專題13函數(shù)模型及其應(yīng)用【命題方向目錄】題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型題型二：對勾函數(shù)模型題型三：指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)模型題型四：已知函數(shù)模型的實(shí)際問題題型五：構(gòu)造函數(shù)模型的實(shí)際問題【2024年高考預(yù)測】2024年高考可能結(jié)合函數(shù)與生活應(yīng)用進(jìn)行考察，對學(xué)生建模能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力綜合考查．【知識點(diǎn)總結(jié)】1、三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)在上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同2、幾種常見的函數(shù)模型：函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型，為常數(shù)且反比例函數(shù)模型，為常數(shù)且二次函數(shù)模型，，為常數(shù)且指數(shù)函數(shù)模型，，為常數(shù)，，，對數(shù)函數(shù)模型，，為常數(shù)，，，冪函數(shù)模型，為常數(shù)，【方法技巧與總結(jié)】1、解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟：（1）審題：弄清題意，識別條件與結(jié)論，弄清數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；（2）建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用已有知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；（3）解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)論；（4）還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題．【典例例題】題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型例1．（2023·河南商丘·高三睢縣高級中學(xué)校考階段練習(xí)）某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為200萬元，并且生產(chǎn)量每增加一單位產(chǎn)品，成本增加1萬元，又知總收入是單位產(chǎn)量的函數(shù)：，則總利潤的最大值是______萬元．（總利潤＝總收入－成本）例2．（2023·甘肅蘭州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）某商場銷售A型商品，已知該商品的進(jìn)價(jià)是每件3元，且銷售單價(jià)與日均銷售量的關(guān)系如表所示：銷售單價(jià)/元45678910日均銷售量/件400360320280240200160請根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析，要使該商品的日均銷售利潤最大，則此商品的定價(jià)（單位：元/件）應(yīng)為_________________.例3．（2023·安徽滁州·高三安徽省定遠(yuǎn)縣第三中學(xué)校考階段練習(xí)）折紙是我國民間的一種傳統(tǒng)手工藝術(shù)，明德小學(xué)在課后延時(shí)服務(wù)中聘請了民間藝術(shù)傳人給同學(xué)們教授折紙.課堂上，老師給每位同學(xué)發(fā)了一張長為10cm，寬為8cm的矩形紙片，要求大家將紙片沿一條直線折疊.若折痕（線段）將紙片分為面積比為1:3的兩部分，則折痕長度的取值范圍是___________cm.變式1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）我國的酒駕標(biāo)準(zhǔn)是指車輛駕駛員血液中的酒精含量大于或者等于，已知一駕駛員某次飲酒后體內(nèi)每血液中的酒精含量（單位：）與時(shí)間（單位：）的關(guān)系是：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，那么該駕駛員在飲酒后至少要經(jīng)過__________才可駕車.變式2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品，成本增加100元，若年收入元）與年產(chǎn)量（件）的關(guān)系式，則當(dāng)年利潤最大時(shí)，每年生產(chǎn)產(chǎn)品的件數(shù)是___________.變式3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某景區(qū)套票原價(jià)300元/人，如果多名游客組團(tuán)購買套票，則有如下兩種優(yōu)惠方案供選擇：方案一：若人數(shù)不低于10，則票價(jià)打9折；若人數(shù)不低于50，則票價(jià)打8折；若人數(shù)不低于100，則票價(jià)打7折.不重復(fù)打折.方案二：按原價(jià)計(jì)算，總金額每滿5000元減1000元.已知一個(gè)旅游團(tuán)有47名游客，若可以兩種方案搭配使用，則這個(gè)旅游團(tuán)購票總費(fèi)用的最小值為___________元.【通性通解總結(jié)】1、分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)做幾個(gè)問題，將各段的變化規(guī)律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點(diǎn)值．2、構(gòu)造分段函數(shù)時(shí)，要準(zhǔn)確、簡潔，不重不漏．題型二：對勾函數(shù)模型例4．（2023·黑龍江·高三嫩江市高級中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）某公司租地建倉庫，已知倉庫每月占用費(fèi)y1與倉庫到車站的距離成反比，而每月車載貨物的運(yùn)費(fèi)y2與倉庫到車站的距離成正比．據(jù)測算，如果在距離車站10km處建倉庫，這兩項(xiàng)費(fèi)用y1，y2分別是2萬元和8萬元，那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉庫應(yīng)建在離車站（

）A．5km處 B．4km處 C．3km處 D．2km處例5．（2023·山東青島·高三校考階段練習(xí)）某校食堂需定期購買大米．已知該食堂每天需用大米0.6t，每噸大米的價(jià)格為6000元，大米的保管費(fèi)用z（單位：元）與購買天數(shù)x（單位：天）的關(guān)系為（），每次購買大米需支付其他固定費(fèi)用900元．若要使食堂平均每天所支付的總費(fèi)用最少，則食堂應(yīng)______天購買一次大米．例6．（2023·福建·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買噸，運(yùn)費(fèi)為6萬元/次，一年的總存儲費(fèi)用為萬元，則一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)之和關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式___________．變式4．（2023·新疆·高三校考階段練習(xí)）某人準(zhǔn)備購置一塊占地1800平方米的矩形地塊，中間建三個(gè)矩形溫室大棚，大棚周圍均是寬為1米的小路(如圖陰影部分所示)，大棚占地面積為S平方米，其中a∶b＝1∶2，若要使S最大，則y＝________.【通性通解總結(jié)】1、解決此類問題一定要注意函數(shù)定義域；2、利用模型求解最值時(shí)，注意取得最值時(shí)等號成立的條件．題型三：指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)模型例7．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習(xí)）我國國內(nèi)生產(chǎn)總值（）2022年比2013年翻了一番，則平均每年的增長率是__________.例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家牛頓曾提出：物體在空氣中冷卻，如果物體的初始溫度為θ1℃，空氣溫度為θ0℃，則t分鐘后物體的溫度θ(單位：℃)滿足：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt.若常數(shù)k＝0.05，空氣溫度為30℃，某物體的溫度從90℃下降到50℃，大約需要的時(shí)間為________分鐘.(參考數(shù)據(jù)：ln3≈1.1)例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）“喊泉”是一種地下水的毛細(xì)現(xiàn)象，人們在泉口吼叫或發(fā)出其他聲響時(shí)，聲波傳入泉洞內(nèi)的儲水池，進(jìn)而產(chǎn)生“共鳴”等物理聲學(xué)作用，激起水波，形成涌泉．聲音越大，涌起的泉水越高．已知聽到的聲強(qiáng)與參考聲強(qiáng)（約為，單位：）之比的常用對數(shù)稱作聲強(qiáng)的聲強(qiáng)級，記作（單位：貝爾），即，取貝爾的10倍作為響度的常用單位，簡稱為分貝．已知某處“喊泉”的聲音響度（單位：分貝）與噴出的泉水高度滿足關(guān)系式，現(xiàn)知同學(xué)大喝一聲激起的涌泉最高高度為，若同學(xué)大喝一聲的聲強(qiáng)大約相當(dāng)于10個(gè)同學(xué)同時(shí)大喝一聲的聲強(qiáng)，則同學(xué)大喝一聲激起的涌泉最高高度約為______dm．變式5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在如今這個(gè)5G時(shí)代，6G研究己方興末艾，2021年8月30日第九屆未來信息通信技術(shù)國際研討會在北京舉辦，會上傳出消息，未來6G速率有望達(dá)到1Tbps，并啟用毫米波、太赫茲、可見光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立體網(wǎng)絡(luò)，預(yù)計(jì)6G數(shù)據(jù)傳輸速率有望比5G快100倍，時(shí)延達(dá)到亞毫秒級水平．香農(nóng)公式是被廣泛公認(rèn)的通信理論基礎(chǔ)和研究依據(jù)，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞率取決于信道寬帶，信道內(nèi)信號的平均功率，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比．若不改變寬帶，而將信噪比從11提升至499，則最大信息傳遞率會提升到原來的_________倍．（結(jié)果保留一位小數(shù)）變式6．（2023·安徽六安·高三六安市裕安區(qū)新安中學(xué)校考階段練習(xí)）美國對中國芯片的技術(shù)封鎖激發(fā)了中國“芯”的研究熱潮．某公司研發(fā)的，兩種芯片都已經(jīng)獲得成功．該公司研發(fā)芯片已經(jīng)耗費(fèi)資金2千萬元，現(xiàn)在準(zhǔn)備投入資金進(jìn)行生產(chǎn)．經(jīng)市場調(diào)查與預(yù)測，生產(chǎn)芯片的毛收入（千萬元）與投入的資金（千萬元）成正比，已知投入1千萬元，公司獲得毛收入0.25千萬元；生產(chǎn)芯片的毛收入（千萬元）與投入的資金（千萬元）的函數(shù)關(guān)系為，其圖象如圖所示．現(xiàn)在公司準(zhǔn)備投入40千萬元資金同時(shí)生產(chǎn)，兩種芯片，則可以獲得的最大利潤是______千萬元．（毛收入＝營業(yè)收入－營業(yè)成本）【通性通解總結(jié)】1、在解題時(shí)，要合理選擇模型，指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快（底數(shù)大于1）的一類函數(shù)模型，與增長率、銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)模型．2、在解決指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)模型問題時(shí)，一般先需通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)圖像求解最值問題．題型四：已知函數(shù)模型的實(shí)際問題例10．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）某公司的收入由保險(xiǎn)業(yè)務(wù)收入和理財(cái)業(yè)務(wù)收入兩部分組成.該公司年總收入為億元，其中保險(xiǎn)業(yè)務(wù)收入為億元，理財(cái)業(yè)務(wù)收入為億元.該公司經(jīng)營狀態(tài)良好、收入穩(wěn)定，預(yù)計(jì)每年總收入比前一年增加億元.因越來越多的人開始注重理財(cái)，公司理財(cái)業(yè)務(wù)發(fā)展迅速.要求從年起每年通過理財(cái)業(yè)務(wù)的收入是前一年的倍，若要使得該公司年的保險(xiǎn)業(yè)務(wù)收入不高于當(dāng)年總收入的，則的值至少為（

