.1函數的概念及表示知識點一函數的概念【【解題思路】1.根據圖形判斷對應關系是否為函數的方法（1）任取一條垂直于x軸的直線l；（2）在定義域內平行移動直線l；（3）若l與圖形有且只有一個交點，則是函數；若在定義域內沒有交點或有兩個或兩個以上的交點，則不是函數.2判斷一個對應關系是否為函數的方法【例1-1】（23-24高一上·河南濮陽·階段練習）下圖中可表示函數的圖象是（

）A．B．C． D．【答案】B【解析】根據函數的定義可知一個只能對應一個值，故答案為B.故選：B.【例1-2】（23-24高一上·廣東韶關·階段練習）設,如下選項是從M到N的四種應對方式,其中是M到N的函數是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A,集合M中的3對應了集合N中的兩個數,A錯誤;對于B,集合M中的2對應了集合N中的兩個數,B錯誤;對于C,集合M中的每個數在集合N中都有唯一的數對應,C正確;對于D,集合M中的3對應了集合N中的兩個數,D錯誤,故選:C.【例1-3】（23-24高一上·江蘇徐州·期中）已知，，下列對應關系不能作為從到的函數的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A，對于集合的元素分別對應著中的唯一元素，A能；對于B，對于集合的元素分別對應著中的唯一元素，B能；對于C，對于集合的元素，在中沒有元素與之對應，C不能；對于D，對于集合的元素分別對應著中的唯一元素，D能.故選：C【變式】1．（24-25高一上·全國·假期作業）（多選）下列圖象中，表示函數關系的有（

）A．B．C．D．【答案】AD【解析】根據函數的概念知，對于定義域內任意，都有唯一確定的和它對應，由圖象可看出，表示函數關系的有AD；BC項的對應關系中，均出現了一個對應兩個值的情況，不符合函數的定義，不是函數．故選：AD．2．（23-24高一上·安徽安慶·階段練習）（多選）對于集合，由下列圖形給出的對應中，不能構成從到的函數有（

）

A．① B．② C．③ D．④【答案】ABC【解析】圖①中能看到函數的值域不是集合B的子集，不符合函數定義：圖②和③中，從集合A到集合B存在一對多的對應關系，不符合函數的定義：圖④符合函數的定義.故選：ABC3．（23-24高一上·浙江湖州·階段練習）（多選）下列對應關系：是集合到集合的函數關系的是（

）A．，，，B．，，，C．，，，D．，，，【答案】AC【解析】對于A中，集合，，可得為多對一對應，所以是函數關系，符合題意；對于B中，集合，可得集合中的元素，在集合中沒有元素與之對應，所以不是函數關系，不符合題意；對于C中，集合，，可得為多對一對應，所以是函數關系，符合題意；對于D中，集合，，可得集合中的一個元素，在集合中有兩個元素與之對應，所以不是函數關系，不符合題意.故選：AC.4．（23-24高一上·重慶·階段練習）（多選）下列對應關系是從到的函數的是（

）A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】AD【解析】根據函數定義，集合中的每一個元素，對應集合中唯一元素．對于A，符合函數的定義，是從A到B的函數，故A正確；對于B，A中有元素0，在對應關系下，不在集合B中，不是函數，故B錯誤；對于C，A中元素時，B中沒有元素與之對應，不是函數，故C錯誤；對于D，A中任意元素，在對應關系下，都在集合B中，是從A到B的函數，故D正確；故選：AD知識點二區間的表示【【解題思路】用區間表示數集的方法(1)區間左端點值小于右端點值．(2)區間兩端點之間用“，”隔開．(3)含端點值的一端用中括號，不含端點值的一端用小括號．(4)以“－∞”，“＋∞”為區間的一端時，這端必須用小括號．【例2-1】（23-24高一上·新疆阿克蘇·階段練習）下列敘述正確的是（

