Page40第1講三角函數的圖象與性質書目第一部分：學問強化其次部分：重難點題型突破突破一：三角函數的周期性突破二：三角函數的奇偶性突破三：三角函數的對稱性突破四：三角函數圖象變換突破五：依據圖象求解析式突破六：五點法作圖問題突破七：和三角函數有關的零點問題

第三部分：沖刺重難點特訓第一部分：學問強化1、三角函數的周期性函數周期函數周期函數()()()周期2、三角函數的奇偶性三角函數取何值為奇函數取何值為偶函數()()()()()3、三角函數的對稱性(1)函數的圖象的對稱軸由()解得，對稱中心的橫坐標由()解得；(2)函數的圖象的對稱軸由()解得，對稱中心的橫坐標由()解得；(3)函數的圖象的對稱中心由)解得．4、由的圖象變換得到(，)的圖象的兩種方法(1)先平移后伸縮(2)先伸縮后平移5、依據圖象求的解析式求解析式求法方法一：代數法方法二：讀圖法表示平衡位置；表示振幅求法方法一：圖中讀出周期，利用求解；方法二：若無法讀出周期，運用特別點代入解析式但需留意依據詳細題意取舍答案.求法方法一：將最高（低）點代入求解；方法二：若無最高（低）點，可運用其他特別點代入求解；但需留意依據詳細題意取舍答案.6、五點法作圖五點法步驟③①②對于復合函數，第一步：將看做一個整體，用五點法作圖列表時，分別令等于，，，，，對應的則取，，，，。，（如上表中，先列出序號①②兩行）其次步：逆向解出（如上表中，序號③行。）第三步：得到五個關鍵點為：，,,,其次部分：重難點題型突破突破一：三角函數的周期性1．（2024·廣西桂林·模擬預料（文））函數的最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，因為，所以的最小正周期為.故選：D.2．（2024·陜西咸陽·二模（理））下列四個函數，以為最小正周期，且在區間上單調遞減的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】最小正周期為，在區間上單調遞減；最小正周期為，在區間上單調遞減；最小正周期為，在區間上單調遞增；最小正周期為，在區間上單調遞增；故選：A.3．（2024·遼寧沈陽·三模）函數的最小正周期為________．【答案】6【詳解】的周期為，由正弦型函數圖象與性質可知，的最小正周期為6.故答案為：64．（2024·上海·模擬預料）函數的周期為___________；【答案】【詳解】,所以的周期為：故答案為：.5．（多選）（2024·北京東城·三模）下列函數中最小正周期不是的周期函數為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：對于A選項，不為周期函數；對于B選項，的圖像是將圖像在軸下方的翻到軸上方，進而函數為周期函數，周期是，故正確；對于C選項，，故周期為；對于D選項，圖像是將圖像在軸下方的翻到軸上方，其周期性不變，故依舊為，正確；故選：C突破二：三角函數的奇偶性1．（2024·廣西·模擬預料（理））若將函數的圖象向右平移個單位后，所得圖象對應的函數為奇函數，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，向右平移個單位后得到函數，由于是奇函數，因此，得，.又，則當時，的最小值是，故選：B.2．（2024·四川德陽·三模（理））將函數的圖象向左平移個單位長度后，所得到的圖象對應函數為奇函數，則m的最小值是___________.【答案】【詳解】由，向左平移個單位，得到的圖象，∴函數為奇函數，∴所以，即，所以的最小值是．故答案為：.3．（2024·山東聊城·一模）若為奇函數，則___________.（填寫符合要求的一個值）【答案】（答案不唯一，符合題意均可）【詳解】解：，因為為奇函數，且為奇函數，為偶函數，所以，即，所以或，，所以的值可以是，故答案為：（答案不唯一，符合題意均可）4．（2024·四川瀘州·三模（文））下列函數中，定義域為R且周期為π的偶函數是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】對于A、C、D三個選項視察得函數定義域都為，即定義域關于原點對稱；對于B選項定義域為，所以解除B；對于A：的周期為π又是奇函數，所以解除A；對于C：的周期為π又是偶函數，所以C正確；對于D：的周期為所以解除D；故選：C．5．（2024·北京·北師大試驗中學模擬預料）將函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象．若函數的圖象關于原點對稱，則的一個取值為_________．【答案】【詳解】將函數的圖象向左平移個單位長度，可得，由函數的圖象關于原點對稱，可得,所以，，當時，.故答案為：突破三：三角函數的對稱性1．（2024·江西南昌·高三階段練習（文））已知函數的最小值為2，且的圖象關于點對稱，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為函數的最小值為2，所以，解得，又的圖象關于點對稱，所以，所以，因為，所以，所以的最小值為，所以的最小值為，故選：C2．（2024·寧夏·平羅中學高三期中（文））將函數的圖象向左平移個單位長度后得到曲線C，若C關于原點O對稱，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意得的圖象向左平移個單位長度得，而的圖象關于原點O對稱，則，即，得，，的最小值是．故選：C3．（2024·陜西·武功縣教化局教化教學探討室一模（文））已知定義在上的偶函數滿意，則的一個解析式為___________．【答案】（答案不唯一）【詳解】∵為上的偶函數，∴，又，∴用替換，得，∴，∴的周期為4，則的一個解析式可以為故答案為：（答案不唯一）．4．（2024·江西贛州·高三期中（文））已知函數圖象的一條對稱軸為．若,則的最大______．【答案】【詳解】由題知.所以因為,所以當取最大值故答案為：5．（2024·內蒙古·保康一中高三階段練習（理））函數的圖象的對稱中心為_________【答案】【詳解】令，，解得，所以對稱中心為.故答案為:.突破四：三角函數圖象變換1．（2024·貴州·貴陽一中高三階段練習（文））已知函數（，）的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且為奇函數，將的圖象向右平移個單位得到函數的圖象，則函數的圖象（

