專題16正多邊形與圓的有關的證明和計算綜合過關檢測

（考試時間：90分鐘，試卷滿分：100分）

一、單選題（本題共10小題，每題3分，共30分）

1.一個正多邊形的中心角為30。，這個正多邊形的邊數是（）

A.5B.8C.10D.12

【答案】D

【分析】本題考查的是正多邊形和圓，根據正多邊形的中心角和為360。和正多邊形的中心角相等，列式計

算即可.

【詳解】解：正多邊形的中心角和為360。，正多邊形的中心角是30。，

這個正多邊形的邊數3=60第°=12.

故選：D.

2.如圖，半徑為2的。是正六邊形ABCDEF的外接圓，則下列說法錯誤的是（）

A.點。是正六邊形ABCDEF的中心B.正六邊形ABCDEF的邊長是2

C.正六邊形ABCDEF的中心角是60°D.正六邊形ABCDEF的邊心距0M=2出

【答案】D

【分析】本題考查了正多邊形與圓，正多邊形的性質，。是正六邊形ABCDEF的外接圓可判斷選項A,

連接OC,OD,證明OCD是等邊三角形可判斷B,C；由勾股定理求出可判斷D

【詳解】解：：。是正六邊形ABCDEF的外接圓，

點0是正六邊形ABCDEF的中心，故選項A正確，不符合題意；

連接。C,O￡>,如圖，

ZCOD=-x360°=60°,

6

;OC=OD,

???，OCD是等邊三角形，

??.OC=OD=CD=2,

???正六邊形ABCDEF的邊長是2,故選項B正確，不符合題意；

???正六邊形ABCDEF的中心角是60。，故選項C正確，不符合題意;

?：OM1CD,

：.CM=DM=-CD=l,

2

,,OM=yIOD2—DM2=-\/22—I2='^3'

；?選項D錯誤，符合題意；

故選：D.

3.齊齊哈爾市龍沙公園內有一樓亭，始建于1908年，1964年7月21日，朱德委員長來齊齊哈爾市視察,

登樓遠眺，神清氣爽，嫩江水碧波蕩漾，齊齊哈爾風光盡收眼底，朱老總即興揮毫題寫了“望江樓”三個大字，

后將其制成黑底金字的長匾懸掛于飛檐之下，得名“望江樓”.我國古代許多樓亭的地基都是正六邊形（如圖）,

若有一個亭子，它的地基是邊長為4m的正六邊形，則地基的面積為（）

的

22

A.473mB.12Gm2C.24mD.24百m?

【答案】D

【分析】本題主要考查等多邊形的性質，等邊三角形的判定性質，解題的關鍵是掌握正多邊形中心角相等；

過點。作OCLAB于點C,通過證明OAB為等邊三角形，得出OA=AB=4m,AC=^AB=2m,根據勾

股定理可得：OC=VtM2-AC2=2V3m＞則5卸=；AROC=4用(m),即可得出地基的面積=6S,B.

【詳解】解：過點。作OCLAB于點C,

ACB

A"

??,該六邊形為正六邊形，

360°

/.OA=OB,ZAOB=——=60。，

6

???，。鉆為等邊三角形，

OA=AB=4m,

OCA.AB,

：.AC=-AB=2m,

2

根據勾股定理可得：OC=JoT-3=2gm，

S0As=卜2℃=4石(m)

/.地基的面積=65?=246m2,

故選：D.

4.如圖，A、B、C、。為一個正多邊形的頂點,。為正多邊形的中心，若NAZM=18。，則這個正多邊形

的邊數為()

A

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

【分析】本題考查了正多邊形與圓，圓周角定理，連接。4,。8,根據圓周角定理得到NAQB=2Z4D3=36。,

即可得到結論，熟練掌握圓周角定理的應用及正確理解正多邊形與圓的關系是解題的關鍵.

