2.3.3點到直線的距離公式2.3.4兩條平行直線間的距離【學(xué)習(xí)目標】1.會運用多種方法推導(dǎo)點到直線的距離公式,明確使用公式的前提條件.2.能根據(jù)給定的點與直線熟練運用公式求點到直線的距離.3.能將平行線間的距離轉(zhuǎn)化為點到直線的距離,并會用點到直線的距離公式導(dǎo)出兩條平行直線間的距離公式.4.能說明應(yīng)用公式的前提條件,并能用公式求給定兩平行線間的距離.◆知識點一點到直線的距離公式點P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離d=.

證明點到直線的距離公式的方法1.定義法根據(jù)定義,點P到直線l的距離,就是點P到直線l的垂線段的長度.如圖,過點P(x0,y0)作直線l:Ax+By+C=0(A≠0,B≠0)的垂線l',垂足為Q,由l'⊥l可知l'的斜率為,∴l(xiāng)'的方程為y-y0=BA(x-x0),與l的方程聯(lián)立,得交點為QB2x0-可以驗證,當A=0,或B=0時,上述公式仍然成立.2.向量法如圖,已知P(x0,y0),設(shè)與直線l:Ax+By+C=0的一個方向向量P1P2垂直的向量為n=(A,B),M(x,y)為直線l上任意一點,則PM=(x-x0,y-y0),從而點P到直線l的距離d==|A(x-x0)+B(y-y0【診斷分析】1.已知點P(-1,0),直線l:x+y-4=0.(1)直線l的一個方向向量為n=,與直線l垂直的一個向量為m=;

(2)Q(1,3)是直線l上一點,利用PQ與向量m求得點P到直線l的距離為.

2.點P(x0,y0)到直線y=a的距離為.

◆知識點二兩條平行直線間的距離1.定義:兩條平行直線間的距離是指夾在這兩條平行直線間的的長.

2.求法:轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點到另一條直線的距離.3.公式:兩條平行直線l1:Ax+By+C1=0與l2:Ax+By+C2=0之間的距離d=.

【診斷分析】判斷正誤.(請在括號中打“√”或“×”)(1)連接兩平行直線上任意兩點,即得兩平行直線間的距離. ()(2)若直線l1:x+y-1=0上有A(1,0),B(0,1),C(-1,2)三點,則點A,B,C到直線l2:x+y+1=0的距離相等. ()(3)已知直線l1:x=x1,l2:x=x2,則直線l1,l2間的距離為|x2-x1|. ()(4)已知兩平行直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,則直線l1,l2間的距離為|C1-C◆探究點一點到直線的距離公式的應(yīng)用例1(1)點P0(-1,2)到直線2x+y-10=0的距離是.

(2)點P(0,2)到直線y=3的距離是.

(3)已知坐標平面內(nèi)兩點A(3,2)和B(-1,4)到直線mx+y+3=0的距離相等,則實數(shù)m的值為.

變式(1)若直線l經(jīng)過點P(1,2),且點A(2,3),B(0,-5)到它的距離相等,則l的方程為 ()A.4x-y-2=0B.4x+y-6=0C.4x-y-2=0或x=1D.4x+y-6=0或x=1(2)已知直線l:y=k(x-2)+2,當k變化時,點P(-1,2)到直線l的距離的取值范圍是 ()A.[0,+∞) B.[0,2]C.[0,3] D.[0,3)[素養(yǎng)小結(jié)]點到直線的距離的求解方法(1)求點到直線的距離時,先把直線方程化為一般式,再直接應(yīng)用點到直線的距離公式求解即可.(2)對于與坐標軸平行(或重合)的直線x=a或y=b,求點P(x0,y0)到它們的距離d時,既可以用點到直線的距離公式,也可以直接根據(jù)d=|x0-a|或d=|y0-b|求解.(3)已知點到直線的距離求參數(shù)時,根據(jù)點到直線的距離公式列方程求解參數(shù)即可.拓展已知定點P(-2,0)和直線l:(1+3λ)x+(1+2λ)y-(2+5λ)=0(λ∈R),則點P到直線l的距離的最大值為 ()A.23 B.10C.14 D.215◆探究點二平行線間距離公式的應(yīng)用例2(1)已知直線l1:y=2x+1,直線l2:4x-2y+7=0,則l1與l2之間的距離為 ()A.52 B.54 C.102(2)若直線l1:2x+y+a=0與直線l2:ax-y-3=0平行,則直線l1與l2之間的距離為.

(3)已知直線l與兩直線l1:2x-y+3=0和l2:2x-y-1=0之間的距離相等,則l的方程為.

變式(1)已知點A(1,0),B(3,1),C為直線l:x-2y+4=0上的一個動點,則△ABC的面積為()A.5 B.5 C.52 D.(2)若直線12x-5y+c=0與直線y=125x+1間的距離不小于3,則c的取值范圍是[素養(yǎng)小結(jié)]求兩平行線間的距離一般有兩種方法(1)轉(zhuǎn)化法:將兩平行線間的距離轉(zhuǎn)化為其中一條直線上任意一點到另一條直線的距離.因為結(jié)果與點的選擇無關(guān),所以選點時,常選取一個特殊點,如直線與坐標軸的交點等,以便于運算.(2)公式法:直接利用公式d=|C1-C2|A◆探究點三距離公式的綜合應(yīng)用例3已知直線l經(jīng)過直線2x+y-5=0與直線x-2y=0的交點.(1)若點A(5,0)到l的距離為3,求l的方程;(2)求點A(5,0)到l的距離的最大值.變式若點P到直線5x-12y+13=0的距離與到直線3x-4y+5=0的距離相等,則點P所在直線的方程是 ()A.32x-56y+65=0或7x+4y=0B.x-4y+4=0或4