）A．用區間可表示為 B．用區間可表示為C．用集合可表示為 D．用集合可表示為【答案】D【解析】對于A，用區間可表示為，錯誤；對于B，用區間可表示為，錯誤；對于C，用集合可表示為，錯誤；對于D，用集合可表示為，正確；故選：D【例2-2】（23-24高一上·上海松江·期中）若為一確定區間，則的取值范圍為.【答案】【解析】由題意，，解得.故答案為：【變式】1．（22-23高一·全國·課堂例題）用區間表示下列數集：（1）；（2）；（3）且；（4）；（5）．【答案】【解析】；；且；；.故答案為：；；；；.2．（2024湖北）已知區間[－2a，3a＋5]，則a的取值范圍為．【答案】(－1，＋∞)【解析】由題意可知3a＋5>－2a，解得a>－1.故a的取值范圍是(－1，＋∞)．故答案為：(－1，＋∞)知識點三函數的定義域【【解題思路】1.具體函數的定義域（1）分式：分母不等于零（2）根式：根式是偶次根式。根號內的式子不小于零（3）0次方：一個數的0次方等于1，這個數不能為02.求抽象函數的定義域的策略（1）若已知函數f(x)的定義域為[a，b]，則復合函數f(g(x))的定義域由不等式a≤g(x)≤b求出；（2）若已知函數f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]上的值域．口訣：對應法則不變，括號內等范圍3.求函數定義域應注意的問題（1）不要對解析式進行化簡變形，以免定義域發生變化；（2）定義域是一個集合，要用集合或區間表示，若用區間表示數集，不能用“或”連接，而應該用并集符號“∪”連接．【例3-1】（24-25高一上·上海·課堂例題）求下列函數的定義域：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）要使函數有意義，需滿足，解得，所以的定義域為．（2）要使函數有意義，需滿足解得．所以函數的定義域為．（3）要使函數有意義，需滿足，解得．所以函數的定義域為．【例3-2】．（24-25高一上·上海·課堂例題）（1）設函數的定義域為，求下列函數的定義域：①；②.（2）函數的定義域是，求函數的定義域.【答案】（1）①；②；（2）【解析】（1）①由已知，得，解得，故的定義域為.②由已知，得，解得，故的定義域為.（2）先求的定義域：因為的定義域是，所以，所以，即的定義域是.再求的定義域：因為，解得，所以的定義域是.【例3-3】（23-24高一上·江蘇南京·階段練習）已知函數的定義域為，則函數的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由函數的定義域為，可得函數的定義域為，則函數的定義域是，故選：C.【變式】1．（23-24高一下·廣東汕頭·期中）函數的定義域為（

）A．{且} B．{且}C． D．{且}【答案】D【解析】由題意得，解得且，即定義域為.故選：D.2．（23-24高一上·北京·期中）函數的定義域是．【答案】且【解析】要使函數有意義，只需，解得：且.故答案為：且3．（23-24高二下·上海·期末）函數的定義域為．【答案】【解析】對于函數，有，解得，故函數的定義域為函數的定義域為.故答案為：.4．（2024高一·全國·專題練習）已知的定義域為，則的定義域為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為的定義域為，即，則，所以，所以的定義域為.故選：C.5．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）函數的定義域為，則函數的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數的定義域為，由，有，即函數的定義域為，令，解得，函數的定義域為.故選：C6．（23-24遼寧·階段練習）已知函數的定義域為，則函數的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知，要使有意義，則，解得，所以函數的定義域為．故選：D．知識點四相等函數【【解題思路】判斷兩個函數為同一函數（1）定義域、對應關系兩者中都相同時，為同一個函數（2）在化簡解析式時，必須是等價變形.【例4-1】（2024浙江·學業考試）下列各組函數表示同一函數的是（