）A．關于點對稱 B．關于點對稱C．關于直線對稱 D．關于直線對稱【答案】A【詳解】由相鄰兩條對稱軸之間的距離為可知，即，，因為為奇函數，依據可知，對稱中心：，，故A正確，B錯誤對稱軸：，，故C、D錯誤故選：A2．（多選）（2024·湖南·寧鄉一中高三期中）已知是偶函數，將函數圖像上全部點向右平移個單位得到函數的圖像，則（

）A．在的值域為 B．的圖像關于直線對稱C．在有5個零點 D．的圖像關于點對稱【答案】BD【詳解】解：，因為函數為偶函數，所以，即，因為，所以，即，所以，對于A選項，時，，所以，即，故錯誤；對于B選項，令得，故當時，故的圖像關于直線對稱，B選項正確；對于C選項，當時，，因為函數在上有4個零點，分別為，，，，所以，在有4個零點，故C選項錯誤；對于D選項，由于時，，函數關于點對稱，所以，的圖像關于點對稱，故D選項正確.故選：BD3．（2024·天津·南開中學高三階段練習）已知函數將其圖象向左平移個單位得到函數圖象且函數為偶函數，若是使變換成立的最小正數，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵函數將其圖象向左平移個單位，得到函數的圖象，又∵函數為偶函數，則直線是的對稱軸∴，，解得：，，∵是使變換成立的最小正數，∴時，可得．故選：B．4．（2024·湖南·高三階段練習）將函數的圖像先向右平移個單位，再將所得的圖像上每個點的橫坐標變為原來的倍，得到函數的圖像，則的一個可能取值是______.【答案】（答案不唯一）【詳解】解：函數的圖像先向右平移個單位，得到的圖像，再將所得的圖像上每個點的橫坐標變為原來的倍，得到的圖像，所以，，解得，所以，的一個可能取值為.故答案為：5．（2024·重慶市云陽縣高陽中學高三階段練習（理））若的圖象向右平移個單位長度得到的圖象，則的值可以是______．（寫出滿意條件的一個值即可）【答案】（答案不唯一，滿意均可）【詳解】解：的圖象向右平移后得到的函數為則，解得，又所以的值可以是當時，.故答案為：（答案不唯一，滿意均可）突破五：依據圖象求解析式1．（2024·四川省綿陽南山中學模擬預料（理））函數的部分圖象如圖所示，若將圖象上的全部點向右平移個單位得到函數的圖象，則關于函數有下列四個說法，其中正確的是（

）A．函數的最小正周期為B．函數的一條對稱軸為直線C．函數的一個對稱中心坐標為D．再向左平移個單位得到的函數為偶函數【答案】D【詳解】對于，由圖可知，，，，由于，所以，所以.圖象上的全部點向右平移個單位得到函數，的最小正周期為，A選項錯誤.，B選項錯誤.點的縱坐標是，所以不是的對稱中心，C選項錯誤.再向左平移個單位得到，所得函數為偶函數，所以D選項正確.故選：D2．（2024·四川廣安·模擬預料（文））已知函數的部分圖象如圖所示，則下列結論正確的是（

