九年級數學圓的基本性質培優教程考點·方法·破譯1．掌握點與圓的三種位置關系及相應數量關系，能進行判別及應用；2．理解掌握垂徑定理及其推論，能根據垂徑定理作輔助線，會用垂徑定理及其推論解實際問題；3．會用圓的對稱性解釋數學問題．經典·考題·賞析【例1】（江西）在數軸上，點A所表示的實數為3，點B所表示的實數為a，⊙A的半徑為2．下列說法中不正確的是（）A．當a＜5時，點B在⊙A內 B．當1＜a＜5時，點B在⊙A內C．當a＜1時，點B在⊙A外 D．當a＞5時，點B在⊙A外【解法指導】作圖知，數軸上在⊙A上的點，最左邊的表示的實數為1，最右邊的表示的實數為5，在1、5之間的數的點在⊙A內，所以，B、C、D都對，A不正確．本題選A．【變式題組】1．（鹽城）如圖，⊙O的半徑OA＝10cm，弦AB＝16cm，P為AB上一動點，則點P到圓心O的最短距離為________cm．第1題圖第2題圖例2圖2．如圖，已知⊙O的半徑為5，弦AB＝8．則⊙O上到弦AB所在的直線的距離為1的點有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（資陽）已知矩形ABCD的邊AB＝15，BC＝20，以點B為圓心作圓，使A、C、D三點至少有一點在⊙B內，且至少有一點在⊙B外，則⊙B的半徑r的取值范圍是（）A．r＞15 B．15＜r＜20 C．15＜r＜25 D．20＜r＜25【例2】（全國競賽）已知AB是半徑為1的⊙O的一條弦，且AB＝a＜1．以AB為一邊在⊙O內作正△ABC，點D為⊙O上不同于點A的一點，且DB＝AB＝a，DC的延長線交⊙O于點E，則AE的長為（）A． B．1 C． D．a【解法指導】如圖，連結OE、OA、OB．設∠D＝α，則∠ECA＝120°－α＝∠EAC．又因為∠ABO＝∠ABD＝（60°＋180°－2α）＝120°－α，所以△ACE≌△ABO，于是AE＝OA＝1．本題應選B．【變式題組】4．如圖，在平面直角坐標系中，點A1是以原點O為圓心，半徑為2的圓與過點（0，1）且平行于x軸的直線l1的一個交點；點A2是以原點O為圓心，半徑為3的圓與過點（0，2）且平行于x軸的直線l2的一個交點；…，按照這樣的規律進行下去，點An的坐標為___________．第4題圖【例3】（欽州）已知：如圖，⊙O1與坐標軸交于A（1，0）、B（5，0）兩點，點O1的縱坐標為．求⊙O1的半徑．【解法指導】解：過點O1作O1C⊥AB，垂足為C，則有AC＝BC．由A（1，0）、B（5，0），得AB＝4，∴AC＝2．在Rt△AO1C中，∵O1的縱坐標為，∴O1C＝，∴⊙O1的半徑O1A＝．【變式題組】5．（黃石）如圖，AB是⊙O的直徑，且AB＝10，弦MN的長為8，若弦MN的兩端在圓上滑動時，始終與AB相交，記點A、B到MN的距離分別為h1、h2，則|h1－h2|等于（）A．5 B．6 C．7 D．86．（河南）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是（10，0），點B的坐標為（8，0），點C、D在以OA為直徑的半圓⊙M上，且四邊形OCDB是平行四邊形，求點C的坐標． 第5題圖 第6題圖 例4圖【例4】（巴中）已知：如圖，在△ABC中，點D是∠BAC的角平分線上一點，BD⊥AD于點D，過點D作DE∥AC交AB于點E．求證：點E是過A、B、D三點的圓的圓心．【解法指導】本題實質上是要證明AE＝BE＝DE． 證明：∵點D在∠BAC的平分線上，∴∠1＝∠2，又∵DE∥AC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝DE，又∵BD⊥AD于點D，∴∠ADB＝90°，∴∠EBD＋∠1＝∠EDB＋∠3＝90°，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∴AE＝BE＝DE，∵過A、B、D三點確定一個圓，又∠ADB＝90°，∴AB是A、B、D所在的圓的直徑．∴點E是A、B、D所在圓的圓心．【變式題組】7．（荊門）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BAD為鈍角，且AE⊥BC，AF⊥CD．