【詳解】解：連接Q4,0B,

,:A、B、C、。為一個正多邊形的頂點，。為正多邊形的中心，

...點A、B、C、O在以點。為圓心，為半徑的同一個圓上，

*.?ZADB=18°,

：.ZAOB=2ZADB=36°,

這個正多邊形的邊數3=60苛°=10,

故選：D.

5.如圖，AC是O內接正六邊形的一邊，點8在弧AC上，且BC是。內接正八邊形的一邊.此時48是

。內接正”邊形的一邊，則〃的值是（）

A.12B.16C.20D.24

【答案】D

【分析】本題考查正多邊形和圓的計算.根據中心角的度數=360。+邊數，列式計算分別求出NAOC,ZBOC

的度數，則ZAOB=15。，則邊數〃=360。+中心角，據此求解即可.

【詳解】解：連接。8,

:AC是-O內接正六邊形的一邊,

/4。。=360。+6=60。

BC是-O內接正八邊形的一邊，

ZBOC=360°-8=45°

ZAOB=ZAOC-ZBOC=60°-45°=15°

“=360°+15°=24

故選：D.

6.如圖是半徑為4的。的內接正六邊形ABCDEF,則圓心。到邊A3的距離是（）

【答案】B

【分析】本題考查了正多邊形的性質，勾股定理，過點。作加，回于點根據正六邊形的性質得出

360011

ZAOB=——=60。,04=08=4,則ZAOM=—4403=30。，進而得出AM=—。4=2,最后根據勾股定理

622

即可求解.

【詳解】解：過點。作于點M,

六邊形ABCDEF為正六邊形，

360°

ZAOB=——=60。,04=03=4,

6

OMVAB,

：.ZAOM=-ZAOB=30°,

2

：.AM=-OA=2,

2

根據勾股定理可得：OM=<0尺—AM?=2網，

故選：B.

7.如圖，正八邊形ABCDEFG”的邊長為2,則該正八邊形的面積為（）.

AH

A.8（1+V2）B.4（2+V2）C.40+2后）D.4（1+72）

【答案】A

【分析】本題主要考查了正八邊形的性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理，解題的關鍵是熟練掌握正

八邊形的性質.連接AC、CE、EG、AG,延長A8,過點C作1四于點根據正八邊形的性質，

360°

得出四邊形ACEG為正方形，求出NC3M=^=45。，證明CBM為等腰直角三角形，求出

O

CM=BM=—BC=—x2=yfl,得出SBC=：X2XV^=后，求出AM=A8+BM=2+8，得出

222

S正方形4CEG=8+40，最后求出結果即可?

【詳解】解：連接AC、CE、EG、AG,延長AB,過點C作_L四于點M,如圖所示：

,/八邊形ABCDEFGH為正八邊形,

360°

???四邊形ACEG為正方形，ZCBM=^=45°,

8

■:CM1AB,

：.ZCMB=90°,

C8M為等腰直角三角形,

CM=BM=—BC=—x2=V2,

22

S/^ABC=萬*2xV2=>/2,AAf=AB+BM=2+>/2,

222

???^mc￡G=AC=AM+CM

=6+4夜+2

=8+472,

.??正八邊形的面積為:

故選：A.

8.如圖擺放的兩個正六邊形的頂點A,B,C,。在同一個圓上.若AB=4,則該圓的半徑為（）

【答案】C

【分析】此題考查的是正多邊形和垂徑定理，由正六邊形的性質可得NGEF=60。，NPG￡=30。再根據勾股

定理可得答案，正確作出圖形及輔助線是解決此題的關鍵.

【詳解】解：如圖，設圓的圓心為點。，即點。為正六邊形邊的中點，連接3G,過E作砂，3G于點/，

GO=2,

???正六邊形的每個內角都為120。,

NGEF=60°,ZFGE=30°,

在RtAEFG中，EG=4,

：.EF=2,

FG=ylEG2-EF2=>/42-22=2指，

/.BGS,

.*?OB=YJBG2+GO2=2713,

該圓的半徑為,

故選：C.

