選擇必修

第二章

直線和圓的方程2.5直線與圓、圓與圓的位置關系2.5.1直線與圓的位置關系（第1課時）教學目標學習目標數學素養1.掌握直線與圓的三種位置關系．1.直觀想象素養和邏輯推理素養.2.能夠利用代數法與幾何法判斷直線與圓的位置關系.2.邏輯推理素養、直觀想象素養和數學運算素養.溫故知新1.圓的標準方程

2.圓的一般方程圓心在原點的圓的標準方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2–4F>0）

知新引入

在平面幾何中，我們研究過直線與圓這兩類圖形的位置關系.

前面我們學習了直線的方程、圓的方程，用直線的方程研究了兩條直線的位置關系.

本節課我們類比用直線的方程研究兩直線位置關系的方法，運用直線和圓的方程，研究直線與圓的位置關系.知新探究

我們知道，直線和圓相交直線和圓相切

直線和圓相離

2個公共點

1個公共點沒有公共點d<rd=rd>r新知探究

根據上述定義，如何利用直線和圓的方程判斷它們之間的位置關系？

利用前面回顧的初中知識，類比用方程研究兩條直線位置關系的方法.

1.交點個數；2.方程組解的個數；3.圓心到直線的距離與半徑的關系知新探究【例1】已知直線l：3x+y-6=0和圓心為C的圓x2+y2-2y-4=0，判斷直線l與圓C的位置關系；如果相交，求直線l被圓C所截得的弦長.解：方法1：聯立直線與圓的方程，得

∴直線l與圓C相交，有兩個公共點.把x1=2，x2=1分別代入方程①，得y1=0，y2=3.消去y，得x2－3x＋2=0，解得x1=2，x2=1,分析：思路1:將判斷直線與圓的位置關系轉化為判斷由它們的方程組成的方程組有無實數解、有幾個實數解；若相交，可以由方程組解得兩交點的坐標，利用兩點間的距離公式求得弦長.∴直線l與圓C的兩個交點是A(2，0)，B(1，3).

代數法聯立方程組消元得一元二次方程求根，判斷直線與圓的位置關系知新探究【例1】已知直線l：3x+y-6=0和圓心為C的圓x2+y2-2y-4=0，判斷直線l與圓C的位置關系；如果相交，求直線l被圓C所截得的弦長.解：方法2：圓C的方程x2＋y2－2y－4=0可化為x2＋(y－1)2=5，

∴直線l與圓C相交，有兩個公共點.

分析：思路2:依據圓心到直線的距高與半徑的關系，判斷直線與圓的位置關系：若相交，則可利用勾股定理求得弦長.幾何法確定圓心和半徑計算圓心到直線的距離，與圓的半徑比較大小.知新探究判斷直線與圓的位置關系方法1：通過上述解法我們發現

進而得出直線與圓的公共點的個數，進而判斷直線與圓的位置關系，若相交，可以由方程組解得兩交點坐標，利用兩點間的距離公式求得弦長.代數法代數法的基本步驟：聯立方程組消元(消x或y)計算△(或直接求根)判斷符號(或根的個數)得出結論知新探究判斷直線與圓的位置關系方法2

根據圓的方程求得圓心坐標與半徑r，從而求得圓心到直線的距離d，通過比較d與r的大小，判斷直線與圓的位置關系.若相交，則可利用勾股定理求得弦長.幾何法幾何法的基本步驟：求圓心坐標和半徑r計算弦心距d比較d，r得出結論．

適當的利用已知圖形的性質，有助于簡化計算.

與初中的方法比較，你認為用方程判定直線與圓的位置關系有什么優點？例1中兩種解法的差異是什么？點睛：幾何法更為簡潔和常用.初試身手

解：

初試身手

解：

知新探究【例2】過點P(2，1)作圓O：x2＋y2=1的切線l，求切線l的方程.解：方法1：設切線l的斜率為k，則切線l的方程為y－1=k(x－2)，即kx－y＋1－2k=0.

由圓心(0，0)到切線l的距離等于圓的半徑1，得

分析：如圖，容易知道，點P(2，1)位于圓O：x2＋y2=1外，經過圓外一點有兩條直線與圓相切，我們設切線方程為y－1=k(x－2)，k為切線l的斜率，由直線與圓相切求出k的值.

因此，所求切線l的方程為y=1，或4x－3y－5=0.知新探究【例2】過點P(2，1)作圓O：x2＋y2=1的切線l，求切線l的方程.解：方法2：設切線l的斜率為k，則切線l的方程為y－1=k(x－2).

消元，得(k2＋1)x2＋(2k－4k2)x＋4k2－4k=0

①因此，所求切線l的方程為y=1，或4x－3y－5=0.因為方程①只有一個解，所以Δ=4k2(1－2k)2－16k(k2＋1)(k－1)=0，

初試身手

解：初試身手

化簡整理，得2x2+2(m-5)x+m2-6m+5=0,解：

初試身手解：∵圓C:x2+y2=25的圓心為(0,0),半徑為5,

則直線l的方程2x-y-5=0或x-2y+5=0．

設直線l的方程為y-5=k(x-5)，即kx-y-5k+5=0,

課堂小結

位置關系相交相切相離公共點個數2個1個0個判定方