專題25.1概率初步【十二大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1事件的分類】 1【題型2判斷事件發生的可能性的大小】 2【題型3根據概率公式計算概率】 3【題型4幾何概率】 4【題型5游戲的公平性】 5【題型6概率在比賽中的應用】 6【題型7概率在電路問題中的應用】 6【題型8概率在轉盤抽獎中的應用】 8【題型9概率在摸球試驗中的應用】 9【題型10概率中的其他應用】 10【題型11概率與統計的綜合】 11【題型12用頻率估計概率】 13【知識點1必然事件、不可能事件、隨機事件】在一定條件下，有些事件必然會發生，這樣的事件稱為必然事件；相反地，有些事件必然不會發生，這樣的事件稱為不可能事件；在一定條件下，可能發生也可能不會發生的事件稱為隨機事件。必然事件與不可能事件就是否會發生，就是可以事先確定的，所以它們統稱為確定性事件。【題型1事件的分類】【例1】（2023春·江蘇連云港·九年級統考期末）數軸上表示數a的點在原點左側，表示數b的點在原點右側，下列事件是隨機事件的是（）A．a?b>0 B．a+b>0 C．ab<0 D．a【變式1-1】（2023春·廣東梅州·九年級統考期末）下列成語，是必然事件的是（）A．畫餅充饑 B．不期而遇 C．水中撈月 D．旭日東升【變式1-2】（2023春·江蘇無錫·九年級統考期末）下列事件：①擲一次骰子，向上一面的點數是3；②從一個只裝有黑色球的袋子摸出一個球，摸到的是白球；③14④射擊運動員射擊一次命中靶心．其中是確定事件的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式1-3】（2023春·江蘇鎮江·九年級統考期末）“八月十五云遮月，正月十五雪打燈”是一句諺語，意思是說如果八月十五晚上陰天的話，正月十五晚上就下雪，你認為農諺說的是（填寫“必然事件”或“不可能事件”或“隨機事件”）．【知識點2事件發生的可能性的大小】必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，隨機事件發生的可能性有大有小。不同的隨機事件發生的可能性的大小有可能不同。【題型2判斷事件發生的可能性的大小】【例2】（2023春·全國·九年級期末）在下列事件中，發生的可能性最小的是（

）A．在地面上拋一顆骰子，骰子終將落下B．射擊運動員射擊一次，命中10環C．杭州五一節當天的最高溫度為35℃D．用長為10cm，10cm，【變式2-1】（2023春·山東臨沂·九年級統考期末）小明連續拋一枚質量均勻的硬幣5次，都是正面朝上，若他再拋一次，則朝上的一面（

）A．一定是正面 B．是正面的可能性較大C．一定是反面 D．是正面或反面的可能性一樣大【變式2-2】（2023春·江蘇揚州·九年級統考期末）在質地均勻的小立方體中，有一個面上標有數字1，有兩個面上標有數字2，有三個面上標有數字3，拋擲這個小立方體，則向上一面的數字可能性最大的是．【變式2-3】（2023春·江蘇連云港·九年級統考期末）一個袋中裝有3個紅球，5個黃球，3個白球，每個球除顏色外都相同，任意摸出一球，摸到球的可能性最大．【知識點3概率】一般地，對于一個隨機事件A，我們把刻畫其發生可能性大小的數值，稱為隨機事件A發生的概率，記作P（A）。一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結果，并且它們發生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結果，那么事件A發生的概率P（A）=mn。由m與n的含義可知0≤m≤n，因此0≤m當A為必然事件時，P（A）=1；當A為不可能事件時，P（A）=0.【題型3根據概率公式計算概率】【例3】（2023春·四川廣元·九年級統考期末）在一個不透明的盒子中，裝有2個白球和1個紅球，這些球除顏色外其余都相同.攪勻后從中任意摸出一個球，要使摸出紅球的概率為12，應在該盒子中再添加紅球（