9.如圖，正三角形和正方形分別內接于等圓a和a,若正三角形的周長為加，正方形的周長為小則

m與n的關系為)

C.m>nD.不能確定

【答案】A

【分析】本題考查正多邊形和圓，設圓的半徑為廣，分別求出正三角形，正方形的邊長，進而求出相，”的值,

即可得出結果.

【詳解】解：設等圓。1和。2的半徑為,，如圖，

。1和

3600360°

4。[8=^-=120°,0|4=0]8=02。=0#=r,/00*=^—=90°,

/.ZOtAB=30°,AB=2AC,￡)E=0r,

/.O,C=-r,AB=2AC=2幣I=底,

22

m=3-6r=3A/3F,n=4-A/2F=45/2r,

卜國=27＜卜@一=32,

/.3島＜4岳,

：.m＜n.

故選A.

10.我國古代數學家劉徽在《九章算術注》中提到了著名的“割圓術”，即利用圓的內接正多邊形逼近圓的方

法來近似估算，指出“割之彌細，所失彌少.割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”.如圖，

。。的半徑是2,運用“割圓術”，以圓內接正十二邊形面積近似估計。。的面積，可得z的估計值是（）

A.3.1C.1+6D.2a

【答案】B

【分析】過A作于求得的度數，根據直角三角形的性質得到AM,求出三角形的面

積，于是得到正十二邊形的面積，根據圓的面積公式即可得到結論.

本題考查了正多邊形與圓，三角形的面積的計算，正確地作出輔助線是解題的關鍵.

【詳解】如圖，是正十二邊形的一條邊，點。是正十二邊形的中心，過A作于

在正十二邊形中,

ZA05=360°+12=30°,

,AM=—OA=—

22

/.正十二邊形的面積為12x：=3,

3=仔x?,

.,.萬=3,

，萬的近似值為3,

故選：B.

二、填空題（本題共10小題，每題3分，共30分）

11.如圖，在正六邊形。LBCDE中，以點。為原點建立平面直角坐標系，邊。4落在x軸上.若點A的坐標

為（4,0）,則點8的坐標為.

【答案】（6,2月

【分析】本題考查正多邊形，圖形和坐標，勾股定理，先根據正六邊形得到AB=Q4=4,ZBAF=6O°,然

后再RtAB廠中利用勾勾股定理計算是解題的關鍵.

【詳解】解：過點8作正，x軸于點廠，

???正六邊形。鉆CDE,點A的坐標為（4,0）

360°

AAB=OA=4,ZBAF=——=60。，

6

：.ZABF=30°,

：.AF=-AB=-x4=2,

22

?>-BF=^AB2-AF2=742-22=273?OF=OA+AF=4+2=6,

；?點8的坐標為（6,2后），

故答案為：（6,26）.

12.如圖，..ABC內接于O,NC=36。，弦A8是圓內接正多邊形的一邊，則該正多邊形的邊數是

A

【分析】如圖所示，連接04OB,由圓周角定理得到NAO3=72。，則該多邊形的中心角為72。，由此即可

得到答案.

【詳解】解：如圖所示，連接OAOB,

ZAOB=2ZACB=^T,

.360。

??一J,

72°

,該正多邊形是正五邊形，

故答案為：5.

【點睛】本題考查了正多邊形和圓的知識，解題的關鍵是構造同弧所對的圓心角，難度不大.

13.如圖，正五邊形MCDE內接于O,尸￡＞與相切于點。，連接。E并延長，交PD于點P,則立尸的

度數是.

A

P

【答案】18。

【分析】本題考查了圓內接正多邊形，切線的性質，直角三角形的特征；連接。。，由圓的內接正多邊形的

性質得/DOE=gx360。=72。，由切線的性質得ODLPD,由/P=90。-/OOE即可求解；掌握相關的性

質，作輔助線連半徑是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖，連接O。，

正五邊形ABCDE內接于￡O,

Z￡>OE=1x360°=72°,

尸。與，。相切于點，

ODLPD,

NOD尸=90°,

：.ZP^900-ZDOE

=18°；

故答案：18°.

