第五章

方差分析與正交設(shè)計

研究生《數(shù)理統(tǒng)計》課程方差分析

方差分析是根據(jù)試驗結(jié)果進(jìn)行分析，鑒別各個因素對試驗結(jié)果的影響程度。例如鑒別小麥的品種對產(chǎn)量的影響作用環(huán)境對生產(chǎn)力的影響（噪聲、濕度、溫度等）……研究三種教學(xué)方法對學(xué)生的學(xué)習(xí)效果進(jìn)行評價。一、基本原理

試驗指標(biāo)Y，樣本y1,y2,…,yn影響試驗指標(biāo)的因素記A，B，C，…每個因素下又分幾種狀態(tài)(水平)，記為A1,A2,…Ar或B1,B2,…,Bs例如，Y——小麥產(chǎn)品,因素A——溫度，有如下狀態(tài)(4個水平)：

40℃(A1)，60℃(A2)，80℃(A3)，100℃(A4)

四種狀態(tài)稱為水平。一、基本原理在每種狀態(tài)下，又測得n個數(shù)據(jù)，即樣本。以上表格反映的是單因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。40℃(A1)y11,y12,…,y1n60℃(A2)y21,y22,…,y2n80℃(A3)y31,y32,…,y3n100℃(A4)y41,y42,…,y4n一、基本原理設(shè)Y——小麥產(chǎn)量，A——溫度(4)，B——品種(3)，AB40℃(A1)60℃(A2)80℃(A3)100℃(A4)B1y111,…,y11ny121,…,y12ny131,…,y13ny141,…,y14nB2y211,…,y21ny221,…,y22ny231,…,y23ny241,…,y24nB3y311,…,y31ny321,…,y32ny331,…,y33ny341,…,y34n以上表格反映的是雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。思考：多因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。二、單因素方差分析1、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)模型假定A1

A2

………

Ar

數(shù)據(jù)準(zhǔn)備水平模型假定二、單因素方差分析2、數(shù)據(jù)形態(tài)二、單因素方差分析其中2、數(shù)學(xué)模型二、單因素方差分析歸納：A1y11,y12,…,y1nA2y21,y22,…,y2n………Aryr1,yr2,…,yrn數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)表3、方差分析對問題H0，提出一種稱為方差分析的檢驗方法。，

記易證記總離差平方和：組間差平方和：組內(nèi)差平方和：()若SA2顯著地大于SE2

，說明組間差異顯著大于組內(nèi)差異，那么H0可能不成立。理論上可以證明：當(dāng)H0成立時，說明：由F分布的定義知：記則在給定顯著性水平α的情況下，關(guān)于H0的拒絕域為：

表2.2單因素方差分析表方差來源

(自由度)

(平方和)

(均方差)F值P值因素A隨機誤差

總

和

單因素方差分析表

具體計算如下：

算例1：載重汽車銷售量分析

某公司為了研究三種內(nèi)容的廣告宣傳對載重汽車銷售量的影響，他們進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計。以廣告不同內(nèi)容形式的廣泛宣傳后，按寄回的廣告上的訂購數(shù)計算，一年四個季度的銷售量情況如下表：

季度一季度二季度三季度四A1A2A3163176170185184198179190206191218224

試分析廣告內(nèi)容對載重汽車銷售量的影響，并指出哪一種廣告內(nèi)容最佳？程序如下：A=[163184206;176198191;170179218;185190224];p=anova1(A)計算結(jié)果：box圖形查表：F0.95(2,9)=4.26

和p=0.0039<0.05

結(jié)論:拒絕H0.使用Matlab軟件計算第一列使用excel

軟件計算統(tǒng)計分析進(jìn)一步問：哪一種宣傳內(nèi)容較好呢？

因為第i種廣告內(nèi)容效應(yīng)的計算為：它的估計值為：可以計算：

計算結(jié)果表明：效應(yīng)值α3最大，說明廣告A3引起的銷售量最多。算例2：治療某疾病的藥物療效比較

設(shè)有五種治療某疾病的藥，欲比較它們的療效。現(xiàn)抽取了30個病人，將他們分成5組，每組6人，同組病人使用一種藥，并記錄病人從開始服藥到痊愈所需的時間(天)，具體數(shù)據(jù)如下表：

藥物A治療所需要的天數(shù)A1A2A3A4A55，8，7，7，10，84，6，6，3，5，66，4，4，5，4，37，4，6，6，3，59，3，5，7，7，6使用Matlab軟件計算：計算結(jié)果：box圖形查表：F0.95(4,25)=2.76

和p=0.0136<0.05

結(jié)論:拒絕H0.統(tǒng)計分析

根據(jù)方差分析，得出結(jié)論是：藥物治療某種疾病有顯著差異，進(jìn)一步問：哪一種藥物治療效果較好呢？水平ni均值標(biāo)準(zhǔn)差167.51.64322651.2649364.33331.0328465.16671.472566.16672.0412三、雙因素方差分析1、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)(有重復(fù)和無重復(fù))BAB1B2……BsA1y111,…,y11ny121,…,y12n……y1s1,…,y1sn………………………Aryr11,…,yr1nyr21,…,yr2n……yrs1,…,yrsn交互效應(yīng)三、雙因素方差分析2、數(shù)學(xué)模型其中它為因素A、B的交互效應(yīng)值三、雙因素方差分析3、問題，

同理可推導(dǎo)分解公式和統(tǒng)計量的計算公式：三、雙因素方差分析有交互作用的雙因素方差分析表方差來源平方和自由度均方差F值p值因素A因素B交互效應(yīng)A×B誤差總和為了提高某種產(chǎn)品的合格率，考察原料用量和來源地對產(chǎn)品的合格率(試驗指標(biāo))是否有影響。假設(shè)原料來源于三個地方：甲、乙、丙。原料的使用量有三種方案：現(xiàn)用量、增加5%、增加8%。每個水平組合各作一次試驗，得到如下表的數(shù)據(jù)，試分析原料用量及來源地對產(chǎn)品合格率的影響在顯著水平

下是否顯著。例無重復(fù)方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。結(jié)論：原料來源地對產(chǎn)品的合格率影響不大，而原料使用量對合格率有顯著影響。說明B2是最優(yōu)水平，如果乙地最方便且運輸距離短，那么最優(yōu)條件為A2B2。進(jìn)一步地對因素B進(jìn)行統(tǒng)計分析，可以根據(jù)效應(yīng)的估計公式：輸入的數(shù)據(jù)形式：例5.3.2選擇：輸出結(jié)果：AB誤差2911230.3311.8119.51F0.95(2,9)=4.256460.67

某個試驗用來比較4種不同藥品解除外科手術(shù)后疼痛的時間長度。結(jié)果（小時）表示如下：

使用方差分析分析“4種藥品解除外科手術(shù)后疼痛的時間長度有無顯著差異”；

（1）指出方差分析中的因素和水平；（2）指出方