A．2個 B．3個 C．4個 D．1個【變式3-1】（2023春·遼寧鐵嶺·九年級統考期末）四張完全相同的卡片上，分別畫有等邊三角形、平行四邊形、菱形、正五邊形，現從中隨機抽取一張，卡片上畫的恰好是軸對稱圖形的概率為（

）A．14 B．12 C．3【變式3-2】（2023春·山東煙臺·九年級統考期末）李明用6個球設計了一個摸球游戲，共有四種方案，肯定不能成功的是（

）A．摸到黃球、紅球的概率均為1B．摸到黃球的概率是23，摸到紅球、白球的概率均為C．摸到黃球、紅球、白球的概率分別為12、13D．摸到黃球、紅球、白球的概率都是1【變式3-3】（2023春·四川瀘州·九年級統考期末）九年級學生李明每天騎自行車上學時都要經過一個十字路口，設十字路口有紅、黃、綠三色交通信號燈，他在路口遇到紅燈的概率為13，遇到黃燈的概率為2A．19 B．29 C．49【知識點4用列表法、樹狀圖法求概率】列表法：當一次試驗要涉及兩個因素并且可能出現得結果數目較多時，為不重不漏地列出所有可能得結果，通常用列表法。列表法就是用表格得形式反映事件發生得各種情況出現的次數與方式，以及某一事件發生的可能的次數與方式，并求出概率的方法。樹狀圖法：當一次試驗要涉及3個或更多得因素時，列方形表就不方便了，為不重不漏地列出所有可能得結果，通常采用樹形圖。樹形圖就是反映事件發生得各種情況出現得次數與方式，并求出概率得方法。（1）樹形圖法同樣適用于各種情況出現得總次數不就是很大時求概率得方法。（2）在用列表法與樹形圖法求隨機事件得概率時，應注意各種情況出現得可能性務必相同。【題型4幾何概率】【例4】（2023春·山東淄博·九年級統考期末）一只蜘蛛爬到如圖所示的一面墻上，停留位置是隨機的，則停留在陰影區域上的概率是（

）A．23 B．12 C．13【變式4-1】（2023·廣西河池·九年級統考期末）如圖，正方形ABCD內接于⊙O，⊙O的直徑為2分米，若在這個圓面上隨意拋一粒豆子，則豆子落在正方形ABCD內的概率是（）A．2π B．π2 C．12π【變式4-2】（2023春·河北唐山·九年級統考期末）如圖，在△ABC中，AD為中線，點E，F，G為AD的四等分點，在△ABC內任意拋一粒豆子，豆子落在陰影部分的概率為．【變式4-3】（2023春·江蘇泰州·九年級統考期末）七巧板是我國古代勞動人民的發明之一，被譽為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的．如圖是一個用七巧板拼成的正方形，如果在此正方形中隨機取一點，那么此點取自黑色部分的概率是．【題型5游戲的公平性】【例5】（2023春·四川雅安·九年級統考期末）一個不透明的布袋里裝有20個除顏色外均相同的小球，其中白球有x個，紅球有2x個，其他均為黃球．現從布袋中隨機摸出一個球，若是紅球則甲同學獲勝，若為黃球，則乙同學獲勝．(1)當x=5時，誰獲勝的可能性大？(2)要使游戲對甲乙雙方是公平的，x應取何值？【變式5-1】（2023春·新疆·九年級新疆農業大學附屬中學校考期末）有3張背面相同的紙牌A，B，C，其正面分別畫有三個不同的圖形（如圖），將這3張紙牌洗勻后，背面朝上放在桌面上．(1)隨機地摸出一張，求摸出牌面圖形是軸對稱圖形的概率；(2)小華和小明玩游戲，規則是：隨機地摸出一張，放回洗勻后再摸一張．