第04講7.2.2復數的乘、除運算課程標準學習目標①掌握復數代數形式的乘法和除法運算。②理解復數乘法的交換律、結合律和乘法對加法的分配律。1.在熟悉課本能容的基礎上，掌握復數代數形式的乘法和除法運算；2.在學習中逐步加強理解復數乘法的交換律、結合律和乘法對加法的分配律；知識點01：復數代數形式的乘法運算（1）復數的乘法法則我們規定，復數乘法法則如下：設,是任意兩個復數，那么它們的乘積為，即（2）復數乘法滿足的運算律復數乘法的交換律、結合律、分配律(交換律)(結合律)(分配律)【即學即練1】（2023上·貴州六盤水·高二統考階段練習）的虛部為．【答案】5【詳解】由題意得，所以的虛部為5．故答案為：5知識點02：復數代數形式的乘方（1）復數的乘方復數的乘方就是相同復數的乘積（2）復數乘方的運算律根據復數乘法的運算律，實數范圍內的正整數指數冪的運算律在復數范圍內仍然成立，即對任意的，，有：①②③知識點03：共軛復數的性質設，（）①；②為實數；③且為純虛數④；⑤，，【即學即練2】（2024·全國·模擬預測）已知復數在復平面內對應的點的坐標為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】復數在復平面內對應的點的坐標為，則，所以，所以．故B正確.故選:B．知識點04：復數代數形式的除法運算（1）定義規定復數的除法是乘法的逆運算，即把滿足（，）的復數叫做復數除以復數的商，記作或（2）復數的除法法則（）由此可見，兩個復數相除（除數不為0），所得的商是一個確定的復數.【即學即練3】（2023上·廣西·高二憑祥市高級中學校聯考階段練習）已知，則在復平面上對應的點所在象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【詳解】因為，所以它在復平面上對應的點為，該點位于第四象限.故選：D.題型01復數代數形式的乘法運算【典例1】（2023上·貴州貴陽·高二貴陽一中?？茧A段練習）已知，（i為虛數單位），則（

）A． B．1 C． D．3【典例2】（2023上·四川成都·高三四川省成都市第八中學校?？茧A段練習）已知，則的虛部是（

）A．2 B．C． D．【典例3】（2023上·福建莆田·高二莆田第五中學?？茧A段練習）已知復數(為虛數單位)，則的模等于.【變式1】（2021·山西臨汾·統考模擬預測）若復數滿足，則復數的虛部是（

）A． B． C． D．【變式2】（2024上·遼寧沈陽·高三沈陽實驗中學校聯考期末），則的共軛復數等于（

）A． B． C． D．【變式3】（2023上·北京順義·高三?？茧A段練習）已知復數，則復數z的虛部為，．題型02復數的乘方【典例1】（2023上·湖南永州·高三?？茧A段練習）設（為虛數單位），則（

）A． B． C． D．2【典例2】（2023·陜西榆林·?？寄M預測）已知復數滿足：，則（

）A．1 B． C． D．5【變式1】（2023上·江蘇蘇州·高三南京航空航天大學蘇州附屬中學?？茧A段練習）設復數對應的點在第四象限，則復數對應的點在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式2】（2023上·貴州遵義·高三統考階段練習）復數的虛部是（

）A． B．1 C． D．-3【變式3】（2023上·安徽合肥·高三合肥一中校考階段練習）已知復數z滿足（i為虛數單位），則（

）A．3 B． C．5 D．題型03復數范圍內的因式分解【典例1】（2023下·上海嘉定·高一?？计谀┰趶蛿捣秶鷥确纸庖蚴?.【典例2】（2022下·上海普陀·高一?？茧A段練習）在復數范圍內分解因式：．【典例3】5．（2023·高一課時練習）在復數范圍內分解因式：(1)；(2)；(3).【變式1】（2023下·江蘇南京·高一南京市第二十九中學校考期中）將在復數范圍內因式分解為.【變式2】（2022·高一課時練習）在復數范圍內分解因式：(1)；(2)．題型04復數范圍內方程的根【典例1】（2023上·河北唐山·高三開灤第一中學?？茧A段練習）已知復數z是一元二次方程的一個根，則|z|的值為（

）A．1 B．2 C．0 D．【典例2】（2023下·山西晉中·高一校考期中）方程的一個解可以是（

）A．0 B． C．1 D．【典例3】（2023下·陜西西安·高二?？计谥校┮阎獜蛿?(1)若是純虛數，求的值；(2)若是方程的一個根，求.【變式1】（2023·全國·模擬預測）在復數范圍內方程的根為，，則（

）A． B． C．2 D．1【變式2】（2023·全國·高三專題練習）已知是關于x的方程的一個根，則實數p，q的值分別為.【變式3】（2023下·山東青島·高一?？计谥校┮阎翘摂祮挝?，是關于的方程的一個根，則.題型05共軛復數的概念及計算【典例1】（2023上·內蒙古赤峰·高三校聯考期中）已知，則（

