專題13直角三角形中30性質應用的4種壓軸題型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一用30的性質求線段的長度的計算】 1【考點二用30的性質求等邊三角形的計算】 2【考點三用30的性質求圖形運動相關計算】 2【考點四30的性質應用的拓展提高】 3【過關檢測】 4【典型例題】【考點一用30的性質求線段的長度的計算】【例題1】如圖，，，則（）

A．2 B．1.5 C． D．1【答案】A【分析】本題考查的是角平分線的性質、平行線的性質，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．作于，根據角平分線的性質求出，根據直角三角形的性質求出，根據等腰三角形的性質解答．【詳解】解：如圖，作于，

，，，，，，，，，，，故選：A．【變式1】如圖，在中，，，為上一點，，則的長為（）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【分析】本題考查等腰三角形的性質，含30°角的直角三角形的性質，即“直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”，據此解答即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，∵，∴，∴，∴，∴．故選：B．【變式2】如圖，在中，，，，連接并延長交于點，若，，則的長為（

）A．15 B．20 C．9 D．12【答案】A【分析】本題考查了直角三角形兩個銳角互余，含角的直角三角形特征，熟練掌握直角三角形特征是解題關鍵．【詳解】解：，，，，，，，，，即，，．故選：A．【變式3】如圖，它是房架設計圖的一部分，點D是斜梁的中點，立柱、垂直于橫梁，，，則是（）米．

A．2 B．4 C．8 D．【答案】A【分析】根據，點D是斜梁的中點，那么，結合，即可知道的值．【詳解】解：∵，點D是斜梁的中點，∴，∵，∴在，，故選：A．【點睛】本題考查了直角三角形的性質，在直角三角形中，所對的直角邊是斜邊的一半，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．【考點二用30的性質求等邊三角形的計算】【例題2】如圖：是等邊三角形，，，相交于點P，于Q，，，則的長是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】先利用等邊三角形的性質證，得，，則，再求出，則，然后由含角的直角三角形的性質求出的長即可．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，在中，，∴，故選：A．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質、等邊三角形的性質，含角的直角三角形的性質，三角形的外角性質等知識點，熟練掌握等邊三角形的性質，證明三角形全等是解題的關鍵．【變式1】已知如圖四邊形，連接，是等邊三角形，，，則的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖所示，將繞點逆時針旋轉至與重合，得，連接，過點作與點，過點作與點，可證，是等邊三角形，可求出的值，根據即可求解．【詳解】解：如圖所示，將繞點逆時針旋轉至與重合，得，連接，過點作與點，過點作與點，

∵是等邊三角形，∴，根據旋轉可得，，則，，，∵旋轉至，旋轉至，，∴，∴，在圖形中，，，∴圖形是等邊三角形，即點三點共線，∴在等邊中，，∴，在中，，則，∴，∵，，∴，∴，故選：．【點睛】本題主要考查等邊三角形的判定和性質，旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，平行線的判定和性質，含角的直角三角形的性質，掌握以上知識是解題的關鍵．【變式2】如圖，是等邊三角形，點在的延長線上，點是的中點，連接并延長交于點，且，若，則的長為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據等邊三角形的性質，的條件，可得的是含角的直角三角形，由此可求出的長，根據即可求解．【詳解】解：∵是等邊三角形，點是的中點，連接，∴，，平分，∴，∵，∴，∵，且是的外角，∴，∴，∴，在中，，且，∴，即，∴中，，在中，，，∴，在中，，∴，∴，故選：．【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質，等腰三角形的判定和性質，含角的直角三角形的性質的綜合，掌握以上知識，圖形結合分析是解題的關鍵．【變式3】已知，如圖，是等邊三角形，，于Q，交于點P，下列說法：①，②，③，④，其正確的個數有（

）個

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據等邊三角形的性質可得，，再利用“邊角邊”證明，結合全等三角形的性質與三角形的外角的性質，等腰直角三角形的性質逐一分析判斷即可．【詳解】證明：∵是等邊三角形，∴，，

在和中，，∴，∴，∴，∴，故①正確∵，∴，∴．故③正確，∵．，∴，∴，故④正確，若，則，，與題干條件不符，∴無法判斷，故②錯誤，故選C．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，直角三角形角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．【考點三用30的性質求圖形運動相關計算】【例題3】如圖，中，，，，，將繞點C逆時針旋轉至，使得點恰好落在上，與交于點D，則的面積為（

