新高考數學一輪復習第一章集合與常用邏輯用語第第頁第一節集合一、考情探究5年考情考題示例考點分析關聯考點2024年新I卷，第1題,5分集合的交集一元三次不等式的解法及范圍估算2023年新I卷，第1題,5分集合的交集一元二次不等式的解法2023年新Ⅱ卷，第2題,5分元素的性質、集合的子集無2022年新I卷，第1題,5分集合的交集根號不等式的解法2022年新Ⅱ卷，第1題,5分集合的交集單絕對值不等式的解法2021年新I卷，第1題,5分集合的交集無2021年新Ⅱ卷，第2題,5分集合的交集、補集無2020年新I卷，第1題,5分集合的并集無2020年新Ⅱ卷，第1題,5分集合的交集無二、課標要求1.了解集合的含義，元素與集合的屬于關系，能用列舉法或描述法表示集合．2.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集，了解全集與空集的含義．3.理解并會求并集、交集、補集，能用Venn圖表示集合間的基本關系與基本運算．三、命題規律及備考策略【命題規律】本節內容是新高考卷的常考內容，設題穩定，難度較低，分值為5分【備考策略】1.理解、掌握集合的表示方法，能夠判斷元素與集合、集合與集合的關系2.能掌握集合交集、并集、補集的運算和性質3.具備數形結合的思想意識，會借助Venn圖、數軸等工具解決集合的計算問題4.會解一元二次不等式、一元二次方程、簡單的分式不等式、簡單的根號不等式，簡單的指對不等式，簡單的高次不等式和簡單的單絕對值不等式【命題預測】本節內容是新高考卷的必考內容，一般給兩個集合，要求通過解不等式求出一個集合，然后通過集合的運算得出答案。四、知識梳理1．集合與元素(1)集合元素的三個特征：確定性、互異性、無序性．(2)元素與集合的關系是屬于或不屬于關系，用符號∈或?表示．(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法．(4)常見數集的記法集合自然數集正整數集整數集有理數集實數集符號NN*(或N＋)ZQR[提醒]N為自然數集(即非負整數集)，包含0，而N*和N＋的含義是一樣的，表示正整數集，不包括0.2．集合間的基本關系關系自然語言符號語言Venn圖子集集合A中任意一個元素都是集合B中的元素A?B(或B?A)真子集集合A?B，但存在元素x∈B，且x?AAB(或BA)集合相等組成集合A與組成集合B的元素完全相同或集合A，B互為子集A＝B[提醒](1)空集是任何集合的子集；(2)空集是任何非空集合的真子集．3．集合的基本運算并集交集補集符號表示A∪BA∩B若全集為U，則集合A的補集為?UA圖形語言集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x?A}[常用結論]1．子集的個數若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2n－1個．2．集合的運算性質(1)并集的性質：A∪?＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A.(2)交集的性質：A∩?＝?；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B.(3)補集的性質：A∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝?；?U(?UA)＝A.五、課堂考點突破考點1集合的概念例1(1)設集合A={2,4},B={1,2},集合M=zz=xy,x∈A,y∈B,則A.3 B.5C.7 D.9(1)通過x,y的取值,確定z的取值,推出M中所含的元素.(2)由題意,3=m+2或3=2m2+m,解方程,再根據集合中元素的互異性驗證即可.C[解析](1)當x=2,y=1時,z=2;當x=2,y=2時,z=1;當x=4,y=1時,z=4;當x=4,y=2時,z=2.所以M={1,2,4},所以M中所有元素之和為7.故選C.(2)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,則m的值為.