若摸出兩張牌面圖形都是軸對稱圖形的紙牌，則小華贏；否則，小明贏．你認為該游戲公平嗎？請用畫樹狀圖或列表法說明理由．（紙牌可用A，B，C表示）【變式5-2】（2023·北京海淀·九年級期末）在一只不透明的袋中，裝著標有數字4，5，7，9的質地、大小均相同的四個小球．小明和小東同時從袋中隨機各摸出1個球，并計算這兩球上的數字之和，當和小于13時小明獲勝，反之小東獲勝．(1)請用列表的方法，求小明獲勝的概率；(2)這個游戲公平嗎？請說明理由．【變式5-3】（2023春·黑龍江黑河·九年級統考期末）淘淘和明明玩骰子游戲，每人將一個各面分別標有1，2，3，4，5，6的正方體骰子擲一次，把兩人擲得的點數相加，并約定：點數之和等于6，淘淘贏；點數之和等于7，明明贏；點數之和是其它數，兩人不分勝負．(1)請你用“畫樹狀圖”或“列表”的方法分析說明此游戲是否公平．(2)請你基于（1）問中得到的數據，設計出一種公平的游戲規則．(列出一種即可)【題型6概率在比賽中的應用】【例6】（2023春·陜西榆林·九年級統考期中）某校將舉辦“齊學二十大，共筑中國夢”的主題演講比賽，九年級通過預賽確定出兩名男生和兩名女生，共4名同學作為推薦人選．(1)若從中隨機選一名同學參加學校比賽，則選中女生的概率為______；(2)若從中隨機選兩名同學組成一組選手參加比賽，請用樹狀圖（或列表法）求出恰好選中一名男生和一名女生的概率．【變式6-1】（2023春·陜西咸陽·九年級統考期中）為讓同學們進一步了解中國科技的快速發展，某中學組織了一次黑板報比賽，每個班從A．“天宮空間站”；B．“5G時代”：C．“東風快遞”；D．“智軌快運”四個主題中任選一個主題，每一個主題被選擇的可能性相同，小明和小雨在不同的班級(1)小明所在的班級選擇“天宮空間站”的概率為___________；(2)請用列表法或畫樹狀圖法，求小明和小麗所在的班級選擇相同主題的概率【變式6-2】（2023春·遼寧大連·九年級統考期中）為慶祝二十大勝利召開，中山區教育系統拔河比賽于2022年10月26日至11月2日在東港第一中學成功舉辦．本次比賽共進行三場，分別為：A．10月26日初賽，B．10月28日半決賽，C．11月2日決賽．李老師和張老師都是裁判員，他們被隨機分配到這三場比賽中的任意一場進行裁判的可能性相同．(1)求李老師被分配到C做裁判員的概率；(2)利用畫樹狀圖或列表的方法，求李老師和張老師同時被分配到同一場比賽做裁判員的概率．【變式6-3】（2023春·陜西商洛·九年級校考期末）為慶祝黨的二十大勝利召開，某學校舉行作文比賽，題目有“偉大的中國共產黨”“科技托起中國夢”“家鄉的新變化”“時代賦予我們的使命”（分別用字母A，B，C，D依次表示這四個題目）．比賽時，將A，B，C，D這四個字母分別寫在4張無差別不透明的卡片的正面上，洗勻后正面向下放在桌面上，小青先從中隨機抽取一張卡片，放回后洗勻，再由小云從中隨機抽取一張卡片，進行比賽．試用畫樹狀圖或列表的方法表示所有可能的結果，并求出小青和小云抽中不同題目的概率．【題型7概率在電路問題中的應用】【例7】（2023·陜西榆林·統考三模）如圖，某同學學習物理《電流和電路》后設計了如圖所示的電路圖，其中S?、S?、S?、S?分別表示四個可開閉的開關，“?”表示小燈泡，“|I”表示電源．電源、小燈泡、開關和線路都能正常工作，當閉合開關S?、S?、S?中任意一個，再閉合開關S?時，小燈泡發光，按要求完成下列問題：