）A．的圖象關于點對稱B．的圖象向右平移個單位后得到的圖象C．在區間的最小值為D．為偶函數【答案】D【詳解】因為的圖象過點，所以，因為，所以，因為的圖象過點，所以由五點作圖法可知，得，所以，對于A，因為，所以為的圖象的一條對稱軸，所以A錯誤，對于B，的圖象向右平移個單位后，得，所以B錯誤，對于C，當時，，所以，所以在區間的最小值為，所以C錯誤，對于D，，令，因為，所以為偶函數，所以D正確，故選：D3．（2024·貴州·貴陽一中模擬預料（文））如圖是函數的圖像的一部分，則要得到該函數的圖像，只須要將函數的圖像（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】A【詳解】由題圖知：，又，，解得，又，將向左平移得.故選：A.4．（2024·山東濰坊·模擬預料）函數的部分圖像如圖所示，現將的圖像向左平移個單位長度，得到函數的圖像，則的表達式可以為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由圖像可知：，；又，，又，，，由五點作圖法可知：，解得：，；.故選：B.5．（多選）（2024·全國·模擬預料）函數的部分圖像如圖所示，則（

）A． B．C．函數在上單調遞增 D．函數圖像的對稱軸方程為【答案】AD【詳解】由圖像知函數的周期，解得：，所以A對；由五點對應法得，因為，所以，所以B錯誤，所以．當時，函數單調遞減.取，得的一個單調遞減區間為，所以C錯，函數圖像的對稱軸方程為，即，所以D對．故選：AD6．（多選）（2024·江蘇徐州·模擬預料）已知函數，若函數的部分圖象如圖所示，則關于函數，下列結論中正確的是（

）A．函數的圖象關于直線對稱B．函數的圖象關于點對稱C．函數在區間上的減區間為D．函數的圖象可由函數的圖象向左平移個單位長度而得到【答案】BC【詳解】依據函數圖象可得：，∴，，又，故，所以對稱軸為時，故A項錯．，∴關于對稱，故B項對．函數的單調遞減區間為，時在單調遞減，故C項對．，故D項錯．故選：BC.突破六：五點法作圖問題1．（2024·全國·高一單元測試）已知函數．(1)用“五點法”在給定的坐標系中，畫出函數在上的大致圖像，并寫出圖像的對稱中心；(2)先將函數的圖像向右平移個單位長度后，再將得到的圖像上各點的橫坐標伸長為原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖像，求在上的值域．【答案】(1)作圖見解析；對稱中心為(2)（1）列表：012001描點，連線，畫出在上的大致圖像如圖：由圖可知函數圖像的對稱中心為；（2）將函數的圖像向右平移個單位長度后，得到的圖像，再將得到的圖像上各點的橫坐標伸長為原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖像，所以，，當時，，函數單調遞增，而，，所以函數在上的值域為．2．（2024·河北·滄縣中學高一階段練習）已知向量，，．(1)求函數f（x）的對稱中心；(2)利用“五點法”畫出函數f（x）在一個周期內的圖象．【答案】(1)(2)圖見解析（1）∵，∴∴，由，得，∴對稱中心為，（2）列表如下：x0y00－20畫出圖象：3．（2024·陜西·西北高校附中高一階段練習）設函數f(x)＝sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），y＝f(x)圖象的一條對稱軸是直線x＝，此對稱軸相鄰的對稱中心為（）(1)求函數y＝f(x)的解析式；(2)用五點法畫出函數y＝f(x)在區間[0，π]上的圖象．【答案】(1)；(2)見解析.（1）解：是函數的一條對稱軸，，即，所以.令得.所以函數的對稱中心為，所以函數的解析式為.（2）解：由可知故函數在區間上的圖像為：4．（2024·廣東·華南師范高校其次附屬中學高一期中）已知函數，.(1)在用“五點法”作函數的圖象時，列表如下：0200完成上述表格，并在坐標系中畫出函數在區間上的圖象；(2)求函數的單調遞增區間；(3)求函數在區間上的值域.【答案】(1)答案見解析(2)單調遞增區間：，(3)【分析】(1)利用給定的角依次求出對應的三角函數值，進而填表，結合“五點法”畫出圖象即可；(2)依據正弦函數的單調增區間計算即可；(3)依據x的范圍求出的范圍，即可利用正弦函數的單調性求出函數的值域.(1)0x020-20函數圖象如圖所示，(2)令，，得，.所以函數的單調遞增區間：，.(3)因為，所以.所以.當，即時，；當，即時，.所以函數在區間上的值域為.突破七：和三角函數有關的零點問題