(2)由題意得m+2=3或2m2+m=3,解得m=1或m=-32.當m=1時,m+2=3,2m2+m=3,根據集合中元素的互異性可知不滿足題意;當m=-32時,m+2=12,2m2+m=3,滿足題意.綜上,總結反思解決集合含義問題的關鍵有三點:一是確定構成集合的元素是什么;二是看這些元素的限制條件是什么;三是根據元素的特征(滿足的條件)構造關系式解決相應問題.特別提醒:含字母的集合問題,在求出字母的值后,需要驗證集合的元素是否滿足互異性.變式題(1)已知集合A={(x,y)|x,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=8},則A∩B中元素的個數為 ()A.2 B.3 C.4 D.6[解析]((1)C由8-x≥x,得x≤4,又x∈N*,所以A∩B中有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),共4個元素.(2)設a,b∈R,已知集合1,a,ba={0,a2,a+b},則(a+b)由題意得a≠0,a≠1,則ba=0,a+b=1或a2=1,所以a考點2集合間的基本關系例2(1)[2023·云南師大附中二模]已知A={x|x=3k+2,k∈N},B={y|y=6m+5,m∈N},則集合A與集合B之間的關系為 ()A.A=B B.B?AC.A?B D.A∩B=?[解析](1)A={x|x=3k+2,k∈N},B={y|y=6m+5,m∈N}={y|y=3(2m+1)+2,m∈N},因為m∈N,所以2m+1∈N且為奇數,所以B?A.故選B.(2)[2023·新課標Ⅱ卷]設集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A?B,則a= ()A.2 B.1 C.23 D.-(2)由A?B,可得0∈B.若a-2=0,則a=2,此時A={0,-2},B={1,0,2},不滿足A?B;若2a-2=0,則a=1,此時A={0,-1},B={1,-1,0},滿足A?B.故選B.總結反思(1)一般利用數軸法、Venn圖法以及結構法判斷兩集合的關系,對于含有參數的集合,需要對式子進行變形,有時需要進一步對參數進行分類討論.(2)確定非空集合A的子集的個數,需先確定集合A中的元素的個數.特別提醒:不能忽略任何非空集合是它自身的子集,空集是非空集合的真子集.(3)根據集合的關系求參數值(或取值范圍)的關鍵是將條件轉化為元素滿足的式子或區間端點間的關系.變式題(1)滿足{1}?A?{1,2,3}的集合A的個數是 ()A.2 B.3C.4 D.8[解析](1)因為{1}?A?{1,2,3},所以集合A必須含有元素1,可能含有元素2,3,故集合A可能為{1},{1,2},{1,3},{1,2,3},共4個.故選C.(2)[2023·吉林模擬]已知集合A={x∈N||x|<2},B={x|ax-1=0},若B?A,則實數a的值為 ()A.0或1 B.12C.1 D.1.(2)集合A={x∈N||x|<2}={0,1}.對于方程ax-1=0,當a=0時,方程無解,可得集合B=?,滿足B?A;當a≠0時,解得x=1a,要使得B?A,則需滿足1a=1,可得a=1.所以實數a的值為0或1.故選考點3集合的基本運算角度1集合的運算例3(1)[2023·杭州期末]已知集合A={x|x2-1<0},B={x|lgx≤0},則A∪B= ()A.{x|0<x<1} B.{x|0<x≤1}C.{x|-1<x<1} D.{x|-1<x≤1}(2)[2023·全國乙卷]設集合U=R,集合M={x|x<1},N={x|-1<x<2},則{x|x≥2}= ()A.?U(M∪N) B.N∪(?UM)C.?U(M∩N) D.M∪(?UN)(1)D(2)A[解析](1)由題意可得A={x|x2-1<0}={x|-1<x<1},B={x|lgx≤0}={x|0<x≤1},所以A∪B={x|-1<x≤1}.故選D.(2)由題意得M∪N={x|x<2},所以{x|x≥2}=?U(M∪N),故選A.總結反思對于已知集合的運算,可根據集合的交集、并集和補集的定義直接求解,必要時可結合數軸以及Venn圖求解.變式題(1)[2023·新課標Ⅰ卷]已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},則M∩N= ()A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2}C.{-2} D.{2}(2)[2023·廣東六校一聯]已知集合U=R,A=xx-3x+1>0,B={x|y=ln(3A.