(1)當開關S?閉合時，再隨機閉合開關S?或S?或S?其中一個，小燈泡發光的概率為；(2)當隨機閉合開關S?、S?、S?、S?中的兩個，請用畫樹狀圖或列表的方法求小燈泡發光的概率．【變式7-1】（2023春·廣東惠州·九年級校考階段練習）如圖所示的電路中，當隨機閉合開關S1，S2，S3【變式7-2】（2023·河南新鄉·統考三模）如圖，電路上有編號①②③④共4個開關和1個小燈泡，任意閉合電路上其中的兩個開關，小燈泡發光的概率為．【變式7-3】（2023·安徽安慶·安慶市第四中學校考二模）在物理課上，同學們學習了“電學”知識之后，便可以設計一些簡單的電路圖．

(1)如圖1所示的電路圖中，三個開關并聯成一個開關組A，閉合其中任何一個開關，可以使燈泡發亮的概率是________；(2)如圖2，在圖1的電路圖中，新增一個開關組B，在A、B兩個開關組中各閉合一個開關，用樹狀圖或列表法求小燈泡發亮的概率．(3)小明同學觀察圖2后提出：“若將開關S5或S6去掉，則在【題型8概率在轉盤抽獎中的應用】【例8】（2023·福建福州·福建省福州第十九中學校考模擬預測）福州第十九中學每年的校園科學文化藝術節中的“愛心義賣會”活動，是學校同學們表現愛心的重要活動，在2021年的義賣會上，九年某班的同學設計了一個“愛心盲盒大抽獎”的活動，其規則如下：通過購買愛心小盲盒，每個愛心小盲盒3元，根據小盲盒內事先藏好的數字，可以進行兌獎，而每一位參與活動的同學都有4個小盲盒可以選擇，其中一個小盲盒藏有數字4，可以兌換4元，有一個小盲盒藏有數字2，可以兌換2元，剩余的兩個小盲盒藏有數字1，可以兌換1元，每位同學最多只能買2個小盲盒．(1)張同學購買了兩個小盲盒，用列表法或樹狀圖的方法求出求他購買的第1個小盲盒里藏有數字4的概率：______；(2)李同學手上有7元，請用概率統計的知識說明，從李同學最終在手上的錢的平均值為依據，她是買一個小盲盒好，還是兩個小盲盒好．【變式8-1】（2023春·湖南長沙·九年級統考期中）某商場為了吸引顧客，設立了一個可以自由轉動的轉盤，如圖所示，并規定：顧客消費200元（含200元）以上，就能獲得一次轉動轉盤的機會，如果轉盤停止后，指針正好對準九折、八折、七折區域，顧客就可以獲得此項優惠，如果指針恰好在分割線上時，則需重新轉動轉盤．（1）某顧客正好消費220元，他轉一次轉盤，他獲得九折、八折、七折優惠的概率分別是多少？（2）某顧客消費中獲得了轉動一次轉盤的機會，實際付費168元，請問他消費所購物品的原價應為多少元．【變式8-2】（2023春·遼寧丹東·九年級校考期中）九（1）班組織班級聯歡會，最后進入抽獎環節，每名同學都有一次抽獎機會，抽獎方案如下：將一副撲克牌中點數為“2”，“3”，“3”，“5”，“6”的五張牌背面朝上洗勻，先從中抽出1張牌，再從余下的4張牌中抽出1張牌，記錄兩張牌點數后放回，完成一次抽獎，記每次抽出兩張牌點數之差為x，按表格要求確定獎項．（1）用列表或畫樹狀圖的方法求出甲同學獲得一等獎的概率；（2）是否每次抽獎都會獲獎，為什么？【變式8-3】（2023春·河南三門峽·九年級統考期末）某商場開展購物抽獎活動，抽獎箱中有4個標號分別為1，2，3，4的質地、大小相同的小球，顧客任意摸取一個小球，然后放回，再摸取一個小球，若兩次摸出的數字之和為“8”是一等獎，數字之和為“6”是二等獎，數字之和為其他數字則是三等獎，請用列舉法分別求出顧客抽中一、二、三等獎的概率．【題型9概率在摸球試驗中的應用】【例9】（2023春·湖北襄陽·九年級統考期末）閱讀材料，回答問題：材料題1：經過某十字路口的汽車，可能直行，也可能向左轉或向右轉．如果這三種可能性的大小相同，求三輛汽車經過這個十字路口時，至少要兩輛車向左轉的概率題2：有兩把不同的鎖和三把鑰匙，其中兩把鑰匙分別能打開這兩把鎖（一把鑰匙只能開一把鎖），第三把鑰匙不能打開這兩把鎖．隨機取出一把鑰匙開任意一把鎖，一次打開鎖的概率是多少？我們可以用“袋中摸球”的試驗來模擬題1：在口袋中放三個不同顏色的小球，紅球表示直行，綠球表示向左轉，黑球表示向右轉，三輛汽車經過路口，相當于從三個這樣的口袋中各隨機摸出一球.問題：（1）事件“至少有兩輛車向左轉”相當于“袋中摸球”的試驗中的什么事件？（2）設計一個“袋中摸球”的試驗模擬題2，請簡要說明你的方案（3）請直接寫出題2的結果．【變式9-1】（2023春·遼寧錦州·九年級校考期末）在用摸球試驗來模擬6人中有2人生肖相同的概率的過程中，有如下不同的觀點，其中正確的是（