）A．和 B．和C．和 D．與【答案】C【解析】對于A，的定義域為，的定義域為，定義域不同，不是同一函數，故A錯誤；對于B，，，表達式不同，不是同一函數，故B錯誤；對于C，兩函數的定義域，表達式和值域均相同，是同一函數，故C正確；對于D，的定義域為，的定義域為，定義域不同，不是同一函數，故D錯誤.故選：C.【例4-2】（23-24高一上·安徽馬鞍山·期中）下列各組函數中，表示同一個函數的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】選項A，解析式等價，定義域也相同，所以是同一個函數；選項B，解析式化簡后相同，但定義域不同，因為分母不能取0，所以不是同一個函數；選項C，解析式化簡后都是1，但定義域不同，因為0的0次冪沒有意義，所以不是同一個函數；選項D，解析式不同，定義域也不同，所以不是同一個函數.故選:A.【變式】1．（23-24高一上·安徽阜陽·階段練習）下列各組函數相等的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】對于A中，函數的定義域為R，的定義域為，所以定義域不同，不是相同的函數，故A錯誤；對于B中，函數的定義域為R，的定義域為，所以定義域不同，不是相同的函數，故B錯誤；對于C中，函數的定義域為R，與的定義域為，所以定義域不同，所以不是相同的函數,故C錯誤；對于D中，函數與的定義域均為R，可知兩個函數的定義域相同，對應關系也相同，所以是相同的函數,故D正確；故選：D.2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列函數中，與函數是同一函數的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對A，的定義域為，的定義域為，故A錯誤；對B，，故B錯誤；對C，的定義域為，故C錯誤；對D，，故D正確.故選：D3．（23-24高一下·山東淄博·期中）（多選）下列各組函數是同一函數的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】BD【解析】對A：對的定義域為，則，故與不是同一函數，故A錯誤；對B：，，故與是同一函數，故B正確；對C：定義域為，即，定義域為，即或，故與不是同一函數，故C錯誤；對D：與定義域與對應關系都相同，故與是同一函數，故D正確.故選：BD.4．（23-24高一上·吉林延邊·階段練習）（多選）下列各組函數表示同一函數的是（）A．與 B．與C．與 D．與【答案】BCD【解析】對于A，的定義域為，而函數的定義域為R，故A錯誤；對于B，函數，，故B正確；對于C，函數，，故C正確；對于D，函數，，故D正確.故選：BCD.知識點五函數的表示方法【【解題思路】函數的三種表示方法表示法定義解析法用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系圖象法用圖象表示兩個變量之間的對應關系列表法列出表格來表示兩個變量之間的對應關系【例5-1】（23-24高一上·廣東佛山·階段練習）已知函數的部分與的對應關系如下表：則（

）0123432100A． B． C． D．3【答案】D【解析】由圖表可知，，所以，故選：D【例5-2】（23-24高一上·山東·期中）下圖的四個圖象中，與下述三件事均不吻合的是（

）（1）我騎著車離開家后一路勻速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時間；（2）我離開家不久，發現自己把作業本忘在家里了，于是返回家里找到了作業本再上學；（3）我從家出發后，心情輕松，一路緩緩加速行進.A．

B．

C．

D．

【答案】D【解析】（1）我騎著車離開家后一路勻速行駛，此時對應的圖像為直線遞增圖像，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時間，此時離家距離為常數，然后為遞增圖像，對應圖像A；（2）我離開家不久，此時離家距離為遞增圖像，發現自己把作業本忘在家里了，于是返回家里找到了作業本再上學，此時離開家的距離遞減到0，然后再遞增，對應圖像C；（3）我從家出發后，心情輕松，一路緩緩加速行進，此時圖像為遞增圖像，對應圖像B；故選：D【變式】1．（23-24高一上·湖南長沙·期末）已知函數分別由下表給出：則的值是（

）123131321A．1 B．2 C．3 D．1和2【答案】C【解析】由表可知：，則.故選：C.2．（23-24高一上·福建三明·期末）已知函數的對應關系如下表，函數的圖象為如圖所示的曲線，其中，，，則（

