《地下水滲流力學》第3章地下水滲流微分方程

2第3章地下水滲流微分方程3.1滲流連續性方程3.2承壓水運動微分方程3.3半承壓水運動微分方程3.4潛水運動微分方程3.5定解條件3.6描述地下水運動的數學模型及其解法33.1滲流連續性方程達西定律方程中有兩個未知數v和H，需另一個方程來求解，即連續性方程。從質量守恒原理出發建立滲流連續性方程。1.由單元體內平衡推導（土木、水利）2.用積分方式推導（石油）4單元體內質量平衡單元體邊長滲流分速度

單位面積的水流質量

沿x軸方向流入和流出單元體的質量差（流入為正）

流入與流出單元體總的質量差

土力學中，太沙基的推導過程以a點為中心，與本教材不同，但結果相同。5單元體內質量平衡單元內液體隨時間的變化（增加為正）根據質量守恒原理，上述兩個量應該相等此式為滲流連續性方程，可改寫為

6積分方式推導滲流場中控制體Ω，表面積σ，通過面元dσ的滲流速度為v，則流出表面σ的流體質量為質量守恒：用奧-高公式奧斯特羅格拉茨基Ostrograski,MikhailVasilievich

控制體Ω內的流體質量增加量為滲流連續性方程的討論1)穩定滲流：滲流場不隨時間變化時，右端項為0通常情況：①土層難以壓縮，Es較大，體積Vb變化小②滲透性很大，K較大，左端數值較大③水頭變化緩慢，右端小8滲流連續性方程的討論2）一般情況的方程右端項：第一項第二項匯總得：壓縮為正

不考慮垂向壓縮（側限），不限于承壓水比較（3.2.3）9孔壓替換成水頭忽略密度隨位置變化的影響，提出來。比較（3.2.9）103.2承壓水運動微分方程將達西定律代入，再按一定的假設條件，可得到各種常用的滲流微分方程各向同性達西定律將水頭換為孔壓，并忽略液體壓縮這是比奧固結方程之一，不受側限條件控制11側限條件下的滲流連續性方程側限條件整理得：若豎向總應力不變：非穩定滲流、太沙基一維固結右端第二項：12側限條件下的滲流基本微分方程側限條件，垂直方向總應力不變將達西定律代入，替換滲流速度μs為貯水率或單位貯存量，量綱[L-1]穩定滲流Laplace方程13二維問題簡化式含水層厚M，忽略垂直方向滲流，則導水系數T：T=KM；貯水系數μ*：μ*=Mμs，當水頭降低一個單位時，從單位面積、厚度為M的柱體中釋放出來的水量。

14（嚴格的推導）：對（3.2.9）沿z方向由底面向上積分15有水補充的情況如上表面補水，則（vz向上為正，W向下補水為正，抽水為負）

注意書中的（3.2.17）式存在概念問題：單位時間從單位體積含水層流入或流出是不可能的，只能在某種邊界條件中出現。

16柱坐標形式的滲流連續性方程

一維變形條件下，直角坐標的滲流連續性方程

直角坐標→柱坐標轉換關系：17柱坐標形式的常見方程1)軸對稱問題：（井、砂井、塑料排水板固結）2)均勻井問題：（非穩定抽水）

3)對穩定井：

183.3半承壓水運動滲流方程W為越流補給強度有越流補給的滲流方程二維簡化時應用的公式對各向同性介質越流因素：教材中（3.3.2）~（3.3.4）是推導越流補給量的過程193.4潛水運動微分方程1.用裘布依（Dupuit）假設推導2.由連續性方程積分導出有自由水面變動的滲流微分方程203.4.1裘布依（Dupuit）假設推導

Dupuit假設:潛水面任意點P滲透速度方向與潛水面相切

由于坡角θ很小，用代替

這是達西定律的潛水版。當底面水平，z以底面為原點，則近似有h=H21在Dupuit假設下建立的，只適用于緩變運動，在vz大的地段不適用。例如在有入滲的潛水分水嶺地段，滲出面附近和鉛直的隔水邊界附近。

