3.3冪函數（精講）一．冪函數1.概念：一般地，函數y＝xα叫做冪函數，其中x是自變量，α是常數.2.特征：①xα的系數為1；②xα的底數是自變量；③xα的指數為常數，只有同時滿足這三個條件二.冪函數的圖象和性質1.五個冪函數的圖象：2.冪函數的性質：冪函數y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\s\up6(\f(1,2))y＝x－1定義域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調性增x∈[0，＋∞)，增x∈(－∞，0]，減增增x∈(0，＋∞)，減x∈(－∞，0)，減公共點都經過點(1，1)3.一般冪函數的性質(1)所有的冪函數在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點(1,1)．(2)α＞0時，冪函數的圖象過原點，并且在區間[0，＋∞)上是增函數．(3)α＜0時，冪函數在區間(0，＋∞)上是減函數．在第一象限內，當x從右邊趨向原點時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當x趨于＋∞時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸．(4)任何冪函數的圖象與坐標軸僅相交于原點，或不相交，任何冪函數的圖象都不過第四象限．(5)任何兩個冪函數的圖象最多有三個公共點．除(1,1)，(0,0)，(－1,1)，(－1，－1)外，其他任何一點都不是兩個冪函數的公共點．(6)冪函數在第一象限內指數的變化規律：在直線x＝1的右側，圖象從上到下，相應的冪指數由大變小.判斷一個函數是否為冪函數的依據是該函數是否為y＝xα(α為常數)的形式，需滿足：①指數為常數，②底數為自變量，③xα系數為1.二．解決冪函數圖象問題應把握的兩個原則(1)依據圖象高低判斷冪的指數大小，相關結論為：①在(0，1)上，冪的指數越大，冪函數圖象越靠近x軸(簡記為指大圖低)；②在(1，＋∞)上，冪的指數越大，冪函數圖象越遠離x軸(簡記為指大圖高).(2)依據圖象確定冪的指數α與0，1的大小關系，即根據冪函數在第一象限內的圖象三．比較冪值大小的兩種基本方法直接法當冪的指數相同時，可直接利用冪函數的單調性來比較轉化法當冪的指數不相同時，可以先轉化為相同冪指數，再運用單調性比較大小考點一與冪函數概念相關的問題【例1】（2023·江蘇揚州）已知冪函數的圖像經過點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為冪函數的圖像經過點，所以，所以，故選：B.【一隅三反】1．（2023·全國·高一假期作業）已知冪函數f(x)＝xα(α為常數)的圖象經過點，則f(9)＝（

）A． B．C．3 D．【答案】C【解析】由題意f(2)＝2α＝，所以α＝，所以f(x)＝，所以f(9)＝＝3.故選：C2．（2022秋·安徽合肥·高一校考期末）已知冪函數(α是常數)的圖象經過點，那么（

）A．4 B．-4 C． D．-【答案】A【解析】因為冪函數（是常數）的圖象經過點，所以，解得，所以，所以；故選：A3．（2023春·內蒙古呼和浩特·高一呼和浩特市土默特中學校考開學考試）已知冪函數的圖象過點，則（

）．A． B．4 C． D．8【答案】C【解析】因為函數為冪函數，所以可設f（x）＝xa，因為圖象過，所以，所以，即，所以故選：C考點二冪函數的圖像及應用【例2-1】（2023·海南）給定一組函數解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．如圖所示一組函數圖象．圖象對應的解析式號碼順序正確的是（

）

A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①【答案】C【解析】圖象（1）關于原點對稱，為奇函數，且不過原點、第一象限遞減，故滿足；圖象（2）關于軸對稱，為偶函數，且不過原點、第一象限遞減，故滿足；圖象（3）非奇非偶函數，且不過原點、第一象限遞減，故滿足；圖象（4）關于軸對稱，為偶函數，且過原點、第一象限遞增，故滿足；圖象（5）關于原點對稱，為奇函數，且過原點、第一象限遞增，故滿足；圖象（6）非奇非偶函數，且過原點、第一象限遞增，而增長率隨增大遞減，故滿足；圖象（7）非奇非偶函數，且過原點、第一象限遞增，而增長率隨增大遞增，故滿足；故圖象對應解析式順序為⑥④③②⑦①⑤.故選：C【一隅三反】1．（2023黑龍江哈爾濱）若點在冪函數的圖象上，則的圖象大致是（

）A．B．C． D．【答案】B【解析】設冪函數，將點代入，得，解得，所以，定義域為，且在定義域內單調遞增，大致圖像為B，故選：B．2．（2023·北京）如圖，下列3個冪函數的圖象，則其圖象對應的函數可能是（

）A．①，②，③ B．①，②，③C．①，②，③ D．①，②，③【答案】A【解析】由函數是反比例函數，其對應圖象為①；函數的定義域為，應為圖②；因為的定義域為且為奇函數，故應為圖③.故選：A.3．（2023·福建泉州·高一校考期中）已知冪函數，其圖像與坐標軸無交點，則實數m的值為__________．【答案】【解析】由冪函數知，得或.當時，圖象與坐標軸有交點，當時，與坐標軸無交點，∴.故答案為:考點三比較冪值的大小【例3】（2023·安徽合肥·高一統考期末）已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，，，所以．故選：A．【一隅三反】1．（2023春·浙江·高一校聯考期中）記，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，，，，由冪函數在上單調遞增，所以.故選：C2．（2022秋·高一課時練習）設，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】構造冪函數，由該函數在定義域內單調遞增，且，故故選：B3．（2023·河北）已知，，，則a，b，c的大小關系為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于冪函數在上單調遞增，又，，，，所以，則.故選：D.考點四冪函數性質的綜合運用【例4-1】（2023·四川成都）冪函數在區間上單調遞減，則下列說法正確的是（

）A． B．是減函數C．是奇函數 D．是偶函數【答案】C【解析】函數為冪函數，則，解得或.當時，在區間上單調遞增，不滿足條件，排除A；當時，在區間上單調遞減，滿足題意.函數在和上單調遞減，但不是減函數，排除B；因為函數定義域關于原點對稱，且，所以函數是奇函數，不是偶函數，故C正確，D錯誤.故選：C.【例4-2】（2023春·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯考開學考試）已知冪函數在區間上單調遞增.請從如下2個條件：①對任意的，都有；②對任意的，都有中任選1個作為已知條件，求解下列問題.(1)求的解析式；(2)在（1）問的條件下，當時，求的值域.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.）【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【解析】（1）∵，其中，當時，當時，當時，（），∵在區間上單調遞增，∴，或選①時，可知函數為偶函數，則的解析式為，選②時，可知函數為奇函數，則的解析式為.（2）若函數易知在上單調遞減，在上單調遞增當時，，當時，，∴的值域為.若，易知在上是增函數當時，，當時，，∴的值域為.【一隅三反】1．（2023·云南紅河·高一統考期末）（多選）已知冪函數的圖象經過點，則下列說法正確的是（

）A．函數為增函數B．函數為偶函數C．當時，D．當時，【答案】ACD【解析】設冪函數，則，解得，所以，對于A，的定義域為，在上單調遞增，A正確；對于B，因為的定義域不關于原點對稱，函數不是偶函數，B錯誤；對于C，當時，，C正確；對于D，當時，，又，所以，D正確．故選：ACD2．（2023·全國·高一假期作業）已知冪函數為奇函數.(1)求的值；(2)若，求實數的取值范圍.【答案】(1)；(2)或.【解析】（1）由，得或，當時，是奇函數，滿足題意，當時，是偶函數，不滿足題意，所以，；（2）因為的定義域為，單調減區間為，，由，可得或或，解得或，所以實數的取