）A． B． C． D．【典例2】（2023下·廣東深圳·高二深圳市龍崗區龍城高級中學?？计谥校﹊是虛數單位，若復數z滿足，則.【典例3】（2023上·山東青島·高三山東省青島第十九中學?？计谥校┮阎獜蛿禎M足，則（

）A． B． C． D．【變式1】（2023上·北京東城·高三景山學校校考階段練習）設則在復平面內z的共軛復數對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式2】（2023·全國·模擬預測）已知（為虛數單位），則（

）A．2 B．1 C． D．【變式3】（2023上·湖南·高三校聯考階段練習）已知復數滿足，則的值為.題型06復數的除法運算【典例1】（2023上·北京東城·高三北京市第一六六中學?？计谀蛿?，在復平面內的共軛復數對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【典例2】（2023·天津和平·耀華中學校考二模）i是虛數單位，若復數為純虛數，則．【典例3】（2023·全國·高一專題練習）計算．(1)；(2)．(3)；(4)；(5).【變式1】（2023上·福建廈門·高三福建省廈門第二中學?？计谥校┤簦瑒t=（

）A． B． C． D．【變式2】（2023上·湖南常德·高二臨澧縣第一中學?？茧A段練習）若復數z滿足，則【變式3】（2023下·高一單元測試）計算：(1)；(2)題型07根據復數乘、除法運算結果求參數【典例1】（2023·陜西安康·陜西省安康中學校考模擬預測）設復數的實部與虛部互為相反數，則（

）A． B． C．2 D．3【典例2】（2022·河南·寶豐縣第一高級中學校聯考模擬預測）已知是虛數單位，若復數的實部是虛部的2倍，則（

）A． B． C． D．【典例3】（2023下·江蘇鎮江·高一江蘇省鎮江第一中學校聯考階段練習）（1）若復數是純虛數，求實數的值；（2）若復數滿足：，求復數.【典例4】（2023下·河南鄭州·高一校聯考期中）解答下列各題：(1)已知z是復數，為實數，為純虛數（i為虛數單位），求復數z；(2)已知復數，實數為何值時，復數表示的點位于第四象限．【變式1】（2022·全國·校聯考模擬預測）已知復數的實部與虛部的和為12，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式2】（2022下·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學?？茧A段練習）已知為虛數單位，若復數的實部與虛部相等，則實數的值為（

）A．－3 B．－1 C．1 D．3【變式3】（2023上·貴州·高三校聯考階段練習）已知復數，i是虛數單位），是實數.(1)求b的值；(2)若復數在復平面內對應的點在第二象限，求實數m的取值范圍.題型08復數四則運算的創新應用【典例1】（2023上·陜西咸陽·高三武功縣普集高級中學?？茧A段練習）歐拉公式（其中為虛數單位）是由瑞士著名數學家歐拉創立的，該公式建立了三角函數與指數函數的關系，在復變函數論中占有非常重要的地位，被譽為“數學中的天橋”.根據歐拉公式，下列結論中正確的是（）A．的實部為1B．的共軛復數為1C．在復平面內對應的點在第一象限D．的模長為1【典例2】（2023上·廣東深圳·高三深圳市建文外國語學校?？茧A段練習）已知復數，，其中i為虛數單位，且滿足，且為純虛數.(1)若復數，在復平面內對應點在第一象限，求復數z；(2)求；(3)若在（1）中條件下的復數z是關于x的方程的一個根，求實數m，n的值.【變式1】（2022上·上海嘉定·高二上海市嘉定區第一中學?？计谥校┮阎希ㄆ渲袨樘摂祮挝唬?，則滿足條件的集合M的個數為.【變式2】（2023下·廣東東莞·高一東莞實驗中學校考期中）復平面上兩個點分別對應兩個復數，它們滿足下列兩個條件：①；②兩點連線的中點對應的復數為，若為坐標原點，則的面積為A夯實基礎B能力提升A夯實基礎一、單選題1．（2023上·全國·高三貴溪市實驗中學校聯考階段練習）已知復數滿足，則（

）A． B． C．3 D．22．（2023·四川雅安·統考一模）復數，則（

）A．1 B． C．2 D．43．（2023上·江蘇·高三校聯考階段練習）已知，則（

）A． B． C． D．4．（2023上·遼寧·高三校聯考階段練習）若復數為純虛數，則（

）A． B． C． D．5．（2023上·陜西西安·高三統考階段練習）已知，，且，則（

）A． B．2 C． D．106．（2023·河南·信陽高中校聯考模擬預測）已知復數滿足，則（

）A．3 B．2 C． D．17．（2023上·湖南·高二邵陽市第二中學校聯考階段練習）若復數，則（

）A．5 B． C．10 D．8．（2023·全國·模擬預測）設復數，且滿足，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023上·江蘇無錫·高三校考階段練習）已知復數，（，）（為虛數單位），為的共軛復數，則下列結論正確的是（

）A．的虛部為B．C．D．若，則在復平面內對應的點形成的圖形的面積為10．（2023上·福建·高三校聯考期中）若復數滿足（