）

A． B． C．5 D．【答案】A【分析】由已知結合旋轉的性質可知，，可證得是等邊三角形，可得，，進而可知，由等腰三角形的性質和含30度的直角三角形的性質可知，，進而利用面積公式即可求解．【詳解】解：在中，，，，∴，，由旋轉可知，，，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∵，∴，則，∴，，∴．故選：A．【點睛】本題考查直角三角形30度角的性質、勾股定理、等邊三角形的判定和性質、旋轉的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用這些知識解決問題，屬于中考常考題型．【變式1】如圖，在中，，，，將繞點A順時針旋轉得到，當點落在邊上時，連接，則線段的長為（

）

A．3 B．1 C．2 D．【答案】C【分析】由，，，可得，，再根據旋轉的性質可得是等邊三角形，即可求解．【詳解】解：∵，，，∴，，∵將繞點A順時針旋轉得到，∴，∴是等邊三角形，∴，故選：C．【點睛】本題考查直角三角形的性質、旋轉的性質、等邊三角形的判定與性質，熟練掌握等邊三角形的判定與性質證明是解題的關鍵．【變式2】如圖，在中，，，點D、E分別在邊上，連接，將沿折疊，點B的對應點剛好落在邊上，若，，則的長是（）

A．10 B．12 C．13 D．14【答案】B【分析】根據折疊的性質以及含角的直角三角形的性質得出即可求解．【詳解】解：∵將沿折疊，點的對應點為點，若點剛好落在邊上，在中，，故選：B．【點睛】本題考查了折疊的性質，含角的直角三角形的性質，熟練掌握以上性質是解題關鍵．【變式3】如圖，長方形沿著折疊，使D點落在邊上的F點處．如果，，則長方形的面積是（

）

A．12 B．16 C．18 D．20【答案】C【分析】根據直角三角形的性質可得，再由折疊的性質可得，即可求解．【詳解】解：在長方形中，，∵，，∴，∴，∵長方形沿著折疊，使D點落在邊上的F點處，∴，∴長方形的面積是．故選：C．【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質，折疊的性質，熟練掌握直角三角形的性質，折疊的性質是解題的關鍵．【考點四30的性質應用的拓展提高】【例題4】如圖1是深圳地鐵站入口的雙翼閘機．如圖2，它的雙翼展開時，雙翼邊緣的端點A與B之間的距離為，雙翼的邊緣，且與閘機側立面夾角．當雙翼收起時，可以通過閘機的物體的最大寬度為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】過點A作，過點B作，在中，可求得，同理可求得，即可求解．【詳解】解：過點A作，過點B作，如圖，

則中，，同理可得：，∵雙翼邊緣的端點A與B之間的距離為，∴當雙翼收起時，可以通過閘機的物體的最大寬度為，故選：C．【點睛】本題考查了直角三角形的應用，正確作出輔助線是關鍵．【變式1】如圖，在中，已知，，點在邊上，，把繞著點逆時針旋轉（）度后，如果點恰好落在初始的邊上，那么________

【答案】或【分析】根據題意，分類討論，①當點落在邊上時，得，②當點落在邊上時，得；根據旋轉的性質，直角三角形的性質即可求解．【詳解】解：在中，已知，，∴,如圖所述，

①當點落在邊上時，得，∴，∴，即是等腰三角形，∴在中，；②當點落在邊上時，得，在中，，，∴，∴；綜上所述，的值為或，故答案為：或．【點睛】本題主要考查直角三角形的性質，旋轉的性質，掌握以上知識是解題的關鍵．【變式2】如圖，在等腰中，，點M，N分別是邊，上的動點，與關于直線對稱，點B的對稱點為．當

且時，若，則的面積為_________．【答案】/0.5【分析】作于D點，由軸對稱的性質可得，由等腰直角三角形的性質可得，由此得．再證是等邊三角形，則可得，進而得，由此得．根據三角形的面積公式，再結合即可求出的面積．【詳解】如圖，作于D點，∵與關于直線對稱，．又，．中，，，．又，是等邊三角形，，，，．故答案為：【點睛】本題考查了軸對稱的性質、等腰直角三角形的性質、等邊三角形的判定和性質，以及“直角三角形中的角所對的邊等于斜邊的一半”，綜合性強．正確的作出輔助線且能證明是等邊三角形是解題的根據．【變式3】如圖，，點、、、在射線上，點、、在射線上，、、均為等邊三角形，依此類推，若，則的邊長為（

）．

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據等邊三角形性質和，求得，同理可得，再結合含的直角三角形可求得的邊長為，即可得到答案．【詳解】解：為等邊三角形，，，，，同理可求得：，在中，，，，，即的邊長為，的邊長為，故選：．【點睛】本題主要考查圖形變化類，等邊三角形的性質和含角的直角三角形的性質，根據條件找到等邊三角形的邊長和的關系是解題的關鍵．【過關檢測】一、單選題1．如圖，已知平分，于點E，，，，則（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】本題考查了角平分線的性質、平行線的性質及直角三角形的特征，過點C作于F，根據角平分線的性質可得，，根據平行線的性質可得，根據直角三角形的特征可得，進而可求解，熟練掌握角平分線的性質及含角的直角三角形的特性是解題的關鍵．【詳解】解：過點C作于F，如圖：