）A． B． C． D．例11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）中國是茶的故鄉(xiāng)，也是茶文化的發(fā)源地，茶文化是把茶、賞茶、聞茶、飲茶、品茶等習(xí)慣與中國的文化內(nèi)涵相結(jié)合而形成的一種文化現(xiàn)象，具有鮮明的中國文化特征．其中沏茶、飲茶對水溫也有一定的要求，把物體放在空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是，經(jīng)過t分鐘后物體的溫度為θ℃，滿足公式．現(xiàn)有一壺水溫為92℃的熱水用來沏茶，由經(jīng)驗(yàn)可知茶溫為52℃時(shí)口感最佳，若空氣的溫度為12℃，那從沏茶開始，大約需要（

）分鐘飲用口感最佳．（參考數(shù)據(jù)；，）A．2.57 B．2.77 C．2.89 D．3.26例12．（2023·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)校考期末）醫(yī)學(xué)上常用基本傳染數(shù)來衡量傳染病的傳染性強(qiáng)弱，其中，）表示天內(nèi)的累計(jì)病例數(shù).據(jù)統(tǒng)計(jì)某地發(fā)現(xiàn)首例型傳染性病例，在內(nèi)累計(jì)病例數(shù)達(dá)到例，取，根據(jù)上面的信息可以計(jì)算出型傳染病的基本傳染數(shù).已知型傳染病變異株的基本傳染數(shù)(表示不超過的最大整數(shù)），平均感染周期為天（初始感染者傳染個(gè)人為第一輪傳染，經(jīng)過一個(gè)周期后這個(gè)人每人再傳染個(gè)人為第二輪傳染，以此類推），則感染人數(shù)由個(gè)初始感染者增加到人大約需要的天數(shù)為（

）（參考數(shù)據(jù):）A．63 B．70 C．77 D．84變式7．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高三校考期末）在不考慮空氣阻力的條件下，從發(fā)射開始，火箭的最大飛行速度滿足公式：，其中為火箭推進(jìn)劑質(zhì)量，為去除推進(jìn)劑后的火箭有效載荷質(zhì)量，為火箭發(fā)動(dòng)機(jī)噴流相對火箭的速度.當(dāng)時(shí)，千米/秒.在保持不變的情況下，若噸，假設(shè)要使超過第一宇宙速度達(dá)到8千米/秒，則至少約為（

）（結(jié)果精確到1，參考數(shù)據(jù)：）A．135噸 B．160噸 C．185噸 D．210噸變式8．（2023·北京·高三北京市第十二中學(xué)校考階段練習(xí)）長江流域水庫群的修建和聯(lián)合調(diào)度，極大地降低了洪澇災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)，發(fā)揮了重要的防洪減災(zāi)效益．每年洪水來臨之際，為保證防洪需要、降低防洪風(fēng)險(xiǎn)，水利部門需要在原有蓄水量的基礎(chǔ)聯(lián)合調(diào)度，統(tǒng)一蓄水，用蓄滿指數(shù)（蓄滿指數(shù)＝×100）來衡量每座水庫的水位情況．假設(shè)某次聯(lián)合調(diào)度要求如下：（ⅰ）調(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)仍屬于區(qū)間；（ⅱ）調(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)都不能降低；（ⅲ）調(diào)度前后，各水庫之間的蓄滿指數(shù)排名不變．記x為調(diào)度前某水庫的蓄滿指數(shù)，y為調(diào)度后該水庫的蓄滿指數(shù)，給出下面四個(gè)y關(guān)于x的函數(shù)解析式：①；②；③；④．則滿足此次聯(lián)合調(diào)度要求的函數(shù)解析式的個(gè)數(shù)為（

）．A．1 B．2 C．3 D．4變式9．（2023·河南·高三信陽高中校聯(lián)考期末）閃光指數(shù)（guidenumber，GN）是一個(gè)衡量閃光燈在感光度及視角確定的情況下照射目標(biāo)的能力，是進(jìn)行閃光攝影時(shí)決定適當(dāng)光圈的主要依據(jù).通常在手動(dòng)閃光攝影時(shí)，由已知的閃光指數(shù)和攝影距離來計(jì)算適當(dāng)?shù)墓馊Γ胰叽嬖谶@樣的關(guān)系：其中：——光圈；——閃光燈的閃光指數(shù)，單位為米（或英尺）；——光閃燈到被攝體的距離，單位為米（或英尺）.今有ISO100感光度的膠卷的閃光燈，其閃光指數(shù)為24米，若光圈值為8，則閃光燈到被攝體的距離為（

）A．3米 B．16米 C．32米 D．192米變式10．（2023·河南鄭州·高三統(tǒng)考期末）等額分付資本回收是指起初投資P，在利率i，回收周期數(shù)n為定值的情況下，每期期末取出的資金A為多少時(shí)，才能在第n期期末把全部本利取出，即全部本利回收，其計(jì)算公式為：.某農(nóng)業(yè)種植公司投資33萬元購買一大型農(nóng)機(jī)設(shè)備，期望投資收益年利率為10%，若每年年底回籠資金8.25萬元，則該公司將至少在（