1．（2024·湖北·鄖陽中學高一階段練習）已知函數的最小正周期．(1)求函數單調遞增區間；(2)若函數在上有零點，求實數的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為函數的最小正周期，所以，由于，所以．所以，所以函數單調遞增區間，只需求函數的單調遞減區間，令，解得，所以函數單調遞增區間為．（2）因為函數在上有零點，所以函數的圖像與直線在上有交點，因為，故函數在區間上的值域為所以當時，函數的圖像與直線在上有交點，所以當時，函數在上有零點．2．（2024·陜西·寶雞中學高三階段練習（理））已知向量，函數(1)求函數的單調增區間；(2)若函數在區間上有且僅有兩個零點，求實數k的取值范圍．【答案】(1)(2)或【詳解】（1），令，解得.所以函數的單調增區間為.（2）由函數在區間上有且僅有兩個零點.即在區間上有且僅有兩個零點，直線與的圖像上有且僅有兩個交點，當，，設函數，在區間上單調遞增，，在區間上單調遞減，，在區間上單調遞增，，所以或，即或.3．（2024·吉林·東北師大附中模擬預料）已知．(1)求函數的值域；(2)若方程在上的全部實根按從小到大的依次分別記為，求的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）令，則，，，得，當，，單調遞減，當時，，單調遞增。所以，所以，的值域是（2）由已知得，解得或（舍去），由得函數圖象在區間且確保成立的，對稱軸為在內有11個根，數列構成以為首項，為公差的等差數列．所以.第三部分：沖刺重難點特訓一、單選題1．（2024·陜西·渭南市瑞泉中學高三階段練習（理））函數零點的個數為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【詳解】的零點個數，即為與圖象的交點個數，在同始終角坐標系下，兩函數圖象如下所示：由圖可知，兩函數共有4個交點，故有4個零點.故選：C.2．（2024·江西贛州·高三期中（理））函數的部分圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】對，，所以函數是偶函數，其圖象關于軸對稱，所以解除選項A；令，可得或，即，當時，，所以，故解除選項C；當時，，所以，所以解除選項D.故選：B.3．（2024·全國·高三階段練習（理））記函數的最小正周期為T．若，且的圖象在點處取得最大值，則的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由函數的最小正周期T滿意，得，解得，又因為的圖象在點處取得最大值，所以，且，所以，所以，則即為，得，得，解得．故的解集是．故選：.4．（2024·吉林·東北師大附中模擬預料）已知函數，現將的圖象向右平移個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，則在的值域為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】將函數的圖象向右平移個單位，得到的圖象，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到函數，因為，所以，所以，所以在上的值域為，故選：A.5．（2024·重慶南開中學高三階段練習）已知A，B是函數的圖像上的兩個相鄰最高點和最低點，且，為得到的圖像，只須要將函數的圖像（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移π個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移3個單位長度【答案】A【詳解】由題意因為，構造直角三角形，可得，則函數的最小正周期，∴，∴，∴只需將的圖像向左平移個單位長度，即可得到的圖像．故選：A6．（2024·江蘇·沭陽縣建陵高級中學高三階段練習）已知函數（，）

的部分圖像如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．B．圖像的對稱中心為，C．直線是圖像的一條對稱軸D．將的圖像向左平移個單位長度后，可得到一個偶函數的圖像【答案】A【詳解】由函數圖像可知，，最小正周期為，，將點代入函數解析式中，得：，又，，故．對A，，所以正確,對B，令，則，所以，即的對稱中心為，故B錯誤；對C，令，即，令，則，故C錯誤對D，將的圖像向左平移個單位長度后，得到的圖像，該函數不是偶函數，故D錯誤．故選：A.7．（2024·寧夏·銀川一中高三階段練習（理））函數的部分圖象如圖所示，下列說法不正確的是（

