第六章平面向量、復數第1講平面向量的概念及線性運算

課標要求命題點五年考情命題分析預測1.通過對力、速度、位移等的分析，了解平面向量的實際背景，理解平面向量的意義和兩個向量相等的含義.2.理解平面向量的幾何表示和基本要素.3.借助實例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量加、減運算及運算規則，理解其幾何意義.4.掌握平面向量數乘運算及運算規則，理解其幾何意義.理解兩個平面向量共線的含義.5.了解平面向量的線性運算性質及其幾何意義.平面向量的有關概念2022新高考卷ⅠT3本講命題熱點為平面向量的線性運算、共線向量定理的應用，一般以選擇題、填空題的形式出現，難度不大.預計2025年高考命題穩定，備考時注意對向量的幾何意義的理解和應用.平面向量的線性運算2022新高考卷ⅠT3；2020全國卷ⅠT14；2020新高考卷ⅡT3課標要求命題點五年考情命題分析預測1.通過對力、速度、位移等的分析，了解平面向量的實際背景，理解平面向量的意義和兩個向量相等的含義.2.理解平面向量的幾何表示和基本要素.3.借助實例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量加、減運算及運算規則，理解其幾何意義.4.掌握平面向量數乘運算及運算規則，理解其幾何意義.理解兩個平面向量共線的含義.5.了解平面向量的線性運算性質及其幾何意義.共線向量定理的應用本講命題熱點為平面向量的線性運算、共線向量定理的應用，一般以選擇題、填空題的形式出現，難度不大.預計2025年高考命題穩定，備考時注意對向量的幾何意義的理解和應用.

1.平面向量的有關概念名稱定義備注向量既有①

又有②

?

的量；向量的大小叫做向量的長

度(或③

).平面向量是自由向量.零向量長度為0的向量.零向量記作0，其方向是④

?

的.大小

方向

模

任意

名稱定義備注單位向量長度等于1個單位長度的向量.平行向量

(共線向量)方向⑦

?的非零

向量.0與任意向量平行(共線).

相同或相反

名稱定義備注相等向

量長度⑧

且方向⑨

?

的向量.相等向量一定是平行向量，平行向量

不一定是相等向量.相反向

量長度相等且方向相反的兩個向量.若a，b互為相反向量，則a＝－b.0的相反向量為0.注意

(1)0是一個向量，0是一個實數，｜0｜＝0.(2)兩個向量不能比較大小，只能判斷它們是否相等，但它們的模可以比較大小.相等

相

同

2.平面向量的線性運算向量

運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算.

三角形法則平行四邊形法則(1)a＋b＝b＋a.(2)(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).向量

運算定義法則(或幾何意義)運算律減法求a與b的相反向量－b

的和的運算叫做a與b的

差.

三角形法則a－b＝a＋(－b).向量

運算定義法則(或幾何意義)運算律數乘求實數λ與向

量a的積的運

算.(1)｜λa｜＝｜λ｜｜a｜.(2)當λ＞0時，λa與a的方向

⑩

；當λ＜0時，λa與a

的方向?

；當λ＝0

時，λa＝0.(1)λ(μa)＝λμa＝μ(λa).(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.注意

利用三角形法則時，兩向量要首尾相連；利用平行四邊形法則時，兩向量要

有相同的起點.相同

相反

3.共線向量定理向量

a

(

a

≠0)與

b

共線的充要條件：存在唯一一個實數λ，使?

?.注意

(1)只有非零向量才能表示與之共線的其他向量.(2)兩向量共線包含同向共線

和反向共線兩種情況.b

＝λ

a

1.下列說法正確的是(

D

)A.零向量是唯一沒有方向的向量B.單位向量都相等C.a與b同向，且｜a｜＞｜b｜，則a＞bD.兩個向量平行是這兩個向量相等的必要不充分條件D1234

A

12343.已知向量

a

，

b

，若｜

a

｜＝2，｜

b

｜＝4，則｜

a

－

b

｜的取值范圍是

?

?.[解析]由｜｜

a

｜－｜

b

｜｜≤｜

a

－

b

｜≤｜

a

｜＋｜

b

｜，得2≤｜

a

－

b

｜≤6.[2，

6]

12344.已知

a

與

b

是兩個不共線的向量，且向量

a

＋λ

b

與－(

b

－3

a

)共線，則λ＝

?

?.

1234

命題點1

平面向量的有關概念例1

(1)下列說法正確的是

(

B

)A.若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同C.a＝b的充要條件是｜a｜＝｜b｜且a∥bD.已知λ，μ為實數，若λa＝μb，則a與b共線B例1訓練1例2例3例4訓練2例5訓練3例6訓練4

例1訓練1例2例3例4訓練2例5訓練3例6訓練4

A.a＝－bB.a∥bC.a＝2bD.a∥b且｜a｜＝｜b｜C例1訓練1例2例3例4訓練2例5訓練3例6訓練4

例1訓練1例2例3例4訓練2例5訓練3例6訓練4

例1訓練1例2例3例4訓練2例5訓練3例6訓練4訓練1

下列說法正確的是(

B

)A.相反向量就是方向相反的向量B.a，b，c為非零向量，若a∥b，b∥c，則a∥cC.若a與b共線，則a＝b或a＝－bD.若a為平面內的某個向量，a0為單位向量，則a＝｜a｜a0[解析]對于A，相反向量是方向相反，長度相等的兩個向量，故A錯誤；對于C，