）年內(nèi)能全部收回本利和.（，，）A．4 B．5 C．6 D．7【通性通解總結(jié)】求解已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題的關(guān)鍵（1）認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．（2）根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)．（3）利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問題，并進(jìn)行檢驗(yàn)．題型五：構(gòu)造函數(shù)模型的實(shí)際問題例13．（2023·云南·高三景東彝族自治縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）為了提高員工的工作積極性，某外貿(mào)公司想修訂新的“員工激勵(lì)計(jì)劃”新的計(jì)劃有以下幾點(diǎn)需求：①獎(jiǎng)金隨著銷售業(yè)績的提高而提高；②銷售業(yè)績增加時(shí)，獎(jiǎng)金增加的幅度逐漸上升；③必須和原來的計(jì)劃接軌：銷售業(yè)績在10萬元或以內(nèi)時(shí)獎(jiǎng)金為0，超過10萬元?jiǎng)t開始計(jì)算獎(jiǎng)金，銷售業(yè)績?yōu)?0萬元時(shí)獎(jiǎng)金為1千元.設(shè)業(yè)績?yōu)閤（）萬元時(shí)獎(jiǎng)金為f（x）千元，下面給出三個(gè)函數(shù)模型：①；②；③.其中.請選擇合適的函數(shù)模型，并計(jì)算：業(yè)績?yōu)?00萬元時(shí)獎(jiǎng)金為___________千元.例14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）現(xiàn)在有紅豆、白豆各若干粒.甲乙兩人為了計(jì)算豆子的粒數(shù)，選用了這樣的方法：第一輪甲每次取粒紅豆，乙每次取粒白豆，同時(shí)進(jìn)行，當(dāng)紅豆取完時(shí)，白豆還剩粒；第二輪，甲每次取粒紅豆，乙每次取粒白豆，同時(shí)進(jìn)行，當(dāng)白豆取完時(shí)，紅豆還剩粒.則紅豆和白豆共有________粒.例15．（2023·福建莆田·高三莆田二中校考階段練習(xí)）2020年是全國決勝脫貧攻堅(jiān)之年，“一幫一扶”工作組進(jìn)駐某山區(qū)幫助農(nóng)民脫貧，發(fā)現(xiàn)該山區(qū)盛產(chǎn)蘋果、梨子、獼猴桃，工作人員文明在線上進(jìn)行直播帶貨活動(dòng)，促銷方案如下：若一次購買水果總價(jià)不低于200元，則顧客少付款m元，每次訂單付款成功后，農(nóng)民會收到支付款的80%，在促銷活動(dòng)中，為了使得農(nóng)民收入不低于總價(jià)的70%，則m的最大值為_________.變式11．（2023·吉林長春·長春十一高校考模擬預(yù)測）某醫(yī)院為了提高服務(wù)質(zhì)量，對病員掛號進(jìn)行了調(diào)查，其調(diào)查結(jié)果為：當(dāng)還未開始掛號時(shí)，有N個(gè)人已經(jīng)在排隊(duì)等候掛號；開始掛號后，排隊(duì)的人數(shù)平均每分鐘增加M人．假定掛號的速度是每窗口每分鐘K個(gè)人，當(dāng)開放一個(gè)窗口時(shí)，40分鐘后恰好不會出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象；若同時(shí)開放兩個(gè)窗口時(shí)，則15分鐘分恰好不會出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象．根據(jù)以下信息，若醫(yī)院承諾5分鐘后不出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象，則至少需要同時(shí)開放的窗口數(shù)為___．變式12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某地街道呈現(xiàn)東——西、南——北向的網(wǎng)絡(luò)狀，相鄰街距都為1，兩街道相交的點(diǎn)稱為格點(diǎn)．若以相互垂直的兩條街道為軸建立直角坐標(biāo)系，現(xiàn)有下述格點(diǎn)（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）為報(bào)刊零售店，請確定一個(gè)格點(diǎn)______為發(fā)行站，使5個(gè)零售點(diǎn)沿街道發(fā)行站之間路程的和最短．【通性通解總結(jié)】構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題的步驟（1）建模：抽象出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型；（2）推理、演算：對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行邏輯推理或數(shù)學(xué)運(yùn)算，得到問題在數(shù)學(xué)意義上的解；（3）評價(jià)、解釋：對求得的數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行深入討論，作出評價(jià)、解釋、返回到原來的實(shí)際問題中去，得到實(shí)際問題的解．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·山東泰安·高三統(tǒng)考期中）垃圾分類，一般是指按一定規(guī)定或標(biāo)準(zhǔn)將垃圾分類儲存、分類投放和分類搬運(yùn)，從而變成公共資源的一系列活動(dòng)的總稱．已知某種垃圾的分解率ν與時(shí)間t（月）滿足函數(shù)關(guān)系式（其中a，b為非零常數(shù)）．若經(jīng)過6個(gè)月，這種垃圾的分解率為5%，經(jīng)過12個(gè)月，這種垃圾的分解率為10%，那么這種垃圾完全分解（分解率為100%）至少需要經(jīng)過（

）（參考數(shù)據(jù)）A．20個(gè)月 B．40個(gè)月 C．28個(gè)月 D．32個(gè)月2．（2023·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)校考期中）大西洋鮭魚每年都要逆流而上游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，研究鮭魚的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速（單位：）可以表示為，其中表示鮭魚的耗氧量的單位數(shù).當(dāng)一條鮭魚以的速度游動(dòng)時(shí)，其耗氧量是靜止時(shí)耗氧量的倍數(shù)為（

）A． B．8 C．32 D．643．（2023·河北滄州·高三統(tǒng)考期末）《中華人民共和國國家綜合排放標(biāo)準(zhǔn)》中的一級標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定企業(yè)生產(chǎn)廢水中氨氮含量允許排放的最高濃度為15ml/L.某企業(yè)生產(chǎn)廢水中的氨氮含量為225ml/L.現(xiàn)通過循環(huán)過濾設(shè)備對生產(chǎn)廢水的氨氮進(jìn)行過濾，每循環(huán)一次可使氨氮含量減少，為安全起見，要使廢水中的氨氮含量不高于國家排放標(biāo)準(zhǔn)值的一半，至少要進(jìn)行循環(huán)的次數(shù)為（

）（參考數(shù)據(jù)，）A．3 B．4 C．8 D．94．（2023·遼寧·高三遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）某科技研發(fā)公司2022年全年投入的研發(fā)資金為300萬元，在此基礎(chǔ)上，計(jì)劃每年投入的研發(fā)資金比上一年增加10%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過600萬元的年份是（

）（參考數(shù)據(jù)：，，，）A．2027年 B．2028年 C．2029年 D．2030年5．（2023·吉林·東北師大附中校考模擬預(yù)測）一種藥在病人血液中的量不低于1800mg時(shí)才有療效，如果用藥前，病人血液中該藥的量為0mg，用藥后，藥在血液中以每小時(shí)20%的比例衰減．現(xiàn)給某病人靜脈注射了3600mg的此藥，為了持續(xù)保持療效，則最長需要在多少小時(shí)后再次注射此藥（，結(jié)果精確到0.1）（

）A．2.7 B．2.9 C．3.1 D．3.36．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）丹麥化學(xué)家索倫森是首位建立PH值概念的生化學(xué)家，他把PH值定義為，式子中的指的是溶液中的氫離子的濃度，單位為摩爾/升（），若某種溶液中的氫離子的濃度為，則該溶液的PH值約為（）（

）A．8 B．7.78 C．7.22 D．67．（2023·浙江·模擬預(yù)測）某全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為h（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）.將地球看作是一個(gè)球心為O，半徑r為的球，其上點(diǎn)A的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數(shù).地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為，記衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積為（單位：），若，則S占地球表面積的百分比約為（

）A．26% B．34% C．42% D．50%8．（2023·四川成都·石室中學(xué)校考模擬預(yù)測）某化工企業(yè)為了響應(yīng)并落實(shí)國家污水減排政策，加裝了污水過濾排放設(shè)備，在過濾過程中，污染物含量（單位：mg/L）與時(shí)間（單位：h）之間的關(guān)系為：（其中，是正常數(shù)）.已知經(jīng)過1h，設(shè)備可以過濾掉20%的污染物，則過濾60%的污染物需要的時(shí)間最接近（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．3h B．4h C．5h D．6h二、多選題9．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考三模）某公司通過統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)，工人工作效率與工作年限（），勞累程度（），勞動(dòng)動(dòng)機(jī)（）相關(guān)，并建立了數(shù)學(xué)模型.已知甲?乙為該公司的員工，則下列說法正確的有（

