專題23圓與圓的位置關系

【閱讀與思考】

兩圓的半徑與圓心距的大小量化確定圓與圓的外離、外切、相交、內切、內含五種位置關系.圓與圓

相交、相切等關系是研究圓與圓位置關系的重點，解題中經常用到相關性質.

解圓與圓的位置關系問題，往往需要添加輔助線，常用的輔助線有：

i.相交兩圓作公共弦或連心線；

2.相切兩圓作過切點的公切線或連心線；

3.有關相切、相離兩圓的公切線問題常設法構造相應的直角三角形

熟悉以下基本圖形和以上基本結論.

【例題與求解】

【例1】如圖，大圓。0的直徑ABacm,分別以。4,05為直徑作。0］和。02，并在。。與。。］

和。0。的空隙間作兩個等圓。OR和。這些圓互相內切或外切，則四邊形oooo的面積為

2341423

cm2（全國初中數學競賽試題）

解題思路：易證四邊形。qq%為菱形，求其面積只需求出兩條對角線的長

【例2】如圖，圓心為A,B,C的三個圓彼此相切，且均與直線/相切.若。A,QB,

OC的半徑分別為。，b,c（0<c<a<。），則a,b,c一定滿足的關系式為（）

A.2b=a+cB.2斑Ja+Jc

111111

C—二一十—D--------+---

cabJcyfaJF

（天津市競賽試題）

解題思路：從兩圓相切位置關系入手，分別探討兩圓半徑與分切線的關系，解題的關鍵是作圓的基本

輔助線.

【例3】如圖，已知兩圓內切于點P,大圓的弦AB切小圓于點C,尸C的延長線交大圓于點D求證：

（1）ZAPD=ZBPD；

（2）PA?PB=PC2+AC?CB.（天津市中考試題）

解題思路：對于（1）,作出相應輔助線；對于（2）,應化簡待證式的右邊，不妨仄AC?BC=PC?CD

入手.

【例4】如圖。。］和。。，相交于點A及8處，CD。］的圓心落在。。，的圓周上，。。］的弦AC與。。,

交于點D求證：OJJLBC.

（全俄中學生九年級競賽試題）

解題思路：連接。/，Of,顯然△。產C為等腰三角形，若證O.LBC,只需證明00平分/

8Of.充分運用與圓相關的角.

【例5】如圖，在直角梯形ABCD中，AD//BC,AB±BC,AD=\,AB=2,DC=2^2,點尸在邊BC上

運動(與8,C不重合).設PC=無，四邊形的面積為y.

(1)求y關于％的函數關系式，并寫出自變量尤的取值范圍；

(2)若以。為圓心，；為半徑作。以P為圓心，以PC的長為半徑作。P,當X為何值時，。。與

。尸相切？并求出這兩圓相切時四邊形A8P。的面積.(河南省中考題)

解題思路：對于(2),。尸與。。既可外切，也可能內切，故需分類討論，解題的關鍵是由相切兩圓

的性質建立關于X的方程.

【例6】如圖，ABC。是邊長為。的正方形，以。為圓心，D4為半徑的圓弧與以BC為直徑的半圓交

BN

于另一點P,延長AP父于點N,求：的值.(全國初中數學聯賽試題)

NC

解題思路：為兩圓的公切線，8c為直徑，怎樣產生比例線段？豐富的知識，不同的視角激活想象,

可生成解題策略與方法.

【能力與訓練】

A級

1.如圖，OA,。2的圓心A,B在直線/上，兩圓的半徑都為1c機開始時圓心距AB=4c〃z,現。A,O

B同時沿直線/以每秒2。"的速度相向移動，則當兩圓相切時，運動的時間為秒.

（寧波市中考試題）

2.如圖，J是。上任意一點，。。1和。外相交于A，B兩點,E為優弧上的一點，E。,及延長線

交。%于C，D,交于R且CF=1,EC=2,那么。。，的半徑為.

（第1題圖）（第2題圖）（第3題圖）

3.如圖，半圓。的直徑AB=4,與半圓。內切的動圓0］與切于點跖設。。］的半徑為y,AM的長

為X,則y與X的函數關系是.（要求寫出自變量X的取值范圍）

（昆明市中考試題）

4.已知直徑分別為1+J百和3的兩個圓，它們的圓心距為'記-1,這兩圓的公切線的條數是

5.如圖，。。］和。。，相交于點A,B,且。。，的圓心q在圓。。1的圓上，尸是。。，上一點.已知/A。/

=60°,那么44尸方的度數是（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

（甘肅省中考試題）

6.如圖，兩圓相交于A、8兩點，過點8的直線與兩圓分別交于C,。兩點.若。。［半徑為《皆，0（9,

的半徑為2,則AC：4。為（）

A.3:2、后B.2君:3C.2、療:1

7.如圖，。。］和。O,外切于點T,它們的半徑之比為3:2,AB是它們的外公切線,A,B是切點，AB

=4J6,那么。。］和。0。的圓心距是（）

20風

B.10C.10、厲

A.5J6D，13

8.已知兩圓的半徑分別為R和r(R>r),圓心距為4.若關于x的方程X2-2rx+(R-d”=0有兩

相等的實數根，那么這兩圓的位置關系是()

A.外切B.內切C.外離D.外切或內切

(連云港市中考試題)

9.如圖，與。。，相交于A,8兩點，點。］在。。2上，點C為。。］中優弧0上任意一點，直線C8

交。。2于。，連接。產.