（1）求證：A、E、C、F四點共圓；（2）設線段BD與（1）中的圓交于M、N．求證：BM＝ND． 題7題圖 例5圖【例5】（全國競賽）如圖，已知四邊形ABCD的內接圓⊙O的半徑為2，對角線AC與BD的交點為E，AE＝EC，AB＝AE，且BD＝2，求四邊形ABCD的面積．【解法指導】解：由題設得AB2＝2AE2＝AE·AC，∴AB︰AC＝AE︰AB，又∠EAB＝∠BAC，∴△ABE∽△ACB，∴∠ABE＝∠ACB，從而AB＝AD．連結AO，交BD于H，則BH＝HD＝，∴OH＝＝1，AH＝OA－OH＝2－1＝1．∴S△ABD=BD·AH＝，∵E是AC中點，∴S△ABE＝S△CBE，S△ADE＝S△CDE，∴S四邊形ABCD＝2S△ABD＝2．【變式題組】8．如圖，⊙O半徑為2，弦BD＝2，A為弧BD的中點，E為弦AC的中點，且在BD上．求四邊形ABCD的面積． 第8題圖 第9題圖9．（哈爾濱）如圖，在⊙O中，D、E分別為半徑OA、OB上的點，且AD＝BE．點C為弧AB上一點，連結CD、CE、CO，∠AOC＝∠BOC．求證：CD＝CE．演練鞏固·反饋提高1．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，若AB＝10cm，CD＝8cm，那么A、B兩點到直線CD的距離之和為（）A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm第1題圖 第2題圖 第3題圖 第4題圖2．一種花邊是由如圖的弓形組成的，ACB的半徑為5，弦AB＝8，則弓形的高CD為（）A．2 B． C．3 D．3．如圖，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D交⊙O于E，則下列說法錯誤的是（）A．AD＝BD B．∠ACB＝∠AOE C． D．OD＝DE4．如圖，已知AB為⊙O的弦，直徑MN與AB相交于⊙O內，MC⊥AB于C，ND⊥AB于D，若MN＝20，AB＝8，則MC－ND＝________．5．（廣州）如圖，射線AM交一圓于點B、C，射線AN交該圓于點D、E，且．（1）求證：AC＝AE；（2）利用尺規作圖，分別作線段CE的垂直平分線與∠MCE的平分線，兩線交于點F（保留作圖痕跡，不寫作法）．求證：EF平分∠CEN．第5題圖 培優升級·奧賽檢測1．如圖，點A、D、G、M在半圓O上，四邊形ABOC、DEOF、HMNO均為矩形．設BC＝a，EF＝b，NH＝c，則下列各式中正確的是（）A．a＞b＞c B．a＝b＝c C．c＞a＞b D．b＞c＞a 第1題圖 第2題圖 第3題圖2．（邵陽）如圖，AB、AC分別為⊙O的直徑和弦，OD⊥AC于點D，連結BC、BD，AB＝5，AC＝4，則BD＝________．3．如圖，矩形ABCD與⊙O交于點A、B、F、E，DE＝1cm，EF＝3cm，則AB＝___________cm．4．（遵義）如圖，AB是⊙O的弦，半徑OA＝2，sinA＝，則弦AB的長為（）A． B． C．4 D． 第4題圖 第5題圖5．（安徽）如圖，弦CD垂直于⊙O的直徑AB，垂足為H，且CD＝2，BD＝，則AB的長為（）A．2 B．3 C．4 D．56．如圖，在三個等圓上各自有一條劣弧AB、CD、EF，如果，那么AB＋CD與EF的大小關系是（）A．AB＋CD＝EF B．AB＋CD＞EF C．AB＋CD＜EF D．不能確定第6題圖7．（河北）如圖，已知⊙O的半徑為5，點O到弦AB的距離為3，則⊙O上到弦AB所在直線的距離為2的點有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 第7題圖 第8題圖8．如圖，用三個邊長為1的正方形組成一個對稱圖形，則能將其完全覆蓋的圓的最小半徑為（）A． B． C． D．9．（學用杯）2008年5月12日，四川汶川發生里氏8．0級大地震，地震發生后，全國人民積極投入抗震救災工作之中，圖為某軍區空投物資用的某種降落傘及其軸截面示意圖，△ABG是等邊三角形，C、D是以AB為直徑的半圓O的兩個三等分點，CG、DG分別交AB于點E、F，現測得EO的長為1．04m，那么降落傘的直徑AB為（）A．6m B．6．24m C．6．30m D