14.已知。的內接正六邊形的邊為6.則該圓的邊心距為.

【答案】3G

【分析】本題考查了圓內接多邊形的性質，勾股定理，等邊三角形的判定和性質，垂徑定理，畫出圖形，

證得_。由是等邊三角形是解題的關鍵.

如圖，證明OAB是等邊三角形，可得C?=AB=6,作于根據垂徑定理可得3M=3,然后利

用勾股定理計算出即可.

【詳解】解：。的內接正六邊形ABCDE尸如圖，連接Q4,0B,

：.AB=6,ZAOB=360°4-6=60°,OA=OB,

是等邊三角形，

OB=AB=6,

作于貝1]8加=,48=3,

2

OM=yJOB2-BM2=>/62-32=36，

即該圓的邊心距為3相，

故答案為：3A/3-

15.圖1是微信朋友圈的LOGO圖案，它是中心對稱圖形，圖2是其示意圖.其作圖過程為：取正八邊形

ABCDEFGH中心點O,延長OC,AB交于點M,O"為半徑作。，再延長正八邊形其余七邊得到。的

八等分點.若AB=1,貝

圖1圖2

【答案】V2+1/1+V2

【分析】連接AC,過C作CT_LAM于T,根據在正八邊形性質，結合等腰三角形的性質和三角形的

外角性質證得NM=NC4B,則CM=G4,進而MT=AT,證明RtZXCTB等腰直角三角形，求得BT=①

2

即可求解.

【詳解】解：連接03,AC,過C作。7，40于7,

M

\G\H7

3600360°

在正八邊形ABCOEFGH中，ZBOC=——=45。，ZCBM=——=45。，

88

ZABC=180°-ZCBM=135°,

VAB=BC,OB=OC,

ZCAB=ZACB=1(180°-ZABC)=22.5°,NOCB=NO3C=；(180°-NBOC)=67.5°,

：.ZM=ZOCB-ZCBM=22.5°,貝=

C.CM^CA,

'：CTLAM,

：.MT=AT,

在Rt/SCTB中，AB=1,NCBT=45。,

Rt^CZB等腰直角三角形，則CT=BT,

由勾股定理得CT?+BT2=2BT2=AB2,

BT=—AB=—,則MT=AT=BT+A2=^+1,

222

/.BM^MT+BT^—+\+—^yj2+\,

22

故答案為：A/2+1.

【點睛】本題考查正多邊形的性質、等腰三角形的判定與性質、三角形的內角和定理和外角性質、勾股定

理等知識，熟練掌握正多邊形的性質和等腰三角形的性質是解答的關鍵.

16.我國魏晉時期數學家劉徽在《九章算術注》中提到了著名的“割圓術”，即利用圓的內接正多邊形逼近圓

的方法來近似估算，指出“割之彌細，所失彌少.割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”.如

圖，。的半徑為1,運用“割圓術”，以圓內接正六邊形面積近似估計O的面積，可得萬的估計值為

(結果保留根號)

【答案】

22

【分析】本題考查了正多邊形與圓，三角形的面積的計算.過A作于求得NAQB的度數，

根據直角三角形的性質得到A",求出三角形的面積，于是得到正六邊形的面積，根據圓的面積公式即可

得到結論.

【詳解】解：如圖，A3是正六邊形的一條邊，點。是正六邊形的中心，過A作AMLOB于M,

在正六邊形中，

ZAOB=360°4-6=60°,貝4M=30。，

:.OM=^OB=^-,AM=^OA2-OM2=—,

222

:.SAOB=-OB-AM=-xlx^-=^-,

f2224

???正六邊形的面積為6x走,

42

:.—y/3=l2x萬,

2

/.7V=—5/3,

2

?”的近似值為I百，

故選：B.