）A．摸出的球不能放回 B．摸出的球一定要放回C．可放回，可不放回 D．不能用摸球試驗來模擬此事件【變式9-2】（2023春·四川達州·九年級校考期末）一不透明的布袋里，裝有紅、黃、藍三種顏色的小球（除顏色外其余都相同），其中有紅球2個，籃球1個，黃球若干個，現從中任意摸出一個球是紅球的概率為12（1）求口袋中黃球的個數；（2）甲同學先隨機摸出一個小球（不放回），再隨機摸出一個小球，請用“樹狀圖法”或“列表法”，求兩次摸出都是紅球的概率；（3）現規定：摸到紅球得5分，摸到黃球得3分（每次摸后放回），乙同學在一次摸球游戲中，第一次隨機摸到一個紅球第二次又隨機摸到一個藍球，若隨機，再摸一次，求乙同學三次摸球所得分數之和不低于10分的概率．【變式9-3】（2023春·福建福州·九年級福建省福州屏東中學校考期中）某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎．抽獎規則如下：1．抽獎方案有以下兩種：方案A，從裝有1個紅球、2個白球（僅顏色不同）的甲袋中隨機摸出1個球，若是紅球，則獲得獎金15元，否則，沒有獎金，兌獎后將摸出的球放回甲袋中；方案B，從裝有2個紅、1個白球（僅顏色不同）的乙袋中隨機摸出1個球，若是紅球則獲得獎金10元，否則，沒有獎金，兌獎后將摸出的球放回乙袋中．2．抽獎條件是：顧客購買商品的金額每滿100元，可根據方案A抽獎一次：每滿足150元，可根據方案B抽獎一次（例如某顧客購買商品的金額為310元，則該顧客采用的抽獎方式可以有以下三種，根據方案A抽獎三次或方案B抽獎兩次或方案A，B各抽獎一次）．已知某顧客在該商場購買商品的金額為250元．(1)若該顧客只選擇根據方案A進行抽獎，求其所獲獎金為15元的概率；(2)以顧客所獲得的獎金的平均值為依據，應采用哪種方式抽獎更合算？并說明理由．【題型10概率中的其他應用】【例10】（2023春·陜西渭南·九年級統考期中）琳琳有4盒外包裝完全相同的糖果，其中有2盒巧克力味的，1盒牛奶味的，1盒水果味的，她準備和好朋友分享糖果．(1)若琳琳隨機打開1盒糖果，恰巧是牛奶味的概率是______；(2)若琳琳從這4盒中隨機挑選兩盒打開，請用列表或畫樹狀圖法打開的兩盒都是巧克力味的概率．【變式10-1】（2023春·湖南長沙·九年級長沙市湘郡培粹實驗中學校考階段練習）籠子里關著一只小松鼠（如圖），籠子的主人決定把小松鼠放歸大自然，將籠子所有的門都打開，松鼠要先經過第一道門（A，B，或C），再經過第二道門（D或E）才能出去．問松鼠走出籠子的路線（經過的兩道門）有（

）種不同的可能？A．12 B．6 C．5 D．2【變式10-2】（2023春·浙江·九年級專題練習）疫情防控期間，任何人進入校園都必須測量體溫，體溫正常方可進校．現在學校需在東門、南門和西門分別增加一人測溫，甲、乙、丙三人被隨機增派到三個校門測溫．小明每天走東門進校，小麗每天走西門進校．請用所學概率知識解決下列問題：（1）寫出甲、乙、丙被分配到三個校門測溫的所有可能結果；（2）小明、小麗兩人中，進校時誰遇到甲的可能性大？請說明理由．