2025年“數(shù)海漫游”第一次模擬考試數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合合題目要求的.1.（）A.0 B.1 C.2024 D.20252已知，，則（）A1 B.2 C. D.3.已知長(zhǎng)方體中，，則四面體的體積是（）A. B.16 C. D.324.設(shè)，是單位向量，則的最小值是（）A. B.0 C. D.15.天上有三顆星星，地上有四個(gè)孩子．每個(gè)孩子向一顆星星許愿，如果一顆星星只收到一個(gè)孩子愿望，那么該愿望成真，若一顆星星收到至少兩個(gè)孩子的愿望，那么向這顆星星許愿的所有孩子的愿望都無(wú)法成真，則至少有兩個(gè)孩子愿望成真的概率是（）A B. C. D.6.若數(shù)列滿足：對(duì)于任意正整數(shù)n，，則稱(chēng)，互為交錯(cuò)數(shù)列．記正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知1，，成等差數(shù)列，則與數(shù)列互為交錯(cuò)數(shù)列的是（）A. B. C. D.7.已知，分別為橢圓C：的左右焦點(diǎn)，過(guò)的一條直線與C交于A，B兩點(diǎn)，且，，則橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值是（）A. B. C.6 D.8.已知，則（）A. B.C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知正方形ABCD在平面直角坐標(biāo)系xOy中，且AC：，則直線AB的方程可能為（）A B.C. D.10.已知模長(zhǎng)均為1的復(fù)數(shù)，滿足，則（）A. B.C. D.11.如圖，小黃家的墻上固定了一盞圓錐（截面為等腰直角三角形）形狀的燈，燈光可以照亮的部分是個(gè)無(wú)限大的圓臺(tái)，其截面的邊界分別垂直于PA，PB．已知墻與地板垂直，燈向上或向下轉(zhuǎn)動(dòng)的極限均為45°（即AB可以繞O點(diǎn)順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°）．若地板和墻都充分大，則燈光照在地板上的邊界的可能形狀有（）A.橢圓 B.雙曲線的一支C.拋物線 D.一條直線三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，構(gòu)成等比數(shù)列，則的值是______．（任寫(xiě)出一個(gè)即可）13.已知a，b，，二次函數(shù)有零點(diǎn)，則的最小值是______．14.若兩個(gè)體積相等的圓錐底面半徑之比為2，則它們表面積之比的取值范圍是______．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.在正四面體ABCD中，P是內(nèi)部或邊界上一點(diǎn)，滿足，．（1）證明：當(dāng)取最小值時(shí)，；（2）設(shè)，求的取值范圍．16.設(shè)，函數(shù)．（1）若，討論的單調(diào)性；（2）求的最大值．17.隨著疫情防控政策的優(yōu)化，國(guó)內(nèi)演唱會(huì)市場(chǎng)迅速升溫，一眾熱門(mén)歌手的演唱會(huì)現(xiàn)場(chǎng)更是“一座難求”．小林是林俊杰的粉絲，他很想?yún)⑴c林俊杰“JJ20”世界巡回演唱會(huì)-杭州站．主辦方被小林的真誠(chéng)打動(dòng)，特為小林開(kāi)辟了一個(gè)搶票通道，共100人從該通道參與搶票，每個(gè)人能搶到票的概率均，且搶票結(jié)果相互獨(dú)立（1）為保證該搶票通道不會(huì)出現(xiàn)故障（不存在搶到票卻沒(méi)有座位的人），主辦方至少要為該通道預(yù)留多少?gòu)埰保唬?）由于主辦方非常喜歡小林創(chuàng)立的數(shù)海漫游微信公眾號(hào)，于是允許多個(gè)人幫小林一同搶票，但如果存在兩個(gè)人都幫小林搶到了票（包括小林自己），則小林因?yàn)椤耙蝗硕嗥薄保瑹o(wú)法觀看演出．那么，你建議小林額外找?guī)讉€(gè)人幫他一起搶票呢?請(qǐng)說(shuō)明理由．18.已知P為雙曲線C：上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段OP的垂直平分線與雙曲線C相切．（1）若點(diǎn)P是直線與圓的交點(diǎn)，求a；（2）求的取值范圍．19.設(shè)數(shù)列單調(diào)遞增且各項(xiàng)均為正整數(shù)，數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若存在正整數(shù)，使得，則