3.3冪函數(shù)（精講）一．冪函數(shù)1.概念：一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù).2.特征：①xα的系數(shù)為1；②xα的底數(shù)是自變量；③xα的指數(shù)為常數(shù)，只有同時(shí)滿足這三個(gè)條件二.冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)1.五個(gè)冪函數(shù)的圖象：2.冪函數(shù)的性質(zhì)：冪函數(shù)y＝xy＝x2y＝x3y＝xeq\s\up6(\f(1,2))y＝x－1定義域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增x∈[0，＋∞)，增x∈(－∞，0]，減增增x∈(0，＋∞)，減x∈(－∞，0)，減公共點(diǎn)都經(jīng)過點(diǎn)(1，1)3.一般冪函數(shù)的性質(zhì)(1)所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點(diǎn)(1,1)．(2)α＞0時(shí)，冪函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)．(3)α＜0時(shí)，冪函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當(dāng)x趨于＋∞時(shí)，圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸．(4)任何冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸僅相交于原點(diǎn)，或不相交，任何冪函數(shù)的圖象都不過第四象限．(5)任何兩個(gè)冪函數(shù)的圖象最多有三個(gè)公共點(diǎn)．除(1,1)，(0,0)，(－1,1)，(－1，－1)外，其他任何一點(diǎn)都不是兩個(gè)冪函數(shù)的公共點(diǎn)．(6)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)指數(shù)的變化規(guī)律：在直線x＝1的右側(cè)，圖象從上到下，相應(yīng)的冪指數(shù)由大變小.判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y＝xα(α為常數(shù))的形式，需滿足：①指數(shù)為常數(shù)，②底數(shù)為自變量，③xα系數(shù)為1.二．解決冪函數(shù)圖象問題應(yīng)把握的兩個(gè)原則(1)依據(jù)圖象高低判斷冪的指數(shù)大小，相關(guān)結(jié)論為：①在(0，1)上，冪的指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為指大圖低)；②在(1，＋∞)上，冪的指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸(簡記為指大圖高).(2)依據(jù)圖象確定冪的指數(shù)α與0，1的大小關(guān)系，即根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象三．比較冪值大小的兩種基本方法直接法當(dāng)冪的指數(shù)相同時(shí)，可直接利用冪函數(shù)的單調(diào)性來比較轉(zhuǎn)化法當(dāng)冪的指數(shù)不相同時(shí)，可以先轉(zhuǎn)化為相同冪指數(shù)，再運(yùn)用單調(diào)性比較大小考點(diǎn)一與冪函數(shù)概念相關(guān)的問題【例1】（2023·江蘇揚(yáng)州）已知冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以，故選：B.【一隅三反】1．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知冪函數(shù)f(x)＝xα(α為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則f(9)＝（

）A． B．C．3 D．【答案】C【解析】由題意f(2)＝2α＝，所以α＝，所以f(x)＝，所以f(9)＝＝3.故選：C2．（2022秋·安徽合肥·高一校考期末）已知冪函數(shù)(α是常數(shù))的圖象經(jīng)過點(diǎn)，那么（

）A．4 B．-4 C． D．-【答案】A【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)（是常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，所以，所以；故選：A3．（2023春·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一呼和浩特市土默特中學(xué)校考開學(xué)考試）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則（

）．A． B．4 C． D．8【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，所以可設(shè)f（x）＝xa，因?yàn)閳D象過，所以，所以，即，所以故選：C考點(diǎn)二冪函數(shù)的圖像及應(yīng)用【例2-1】（2023·海南）給定一組函數(shù)解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．如圖所示一組函數(shù)圖象．圖象對(duì)應(yīng)的解析式號(hào)碼順序正確的是（

