6.4求和方法（精講）一．公式法：直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和．1.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d．2.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1（1－qn）,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1.))二．裂項(xiàng)相消法1.通項(xiàng)特征（1）分式：分為可拆成偶數(shù)個(gè)同類因式相乘（2）根式：利用平方差公式進(jìn)行有理化2.解題思路三．錯(cuò)位相減法1.通項(xiàng)特征或2.解題思路四．分組轉(zhuǎn)化求和法1.通項(xiàng)特征(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求{an}的前n項(xiàng)和．(2)若an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bn，n為奇數(shù)，,cn，n為偶數(shù)，))且數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和．2.解題思路五．并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和1.通項(xiàng)特征形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解．2.解題思路五．倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中，與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解1．并項(xiàng)求和時(shí)不能準(zhǔn)確分組；2．用錯(cuò)位相減法求和時(shí)易出現(xiàn)符號錯(cuò)誤，不能準(zhǔn)確“錯(cuò)項(xiàng)對齊”；3．在應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，要注意消項(xiàng)的規(guī)律具有對稱性，即前面剩多少項(xiàng)，后面就剩多少項(xiàng)，且前后對應(yīng)項(xiàng)的符號相反．考法一裂項(xiàng)相消求和【例1-1】（2023·四川成都·四川省成都市玉林中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列的公差為正數(shù)，且，若分別是等比數(shù)列的前三項(xiàng)．(1)分別求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)之和．【答案】(1)(2)【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋堑缺葦?shù)列的前三項(xiàng)，所以，即，化簡得，又，所以．得．由（1），可得數(shù)列的前三項(xiàng)分別為，，，顯然該等比數(shù)列的公比為3，首項(xiàng)為3．所以．綜上，兩數(shù)列的通項(xiàng)公式分別為．（2）．則【例1-2】（2023·廣東廣州·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）因?yàn)椋裕驗(yàn)椋裕矗裕矗郑詳?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．所以.（2），故數(shù)列的前項(xiàng)和，因?yàn)椋裕裕纠?-3】（2023·江蘇揚(yáng)州·揚(yáng)州中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【解析】（1）因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即，又因?yàn)椋瑵M足上式，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則.（2）因?yàn)椋?【一隅三反】1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義：對于任意一個(gè)有窮數(shù)列，第一次在其每相鄰的兩項(xiàng)間都插人這兩項(xiàng)的和，得到的新數(shù)列稱之為一階和數(shù)列，如果在一階和數(shù)列的基礎(chǔ)上再在其相鄰的兩項(xiàng)間插入這兩項(xiàng)的和稱之為二階和數(shù)列，以此類推可以得到n階和數(shù)列，如的一階和數(shù)列是，設(shè)它的n階和數(shù)列各項(xiàng)和為．(1)試求的二階和數(shù)列各項(xiàng)和與三階和數(shù)列各項(xiàng)和，并猜想的通項(xiàng)公式（無需證明）；(2)若，求的前n項(xiàng)和，并證明：．【答案】(1)，，(2)，證明見解析【解析】（1）由題意得，，，，，…，由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得，，所以的通項(xiàng)公式．（2）由于，所以，則，因?yàn)椋裕裕蛛Sn的增大而減小，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，故．2．（2023·福建廈門·廈門外國語學(xué)校校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足．(1)證明為等差數(shù)列，并的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析，(2)【解析】（1）證明：因?yàn)椋裕此允且詾槭醉?xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則，所以；（2）.3．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）數(shù)列中，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）因?yàn)椋矗援?dāng)時(shí)，，將以上各式相加，得，則，當(dāng)時(shí)也符合上式，故.（2）由題意.所以4．（2023·江蘇南京·南京師大附中校考模擬預(yù)測）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，．若對于任意，有，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】（1），∴，，∴,∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，也符合上式，∴．（2），∵，∴，當(dāng)時(shí)，滿足，當(dāng)時(shí)，存在，（其中，表示不超過的最大整數(shù)），使得，則，∴，不滿足條件，∴．考法二錯(cuò)位相減求和【例2】（2023·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，（）.記(1)求證：是等比數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）由已知，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴易知數(shù)列中任意一項(xiàng)不為，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（2）由第（1）問，，∴，∴設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則①，①得，②，①②得，，∴，∴.∴數(shù)列的前項(xiàng)和為.【一隅三反】1．（2023·河北滄州·滄縣中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【解析】（1）因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，所以，又當(dāng)時(shí)，，解得，所以，所以，所以是首項(xiàng)為?公比為的等比數(shù)列，所以的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知，所以，所以，兩式相減，得，所以.2．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)校考階段練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，數(shù)列的前項(xiàng)積為!.