）．123230

A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】由圖可知，，由表格可知，故選：B.3．（23-24山東濟南·階段練習）如圖，公園里有一處扇形花壇，小明同學從點出發，沿花壇外側的小路順時針方向勻速走了一圈，則小明到點的直線距離與他從點出發后運動的時間之間的函數圖象大致是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】當小明在弧上運動時，與點的距離相等，所以AB選項錯誤.當小明在半徑上運動時，與點的距離減小，當小明在半徑上運動時，與點的距離增大，所以C選項錯誤，D選項正確.故選：D知識點六分段函數【例6-1】（23-24陜西西安·期中）設．(1)求的值；(2)若，求t值.【答案】(1)0(2)或或【解析】（1）.（2）當時，，∴；當時，，解得：；當時，，∴，綜上所述：或或．【例6-2】（22-23高一上·廣東佛山·階段練習）已知函數.(1)求，的值；(2)作出函數的簡圖；(3)由簡圖指出函數的值域；【答案】(1)，(2)函數的簡圖見解析.(3)【解析】（1）由，∴，.（2）簡圖如圖所示：（3）簡圖可知函數的值域為【變式】1．（23-24高一上·安徽馬鞍山·期中）已知函數(1)求；(2)若，求a的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】（1）函數，則，所以.（2）函數，由可得或或，解得或或，所以a的取值范圍是.2．（23-24高一上·陜西漢中·期中）已知函數.(1)求，的值；(2)利用描點法直接在所給坐標系中作出的簡圖（不用列表）.【答案】(1)，(2)作圖見解析【解析】（1）由已知可得，，.（2）在坐標系中描點，，，，，作出的簡圖3．（23-24高一上·北京·期中）已知函數的圖象如圖所示，其中y軸的左側為一條線段，右側為某拋物線的一段．

(1)寫出函數的解析式、定義域和值域；(2)求，的值．【答案】(1)，定義域為，值域為；(2)，.【解析】1）根據題意及圖象可知：當時，可設線段解析式為，將點代入解析式可得，即；當時，圖象為拋物線一部分，可設解析式為，由圖象可知其頂點為且過點，所以，即，則，結合圖象，所以的定義域為，值域為；（2）由上可知，，即，.重難點一函數的解析式【【解題思路】1.已知f(g(x))＝h(x)求f(x)，常用的有兩種方法：(1)換元法：即令t＝g(x)解出x，代入h(x)中得到一個含t的解析式，即為函數解析式，注意換元后新元的范圍.(2)配湊法：即從f(g(x))的解析式中配湊出“g(x)”，即用g(x)來表示h(x)，然后將解析式中的g(x)用x代替即可.2.方程組法：當同一個對應關系中的含有自變量的兩個表達式之間有互為相反數或互為倒數關系時，可構造方程組求解.3.待定系數法求函數解析式已知函數的類型，如是一次函數、二次函數等，即可設出f(x)的解析式，再根據條件列方程(或方程組)，通過解方程(組)求出待定系數，進而求出函數解析式.【例7】（24-25高一上·上海·課堂例題）（1）已知是一次函數，且，求的表達式；（2）已知，求的表達式；（3）已知，求的表達式；（4）已知，求的表達式．【答案】（1）或；（2）；（3）；（4）【解析】（1）設．∵，，解得或，∴或．（2）令則．∵，∴．（3）令，，則，即．∵，∴，∴．（4）∵，①∴．②得，∴．【變式】1．（23-24高一上·湖北·期中）已知，則函數的解析式為（