【變式10-3】（2023春·廣西南寧·九年級廣西大學附屬中學校考期中）“垃圾分類，從我做起”，為改善群眾生活環境，提升全民文明素養，垃圾分類已經在武威市普及開來．垃圾一般可分為可回收垃圾（A），廚余垃圾（B），有害垃圾（C），其它垃圾（D）四類．市民甲拿了一袋有害垃圾，乙拿了一袋廚余垃圾，隨機扔進并排的4個垃圾桶A，B，C，D．(1)甲扔對垃圾的概率為_________；(2)用列表法或樹狀圖求出甲、乙兩人同時扔對垃圾的概率．【題型11概率與統計的綜合】【例11】（2023春·湖南長沙·九年級校聯考期中）“茶顏悅色”是長沙的地標美食名片之一，某“茶顏悅色”分店為了了解該地青年朋友對去年銷量較好的“三季蟲”（A）、“人間煙火”（B）、“聲聲烏龍”（C）、“幽蘭拿鐵”（D）四種不同口味的喜愛情況，對該地青年進行了抽樣調查，并將調查情況繪制成如下兩幅不完整的統計圖，請回答下列問題．(1)a=______，b=______；(2)請將條形統計圖補充完整，并計算表示C等次的扇形所對的圓心角的度數為______；(3)某“茶顏悅色”分店決定從A、B、C、D四種口味中，隨機選取兩種口味作為門店特色口味推銷給消費者，請用列表法或畫樹狀圖法，求A、B兩種口味同時被選中的概率．【變式11-1】（2023春·江蘇蘇州·九年級統考期末）某校為了解學生“自主學習、合作交流”的情況，對某班部分同學進行了一段時間的跟蹤調查，將調查結果(A:特別好;B:好;C:一般;D:較差)繪制成以下兩幅不完整的統計圖.請根據圖中提供的信息，解答下列問題：(1)補全條形統計圖;(2)扇形統計圖中，D類所占圓心角為;(3)學校想從被調查的A類(1名男生、2名女生)和D類(男、女生各占一半)中分別選取一位同學進行“一幫一”互助學習，請用畫樹狀圖或列表的方法求所選的兩位同學恰好是一男一女的概率.【變式11-2】（2023春·山東濟南·九年級統考期中）我市為加快推進生活垃圾分類工作，對分類垃圾桶實行統一的外型、型號、顏色等，其中，可回收物用藍色收集桶，有害垃圾用紅色收集桶，廚余垃圾用綠色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．為了解學生對垃圾分類知識的掌握情況，某校宣傳小組就“用過的餐巾紙應投放到哪種顏色的收集桶”在全校隨機采訪了部分學生，根據調查結果，繪制了如圖所示的兩幅不完整的統計圖．根據圖中信息，解答下列問題：

(1)此次調查一共隨機采訪了_____名學生，在扇形統計圖中，“灰”所在扇形的圓心角的度數為____度；(2)若該校有3600名學生，估計該校學生將用過的餐巾紙投放到紅色收集桶的人數；(3)李老師計劃從A，B，C，D四位學生中隨機抽取兩人參加學校的垃圾分類知識搶答賽，請用樹狀圖法或列表法求出恰好抽中A，B兩人的概率．【變式11-3】（2023春·廣東東莞·九年級虎門五中校考期中）我校計劃成立學生體育社團，為了解學生對不同體育項目的喜愛情況，學校隨機抽取了部分學生進行“我最喜愛的一個體育項目”問卷調查，規定每人必須并且只能在“籃球”“足球”“乒乓球”“健美操”“跑步”五個項目中選擇一項，并根據統計結果繪制了兩幅不完整的統計圖.請解答下列問題：(1)在這次調查中，該校一共抽樣調查了______名學生，扇形統計圖中“跑步”項目所對應的扇形圓心角的度數是______°；請補全條形統計圖；(2)若該校共有1200名學生，試估計該校學生中最喜愛“籃球”項目的人數；(3)若隨機從“籃球、足球、乒乓球”三項中抽取兩個項目成立球類體育社團，其中“籃球”被選中的概率是多少？