17.如圖，正六邊形ABCD跖內接于。，點P在弦AC上，若（。的半徑為2,則陰影部分的面積是

F

【答案】2石

【分析】本題考查了正六邊形的性質，勾股定理，矩形的性質與判定.連接ED,FC,AD,證明四邊形ACD/

是矩形，推出陰影部分的面積為矩形ACDP的一半，據此求解即可.

【詳解】解：如圖所示，連接尸D,FC,AD,

依題意可知，AF//CD,AF=CD,

.,?四邊形ACDF是平行四邊形，

ZFED=ZAFE=120°,FE=ED,

ZEFD=30°,ZAFD=90°,

四邊形ACDP是矩形，

/.陰影部分的面積為矩形ACDF的一半，

二FC與AD經過點0,

AZCOD=60°,ACAD=30°,ZACD=90°,

/.AD=4,CD=2,AC=2y/3,

陰影部分的面積為=1x2x26=2g,

2

故答案為：2百.

18.如圖，已知在矩形ABCD內有一個等邊二ABE,點E在8上，若石的內切圓半徑為2,則矩形ABCD

的外接圓半徑為.

【答案】V21

【分析】設點。為的內切圓的圓心，連接。尸、OB、0E,則OP=2,O尸人相，

根據等邊三角形的性質和含30度角的直角三角形的性質分別求得AB=gPE=6,

根據矩形的性質和圓周角定理求得AD=PE=6,9為矩形ABCD的外接圓的直徑,利用勾股定理求得BD

即可.

【詳解】解：如圖，設點。為的內切圓的圓心，連接。P、OB、OE,

則OP=2,OP1AB,

—ABE為等邊三角形，

.?.點E、。、P共線，即PEJ.AB,ZBEP=ZPBO=30°,

；.OB=2OP=4,AP=BP=—OB=273,

2

/.AB=4A/3,貝!]PE=6,

:四邊形A5c。是矩形，PEA.AB,

：.AD=PE=6,ZR4D=90°,

連接BD,則2。為矩形A3CD的外接圓的直徑，

在RtAABD中，BD=yjAD2+AB2=2721，

矩形A3CD的外接圓的半徑為V21，

故答案為：V21

【點睛】本題考查三角形的內切圓性質、矩形的性質、等邊三角形的性質、含30度角的直角三角形的性質、

圓周角定理、勾股定理等知識，熟練掌握相關知識的聯系與運用是解答的關鍵.

19.如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為4cm,以一個頂點A為圓心，AE為半徑作一個扇形，則圖中陰影

扇形的面積為.

【答案】27r

【分析】過/作/于點由正多邊形的性質得=/=/=但至吧-=120。，

6

AF=EF=AB=BC,進而利用三線合一及勾股定理得AM=，4片/=依—方=2。AE=2AM=

，再利用扇形的面積公式即可求解。

【詳解】解：過/作于點M,如圖所示：

:六邊形ABCDE尸是正六邊形，AB=2,

62x180

：.ZF=ZBAF=ZB=（-）=120°,AF=EF=AB=BC,

6

1QQ91Of）?

：.NFAE=NAEF=NBAC=NBCA=—:-------=30?,ME=AM

2

/.ZCAE=120。-30°-30°=60°,FM^-AF=2

2

??AM=\JAF2—MF2=A/42—22=2^3'

???==

60x/rx（2港）

777TF2

=2^-cm2，

360360

故答案為2萬.

【點睛】本題主要考查勾股定理、正多邊形的性質、30度直角三角形的性質，扇形面積計算及正多邊形的

性質，熟練掌握扇形面積計算及正多邊形的性質是解題的關鍵.

20.劉微是我國魏晉時期卓越的數學家，他首次提出“割圓術”，利出圓內接正多邊形逐步逼近圓來近似計算

圓周率.如圖，多邊形A44…4是，。的內接正“邊形.已知。的半徑為廣，乙41。42的度數為a,點。

到勺距離為d,的面積為s.下面推斷中,

360°

①當”變化時，a隨”的變化而變化，a與“滿足函數關系1=—.②無論〃，r為何值，總有=萬戶.③

n

若"為定值，當「變化時，S隨r的變化而變化，S與r滿足二次函數關系.其中正確的是.（填序

號）.