(1)證明：DO^AC；

(2)若點C在劣弧R上，(1)中的結論是否仍成立？請在圖中畫出圖形，并證明你的結論.

(大連市中考試題)

10.如圖，已知。與。。，外切于點尸，過點P且分別交。O］和。。，于點A,B,切。。。于點8,

交。O］于點C,H.

(1)東證：△BCPsAHAP；

(2)若AP:PB=3：2,且C為的中點，求

(福州市中考試題)

11.如圖，已知。8,OC的半徑不等，且外切于點A,不過點A的一條公切線切。8于點切。C于

點E,直線且與BC的垂直平分線交于點E求證：BC=2AF.

（英國數學奧林匹克試題）

12.如圖，為半圓的直徑，C是半圓弧上一點.正方形。EFG的一邊。G在直徑AB上，另一邊DE過

△ABC得內切圓圓心。，且點E在半圓弧上.

（1）若正方形的頂點/也在半圓弧上，求半圓的半徑與正方形邊長的比；

（2）若正方形AE/G的面積為100,且△ABC的內切圓半徑廠4,求半圓的直徑AB.

（杭州市中考試題）

B級

1.相交兩圓的半徑分別為5c機和4C〃3公共弦長為6cm,這兩圓的圓心距為.

2.如圖，。。過M點，0M交。。于A,延長。。的直徑A8交。”于C.若A8=8,BC=1,則AM=

（黑龍江省中考試題）

（第2題圖）（第3題圖）（第4題圖）

3.已知圓環內直徑為。cm,外直徑為bs7,將50個這樣的圓環一個接著一個環套環地連成一條鎖鏈，

那么這條鎖鏈拉直后的長度為cm.

4.如圖，已知P0=1O,以P。為直徑的圓與一個以20為半徑的圓相切于點尸.正方形ABC。的頂點A,

B在大圓上，小圓在正方形的外部且與CD切于點。.若AB=m+Jn,其中加，”為整數，則

m+n=.

（美國中學生數學邀請賽試題）

5.如圖，正方形A8CL?的對角線AC,BD交于點、M,且分正方形為4個三角形，。。/。。,，QO3,

。。4，分別為ABMC,/XCMD,4DMA的內切圓.已知AB=1.則。。/00,,QOfOC>4

所夾的中心（陰影）部分的面積為（）’‘

(4—兀)(3—2”)

(4-K)(3-272)

（太原市競賽試題）

（第5題圖）（第6題圖）

6.如圖，。0］與。。，內切于點E,。0］的弦A8過。色的圓心區，交。%于點。，。若AC：CD.BD

=2:4:3,則。q與。°i的半徑之比為（）

A.2:3B.2:5C.1:3D.1:4

7.如圖，與。。，外切于點A,兩圓的一條外公切線與。。］相切于點8,若A8與兩圓的另一條外公

切線平行，則。。］與。。2的半徑之比為（）

A.2:5B.1:2C.1:3D.2:3

（全國初中數學聯賽試題）

8.如圖，已知。。］與。。2相交于A,B兩點、,過點A作。O］的切線，交。。。于點C,過點8作兩圓的

割線分別交。⑷。?于點。，E,DE與AC相交于點P.

（1）求證：PA?PE=PC?PD

（2）當AD與。。，相切且E4=6,PC=2,PO=12時，求AD的長.（黃岡市中考試題）

9.如圖，已知。O1和。q外切于A，BC是。O］和。I??的公切線，切點為B，C.連接冊并延長交。01

于D,過。點作的平行線交OO,于E,F.

（1）求證：CD是。。1的直徑；

（2）試判斷線段BC,BE,8歹的大小關系，并證明你的結論.（四川省中考試題）

10.如圖，兩個同心圓的圓心是。，大圓的半徑為13,小圓的半徑為5,4。是大圓的直徑，大圓的弦

AB,8E分別與小圓相切于點C,F,AD,相交于點G,連接BD.