）A．甲與乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，勞動(dòng)動(dòng)機(jī)低，則甲比乙勞累程度強(qiáng)B．甲與乙勞動(dòng)動(dòng)機(jī)相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，則甲比乙勞累程度弱C．甲與乙勞累程度相同，且甲比乙工作年限長，勞動(dòng)動(dòng)機(jī)高，則甲比乙工作效率高D．甲與乙勞動(dòng)動(dòng)機(jī)相同，且甲比乙工作年限長，勞累程度弱，則甲比乙工作效率高10．（2023·湖北·統(tǒng)考一模）盡管目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家經(jīng)過研究，已經(jīng)對地震有所了解，例如，地震時(shí)釋放的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級M之間的關(guān)系為lgE=4.8+1.5M，則下列說法正確的是（

）A．地震釋放的能量為1015.3焦耳時(shí)，地震里氏震級約為七級B．八級地震釋放的能量約為七級地震釋放的能量的6.3倍C．八級地震釋放的能量約為六級地震釋放的能量的1000倍D．記地震里氏震級為n（n=1，2，···，9，10），地震釋放的能量為an，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列11．（2023·福建廈門·統(tǒng)考一模）某醫(yī)藥研究機(jī)構(gòu)開發(fā)了一種新藥，據(jù)監(jiān)測，如果患者每次按規(guī)定的劑量注射該藥物，注射后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時(shí)間t（小時(shí)）之間的關(guān)系近似滿足如圖所示的曲線．據(jù)進(jìn)一步測定，當(dāng)每毫升血液中含藥量不少于0.125微克時(shí)，治療該病有效，則（

）A．B．注射一次治療該病的有效時(shí)間長度為6小時(shí)C．注射該藥物小時(shí)后每毫升血液中的含藥量為0.4微克D．注射一次治療該病的有效時(shí)間長度為時(shí)12．（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某地下車庫在排氣扇發(fā)生故障的情況下測得空氣中一氧化碳含量達(dá)到了危險(xiǎn)狀態(tài)，經(jīng)搶修排氣扇恢復(fù)正常，排氣4分鐘后測得車庫內(nèi)的一氧化碳濃度為64ppm，繼續(xù)排氣4分鐘后又測得濃度為32ppm.由檢驗(yàn)知該地下車庫一氧化碳濃度y（單位：ppm）與排氣時(shí)間t（單位：分）之間滿足函數(shù)關(guān)系y＝f（t），其中（R為常數(shù)）．若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5ppm，人就可以安全進(jìn)入車庫了，則下列說法正確的是（）A．B．C．排氣12分鐘后，人可以安全進(jìn)入車庫D．排氣32分鐘后，人可以安全進(jìn)入車庫三、填空題13．（2023·上海閔行·上海市七寶中學(xué)校考三模）珠穆朗瑪峰高達(dá)8848.86米，但即使你擁有良好的視力，你也無法在上海看到它．一個(gè)觀察者距離珠穆朗瑪峰多遠(yuǎn)，才能在底面上看到它呢？為了能夠通過幾何方法解決這個(gè)問題，需要利用簡單的幾何模型表示這個(gè)問題情境，在此過程中，有下列假設(shè)：①珠穆朗瑪峰的形狀為等腰梯形；②地球的形狀是一個(gè)球體；③太陽光線沿直線傳播；④沒有事物可以阻礙人們看到珠穆朗瑪峰的視線．你認(rèn)為最不重要的一個(gè)假設(shè)是__________．14．（2023·海南·模擬預(yù)測）新能源汽車是未來汽車的發(fā)展方向之一，一個(gè)新能源汽車制造廠引進(jìn)了一條新能源汽車整車裝配流水線，這條流水線生產(chǎn)的新能源汽車數(shù)量（輛）與創(chuàng)造的價(jià)值（萬元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系.已知產(chǎn)量為時(shí)，創(chuàng)造的價(jià)值也為；當(dāng)產(chǎn)量為輛時(shí)，創(chuàng)造的價(jià)值達(dá)到最大，為萬元.若這家工廠希望利用這條流水線創(chuàng)收達(dá)到萬元，則它應(yīng)該生產(chǎn)的新能源汽車數(shù)量是________.15．（2023·北京東城·統(tǒng)考三模）某超市在“五一”活動(dòng)期間，推出如下線上購物優(yōu)惠方案：一次性購物在99元（含99元）以內(nèi)，不享受優(yōu)惠；一次性購物在99元（不含99元）以上，299元（含299元）以內(nèi)，一律享受九折優(yōu)惠；一次性購物在299元（不含299元）以上，一律享受八折優(yōu)惠；小敏和小昭在該超市購物，分別挑選了原價(jià)為70元和280元的商品，如果兩人把商品合并由小昭一次性付款，并把合并支付比他們分別支付節(jié)省的錢，按照兩人購買商品原價(jià)的比例分配，則小敏需要給小昭___________元.16．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某公司2021年實(shí)現(xiàn)利潤100萬元，計(jì)劃在以后5年中每年比上一年利潤增長4%，則2026年的利潤是______萬元．（結(jié)果精確到1萬元）專題13函數(shù)模型及其應(yīng)用【命題方向目錄】題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型題型二：對勾函數(shù)模型題型三：指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)模型題型四：已知函數(shù)模型的實(shí)際問題題型五：構(gòu)造函數(shù)模型的實(shí)際問題【2024年高考預(yù)測】2024年高考可能結(jié)合函數(shù)與生活應(yīng)用進(jìn)行考察，對學(xué)生建模能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力綜合考查．【知識點(diǎn)總結(jié)】1、三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)在上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同2、幾種常見的函數(shù)模型：函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型，為常數(shù)且反比例函數(shù)模型，為常數(shù)且二次函數(shù)模型，，為常數(shù)且指數(shù)函數(shù)模型，，為常數(shù)，，，對數(shù)函數(shù)模型，，為常數(shù)，，，冪函數(shù)模型，為常數(shù)，【方法技巧與總結(jié)】1、解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟：（1）審題：弄清題意，識別條件與結(jié)論，弄清數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；（2）建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用已有知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；（3）解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)論；（4）還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題．【典例例題】題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型例1．（2023·河南商丘·高三睢縣高級中學(xué)校考階段練習(xí)）某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為200萬元，并且生產(chǎn)量每增加一單位產(chǎn)品，成本增加1萬元，又知總收入是單位產(chǎn)量的函數(shù)：，則總利潤的最大值是______萬元．（總利潤＝總收入－成本）【答案】250【解析】根據(jù)題意得，所以當(dāng)時(shí)，總利潤取得最大值250萬元，故答案為：250例2．（2023·甘肅蘭州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）某商場銷售A型商品，已知該商品的進(jìn)價(jià)是每件3元，且銷售單價(jià)與日均銷售量的關(guān)系如表所示：銷售單價(jià)/元45678910日均銷售量/件400360320280240200160請根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析，要使該商品的日均銷售利潤最大，則此商品的定價(jià)（單位：元/件）應(yīng)為_________________.【答案】/8.5【解析】設(shè)定價(jià)為元，利潤為元，由題意可知：，故當(dāng)時(shí)，最大，且最大值為1210.故答案為:8.5例3．（2023·安徽滁州·高三安徽省定遠(yuǎn)縣第三中學(xué)校考階段練習(xí)）折紙是我國民間的一種傳統(tǒng)手工藝術(shù)，明德小學(xué)在課后延時(shí)服務(wù)中聘請了民間藝術(shù)傳人給同學(xué)們教授折紙.課堂上，老師給每位同學(xué)發(fā)了一張長為10cm，寬為8cm的矩形紙片，要求大家將紙片沿一條直線折疊.若折痕（線段）將紙片分為面積比為1:3的兩部分，則折痕長度的取值范圍是___________cm.【答案】【解析】由題意得：長方形紙片的面積為，又，，當(dāng)折痕如下圖MN所示時(shí)，設(shè)，則，解得：，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號；令，則，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，故，故；當(dāng)折痕如下圖所示時(shí)，設(shè)，則，解得：，，當(dāng)時(shí)，取得最小值64，當(dāng)或5時(shí)，取得最大值89，則；當(dāng)折痕如下圖所示時(shí)，設(shè)，則，解得：，則，令，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，故，；綜上所述：折痕長的取值范圍為，故答案為：變式1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）我國的酒駕標(biāo)準(zhǔn)是指車輛駕駛員血液中的酒精含量大于或者等于，已知一駕駛員某次飲酒后體內(nèi)每血液中的酒精含量（單位：）與時(shí)間（單位：）的關(guān)系是：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，那么該駕駛員在飲酒后至少要經(jīng)過__________才可駕車.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，所以當(dāng)時(shí)，飲酒后體內(nèi)每血液中的酒精含量小于，當(dāng)當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，令，因此飲酒后小時(shí)體內(nèi)每血液中的酒精含量等于，故答案為：變式2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品，成本增加100元，若年收入元）與年產(chǎn)量（件）的關(guān)系式，則當(dāng)年利潤最大時(shí)，每年生產(chǎn)產(chǎn)品的件數(shù)是___________.【答案】300【解析】由題可得年利潤，當(dāng)時(shí)，，令，得.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是增函數(shù).所以當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，所以.所以當(dāng)時(shí)，取得最大值40000.故答案為：300.變式3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某景區(qū)套票原價(jià)300元/人，如果多名游客組團(tuán)購買套票，則有如下兩種優(yōu)惠方案供選擇：方案一：若人數(shù)不低于10，則票價(jià)打9折；若人數(shù)不低于50，則票價(jià)打8折；若人數(shù)不低于100，則票價(jià)打7折.不重復(fù)打折.方案二：按原價(jià)計(jì)算，總金額每滿5000元減1000元.已知一個(gè)旅游團(tuán)有47名游客，若可以兩種方案搭配使用，則這個(gè)旅游團(tuán)購票總費(fèi)用的最小值為___________元.【答案】11710【解析】方案一：滿10人可打9折，則單人票價(jià)為270元，方案二：滿5000元減1000元，按原價(jià)計(jì)算，則滿5000元至少湊齊17人，，則單人票價(jià)為，滿10000元時(shí)，，則需34人，單人票價(jià)為241元，滿15000元時(shí)，，人數(shù)不足，因?yàn)椋杂梅桨付荣徺I34張票，剩余13不滿足方案二，但滿足方案一，所以總費(fèi)用為（元），故答案為：11710【通性通解總結(jié)】1、分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)做幾個(gè)問題，將各段的變化規(guī)律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點(diǎn)值．2、構(gòu)造分段函數(shù)時(shí)，要準(zhǔn)確、簡潔，不重不漏．題型二：對勾函數(shù)模型例4．（2023·黑龍江·高三嫩江市高級中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）某公司租地建倉庫，已知倉庫每月占用費(fèi)y1與倉庫到車站的距離成反比，而每月車載貨物的運(yùn)費(fèi)y2與倉庫到車站的距離成正比．據(jù)測算，如果在距離車站10km處建倉庫，這兩項(xiàng)費(fèi)用y1，y2分別是2萬元和8萬元，那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉庫應(yīng)建在離車站（