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)【解析】（1）因?yàn)椋佼?dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，，②由①②得，因?yàn)椋裕詾槌?shù)，所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以；由于數(shù)列的前項(xiàng)的乘積為!，當(dāng)時(shí)，得；當(dāng)時(shí)，得.又因?yàn)榉贤?xiàng)，所以.（2）由（1）可知，，則，①即，②則①-②得：，即.3．（2023·廣東佛山·校聯(lián)考模擬預(yù)測）記正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，且，數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)；(2)【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，解得或，因?yàn)椋裕?dāng)時(shí)，，，兩式相減得：，即，因?yàn)椋裕詳?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以；由知，是以為公比的等比數(shù)列，又，所以.①（2）因?yàn)椋瑑墒较鄿p可得所以.考法三分組轉(zhuǎn)化求和【例3-1】（2023秋·寧夏銀川·高三校考期末）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【解析】（1），故，故.（2），.【例3-2】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列滿足，．(1)求；(2)數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求．【答案】(1)(2)【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)椋畡t，解得，所以．（2）由（1）可得，則，所以.【一隅三反】1．（2023·湖北咸寧·校考模擬預(yù)測）設(shè)為公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若成等比數(shù)列，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為由成等比數(shù)列可得，所以，所以，因?yàn)椋?①又，所以，②所以，聯(lián)立①②得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由（1）知，所以.2．（2023·廣東深圳·校考二模）已知是等差數(shù)列，，，且，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，記，求.【答案】(1)(2)【解析】（1）因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，，，且，，成等比數(shù)列，所以，即，解得或（舍去），所以．（2）由題意知，，所以．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，．綜上．3．（2023·河南開封·校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【解析】（1）因?yàn)椋?dāng)時(shí)，所以，即，所以，所以，即是常數(shù)數(shù)列，又，所以，則.（2）因?yàn)椋?dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；綜上可得.考法四并項(xiàng)求和【例4-1】（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，①，，當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，②，由①②得，即，，，，；（2）由（1）得，則，，，，．【例4-2】（2023春·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習(xí)）在數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）因?yàn)椋裕瑑蛇呁裕茫允且詾槭醉?xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）知，，整理得：，則，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，所以.【例4-3】（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前2023項(xiàng)和.【答案】(1)(2)1012【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可知，即解得，所以；（2）由（1）可知，，對于任意，有，所以，故數(shù)列的前2023項(xiàng)和為.【一隅三反】1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，其中，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前2023項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【解析】（1）因?yàn)椋瑒t，由，可得，當(dāng)時(shí)，則，整理得，即；當(dāng)時(shí)，則，可得，整理得，因?yàn)椋瑒t，可得，即，故數(shù)列是以首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，所以.（2）由（1）可得：，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，則，所以，即.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知的面積為1，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為線段，，的中點(diǎn)，記的面積為；點(diǎn)G，H，I分別為線段，，的中點(diǎn)，記的面積為；…；以此類推，第n次取中點(diǎn)后，得到的三角形面積記為．(1)求，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【解析】（1）由題意可知,，...，由此可知，故是以公比為的等比數(shù)列，所以.（2）由得，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，故.3．（2023·河南南陽·南陽中學(xué)校考三模）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且滿足.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）方法1：，時(shí)，，累加得：，時(shí)也成立，.，是等差數(shù)列方法2：，，為常數(shù)數(shù)列，，，，是等差數(shù)列.方法3：當(dāng)時(shí)，①，②，②-①可得：，是等差數(shù)列，因?yàn)?（2）由（1）知，所以，方法1：并項(xiàng)求和當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，方法2：錯(cuò)位相減求和①②①-②：考法五倒序相加求和【例5】（2023春·廣西防城港·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）高斯（Gauss）被認(rèn)為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一，并享有“數(shù)學(xué)王子”之稱．小學(xué)進(jìn)行的求和運(yùn)算時(shí)，他這樣算的：，，…，，共有50組，所以，這就是著名的高斯算法，課本上推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法正是借助了高斯算法．已知正數(shù)數(shù)列是公比不等于1的等比數(shù)列，且，試根據(jù)以上提示探求：若，則（

）A．2023 B．4046 C．2022 D．4044【答案】B【解析】根據(jù)等比數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)由，∵函數(shù)