平分，，，，，，，，，，故選A．2．如圖所示，長方形沿著折疊，使D點落在邊上的F點處．如果，則長方形的面積是（

）

A．8 B．6 C．4 D．10【答案】A【分析】根據直角三角形的性質可得，再由折疊的性質可得，即可求解．【詳解】解：在長方形中，，∵，∴，∵長方形沿著折疊，使D點落在邊上的F點處，∴，∴長方形的面積是．故選：A【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質，折疊的性質，熟練掌握直角三角形的性質，折疊的性質是解題的關鍵．3．如圖，在中，，，，點在的延長線上，點在邊上，且，若，則的長等于(

)

A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】如圖所示過點作，根據所對邊為斜邊一半可計算長度，進而可計算的長度．【詳解】解：如圖所示過點作于，在中，

，，，，，，，，，于，，，故選：A．【點睛】本題考查直角三角形所對的邊等于斜邊的一半，等腰三角形的性質，在圖中構造合適的輔助線的解題的關鍵．二、填空題4．如圖，是等邊三角形，平分，點E在的延長線上，且，，則．

【答案】3【分析】本題考查等邊三角形的性質、等腰三角形的判定和性質，含30度角的直角三角形的性質，先利用三線合一定理得到，則可證明，再證明是等腰三角形即可解決問題．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，∵平分，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：3．5．如圖，中，，，點M，N在底邊上，若，，那么線段與之間的數量關系為．【答案】【分析】本題考查了三角形全等的性質、含角的直角三角形、等腰三角形的性質、三角形內角和定理的應用，先根據已知條件求出各個角度，然后構造全等三角形，找到邊長之間的關系，其中構造出全等三角形是解答本題的關鍵．【詳解】解：∵，，∴，如圖，將繞點A順時針旋轉，得到，，∴，，∴，，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，∴，故答案為：．6．如圖，是等邊三角形，點D是邊上任意一點，于點E，于點F．若，則．

【答案】4【分析】本題考查了等邊三角形的性質．設，則，利用等邊三角形的性質以及含30度角的直角三角形的性質即可求解．【詳解】解：設，則，∵是等邊三角形，∴，∴，∴，，∴．故答案為：4．7．如圖，在中，分別過B，C作中線所在的直線的垂線，垂足分別為F，D，若，，則．【答案】6【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質、中線的性質及直角三角形的特征，根據直角三角形的特征得，利用證得得，進而可得，進而可求解，熟練掌握全等三角形的判定及性質是解題的關鍵．【詳解】解：，，，，，，，，是的中線，，在和中，，，，，故答案為：6．8．如圖，中，，，是線段上一點，連接并延長至，連接，若，，，則線段長為．

【答案】3【分析】本題考查了等腰三角形的性質、三角形內角和定理、全等三角形的判定與性質，作于，由等腰三角形的性質和三角形內角和定理得出，推出，，，從而得到，，證明，得到，最后由，進行計算即可得到答案，熟練掌握三角形全等的判定與性質是解此題的關鍵．【詳解】解：如圖，作于，

，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：3．9．如圖，在中，，D為的中點，點M、N分別在、的延長線上，且，連．若，則的長是．【答案】2【分析】連接，求出，證明，求出，根據含30度角的直角三角形性質推出即可．【詳解】解：如圖，連接，∵，D為的中點，∴，平分，∴，∴，∵，D為的中點，∴，∵，∴，∴都減去得：，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．故答案為：2．【點睛】本題考查了全等三角形的性質和判定，直角三角形性質，等腰三角形性質，含30度角的直角三角形性質，等腰直角三角形性質的應用，主要考查學生的推理能力．10．如圖，中，在邊上取一點，連接，使，在邊上取一點，使，若，，，．

【答案】【分析】此題考查了等腰三角形的性質，三角形的中線，中位線，過作交延長線于點，過作于點，根據所對直角邊是斜邊的一半，求出，由可知，由，得到，再根據中位線定理即可求出，最后由線段和差即可，熟練掌握以上知識的應用是解題的關鍵．【詳解】如圖，過作交延長線于點，過作于點，

∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，由，，則，∴，∴，故答案為：．11．如圖，在中，，，，點D是邊上的動點，在線段的右側作等邊，連接，線段的最小值是．