）A．5km處 B．4km處 C．3km處 D．2km處【答案】A【解析】設(shè)倉庫到車站的距離為xkm，由題意得y1=，y2=k2x，其中x>0．由當(dāng)x=10時(shí)，兩項(xiàng)費(fèi)用y1，y2分別是2萬元和8萬元，可得k1=20，k2=，故y1+y2=x≥2=8，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x=5時(shí)取等號，故選：A．例5．（2023·山東青島·高三校考階段練習(xí)）某校食堂需定期購買大米．已知該食堂每天需用大米0.6t，每噸大米的價(jià)格為6000元，大米的保管費(fèi)用z（單位：元）與購買天數(shù)x（單位：天）的關(guān)系為（），每次購買大米需支付其他固定費(fèi)用900元．若要使食堂平均每天所支付的總費(fèi)用最少，則食堂應(yīng)______天購買一次大米．【答案】10【解析】設(shè)平均每天所支付的總費(fèi)用為y元，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，故該食堂10天購買一次大米，才能使平均每天所支付的總費(fèi)用最少．故答案為：10.例6．（2023·福建·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買噸，運(yùn)費(fèi)為6萬元/次，一年的總存儲費(fèi)用為萬元，則一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)之和關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式___________．【答案】【解析】依題意總費(fèi)用為，故答案為：．變式4．（2023·新疆·高三校考階段練習(xí)）某人準(zhǔn)備購置一塊占地1800平方米的矩形地塊，中間建三個(gè)矩形溫室大棚，大棚周圍均是寬為1米的小路(如圖陰影部分所示)，大棚占地面積為S平方米，其中a∶b＝1∶2，若要使S最大，則y＝________.【答案】45【解析】由題可得，xy＝1800，b＝2a，則y＝a＋b＋3＝3a＋3，∴S＝(x－2)a＋(x－3)b＝(3x－8)a＝(3x－8)＝1808－3x－y.S＝1808－3x－×＝1808－(x>0)，≤1808－2＝1808－240＝1568.當(dāng)且僅當(dāng)3x＝，即x＝40時(shí)取等號，S取得最大值.此時(shí)y＝＝45.所以當(dāng)x＝40，y＝45時(shí)，S取得最大值.故答案為：45【通性通解總結(jié)】1、解決此類問題一定要注意函數(shù)定義域；2、利用模型求解最值時(shí)，注意取得最值時(shí)等號成立的條件．題型三：指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)模型例7．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶一中校考階段練習(xí)）我國國內(nèi)生產(chǎn)總值（）2022年比2013年翻了一番，則平均每年的增長率是__________.【答案】【解析】設(shè)年均增長率為，根據(jù)題意得，，解得，所以平均每年的增長率應(yīng)是.故答案為：例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家牛頓曾提出：物體在空氣中冷卻，如果物體的初始溫度為θ1℃，空氣溫度為θ0℃，則t分鐘后物體的溫度θ(單位：℃)滿足：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt.若常數(shù)k＝0.05，空氣溫度為30℃，某物體的溫度從90℃下降到50℃，大約需要的時(shí)間為________分鐘.(參考數(shù)據(jù)：ln3≈1.1)【答案】22【解析】由題知θ0＝30，θ1＝90，θ＝50，∴50＝30＋(90－30)e－0.05t，∴e－0.05t＝，∴－0.05t＝ln，∴0.05t＝ln3，∴t＝＝20×ln3≈22.故答案為：22例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）“喊泉”是一種地下水的毛細(xì)現(xiàn)象，人們在泉口吼叫或發(fā)出其他聲響時(shí)，聲波傳入泉洞內(nèi)的儲水池，進(jìn)而產(chǎn)生“共鳴”等物理聲學(xué)作用，激起水波，形成涌泉．聲音越大，涌起的泉水越高．已知聽到的聲強(qiáng)與參考聲強(qiáng)（約為，單位：）之比的常用對數(shù)稱作聲強(qiáng)的聲強(qiáng)級，記作（單位：貝爾），即，取貝爾的10倍作為響度的常用單位，簡稱為分貝．已知某處“喊泉”的聲音響度（單位：分貝）與噴出的泉水高度滿足關(guān)系式，現(xiàn)知同學(xué)大喝一聲激起的涌泉最高高度為，若同學(xué)大喝一聲的聲強(qiáng)大約相當(dāng)于10個(gè)同學(xué)同時(shí)大喝一聲的聲強(qiáng)，則同學(xué)大喝一聲激起的涌泉最高高度約為______dm．【答案】45【解析】設(shè)同學(xué)的聲強(qiáng)為，噴出泉水高度為，則同學(xué)的聲強(qiáng)為，噴出泉水高度為50dm，由，得