）A．函數的解析式為B．函數的單調遞增區間為C．為了得到函數的圖象，只需將函數的圖象向右平移個單位長度，再向上平移一個單位長度D．函數的圖象關于點對稱【答案】D【詳解】對于A選項，不妨設，則，，由，則，兩式相減得，所以①，設函數的最小正周期為，因為，所以，結合①，，因為，所以，可得，因為，所以，，所以，故A正確；對于B，由，解得：，故B正確；對于C，將函數向右平移個單位得到，向上平移一個單位長度可得，故C正確；對于D，令，解得：，函數的圖象關于點對稱，所以D不正確；故選：D.8．（2024·福建龍巖·高三期中）阻尼器是一種以供應運動的阻力，從而達到減振效果的專業工程裝置．深圳一高樓平安金融中心的阻尼器減震裝置，是亞洲最大的阻尼器，被稱為“鎮樓神器”，由物理學學問可知，某阻尼器模型的運動過程可近似為單擺運動，其離開平衡位置的位移s（單位；cm）和時間t（單位：s）的函數關系式為，若振幅是2，圖像上相鄰最高點和最低點的距離是5，且過點，則和的值分別為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】依據題意，由振幅是2易知，故，則是的最高點，不妨記相鄰的最低點為，連接，過作軸，過作，交點為，如圖，則，，，故，得，又因為，故，得，所以，因為是的點，故，得，即，因為，所以，故，.故選：A..二、多選題9．（2024·吉林·東北師大附中模擬預料）設函數的最小正周期為，且過點，則下列正確的為（

）A．在單調遞減B．的一條對稱軸為C．的最小正周期為D．把函數的圖像向左平移個長度單位得到函數的解析式為【答案】AC【詳解】解：函數，因為函數的最小正周期為，所以，因為函數圖象過點，所以，則，即，因為，所以，則，當時，，則由余弦函數的性質知在單調遞減，故A正確；當時，，所以不是的一條對稱軸，故B錯誤；因為是偶函數，所以，則的最小正周期為，故C正確；把函數的圖像向左平移個長度單位得到函數的解析式為，故D錯誤；故選：AC10．（2024·吉林·東北師大附中模擬預料）將函數的圖象向左平移個單位長度，向下平移個單位長度后，得到的圖象，若對于隨意的實數，都單調遞增，則正數的值可能為（

）A．3 B． C． D．【答案】BC【詳解】解：將函數的圖象向左平移個單位長度，向下平移個單位長度后，得到，當時，，因為單調遞增，所以，解得，由，得，因為，當時，，所以正數的值可能為，，故選：BC11．（2024·福建寧德·高三期中）聲音是由物體振動產生的聲波，其中包含著正弦函數，純音的數學模型是函數，我們聽到的聲音是由純音合成的，稱之為復合音，若一個復合音的數學模型函數f（x），其圖象是由的圖象向右平移個單位長度，再把所得圖象各點的橫坐標縮短到原來的倍，再把所得圖象各點的縱坐標伸長到原來的2倍而得到，若，則下列結論正確的是（

）A．的圖像關于點（，0）中心對稱B．f（x）在單調遞減C．若一個奇函數的圖象向左平移個單位長度后，可得f（x）的圖象，則n的最小值為D．若在有解，則k的取值范圍是【答案】ACD【詳解】由題意可知，所以，又，故為的對稱軸，因此故,故，或，由于，故，因此，對于A，,故為對稱中心，故A正確；對于B，,故在，單調遞增，在單調遞減，故在不單調，故B錯誤；對于C，將圖象向右平移個單位長度后，得到由于為奇函數，所以,，所以當時，最小為，故C正確；對于D，當，，所以有解則，故D正確.故選：ACD12．（2024·廣東·華南師大附中南海試驗中學高三階段練習）已知函數（，，）的部分圖像如圖所示，下列說法正確的是（

）A．的圖像關于點對稱B．的圖像關于直線對稱C．將函數的圖像向左平移個單位長度得到函數的圖像D．若方程在上有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是【答案】ABD【詳解】由題圖可得，，故，所以，又，即，所以（），又，所以，所以.對于A：當時，，故A正確；對于B：當時，，故B正確；對于C：將函數的圖像向左平移個單位長度得到函數的圖像，故C中說法錯誤；對于D：當時，，則當，即時，單調遞減，當，即時，單調遞增，因為，，，所以方程在上有兩個不相等的實數根時，的取值范圍是.故選：ABD三、填空題13．（2024·吉林·東北師大附中模擬預料）已知函數，