[-1,3] B.(3,+∞)C.(-∞,3] D.[-1,3)(1)C(2)D[解析](1)因為M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0}={x|x≤-2或x≥3},所以M∩N={-2}.(2)由x-3x+1>0,解得x<-1或x>3,故A=xx-3x+1>0={x|x<-1或x>3},B={x|y=ln(3-x)}={x|x<3},由圖可知陰影部分表示的集合是(?UA)∩B,因為?UA={x|-1≤x≤3},所以(?UA)∩B=角度2利用集合的運算求參數的值(范圍)例4(1)設集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},則a=()A.-4 B.-2 C.2 D.4(2)已知集合A={2,-2},B={x|x2-ax+4=0},若A∪B=A,則實數a的取值集合為 ()A.{a|-4<a<4} B.{a|-2<a<2}C.{-4,4} D.{a|-4≤a≤4}[思路點撥](1)思路一:先求出集合A,B,再由交集的定義得到關于a的方程,解方程可得a的值;思路二:將選項中的數代入集合B,逐個驗證,得到滿足題意的a的值.(2)由并集結果得到B?A,分B=?和B≠?兩種情況討論,得到實數a的取值集合.(1)B(2)D[解析](1)方法一:A={x|-2≤x≤2},B=xx≤-a2,因為A∩B={x|-2≤x≤1},所以-a2=1,所以方法二:由題意得A={x|-2≤x≤2}.若a=-4,則B={x|x≤2},又A={x|-2≤x≤2},所以A∩B={x|-2≤x≤2},不滿足題意,故A錯誤;若a=-2,則B={x|x≤1},又A={x|-2≤x≤2},所以A∩B={x|-2≤x≤1},滿足題意,故B正確;若a=2,則B={x|x≤-1},又A={x|-2≤x≤2},所以A∩B={x|-2≤x≤-1},不滿足題意,故C錯誤;若a=4,則B={x|x≤-2},又A={x|-2≤x≤2},所以A∩B={x|x=-2},不滿足題意,故D錯誤.故選B.(2)因為A∪B=A,所以B?A.當B=?時,Δ=a2-16<0,即-4<a<4,滿足題意.當B≠?時,若Δ=a2-16=0,則a=-4或4.當a=-4時,B={-2},滿足題意;當a=4時,B={2},滿足題意.若Δ=a2-16>0,則-2,2是方程x2-ax+4=0的兩根,顯然-2×2=-4≠4,不符合題意.綜上,實數a的取值集合為{a|-4≤a≤4}.故選D.總結反思利用集合的運算求參數的值或取值范圍的方法(1)與不等式有關的集合,一般利用數軸解決,要注意端點值能否取到.(2)若集合中的元素能一一列舉,則一般先用觀察法得到不同集合中元素之間的關系,再列方程(組)求解.變式題(1)(多選題)已知集合M={x|6x2-5x+1=0},集合P={x|ax=1},若M∩P=P,則實數a的值可能為 ()A.0 B.1C.2 D.3(2)已知集合A={x∈Z|x≥a},集合B={x∈Z|2x≤4}.若A∩B只有4個子集,則實數a的取值范圍是 ()A.(-2,-1] B.[-2,-1]C.[0,1] D.(0,1]變式題(1)ACD(2)D[解析](1)由6x2-5x+1=0,得(2x-1)(3x-1)=0,解得x=12或x=13,所以M=12,13,因為M∩P=P,所以P?M.當P=?時,得a=0,滿足題意;當P≠?時,因為P={x|ax=1}=xx=1a,所以1a=12或1a=13,解得a=2或a=3.(2)集合A={x∈Z|x≥a},集合B={x∈Z|2x≤4}={x∈Z|x≤2},由題知a<2,故A∩B={x∈Z|a≤x≤2}.因為A∩B只有4個子集,所以A∩B中的元素只能有2個,即A∩B={1,2},所以0<a≤1,故選D.角度3集合語言的運用例5(1)某中學的學生積極參加體育鍛煉,其中有96%的學生喜歡足球或游泳,60%的學生喜歡足球,82%的學生喜歡游泳,則該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數占該校學生總數的比例是()A.62% B.56%C.46% D.42%(2)已知U是非空數集,若非空集合A1,A2滿足以下三個條件,則稱(A1,A2)為集合U的一種真分拆,并規定(A1,A2)與(A2,A1)為集合U的同一種真分拆.①A1∩A2=?;②A1∪A2=U;③Ai(i=1,2)的元素個數不是Ai中的元素.則集合U={1,2,3,4,5,6}的真分拆的種數是 ()A.5 B.6C.10 D.15例5[思路點撥](1)設該中學的學生總數為m,喜歡足球的學生組成集合A,喜歡游泳的學生組成集合B,根據集合A,B的關系可得答案.