(請用畫樹狀圖或列表等方法說明理由)【題型12用頻率估計概率】【例12】（2023春·河南平頂山·九年級統考期末）（1）【綜合實踐】在學習“用頻率估計概率”的數學活動課上，學習小組做投擲骰子（質地均勻的正方體）試驗，他們共做了150次試驗，試驗的結果如下：向上點數123456出現次數1928273221x表格中的數據x=______；（2）【數學發現】學習小組針對數學試驗的結果得出結論：“根據試驗及‘用頻率估計概率’的知識可知，出現‘5點朝上’的概率是14%（3）【結論應用】在一個不透明的盒子里，裝有40個黑球和若干個白球，它們除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出一個球，記下顏色再把它放回盒子中，不斷重復試驗，統計結果發現，隨著試驗次數越來越多，摸到黑球的頻率逐漸在0.4左右擺動．據此估計盒子中大約有白球多少個？【變式12-1】（2023春·云南昆明·九年級統考期末）不透明的盒子中裝有紅、黃色的小球共20個，除顏色外無其他差別，隨機摸出一個小球，記錄顏色后放回并搖勻，再隨機摸出一個，下圖顯示了某數學小組開展上述摸球活動的某次實驗的結果．下面四個推斷中正確的是（

）①當摸球次數是300時，記錄“摸到紅球”的次數是99，所以“摸到紅球”的概率是0.33；②隨著試驗次數的增加，“摸到紅球”的頻率總在0.35附近擺動，顯示出一定的穩定性，可以估計“摸到紅球”的概率是0.35；③可以根據本次實驗結果，計算出盒子中約有紅球7個；④若再次開展上述摸球活動，則當摸球次數為500時，“摸到紅球”的頻率一定是0.40．A．①② B．①③ C．②③ D．②④【變式12-2】（2023春·陜西榆林·九年級統考期末）在一個不透明的盒子里裝有紅、白兩種顏色的球共10個,這些球除顏色外都相同．小穎將球攪勻,從盒子里隨機摸出一個球記下顏色后,再把球放回盒子,不斷重復上述過程．下表是多次摸球試驗中的一組統計數據:摸球的次數n10020030050080010003000摸到白球的次數m641241783024815991803摸到白球的頻率m0.640.620.5930.6040.6010.5990.601(1)請估計:當n很大時,摸到白球的頻率將會接近;(精確到0.1)(2)若從盒子里隨機摸出一個球,求摸到白球的概率的估計值．(精確到0.1)【變式12-3】（2023春·浙江衢州·九年級統考期末）在一個不透明的盒子里裝有紅、白兩種顏色的球共10個，這些球除顏色外都相同．小穎將球攪勻，從盒子里隨機摸出一個球記下顏色后，再把球放回盒子，不斷重復上述過程．下表是多次摸球試驗中的一組統計數據：摸球的次數n10020030050080010003000摸到白球的頻數m651241783024815991803摸到白球的頻率m0.650.620.5930.6040.6010.5990.601(1)請估計：當n很大時，摸到白球的頻率將會接近______（精確到0.1）；(2)若從盒子里隨機摸出一個球，則摸到白球的概率的估計值是______；(3)小明用轉盤來代替摸球做試驗．下面是一個可以自由轉動的轉盤，小明將轉盤分為紅色、白色2個扇形區域，轉動轉盤，當轉盤停止后，指針落在白色區域的概率與摸球試驗中摸到白球的概率相同．請你在轉盤上用文字“紅色”、“白色”注明兩個區域的顏色，并求出白色區域的扇形的圓心角的度數．

