBC與平面ABCD夾角的余弦值20．（12分）已知直線l過點，與兩坐標軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點（1）若的面積為，求直線l的方程；（2）求的面積的最小值21．（12分）已知，，且，求實數的取值范圍.22．（10分）如圖，三棱錐中，兩兩垂直，，且分別為線段的中點.（1）若點是線段的中點，求證：直線平面；（2）求證：平面平面.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由拋物線的準線方程即可求解【詳解】由拋物線方程得：．所以，拋物線的準線方程為故選D【點睛】本題主要考查了拋物線的準線方程，屬于基礎題2、B【解析】由已知條件得基本事件總數為種，符合條件的事件數為3中，由古典概型公式直接計算即可.【詳解】從四類比賽中選兩類參賽，共有種選擇，其中“誦讀中國”被選中的情況有3種，即“誦讀中國”和“詩教中國”，“誦讀中國”和“筆墨中國”，“誦讀中國”和“印記中國”，由古典概型公式可得，故選：.3、B【解析】根據空間向量基本定理結合已知條件求解【詳解】因為N為BC中點，所以,因為M在線段OA上，且，所以，所以，故選：B4、C【解析】求出即得解.【詳解】解：由題意得，故質點在第1秒末的瞬時速度為.故選：C5、B【解析】不妨設點為第一象限的交點，結合橢圓與雙曲線的定義得到，進而結合余弦定理得到，即，令然后結合三角函數即可求出結果.【詳解】不妨設點為第一象限的交點，則由橢圓的定義可得，由雙曲線的定義可得，所以，因此，即，所以，即，令因此，其中，所以當時，有最大值，最大值為，故選：B.【點睛】一、橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合b2＝a2－c2轉化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)二、雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合b2＝c2－a2轉化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)6、B【解析】求出，然后可得答案.【詳解】，所以故選：B7、B【解析】利用余弦定理結合橢圓的定義可求得、，即可得出結論.【詳解】在橢圓中，，，，則，，可得，所以，，解得，此時點位于橢圓短軸的頂點.因此，滿足條件的點的個數為.故選：B.8、B【解析】聯立直線方程與橢圓方程，消y得到關于x的一元二次方程，根據韋達定理可得，進而得出中點的橫坐標，代入直線方程求出中點的縱坐標即可.【詳解】由題意知，，消去y，得，則，，所以A、B兩點中點的橫坐標為：，所以中點的縱坐標為：，即線段AB的中點的坐標為.故選：B9、C【解析】根據題先求出閱讀過西游記人數，進而得解.【詳解】由題意得，閱讀過《西游記》的學生人數為90-80+60=70，則其與該校學生人數之比為70÷100=0.7．故選C【點睛】本題考查容斥原理，滲透了數據處理和數學運算素養．采取去重法，利用轉化與化歸思想解題10、B【解析】由題意可知圓心在第一象限，設圓心的坐標為，可得圓的半徑為，寫出圓的標準方程，利用點在圓上，求得實數的值，利用點到直線的距離公式可求出圓心到直線的距離.【詳解】由于圓上的點在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設圓心的坐標為，則圓的半徑為，圓的標準方程為.由題意可得，可得，解得或，所以圓心的坐標為或，圓心到直線的距離均為；圓心到直線的距離均為圓心到直線的距離均為；所以，圓心到直線的距離為.故選：B.【點睛】本題考查圓心到直線距離的計算，求出圓的方程是解題的關鍵，考查計算能力，屬于中等題.11、B【解析】令，判斷的單調性并計算的極值，根據極值與0的大小關系判斷的零點個數，得出答案.【詳解】令，則，由，得，∴當時，，當時，.∴當時，取得最小值，∴只有一個零點，即與的圖象只有1個交點.故選：B.12、B【解析】利用余弦定理結合角的范圍可求得角的值，再利用三角形的內角和定理可求得的值.【詳解】因為，則，則，由余弦定理可得，因為，則，故.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】根據題意得到，再利用疊加法求解即可.【詳解】由題知：，，，所以，，，……，，所以，，……，，即，所以.故答案為：；14、1【解析】根據向量共面，可設，先求解出的值，則的值可求.【詳解】因為，，共面且，不共線，所以可設，所以，所以，所以，所以，故答案為：1.15、【解析】根據正弦型函數圖像平移法則和正弦函數性質進行解題.【詳解】解：由題意得：函數的圖像向左平移個單位后得：該函數與原函數圖像重合故可知，即故當時，最小正實數.故答案為：16、##【解析】由題意利用等差數列的定義和通項公式，求得要求式子的值【詳解】設等差數列，，，，的公差為，等差數列，，，，，，的公差為，則有，且，所以，則，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】（1）先求出函數的定義域，然后求導，再根據導數的正負求出函數的單調區間，（2）要證，只要證，由于時，，當時，令，再利用導數求出其最小值大于零即可【小問1詳解】的定義域為當時，，在上單調遞增；當時，令，解得；令，解得；綜上所述：當時，在上單調遞增，無減區間；當時，在上單調遞減，在上單調遞增；【小問2詳解】，，即證：，即證：當時，，，當時，令，則在上單調遞增在上單調遞增綜上所述：，即18、（1）（2）【解析】（1）根據二次不等式與分式不等式的求解方法求得命題p，q為真時實數x的取值范圍，再求交集即可；（2）先求得，再根據是的必要不充分條件可得，再根據集合包含關系，根據區間端點列不等式求解即可【小問1詳解】當時，，解得，即p為真時，實數x的取值范圍為．由，解得，即q為真時，實數x的取值范圍為若為真，則，解得實數x的取值范圍為【小問2詳解】若p是q的必要不充分條件，則且設，，則，又由，得，因為，則，有，解得因此a的取值范圍為19、（1）詳見解析；（2）【解析】（1）取PD的中點E，連接ME，CE，易證四邊形是平行四邊形，得到，再利用線面平行的判定定理證明；（2）建立空間直角坐標系，求得平面MBC的一個法向量，易知平面ABCD的一個法向量為：，由求解.【小問1詳解】證明：如圖所示：取PD的中點E，連接ME，CE，因為底面ABCD是矩形，M是PA的中點，N是BC的中點，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面PCD，平面PCD，所以∥平面PCD；【小問2詳解】建立如圖所示空間直角坐標系：則，所以，設平面MBC的一個法向量為，則，即，令，得，易知平面ABCD的一個法向量為：，所以，所以平面MBC與平面ABCD的夾角的余弦值為.20、（1）或（2）4【解析】（1）設直線方程為，根據所過的點及面積可得關于的方程組，求出解后可得直線方程，我們也可以設直線，利用面積求出后可得直線方程.（2）結合（1）中直線方程的形式利用基本不等式可求面積的最小值.【小問1詳解】法一：（1）設直線，則解得或，所以直線或法二：設直線，，則，則，∴或﹣8所以直線或【小問2詳解】法一：∵，∴，∴，此時，∴面積的最小值為4，此時直線法二：∵，∴，此時，∴面積的最小值為4，此時直線21、.【解析】求得集合，根據，分和，兩種情況討論，結合二次函數的性質，即可求解.【詳解】由題意，