條件為i2<<1。

223.4.2潛水流的基本微分方程

（布西涅斯克方程）自由面壓強p=0，不計土體壓縮性。流入、流出的水量差（含垂直補給）等于潛水面上升所吸收的水量（μ為給水度）二維情況推導類似23潛水流的基本微分方程當隔水底板水平時，將高程基準設在底板面，h=H，方程變為：也可以從三維滲流方程直接推出24補充：

由連續性方程積分導出三維的連續性方程,忽略彈性釋水，μs≈0，即

含水層底板、潛水表面高程、過水斷面厚度沿z方向從z1到z2積分：25積分結果的討論若頂面有滲入，或水面隨時間漲落變化，當頂面沒有滲入，且水面不隨時間變化時

26在Dupuit假設下建立的，只適用于緩變運動，在vz大的地段不適用。例如在有入滲的潛水分水嶺地段，滲出面附近和鉛直的隔水邊界附近。

條件為i2<<1。上述約束條件將大為放寬。按斷面平均流速和平均水頭考慮，(a)和(c)可照常使用，(b)在一定條件下可用

27注意三個系數的異同：

μs

——貯水率、單位貯存量。

μ*——貯水系數。無量綱

μ——當潛水面上升時為飽和差，潛水面下降時為給水度（與有效孔隙率ne相關）無量綱彈性釋水283.5定解條件定解條件包括邊界條件和初始條件。1．邊界條件滲流區域幾何邊界上的水力性質。（邊界并不一定是外邊界！）2．初始條件給定(t=0)時刻的滲流場內各點的水頭值293.5.1．邊界條件第一類邊界條件(Dirichlet條件)，給定水頭邊界。邊界上某一部分各點的每時刻的水頭值已知。如地表水體(河流、湖泊)；泉水出口；抽水井，注水井；或疏干巷道等。一般三維區域邊界

二維區域邊界應當注意，給定水頭邊界不是定水頭邊界。

狄利克雷303.5.1．邊界條件第二類邊界條件(Neumann條件)，給定流量邊界。邊界(S2或Γ2)單位面積(二維的為單位寬度)上流入(流出時為負值)的流量q，或勢函數(水頭函數)的法向導數。一般三維區域邊界

二維區域邊界313.5.1．邊界條件第三類邊界條件，混合邊界給定流量和水頭的組合。32邊界條件示例水頭H在各邊界上必須適合的條件為：上游邊界Cl浸潤曲線(潛水面與垂直剖面的交線)C2滲出面C3下游邊界即井壁C4隔水邊界C533343.5.2．初始條件給定(t=0)時刻的滲流場內各點的水頭值穩定滲流不需要一般三維區域初值二維區域初值353.6.1地下水流問題的數學模型（1）用確定模型來描述滲流問題時必須具備下列條件：1)有能描述滲流規律的微分方程。確定的滲流范圍、參數值。2)給出定解條件，表現研究區的初始狀態和它與周圍的聯系。需要識別模型、校正模型步驟（2）解是存在的；解是唯一的；模型的解是穩定的。3637383.6.2求解數學模型的方法通常有三種方法：解析法；數值法；實驗模擬法。

1．解析法2.數值法3.實驗模擬方法391．解析法用數學物理方法，如分離變量法、積分變換、保角變換等方法求解析解。解析解可將描述滲流的各種物理量（水頭、水量及各種參數）反映在一個表達式中，就可研究各個量相互聯系與相互制約的內在規律。因此，在可能條件下盡量應用。401．解析法解析解方法有很大的局限性，只適用于含水層幾何形狀規則，方程式簡單，邊界條件較單一的情況。均質各向同性，等厚含水層，滲流區域是圓形或矩形或者無限；有定水頭補給等等。實際問題往往比這復雜得多，即使對定解條件作了相當的概化假設，往往因解析解中包含復雜的積分項及一些特殊函數，而限制該法的應用。412.數值法用數值方法求得的解稱為數值解。它是一種近似解。有限元法、有限差分法、邊界元法、解析元素法、混合