若向量

a

與

b

共線，則

a

與

b

的方向相同或相反，但長度不一定相等，故C錯誤；對

于D，

a

與｜

a

｜

a

0

的模相等，但方向不一定相同，故D錯誤；易知B正確.故選B.B例1訓練1例2例3例4訓練2例5訓練3例6訓練4

A.鈍角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形

AD例1訓練1例2例3例4訓練2例5訓練3例6訓練4(2)[全國卷Ⅰ]設

a

，

b

為單位向量，且｜

a

＋

b

｜＝1，則｜

a

－

b

｜＝

?.

例1訓練1例2例3例4訓練2例5訓練3例6訓練4

例1訓練1例2例3例4訓練2例5訓練3例6訓練4方法技巧利用向量加、減法的幾何意義解決問題的思路(1)根據兩個向量的和與差，構造相應的平行四邊形或三角形，再結合其他知識

求解；(2)平面幾何中，如果出現平行四邊形或可能構造出平行四邊形或三角形的問題，那

么可考慮利用向量知識來求解.例1訓練1例2例3例4訓練2例5訓練3例6訓練4

A.3m－2nB.－2m＋3nC.3m＋2nD.2m＋3n

B例1訓練1例2例3例4訓練2例5訓練3例6訓練4方法技巧向量的線性運算問題的求解策略(1)利用三角形法則或平行四邊形法則求解；(2)利用相等向量、相反向量、共線向量以及三角形中位線等，把未知向量轉化為與

已知向量有直接關系的向量進行求解.例1訓練1例2例3例4訓練2例5訓練3例6訓練4

A.(0，1)

C例1訓練1例2例3例4訓練2例5訓練3例6訓練4方法技巧求參數問題可以通過向量的線性運算將向量表示出來，進行比較，構造方程

(組)求解.例1訓練1例2例3例4訓練2例5訓練3例6訓練4訓練2

(1)[多選]在梯形

ABCD

中，

AB

∥

CD

，

AB

＝2

CD

，

AC

與

BD

相交于點

O

，

則下列結論正確的是(

ABD

)

ABD例1訓練1例2例3例4訓練2例5訓練3例6訓練4

例1訓練1例2例3例4訓練2例5訓練3例6訓練4

B例1訓練1例2例3例4訓練2例5訓練3例6訓練4(2)[全國卷Ⅱ]設向量

a

，

b

不平行，向量λ

a

＋

b

與

a

＋2

b

平行，則實數λ＝

?.

例1訓練1例2例3例4訓練2例5訓練3例6訓練4

例1訓練1例2例3例4訓練2例5訓練3例6訓練4

A.－1B.0C.1D.2A例1訓練1例2例3例4訓練2例5訓練3例6訓練4

例1訓練1例2例3例4訓練2例5訓練3例6訓練4

例1訓練1例2例3例4訓練2例5訓練3例6訓練4

B.3C.2B例1訓練1例2例3例4訓練2例5訓練3例6訓練4

例1訓練1例2例3例4訓練2例5訓練3例6訓練4

A.3D.2A例1訓練1例2例3例4訓練2例5訓練3例6訓練4

例1訓練1例2例3例4訓練2例5訓練3例6訓練4

例1訓練1例2例3例4訓練2例5訓練3例6訓練4方法技巧

例1訓練1例2例3例4訓練2例5訓練3例6訓練4

例1訓練1例2例3例4訓練2例5訓練3例6訓練4

[1，3]

圖1例1訓練1例2例3例4訓練2例5訓練3例6訓練4

圖2例1訓練1例2例3例4訓練2例5訓練3例6訓練4

所以

x

＋3

y

的取值范圍是[1，3].圖2例1訓練1例2例3例4訓練2例5訓練3例6訓練4

例1訓練1例2例3例4訓練2例5訓練3例6訓練4

1.[命題點1]設

a

，

b

為非零向量，則“

a

∥

b

”是“

a

與

b

方向相同”的(

B

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件[解析]因為

a

，

b

為非零向量，所以當

a

∥

b

時，

a

與

b

方向相同或相反，因此“

a

∥

b

”是“

a

與

b

方向相同”的必要不充分條件.B123

A.3B.4A123

123

A.1C123

123

A.A，B，D

三點共線B.A，B，C三點共線C.B，C，D

三點共線D.A，C，D三點共線D123456789101112

1234567891011122.[2024河南濟源市第六中學月考]設

a

，

b

是兩個非零向量，則下列說法正確的是

(

C

)A.若｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜，則a⊥bB.若a⊥b，則｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜C.若｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜，則存在實數λ，使得a＝λbD.若存在實數λ，使得a＝λb，則｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜[解析]

｜

a

＋

b

｜＝｜

a

｜－｜

b

｜成立的充要條件是向量

a

，

b

方向相反，且｜

a

｜＞｜

b

｜，易知C正確.C123456789101112

A.x＋y≤1B.x＋y＜1C.x＋y≥1D.x＋y