）A． B．（）C．（） D．（）【答案】C【解析】設（），則，，所以（），故選：C.2．（23-24高一上·江蘇鹽城·期中）若函數，則．【答案】（）【解析】函數，令，則，所以則函數化為所以（）.故答案為：（）.3．（23-24高一上·上海·期中）已知，，則．【答案】【解析】對于函數，有，又因為，故.故答案為：.4．（24-25高一上·上海·課堂例題）（1）已知是二次函數，且滿足，，求的表達式；（2）已知，求的表達式；（3）已知，求的表達式．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）設，∵，∴．又∵，∴．整理得．由恒等式的性質知上式中對應項系數相等，∴，解得∴所求函數的表達式為．（2）令，則．∴，∴所求函數的表達式為．（3）在原式中用替換，得，于是有，消去，得．∴所求函數的表達式為．重難點二作函數圖像【例8】（23-24廣東深圳）作出下列函數的圖象.(1)；(2)；(3)．(4)(5)，（6）【答案】圖象見解析【解析】（1），∴圖象為一條直線上5個孤立的點；如下圖．（2），先作函數的圖象，把它向右平移一個單位得到函數的圖象，再把它向上平移兩個單位便得到函數的圖象．如下圖．（3）先作的圖象，保留軸上方的圖象，再把軸下方的圖象對稱翻到軸上方．再把它向上平移1個單位，即得到的圖象，如下圖所示．（4）畫出一次函數的圖象，取上的一段；畫出二次函數的圖象，取上的一段；畫出一次函數的圖象，取上的一段，如圖所示．

（5）先作出二次函數的圖象，保留軸上及其上方部分，再把軸下方的部分翻折到軸上方，并截取在區間上的部分，如圖所示．

（6）由，可得函數圖象如下圖，【變式】（24-25高一上·全國·課前預習）作出下列函數的草圖．(1)；(2)；(3)；(4)．(5)；(6)．（7）【答案】答案見解析【解析】（1）列表：011描點，連線：

（2）列表：01233003描點，連線：

（3）列表：01101描點，連線：

（4）列表：1221描點，連線得第一象限內的圖象，并作出其關于原點對稱的曲線，如圖．

（5）由題意得，其圖象可由的圖象先向右平移1個單位，再向上平移2個單位得到，即：

（6）由題意得，分段作出二次函數圖象，則圖象為：（7）由題意知，結合二次函數性質，函數圖象如下：單選題1.（203·江蘇揚州）下列對應是集合到集合的函數的是（

）A．，B．，，C．，D．，【答案】A【解析】對于A選項，滿足函數的定義，A選項正確；對于B選項，集合A中取，在集合B中沒有對應元素，故B選項錯誤；對于C選項，集合A中取，在集合B中沒有對應元素，故C選項錯誤；對于D選項，集合A中當時，在集合B中都有兩個元素與x對應，不滿足函數的定義，故D選項錯誤.故選：A．2．（23-24高一上·湖北·期末）已知函數，則（

）A．2 B．3 C． D．5【答案】A【解析】依題意，，所以.故選：A3．（23-24高一上·湖北·期末）已知函數的定義域為，則函數的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數的定義域為，所以，，所以的定義域為，對于函數，由，得，所以函數的定義域為.故選：C4．（22-23高一上·山東·期中）已知函數，若，則（

）A．-4 B．-1 C．-4或-1 D．-4或【答案】A【解析】函數，則，當，即時，，解得，無解，當，即時，，解得，則，所以.故選：A5．（2023·山東）下列每組中的函數是同一個函數的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】對于A，函數的定義域為R，函數的定義域為[0，+∞），所以這兩個函數不是同一個函數；對于B，因為，且，的定義域均為R，所以這兩個函數是同一個函數；對于C，，和的對應關系不同，所以這兩個函數不是同一個函數；對于D，函數的定義域為{，且}，函數的定義域為R，所以這兩個函數不是同一個函數.故選：B.6．（22-23高一上·浙江·期中）已知，則說法不正確的是（

）A． B．C． D．當，【答案】B【解析】因為，所以，即，故A正確；所以，，故B錯誤；所以，故C正確；當時，，所以，故D正確.故選：B.7．（2024·北京）函數的值域為（

）A． B．C． D．以上答案都不對【答案】C【解析】設題中函數為，則，當時，；當時，視其為關于x的二次方程，判別式，綜上，故值域為．故選：C.8．（2023·高一課時練習）已知集合，其中，函數的定義域為A，值域為B，則a，k的值分別為（