①，∵，∴

②，①－②得，解得，∴同學(xué)大喝一聲激起的涌泉最高高度約為45dm．故答案為：45.變式5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在如今這個(gè)5G時(shí)代，6G研究己方興末艾，2021年8月30日第九屆未來信息通信技術(shù)國際研討會在北京舉辦，會上傳出消息，未來6G速率有望達(dá)到1Tbps，并啟用毫米波、太赫茲、可見光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立體網(wǎng)絡(luò)，預(yù)計(jì)6G數(shù)據(jù)傳輸速率有望比5G快100倍，時(shí)延達(dá)到亞毫秒級水平．香農(nóng)公式是被廣泛公認(rèn)的通信理論基礎(chǔ)和研究依據(jù)，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞率取決于信道寬帶，信道內(nèi)信號的平均功率，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比．若不改變寬帶，而將信噪比從11提升至499，則最大信息傳遞率會提升到原來的_________倍．（結(jié)果保留一位小數(shù)）【答案】2.5/【解析】設(shè)提升前最大信息傳遞率為，提升后最大信息傳遞率為，則由題意可知，，，所以倍.所以最大信息傳遞率C會提升到原來的倍.故答案為：2.5變式6．（2023·安徽六安·高三六安市裕安區(qū)新安中學(xué)校考階段練習(xí)）美國對中國芯片的技術(shù)封鎖激發(fā)了中國“芯”的研究熱潮．某公司研發(fā)的，兩種芯片都已經(jīng)獲得成功．該公司研發(fā)芯片已經(jīng)耗費(fèi)資金2千萬元，現(xiàn)在準(zhǔn)備投入資金進(jìn)行生產(chǎn)．經(jīng)市場調(diào)查與預(yù)測，生產(chǎn)芯片的毛收入（千萬元）與投入的資金（千萬元）成正比，已知投入1千萬元，公司獲得毛收入0.25千萬元；生產(chǎn)芯片的毛收入（千萬元）與投入的資金（千萬元）的函數(shù)關(guān)系為，其圖象如圖所示．現(xiàn)在公司準(zhǔn)備投入40千萬元資金同時(shí)生產(chǎn)，兩種芯片，則可以獲得的最大利潤是______千萬元．（毛收入＝營業(yè)收入－營業(yè)成本）【答案】9【解析】因?yàn)樯a(chǎn)芯片的毛收入與投入的資金成正比，所以設(shè)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，所以，即生產(chǎn)芯片的毛收入（千萬元）與投入資金（千萬元）的函數(shù)關(guān)系式為．對于芯片，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，，所以，解得，所以，即生產(chǎn)芯片的毛收入（千萬元）與投入的資金（千萬元）的函數(shù)關(guān)系為．設(shè)投入，千萬元生產(chǎn)芯片，則投入千萬元生產(chǎn)芯片，則公司所獲利潤，，所以當(dāng)，即時(shí)，公司所獲利潤最大，最大利潤為9千萬元．故答案為：【通性通解總結(jié)】1、在解題時(shí)，要合理選擇模型，指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快（底數(shù)大于1）的一類函數(shù)模型，與增長率、銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)模型．2、在解決指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)模型問題時(shí)，一般先需通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)圖像求解最值問題．題型四：已知函數(shù)模型的實(shí)際問題例10．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）某公司的收入由保險(xiǎn)業(yè)務(wù)收入和理財(cái)業(yè)務(wù)收入兩部分組成.該公司年總收入為億元，其中保險(xiǎn)業(yè)務(wù)收入為億元，理財(cái)業(yè)務(wù)收入為億元.該公司經(jīng)營狀態(tài)良好、收入穩(wěn)定，預(yù)計(jì)每年總收入比前一年增加億元.因越來越多的人開始注重理財(cái)，公司理財(cái)業(yè)務(wù)發(fā)展迅速.要求從年起每年通過理財(cái)業(yè)務(wù)的收入是前一年的倍，若要使得該公司年的保險(xiǎn)業(yè)務(wù)收入不高于當(dāng)年總收入的，則的值至少為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)樵摴灸昕偸杖霝閮|元，預(yù)計(jì)每年總收入比前一年增加億元，所以年的總收入為億元，因?yàn)橐髲哪昶鹈磕晖ㄟ^理財(cái)業(yè)務(wù)的收入是前一年的倍，所以年通過理財(cái)業(yè)務(wù)的收入為億元，所以，解得.故的值至少為，故選：A.例11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）中國是茶的故鄉(xiāng)，也是茶文化的發(fā)源地，茶文化是把茶、賞茶、聞茶、飲茶、品茶等習(xí)慣與中國的文化內(nèi)涵相結(jié)合而形成的一種文化現(xiàn)象，具有鮮明的中國文化特征．其中沏茶、飲茶對水溫也有一定的要求，把物體放在空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是，經(jīng)過t分鐘后物體的溫度為θ℃，滿足公式．現(xiàn)有一壺水溫為92℃的熱水用來沏茶，由經(jīng)驗(yàn)可知茶溫為52℃時(shí)口感最佳，若空氣的溫度為12℃，那從沏茶開始，大約需要（

）分鐘飲用口感最佳．（參考數(shù)據(jù)；，）A．2.57 B．2.77 C．2.89 D．3.26【答案】B【解析】由題意得，代入數(shù)據(jù)得，整理得，即，解得；所以若空氣的溫度為12℃，從沏茶開始，大約需要2.77分鐘飲用口感最佳．故選：B．例12．（2023·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)校考期末）醫(yī)學(xué)上常用基本傳染數(shù)來衡量傳染病的傳染性強(qiáng)弱，其中，）表示天內(nèi)的累計(jì)病例數(shù).據(jù)統(tǒng)計(jì)某地發(fā)現(xiàn)首例型傳染性病例，在內(nèi)累計(jì)病例數(shù)達(dá)到例，取，根據(jù)上面的信息可以計(jì)算出型傳染病的基本傳染數(shù).已知型傳染病變異株的基本傳染數(shù)(表示不超過的最大整數(shù)），平均感染周期為天（初始感染者傳染個(gè)人為第一輪傳染，經(jīng)過一個(gè)周期后這個(gè)人每人再傳染個(gè)人為第二輪傳染，以此類推），則感染人數(shù)由個(gè)初始感染者增加到人大約需要的天數(shù)為（

）（參考數(shù)據(jù):）A．63 B．70 C．77 D．84【答案】A【解析】由，，可以得到.型傳染病變異株的基本傳染數(shù)，感染人數(shù)由個(gè)初始感染者增加到人大約需要輪傳染，則每輪新增感染人數(shù)為，經(jīng)過輪傳染，總共感染人數(shù)為:，因?yàn)椋深}意可得解得，又因?yàn)槠骄腥局芷跒樘欤愿腥救藬?shù)由個(gè)初始感染者增加到人大約需要天.故選：A變式7．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高三校考期末）在不考慮空氣阻力的條件下，從發(fā)射開始，火箭的最大飛行速度滿足公式：，其中為火箭推進(jìn)劑質(zhì)量，為去除推進(jìn)劑后的火箭有效載荷質(zhì)量，為火箭發(fā)動(dòng)機(jī)噴流相對火箭的速度.當(dāng)時(shí)，千米/秒.在保持不變的情況下，若噸，假設(shè)要使超過第一宇宙速度達(dá)到8千米/秒，則至少約為（