(2)由真分拆的定義及規定即可求解.(1)C(2)A[解析](1)設該中學的學生總數為m,喜歡足球的學生組成集合A,喜歡游泳的學生組成集合B,則card(A)=60%m,card(B)=82%m,card(A∪B)=96%m,所以card(A∩B)=card(A)+card(B)-card(A∪B)=46%m.故選C.(2)由題意,集合U={1,2,3,4,5,6}的真分拆有A1={5},A2={1,2,3,4,6};A1={1,4},A2={2,3,5,6};A1={3,4},A2={1,2,5,6};A1={4,5},A2={1,2,3,6};A1={4,6},A2={1,2,3,5}.共5種,故選A.總結反思以集合語言為背景的新定義問題,需正確理解新定義(即分析新定義的特點,把新定義所敘述的問題的本質弄清楚),轉化成熟知的數學情境,并能夠應用到具體的解題過程中,這是破解新定義集合問題的關鍵所在.變式題[2023·湖南師大附中模擬]若一個非空數集F滿足:對任意a,b∈F,都有a+b,a-b,ab∈F,且當b≠0時,有ab∈F,則稱F①0是任何數域的元素;②若數域F有非零元素,則2024∈F;③集合P={x|x=3k,k∈Z}為數域;④有理數集為數域.其中真命題的個數為.

變式題3[解析]①當a=b時,a-b=0屬于數域,故①是真命題;②若數域F有非零元素,則bb=1∈F,從而1+1=2∈F,2+1∈F,…,2023+1=2024∈F,故②是真命題;③由集合P的表示可知x是3的倍數,當a=6,b=3時,ab=63=2?P,故③是假命題;④若F是有理數集,則“對任意a,b∈F,都有a+b,a-b,ab∈F,且當b≠0時,有ab∈F”成立,故④是真命題.綜上,六、課后作業課時作業(一)[A級基礎練]1．已知集合A＝{x|x∈Z，且eq\f(3,2－x)∈Z}，則集合A中的元素個數為()A．2B．3C．4D．5C[因為eq\f(3,2－x)∈Z，所以2－x的取值有－3，－1，1，3，又因為x∈Z，所以x的值分別為5，3，1，－1，故集合A中的元素個數為4.]2．已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，則P∪(?RQ)＝()A．[2，3]B．(－2，3]C．[1，2)D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)B[由于Q＝{x|x≤－2，或x≥2}，?RQ＝{x|－2<x<2}，故得P∪(?RQ)＝{x|－2<x≤3}．選B.]3．(2023·新課標Ⅰ卷)設集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A?B，則a＝()A．2B．1C．eq\f(2,3)D．－1B[由題意，得0∈B.又B＝{1，a－2，2a－2}，所以a－2＝0或2a－2＝0.當a－2＝0時，a＝2，此時A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不滿足A?B，舍去．當2a－2＝0時，a＝1，此時A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，滿足A?B.綜上所述，a＝1.故選B.]4．已知A，B均為R的子集，且A∩(?RB)＝A，則下列結論中一定成立的是()A．B?AB．A∪B＝RC．A∩B＝?D．A＝?RBC[∵A∩(?RB)＝A，∴A??RB，用Venn圖表示如圖：由圖可知，A∩B＝?，即C一定成立，A，B，D都不一定成立．故選C.]5．(2024·重慶市第一次質量調研)已知全集U＝R，集合A＝{x|x－2x2≥－15}，B＝{x|x≤－3，或x≥2}，則A∩?UB＝()A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，2))B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－3，－\f(5,2)))C．(－3，3]D．(2，3]A[因為U＝R，B＝{x|x≤－3，或x≥2}，所以?UB＝{x|－3<x<2}，又A＝{x|x－2x2≥－15}＝{x|2x2－x－15≤0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)≤x≤3))))，所以A∩?UB＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)≤x<2))))＝eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，2)).