【答案】①③/③①

【分析】分別表示出a與〃、d與八S與r的關系式，進而判定得出結論.

360°

【詳解】解：①當”變化時，a隨"的變化而變化，a與〃滿足函數關系1=—,①正確；

③如圖,

?為定值,

,1

=3=r-sin—?

2

/.S=-A,A,-d=r-sin—a-r-cos—tz=sin—a?cos—a-r2,

2s22(22)

.?.S與r滿足二次函數關系.③正確;

故答案為：①③.

【點睛】本題考查了正多邊形與圓的關系，解直角三角形，正比例函數，反比例函數，二次函數的定義等

知識，解決問題的關鍵是熟練掌握有關基礎知識.

三、解答題(本題共3題，共40分)

21(12分).如圖，是。的直徑，E,C是。上兩點，且EC=3C，連接AE，AC.過點C作

交AE的延長線于點。.

(1)判定直線CO與；O的位置關系，并說明理由；

(2)連接BE和OC交于點/，若AB=4,ABAC=30°,

①求證：四邊形是矩形；

②求圖中陰影部分的面積.

【答案】(1)直線CD與。相切，理由見解析

(2)①證明見解析；②28一女

23

【分析】本題考查圓的切線，勾股定理，矩形的性質與判定，垂徑定理，扇形的面積，熟練掌握以上知識

是解題關鍵.

(1)先證明/SAC=NACO,即可得出A。OC,由AD_LC。可得OC_LCE>,從而得出0C是］。的半徑；

(2)①證明/血>=/。=/9。=90。即可得證；

②圖中陰影部分的面積=§橫形0sLs扇形雙，分別求出梯形的面積和扇形的面積即可解答.

【詳解】(1)解：直線8與：。相切，

理由：連接0C,

D

EC=BC，

\?CAD?BAC,

OA=OC,

,\ZBAC=ZACO,

.\ZCAD=ZACO,

:.AD//OC,

ADVCD,

:.OC1CD,

oc是。的半徑，

「.CD是O的切線；

(2)證明：EC=BC，

：.OC上CE,BF=EF,

AB是：。的直徑，

.\ZAEB=90°,

/./FED=ND=ZEFC=90°,

四邊形是矩形；

解：如圖，連接班＞、OE,

ACOE=ZBOC=2Z5L4C=60°,

在Rt^O跖中，OE=-AB=2,

2

ZOEF=900-ZCOE=30°,

/.OF=-OE=1,

2

:.CF=OC-OE=l=DE,

.\EF=yjOE2-OF2=y/3=CD^

i3Q

..S梯形OCDE=^（OE+OC^CD=,

_60KX22_2TI

扇形-36o-y'

???圖中陰影部分的面積=S梯…-Si=浮-?

22（14分）.如圖，A3是＜。的直徑，射線8（7交（。于點。，點E是劣弧AD的中點，連接BE,DE,OE,

過點E作EF上3c于點R延長EE交54的延長線交于點G.

(1)證明：G尸是；。的切線;

⑵若EF=26，BD=4,求：。的半徑;

(3)在(2)的基礎上，求圖中陰影部分的面積.

【答案】(1)見解析

(2)。的半徑為4；

⑶S陰影=84一丁.

【分析】(1)根據角平分線的定義和等邊對等角證明Nl=N3,推出OE//BF，再由EF1,得到OE1GF,

即可證明G尸是：O的切線；

(2)過點。作處于證明四邊形％?是矩形，得至ljEF=0M=26，可由垂徑定理和勾股定

理求解即可；

(3)先解直角三角形得到，EOG=/OBM=60。，求出EG=4g,再根據§陰影=SMEG-S扇形人庭進行求解

即可.

【詳解】(1)證明：如圖,

:點E是劣弧AD的中點,

.-.Z1=Z2,

OB=OE,

.-.Z2=Z3

.?/=/3,

OE//BF,