）（結(jié)果精確到1，參考數(shù)據(jù)：）A．135噸 B．160噸 C．185噸 D．210噸【答案】B【解析】由題意知，當(dāng)時(shí)，千米/秒，故可以得到，解得，故，由題意知，當(dāng)噸，千米/秒時(shí)，可以得到，解得噸.故選：B變式8．（2023·北京·高三北京市第十二中學(xué)校考階段練習(xí)）長江流域水庫群的修建和聯(lián)合調(diào)度，極大地降低了洪澇災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)，發(fā)揮了重要的防洪減災(zāi)效益．每年洪水來臨之際，為保證防洪需要、降低防洪風(fēng)險(xiǎn)，水利部門需要在原有蓄水量的基礎(chǔ)聯(lián)合調(diào)度，統(tǒng)一蓄水，用蓄滿指數(shù)（蓄滿指數(shù)＝×100）來衡量每座水庫的水位情況．假設(shè)某次聯(lián)合調(diào)度要求如下：（ⅰ）調(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)仍屬于區(qū)間；（ⅱ）調(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)都不能降低；（ⅲ）調(diào)度前后，各水庫之間的蓄滿指數(shù)排名不變．記x為調(diào)度前某水庫的蓄滿指數(shù)，y為調(diào)度后該水庫的蓄滿指數(shù)，給出下面四個(gè)y關(guān)于x的函數(shù)解析式：①；②；③；④．則滿足此次聯(lián)合調(diào)度要求的函數(shù)解析式的個(gè)數(shù)為（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】①，該函數(shù)在時(shí)函數(shù)值為，超過了范圍，不合題意；②為增函數(shù)，且且，則，符合題意；③，當(dāng)時(shí)，不合題意④，當(dāng)時(shí)，，故該函數(shù)在上單調(diào)遞增，又設(shè)即，易知在上為減函數(shù)由在上連續(xù)，且，，則存在，有當(dāng)，；當(dāng)，；故在遞增，在遞減.，故上即上故④符合題意，所以②④滿足題意，故選：B.變式9．（2023·河南·高三信陽高中校聯(lián)考期末）閃光指數(shù)（guidenumber，GN）是一個(gè)衡量閃光燈在感光度及視角確定的情況下照射目標(biāo)的能力，是進(jìn)行閃光攝影時(shí)決定適當(dāng)光圈的主要依據(jù).通常在手動(dòng)閃光攝影時(shí)，由已知的閃光指數(shù)和攝影距離來計(jì)算適當(dāng)?shù)墓馊Γ胰叽嬖谶@樣的關(guān)系：其中：——光圈；——閃光燈的閃光指數(shù)，單位為米（或英尺）；——光閃燈到被攝體的距離，單位為米（或英尺）.今有ISO100感光度的膠卷的閃光燈，其閃光指數(shù)為24米，若光圈值為8，則閃光燈到被攝體的距離為（

）A．3米 B．16米 C．32米 D．192米【答案】A【解析】由題意知米，，則由，得3（米）.故選:A.變式10．（2023·河南鄭州·高三統(tǒng)考期末）等額分付資本回收是指起初投資P，在利率i，回收周期數(shù)n為定值的情況下，每期期末取出的資金A為多少時(shí)，才能在第n期期末把全部本利取出，即全部本利回收，其計(jì)算公式為：.某農(nóng)業(yè)種植公司投資33萬元購買一大型農(nóng)機(jī)設(shè)備，期望投資收益年利率為10%，若每年年底回籠資金8.25萬元，則該公司將至少在（

）年內(nèi)能全部收回本利和.（，，）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】由題意，知萬元，萬元，，由公式可得，整理得，等式兩邊取對數(shù)，得故選：C.【通性通解總結(jié)】求解已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題的關(guān)鍵（1）認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．（2）根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)．（3）利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問題，并進(jìn)行檢驗(yàn)．題型五：構(gòu)造函數(shù)模型的實(shí)際問題例13．（2023·云南·高三景東彝族自治縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）為了提高員工的工作積極性，某外貿(mào)公司想修訂新的“員工激勵(lì)計(jì)劃”新的計(jì)劃有以下幾點(diǎn)需求：①獎(jiǎng)金隨著銷售業(yè)績的提高而提高；②銷售業(yè)績增加時(shí)，獎(jiǎng)金增加的幅度逐漸上升；③必須和原來的計(jì)劃接軌：銷售業(yè)績在10萬元或以內(nèi)時(shí)獎(jiǎng)金為0，超過10萬元?jiǎng)t開始計(jì)算獎(jiǎng)金，銷售業(yè)績?yōu)?0萬元時(shí)獎(jiǎng)金為1千元.設(shè)業(yè)績?yōu)閤（）萬元時(shí)獎(jiǎng)金為f（x）千元，下面給出三個(gè)函數(shù)模型：①；②；③.其中.請選擇合適的函數(shù)模型，并計(jì)算：業(yè)績?yōu)?00萬元時(shí)獎(jiǎng)金為___________千元.【答案】【解析】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，給出三個(gè)函數(shù)模型均滿足“獎(jiǎng)金隨著銷售業(yè)績的提高而提高”，而只有模型“”滿足“銷售業(yè)績增加時(shí)，獎(jiǎng)金增加的幅度逐漸上升”，故模型選擇：根據(jù)題意，則有：解得：則模型為：當(dāng)時(shí)，故答案為：例14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）現(xiàn)在有紅豆、白豆各若干粒.甲乙兩人為了計(jì)算豆子的粒數(shù)，選用了這樣的方法：第一輪甲每次取粒紅豆，乙每次取粒白豆，同時(shí)進(jìn)行，當(dāng)紅豆取完時(shí)，白豆還剩粒；第二輪，甲每次取粒紅豆，乙每次取粒白豆，同時(shí)進(jìn)行，當(dāng)白豆取完時(shí)，紅豆還剩粒.則紅豆和白豆共有________粒.【答案】【解析】設(shè)紅豆有粒，白豆有粒，由第一輪結(jié)果可知：，整理可得：；由第二輪結(jié)果可知：，整理可得：；當(dāng)時(shí)，由得：（舍）；當(dāng)時(shí)，由得：（舍）；當(dāng)時(shí)，由得：，，即紅豆和白豆共有粒.故答案為：.例15．（2023·福建莆田·高三莆田二中校考階段練習(xí)）2020年是全國決勝脫貧攻堅(jiān)之年，“一幫一扶”工作組進(jìn)駐某山區(qū)幫助農(nóng)民脫貧，發(fā)現(xiàn)該山區(qū)盛產(chǎn)蘋果、梨子、獼猴桃，工作人員文明在線上進(jìn)行直播帶貨活動(dòng)，促銷方案如下：若一次購買水果總價(jià)不低于200元，則顧客少付款m元，每次訂單付款成功后，農(nóng)民會收到支付款的80%，在促銷活動(dòng)中，為了使得農(nóng)民收入不低于總價(jià)的70%，則m的最大值為_________.【答案】25【解析】根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系式，整理出恒成立，再由x的范圍即可求解.設(shè)每筆訂單促銷前的總價(jià)為元，根據(jù)題意有，即恒成立，由題意得，所以，所以，即m的最大值為25.故答案為：25變式11．（2023·吉林長春·長春十一高校考模擬預(yù)測）某醫(yī)院為了提高服務(wù)質(zhì)量，對病員掛號進(jìn)行了調(diào)查，其調(diào)查結(jié)果為：當(dāng)還未開始掛號時(shí)，有N個(gè)人已經(jīng)在排隊(duì)等候掛號；開始掛號后，排隊(duì)的人數(shù)平均每分鐘增加M人．假定掛號的速度是每窗口每分鐘K個(gè)人，當(dāng)開放一個(gè)窗口時(shí)，40分鐘后恰好不會出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象；若同時(shí)開放兩個(gè)窗口時(shí)，則15分鐘分恰好不會出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象．根據(jù)以下信息，若醫(yī)院承諾5分鐘后不出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象，則至少需要同時(shí)開放的窗口數(shù)為___．【答案】6【解析】設(shè)要同時(shí)開放n個(gè)窗口才能滿足要求，則解得：，∴N+5M≤5Kn，∴24K+2K≤5Kn，解得n≥5.2．故至少同時(shí)開放6個(gè)窗口才能滿足要求．故答案為6變式12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某地街道呈現(xiàn)東——西、南——北向的網(wǎng)絡(luò)狀，相鄰街距都為1，兩街道相交的點(diǎn)稱為格點(diǎn)．若以相互垂直的兩條街道為軸建立直角坐標(biāo)系，現(xiàn)有下述格點(diǎn)（-2，2），（3，1），（3，4），（-2，3），（4，5）為報(bào)刊零售店，請確定一個(gè)格點(diǎn)______為發(fā)行站，使5個(gè)零售點(diǎn)沿街道發(fā)行站之間路程的和最短．【答案】（2，3）【解析】設(shè)發(fā)行站的位置為，零售點(diǎn)到發(fā)行站的距離為，這5個(gè)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的平均值為，，記A（，3），畫出圖形可知，發(fā)行站的位置應(yīng)該在點(diǎn)A附近，代入附近的點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行比較可知，在（2,3）處z取得最小值．【通性通解總結(jié)】構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題的步驟（1）建模：抽象出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型；（2）推理、演算：對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行邏輯推理或數(shù)學(xué)運(yùn)算，得到問題在數(shù)學(xué)意義上的解；（3）評價(jià)、解釋：對求得的數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行深入討論，作出評價(jià)、解釋、返回到原來的實(shí)際問題中去，得到實(shí)際問題的解．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·山東泰安·高三統(tǒng)考期中）垃圾分類，一般是指按一定規(guī)定或標(biāo)準(zhǔn)將垃圾分類儲存、分類投放和分類搬運(yùn)，從而變成公共資源的一系列活動(dòng)的總稱．已知某種垃圾的分解率ν與時(shí)間t（月）滿足函數(shù)關(guān)系式（其中a，b為非零常數(shù)）．若經(jīng)過6個(gè)月，這種垃圾的分解率為5%，經(jīng)過12個(gè)月，這種垃圾的分解率為10%，那么這種垃圾完全分解（分解率為100%）至少需要經(jīng)過（