）

A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①【答案】C【解析】圖象（1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為奇函數(shù)，且不過原點(diǎn)、第一象限遞減，故滿足；圖象（2）關(guān)于軸對(duì)稱，為偶函數(shù)，且不過原點(diǎn)、第一象限遞減，故滿足；圖象（3）非奇非偶函數(shù)，且不過原點(diǎn)、第一象限遞減，故滿足；圖象（4）關(guān)于軸對(duì)稱，為偶函數(shù)，且過原點(diǎn)、第一象限遞增，故滿足；圖象（5）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為奇函數(shù)，且過原點(diǎn)、第一象限遞增，故滿足；圖象（6）非奇非偶函數(shù)，且過原點(diǎn)、第一象限遞增，而增長率隨增大遞減，故滿足；圖象（7）非奇非偶函數(shù)，且過原點(diǎn)、第一象限遞增，而增長率隨增大遞增，故滿足；故圖象對(duì)應(yīng)解析式順序?yàn)棰蔻堍邰冖撷佗?故選：C【一隅三反】1．（2023黑龍江哈爾濱）若點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則的圖象大致是（

）A．B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)冪函數(shù)，將點(diǎn)代入，得，解得，所以，定義域?yàn)椋以诙x域內(nèi)單調(diào)遞增，大致圖像為B，故選：B．2．（2023·北京）如圖，下列3個(gè)冪函數(shù)的圖象，則其圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是（

）A．①，②，③ B．①，②，③C．①，②，③ D．①，②，③【答案】A【解析】由函數(shù)是反比例函數(shù)，其對(duì)應(yīng)圖象為①；函數(shù)的定義域?yàn)椋瑧?yīng)為圖②；因?yàn)榈亩x域?yàn)榍覟槠婧瘮?shù)，故應(yīng)為圖③.故選：A.3．（2023·福建泉州·高一校考期中）已知冪函數(shù)，其圖像與坐標(biāo)軸無交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為__________．【答案】【解析】由冪函數(shù)知，得或.當(dāng)時(shí)，圖象與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，與坐標(biāo)軸無交點(diǎn)，∴.故答案為:考點(diǎn)三比較冪值的大小【例3】（2023·安徽合肥·高一統(tǒng)考期末）已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，，，所以．故選：A．【一隅三反】1．（2023春·浙江·高一校聯(lián)考期中）記，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，，，，由冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.故選：C2．（2022秋·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】構(gòu)造冪函數(shù)，由該函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且，故故選：B3．（2023·河北）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，，，所以，則.故選：D.考點(diǎn)四冪函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用【例4-1】（2023·四川成都）冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列說法正確的是（

）A． B．是減函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是偶函數(shù)【答案】C【解析】函數(shù)為冪函數(shù)，則，解得或.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，不滿足條件，排除A；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，滿足題意.函數(shù)在和上單調(diào)遞減，但不是減函數(shù)，排除B；因?yàn)楹瘮?shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，所以函數(shù)是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：C.【例4-2】（2023春·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯(lián)考開學(xué)考試）已知冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.請(qǐng)從如下2個(gè)條件：①對(duì)任意的，都有；②對(duì)任意的，都有中任選1個(gè)作為已知條件，求解下列問題.(1)求的解析式；(2)在（1）問的條件下，當(dāng)時(shí)，求的值域.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.）【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【解析】（1）∵，其中，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（），∵在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，或選①時(shí)，可知函數(shù)為偶函數(shù)，則的解析式為，選②時(shí)，可知函數(shù)為奇函數(shù)，則的解析式為.（2）若函數(shù)易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴的值域?yàn)?若，易知在上是增函數(shù)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴的值域?yàn)?【一隅三反】1．（2023·云南紅河·高一統(tǒng)考期末）（多選）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)為增函數(shù)B．函數(shù)為偶函數(shù)C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【解析】設(shè)冪函數(shù)，則，解得，所以，對(duì)于A，的定義域?yàn)椋谏蠁握{(diào)遞增，A正確；對(duì)于B，因?yàn)榈亩x域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)不是偶函數(shù)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，又，所以，D正確．故選：ACD2．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知冪函數(shù)為奇函數(shù).(1)求的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)或.【解析】（1）由，得或，當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)，滿足題意，當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)，不滿足題意，所以，；（2）因?yàn)榈亩x域?yàn)椋瑔握{(diào)減區(qū)間為，，由，可得或或，解得或，所以實(shí)數(shù)的取