(1)求8。的長；

(2)求NABE+2N。的度數;

BG

(3)求-7—的值?(淄博市中考試題)

11.如圖，點X為△ABC的垂心，以A8為直徑的。q與的外接圓。。，相交于點延長交

C8于點P.求證：尸為C8的中點.(”《數學周報杯”至國初中數學競賽試題)

12.如圖，已知A3為半圓。的直徑，點尸為直徑上的任意一點，以點A為圓心，A尸為半徑作。A,

與半圓。相交于點C,以點B為圓心，8P為半徑作。8,與半圓。相交于點D且線段C。的

中點為跖求證：MP分別與。A,相切.(”《數學周報杯”全國初中數學競賽試題)

專題22與圓相關的比例線段

例1設CE=4k,貝！］DA=DF=3k”=AC=8式,由FA'nFD/C,即（8㈣？=3K10憶得依=:,而

AE^EF2-AF2=V36k2-320=8,又BE^^=^=[6,故A8=AE+8E=24.例2C例31提示：

設EB=x,貝IM￡=4X.設CB=y,則由0)2=5.以，DEa=AE.ER,DE2+EC2=DC2,得4=yO+5x),

4x?+(x+y)2=4.例4(1)聯結。8,0P,可證明△BDCs△用E,有PE?=P4PE又：oc為AABO

的中位線，，0C〃Ar>,則CE_L0C,知CE為@□的切線，=PA-PF^PE2=Pf2,gpPE=PC.

例6解法一：如圖1,過P作尸H，ST于H,則“是"的中點，由勾股定理得

PC2=PH2+CH2=PS2-SH2+CH2=PS2-SH2+CH2=PS2-(SH-CH於H+CH)=PS2-

SC-CT

又由切割線定理和相交弦定理，有

PC2=PA-PB-AC-CB=PA-PB-(PC-PA}(PB-PO=2PAPB-(PA+PB}PC+PC2,

PC=笠鬻，即—信+知?解法二：如圖2,聯結交ST于。，則P0LST.聯結S。作。

PB于E,則E為的中點，于是PE=二一;c,E,0,。四點共圓，?PE=P??P。：&ASP。

^RtLOPS,J.P^2=PA-PR,：.PCPA-PB,即5=：G+2

A級1..2.76提示：4BDE出ACFE,DE=EF,OF=FE=ED,設OF=x,則OA=OD=3x,AE=5x,

22

由得G/S)2=x?5jtH-l,：.CD=JCE+DE=>/6.3,4cm4.45.D6.B1.A8,C

9.⑴略(2,8=與=12,^AED^AABE,言=.設DENIX,BE=2x,而DE?%RE，=RIP,解

得x=V5DE=夜??=273.10.(1)略(2)

PA3=PB-PC,PA=PD,PD=DC,(PB+BDY=PB-2(PB+BD).可得PB=BD^PD,：.PB=PD=^DC,

2BP2=BD-CD又'：BD-CD=AD'DE,：.2BP2=ADAE.1L作DELAC于E,則AC^AE,AG^DE.

由切割線定理得AG2=AFAC=AF-^AE,故曰DE'即SDE?=4F?4E.?.?AB=5DE,

AR-ED=芭，于是蔡=￡.又NBAP=NAEZ)=90。，AABAF^AAED,于是又NABANEAD

VZEAD+ZDAB=90°,ZABF+ZDAB=90°,故ADJ_BE.

4nF\

12.⑴如圖，連接AD,AE.VZDAC=ZDAE,A△ADC^AEAC^>——=—AD?AC=DC?EA.

DCAC

4nAnDCDC

(2)VZCDF=Z1=Z2=ZDEA,.,.tanZCDF=tanZDEA=—.由(1)知一=—,故tan/CDF=—.由圓的

AEAEACAC

切害lj線定理知AC2=DC?EC,而EC=ED+DC,貝!JAC?=￡>C(DC+E￡>).又AC=nAB,ED=AB,代入上式得

n2AB2=DC(DC+AB),即DC?+AB?DC-n2AB2=0,故"7=-1土”+4n?.顯然，上式只能取加號,

2

DCDC^l+4n7-l

于是tanZCDF=-----

ACnAB2n

（第12題圖）

B級

LB2?B3,C4.A5,提示：3八四任.設

CDDB2BC

pAAri

AD=x,貝lJCD=2x,DB=4x,AB=5x,由△PACs/\PCB得，一=——=-,.*.PA=5,又PC2=PA?PB,

PCCB2

即102=5(5+5x),解得：x=3,AAD=3,CD=6,DB=12,:?S=-CD^DB=36.

BCD2

6.⑴略.⑵連接FB,證明PF=PE,NBFA=NAFC.

7.⑴能.連接BC,作NACE=NB,CE交AB于E.(2)PB與相切.(3)C是PE的中點.

8,連接OA、OB、0C,則PA2=P。?尸0=P8?PC,于是，B、C、0、D四點共圓，有△PCDS/\POB,

POCSBD

^PC=PO=PO①，又由^得絲②，由①②得竺=￡

CDOBOCOCBDBDCD

9.⑴略(2)A(4,3),0A=5.(3)P(3,-).

4

10.⑴延長BA,CD交于點G,由RtACAG^RtABDC,得2￡=型，AC?BC=BD?CG,又

BDBC

⑵由RtACDE-RtACAG，得祟?一,即景=^3，

OG=CO=1CG,故式履???

2

解得CE=5,從而