故選A.]6．(多選)已知全集U＝Z，集合A＝{x|2x＋1≥0，x∈Z}，B＝{－1，0，1，2}，則()A．A∩B＝{0，1，2}B．A∪B＝{x|x≥0}C．(?UA)∩B＝{－1}D．A∩B的真子集個數是7ACD[A＝{x|2x＋1≥0，x∈Z}＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≥－\f(1,2)，x∈Z))))，B＝{－1，0，1，2}，A∩B＝{0，1，2}，故A正確；A∪B＝{x|x≥－1，x∈Z}，故B錯誤；?UA＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,2)，x∈Z))))，所以(?UA)∩B＝{－1}，故C正確；由A∩B＝{0，1，2}，得A∩B的真子集個數是23－1＝7，故D正確．]7．(多選)若集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{x|x≤3}，則集合{x|x≤－3，或x≥1}＝()A．M∩NB．?RMC．?R(M∩N)D．?R(M∪N)BC[因為集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{x|x≤3}，所以M∩N＝{x|－3<x<1}，M∪N＝{x|x≤3}，?RM＝{x|x≤－3，或x≥1}，所以?R(M∩N)＝{x|x≤－3，或x≥1}，?R(M∪N)＝{x|x>3}．故選BC.]8．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，則滿足條件A?C?B的集合C有________個．[解析]由題意可得，A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，又因為A?C?B，所以C＝{1，2}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，3，4}，故滿足條件的集合C的個數為4.[答案]49．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{3，5}，則用列舉法表示A*B＝{2a－b|a∈A，b∈B}＝________．[解析]當a＝1，b＝3時，2a－b＝－1；當a＝1，b＝5時，2a－b＝－3；當a＝2，b＝3時，2a－b＝1；當a＝2，b＝5時，2a－b＝－1；當a＝3，b＝3時，2a－b＝3；當a＝3，b＝5時，2a－b＝1，所以A*B＝{2a－b|a∈A，b∈B}＝{－1，－3，1，3}．[答案]{－1，－3，1，3}10．(2024·九省聯考)已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A∩B＝A，則m的最小值為________．[解析]A∩B＝A，則A?B，∵B＝{x|3－m≤x≤3＋m}，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3＋m≥4,3－m≤－2))，∴m≥5，∴mmin＝5.[答案]5[B級綜合練]11．(多選)已知集合A＝{x∈R|x2－3x－18<0}，B＝{x∈R|x2＋ax＋a2－27<0}，則()A．若A＝B，則a＝－3B．若A?B，則a＝－3C．若B＝?，則a≤－6或a≥6D．若a＝3，則A∩B＝{x|－3<x<6}ABC[由已知得A＝{x|－3<x<6}，令g(x)＝x2＋ax＋a2－27.選項A，若A＝B，即－3，6是方程g(x)＝0的兩個根，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,a2－27＝－18，))得a＝－3，正確；選項B，若A?B，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g（－3）＝a2－3a－18≤0，,g（6）＝a2＋6a＋9≤0，))解得a＝－3，正確；選項C，當B＝?時，Δ＝a2－4(a2－27)≤0，解得a≤－6或a≥6，正確；選項D，當a＝3時，B＝{x∈R|x2＋3x－18<0}＝{x|－6<x<3}，所以A∩B＝{x|－3<x<3}，錯誤．故選ABC.]12．(多選)(2024·山東濰坊監測)設集合A＝{x|x＝m＋eq\r(3)n，m，n∈N*}，若x1∈A，x2∈A，x