【答案】3【分析】取的中點E，連接，如圖，先計算出，再根據等邊三角形的性質得到，，得到，然后證明，得到，根據垂線段最短，可判斷時，最短，此時，從而得到線段的最小值．【詳解】解：取的中點E，連接，

∵∴，∵，，∴，，∵為等邊三角形，∴，，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵時，最短，∵，，∴此時．∴線段的最小值是3．故答案為：3．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，含角直角三角形的性質和垂線段最短，解題的關鍵是正確做出輔助線，通過全等三角形的性質得到．全等三角形的性質：對應邊相等，對應角相等．全等三角形的判定：，，，，．直角三角形中角所對直角邊等于斜邊的一半．12．如圖，在等邊中，、兩點分別在邊、上，，連接、，并延長至點，連接，，若，時，則的長為.

【答案】11【分析】由題意易證明，由全等三角形的性質得出，作，交的延長線于，．證明，由全等三角形的性質得出，，由直角三角形的性質可得出答案．【詳解】解：是等邊三角形，，，在和中，，∴，，．作，交的延長線于，．

，在和中，，∴，，，在中，，，，，，，在中，，，．故答案為：11．【點睛】此題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，含角的直角三角形的性質等知識點，注意結合圖形，作出適當的輔助線解決問題．13．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC<AC，點D，E分別在邊AB，BC上，連接DE，將△BDE沿DE折疊，點B的對應點為B'.若點B'剛好落在邊AC上，∠CB'E=30°，CE=3，則BC的長為.【答案】9【詳解】在Rt△ABC中，∠C=90°，BC<AC，∠CB'E=30°，CE=3，∴B'E=2CE=6，∴BE=B'E=6，∴BC=CE+BE=3+6=9.14．如圖，在等邊中，，點E為高上的一動點，將線段繞點B順時針就轉得到線段，連接，則的最小值為．

【答案】3【分析】先利用等邊三角形的性質和旋轉的性質分別得到、、，則可證明，并由此得到，，又因為是高上的一個動點，可推得點在過點且與成的直線上運動，根據垂線段最短可得當時，有最小值，結合含有的直角三角形的性質即可得到．【詳解】

如圖，連接，是等邊三角形，且，，，平分且是中點，，，將線段繞點順時針旋轉得到線段，，，則，即，在和中，，，，點在過點且與成的直線上運動，當時，有最小值，，故答案為：．【點睛】本題考查的知識點是旋轉的性質、全等三角形的判定與性質、等邊三角形的性質、垂線段最短及含有的直角三角形的性質，解題關鍵是通過證明得到點的運動路徑，再利用垂線段最短求解．三、解答題15．如圖，在中，，D是中點，，，點E，F分別在邊上，且．(1)用等式表示線段與的數量關系，并證明；(2)求的長．【答案】(1)，理由見解析(2)【分析】（1）過D作于G，于H，利用等邊三角形的性質得出，進而利用證明與全等，進而利用全等三角形的性質解答即可；（2），得到，進而推出，根據等邊三角形和含角的直角三角形的性質，求出的長，進而求出的長，即可．【詳解】（1）解：，理由如下：過D作于G，于H，∵，D是中點，，∴是等邊三角形，，∴，在與中，，∴，∴，∵，∴，在與中，，∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴，∵是等邊三角形，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查等邊三角形的判定和性質，全等三角新的判定和性質，含30度角的直角三角形，解題的關鍵是添加輔助線，構造特殊三角形和全等三角形．16．如圖，在等邊中，點D為邊上的一動點，以點D為中心，把線段順時針旋轉，得到線段，過點F作交的延長線于點E，連接．(1)依題意補全圖形；(2)用等式表示線段，之間的數量關系，并證明；(3)若點M是線段的中點，連接，，線段與交于點O，求的度數．【答案】(1)見解析(2)相等，見解析(3)60度【分析】（1）按題目要求補圖即可；（2）連接，證明是等邊三角形，并結合等邊可得出，，，然后證明即可少外出結論；（3）利用全等三角形的性質和角的和差可證，利用含的直角三角形的性質以及線段中點的定義可得，然后證明，得出，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，依題意補全圖形；（2）解：線段，之間的數量關系是．連接．是等邊三角形，，．以為中心線段順時針旋轉得到線段，，．是等邊三角形．，．，，在與中，．．（3）解：，，，點，，在一條直線上，．即．，，，．又為的中點，．．在與中，．．設與交于點，，．【點睛】本題考查了旋轉的性質、等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、含的直角三角形的性質等知識，明確題意，找出所求問題需要的條件是解題的關鍵．17．如圖，點D，E，F分別在等邊的三條邊上，且，．

(1)若，試判斷的形狀，并說明理由；(2)若是直角三角形，求的長；