）A．2，3 B．3，4 C．3，5 D．2，5【答案】D【解析】函數的定義域為A，值域為B，所以當時，；當時，；當時，；當時，；所以，又，所以若，解得或，因為，所以.此時，所以，則；若，又，所以不成立.綜上，.故選：D.多選題9．（2023·云南）下列四個圖象中，是函數圖象的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】ACD【解析】由函數的定義可知，對任意的自變量，有唯一的值相對應，選項B中的圖像不是函數圖像，出現了一對多的情況，其中選項A、C、D皆符合函數的定義，可以表示是函數.故選：ACD10．（23-24高一上·安徽馬鞍山·階段練習）下列各組函數表示同一函數的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】A.，定義域都為R，故表示同一函數；B.，故不是同一函數；C.，解析式相同，定義域都為R，故表示同一函數；D.，的定義域為R，的定義域為，故不是同一函數，故選：AC11．（2023-2024·高一課時練習）甲同學家到乙同學家的途中有一座公園，甲同學家到公園的距離與乙同學家到公園的距離都是2km．如圖所示表示甲同學從家出發到乙同學家經過的路程y（km）與時間x（min）的關系，下列結論正確的是（

）

A．甲同學從家出發到乙同學家走了60minB．甲從家到公園的時間是30minC．當0≤x≤30時，y與x的關系式為D．當30≤x≤60時，y與x的關系式為【答案】BCD【解析】由圖象可知，甲在公園休息的時間是10min，所以只走了50min，故A錯誤，由題中圖象可知，甲從家到公園的時間是30min，故B正確，當0≤x≤30時，設y＝kx（k≠0），則2＝30k，解得k，故C正確，當30≤x≤60時，設y＝kx+b，直線過點（40，2），（50，3），則，故y與x的關系式為，故D正確．故選：BCD填空題12．（24-25高一上·上海·課前預習）下列四種說法中，不正確的是（填序號）．①在函數值域中的每一個數，在定義域中都至少有一個數與之對應；②函數的定義域和值域一定是無限集合；③定義域和對應關系確定后，函數的值域也就確定了；④若函數的定義域中只含有一個元素，則值域也只含有一個元素．【答案】②【解析】在函數值域中的每一個數，在定義域中都至少有一個數與之對應，①正確；若函數,定義域為，但值域為，故②錯誤，定義域和對應關系確定后，函數的值域也就確定了，故③正確，由于對任意的，有唯一的與之對應，故函數的定義域中只含有一個元素，則值域也只含有一個元素，④正確，故答案為：②13．（23-24高一上·天津紅橋·期中）已知函數，則當函數值時，.【答案】或或.【解析】當時，，，所以，當時，，，所以；當時，，，所以，綜上，或或.故答案為：或或.14．（23-24高一上·湖北荊州·階段練習）已知函數和分別由下表給出，則，若，則實數的取值集合為.1234514916252345613245【答案】【解析】根據表格可得，，所以，.根據表格可得，當時，滿足，此時；當時，滿足，此時；當時，滿足，此時.綜上可得，實數的取值集合為.故答案為：；.解答題15．（23-24高一上·江西贛州·期末）設函數．(1)在平面直角坐標系中畫出它的圖象；(2)解不等式．【答案】(1)答案見解析(2)或或【解析】（1）的圖象如下：（2）由，結合（1）可得①或②，解①得或解②得故的解集為或或.16．（23-24高一上·安徽蚌埠·期中）求下列函數的解析式：(1)已知，求；(2)已知，求；(3)已知是一次函數，且，求；(4)定義在區間上的函數滿足，求的解析式．【答案】(1)(2)(3)或(4)【解析】（1）因為，所以．（2）解法一（換元法）：令，，則，所以，所以．解法二（配湊法）：，因為，所以．（