）（參考數(shù)據(jù)）A．20個(gè)月 B．40個(gè)月 C．28個(gè)月 D．32個(gè)月【答案】D【解析】依題意，解得，故.令，得，即，則.即這種垃圾完全分解（分解率為100%）至少需要經(jīng)過32個(gè)月.故選：D.2．（2023·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)校考期中）大西洋鮭魚每年都要逆流而上游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，研究鮭魚的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速（單位：）可以表示為，其中表示鮭魚的耗氧量的單位數(shù).當(dāng)一條鮭魚以的速度游動(dòng)時(shí)，其耗氧量是靜止時(shí)耗氧量的倍數(shù)為（

）A． B．8 C．32 D．64【答案】D【解析】因?yàn)椋援?dāng)鮭魚靜止時(shí)，，即，化簡得，所以；當(dāng)，即，化簡得，所以，所以..故選:D.3．（2023·河北滄州·高三統(tǒng)考期末）《中華人民共和國國家綜合排放標(biāo)準(zhǔn)》中的一級標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定企業(yè)生產(chǎn)廢水中氨氮含量允許排放的最高濃度為15ml/L.某企業(yè)生產(chǎn)廢水中的氨氮含量為225ml/L.現(xiàn)通過循環(huán)過濾設(shè)備對生產(chǎn)廢水的氨氮進(jìn)行過濾，每循環(huán)一次可使氨氮含量減少，為安全起見，要使廢水中的氨氮含量不高于國家排放標(biāo)準(zhǔn)值的一半，至少要進(jìn)行循環(huán)的次數(shù)為（

）（參考數(shù)據(jù)，）A．3 B．4 C．8 D．9【答案】D【解析】過濾第一次廢水中的氨氮的含量減少，則為；過濾第兩次廢水中的氨氮的含量減少，則為；過濾第三次廢水中的氨氮的含量減少，則為；過濾第n次廢水中的氨氮的含量減少，則為；要求廢氣中該廢水中的氨氮的含量不能超過7.5ml/L，則，即，兩邊取以10為底的對數(shù)可得，即，所以，因?yàn)椋裕裕郑裕逝欧徘靶枰^濾的次數(shù)至少為9次．故選：D．4．（2023·遼寧·高三遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）某科技研發(fā)公司2022年全年投入的研發(fā)資金為300萬元，在此基礎(chǔ)上，計(jì)劃每年投入的研發(fā)資金比上一年增加10%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過600萬元的年份是（

）（參考數(shù)據(jù)：，，，）A．2027年 B．2028年 C．2029年 D．2030年【答案】D【解析】設(shè)年后公司全年投入的研發(fā)資金為，則根據(jù)題意有，研發(fā)資金開始超過600萬元，即，解得，則的最小值為8，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過600萬元的年份是年，故選：D.5．（2023·吉林·東北師大附中校考模擬預(yù)測）一種藥在病人血液中的量不低于1800mg時(shí)才有療效，如果用藥前，病人血液中該藥的量為0mg，用藥后，藥在血液中以每小時(shí)20%的比例衰減．現(xiàn)給某病人靜脈注射了3600mg的此藥，為了持續(xù)保持療效，則最長需要在多少小時(shí)后再次注射此藥（，結(jié)果精確到0.1）（

）A．2.7 B．2.9 C．3.1 D．3.3【答案】C【解析】設(shè)注射后經(jīng)過的時(shí)間為，血液中藥物的含量為，則有，因?yàn)樗幵诓∪搜褐械牧坎坏陀?800mg時(shí)才有療效，所以令，解得.故選：C.6．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）丹麥化學(xué)家索倫森是首位建立PH值概念的生化學(xué)家，他把PH值定義為，式子中的指的是溶液中的氫離子的濃度，單位為摩爾/升（），若某種溶液中的氫離子的濃度為，則該溶液的PH值約為（）（

）A．8 B．7.78 C．7.22 D．6【答案】C【解析】.故選：C7．（2023·浙江·模擬預(yù)測）某全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果.在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為h（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）.將地球看作是一個(gè)球心為O，半徑r為的球，其上點(diǎn)A的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數(shù).地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為，記衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積為（單位：），若，則S占地球表面積的百分比約為（

）A．26% B．34% C．42% D．50%【答案】C【解析】設(shè)表示衛(wèi)星，過作截面，截地球得大圓，過作圓的切線，線段交圓于，如圖，則，，，，則，又，所以設(shè)地球表面積為，則所以．故選：C．8．（2023·四川成都·石室中學(xué)校考模擬預(yù)測）某化工企業(yè)為了響應(yīng)并落實(shí)國家污水減排政策，加裝了污水過濾排放設(shè)備，在過濾過程中，污染物含量（單位：mg/L）與時(shí)間（單位：h）之間的關(guān)系為：（其中，是正常數(shù)）.已知經(jīng)過1h，設(shè)備可以過濾掉20%的污染物，則過濾60%的污染物需要的時(shí)間最接近（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．3h B．4h C．5h D．6h【答案】B【解析】由題意可知，所以，設(shè)過濾60%的污染物需要的時(shí)間為，則，所以，所以，比較接近4.故選：B二、多選題9．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考三模）某公司通過統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)，工人工作效率與工作年限（），勞累程度（），勞動(dòng)動(dòng)機(jī)（）相關(guān)，并建立了數(shù)學(xué)模型.已知甲?乙為該公司的員工，則下列說法正確的有（

）A．甲與乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，勞動(dòng)動(dòng)機(jī)低，則甲比乙勞累程度強(qiáng)B．甲與乙勞動(dòng)動(dòng)機(jī)相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，則甲比乙勞累程度弱C．甲與乙勞累程度相同，且甲比乙工作年限長，勞動(dòng)動(dòng)機(jī)高，則甲比乙工作效率高D．甲與乙勞動(dòng)動(dòng)機(jī)相同，且甲比乙工作年限長，勞累程度弱，則