專題25.1概率初步【十二大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1事件的分類】 1【題型2判斷事件發生的可能性的大小】 3【題型3根據概率公式計算概率】 5【題型4幾何概率】 7【題型5游戲的公平性】 11【題型6概率在比賽中的應用】 14【題型7概率在電路問題中的應用】 18【題型8概率在轉盤抽獎中的應用】 22【題型9概率在摸球試驗中的應用】 26【題型10概率中的其他應用】 30【題型11概率與統計的綜合】 33【題型12用頻率估計概率】 40【知識點1必然事件、不可能事件、隨機事件】在一定條件下，有些事件必然會發生，這樣的事件稱為必然事件；相反地，有些事件必然不會發生，這樣的事件稱為不可能事件；在一定條件下，可能發生也可能不會發生的事件稱為隨機事件。必然事件與不可能事件就是否會發生，就是可以事先確定的，所以它們統稱為確定性事件。【題型1事件的分類】【例1】（2023春·江蘇連云港·九年級統考期末）數軸上表示數a的點在原點左側，表示數b的點在原點右側，下列事件是隨機事件的是（）A．a?b>0 B．a+b>0 C．ab<0 D．a【答案】B【分析】根據題意可得a<0，b>0，然后根據有理數的加法，減法，乘法，除法法則進行計算，逐一判斷即可．【詳解】解：∵數軸上表示數a的點在原點左側，表示數b的點在原點右側，∴a<0，b>0，∴a?b<0，a+b無法確定和的正負，ab<0，abA、a?b>0是不可能事件，故A不符合題意；B、a+b>0是隨機事件，故B符合題意；C、ab<0是必然事件，故C不符合題意；D、ab故選：B．【點睛】本題考查了隨機事件，數軸，有理數的加法，減法，乘法，除法，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．【變式1-1】（2023春·廣東梅州·九年級統考期末）下列成語，是必然事件的是（）A．畫餅充饑 B．不期而遇 C．水中撈月 D．旭日東升【答案】D【分析】根據必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，即可區別各類事件．【詳解】解：A、畫餅充饑是不可能事件，不符合題意；B、不期而遇是隨機事件，不符合題意；C、水中撈月是不可能事件，不符合題意；D、旭日東升是必然事件，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了必然事件，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下一定發生的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不發生的事件；不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件．【變式1-2】（2023春·江蘇無錫·九年級統考期末）下列事件：①擲一次骰子，向上一面的點數是3；②從一個只裝有黑色球的袋子摸出一個球，摸到的是白球；③14④射擊運動員射擊一次命中靶心．其中是確定事件的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據事件分類的相關定義進行解答即可．事件分為隨機事件、不可能事件、必然事件，其中不可能事件和必然事件統稱為確定事件．在一定條件下；可能發生也可能不發生的事件，稱為隨機事件；必然發生的事件稱為必然事件，一定不會發生的事件是不可能事件．【詳解】解：①擲一次骰子，向上一面的點數是3，是隨機事件，不符合題意；②從一個只裝有黑色球的袋子摸出一個球，摸到的是白球，是不可能事件，屬于確定事件，符合題意；③14④射擊運動員射擊一次命中靶心，是隨機事件，不符合題意；綜上分析可知，是確定事件的有2個．故選：B．【點睛】本題考查的是事件的分類，掌握相關概念是解題的關鍵．【變式1-3】（2023春·江蘇鎮江·九年級統考期末）“八月十五云遮月，正月十五雪打燈”是一句諺語，意思是說如果八月十五晚上陰天的話，正月十五晚上就下雪，你認為農諺說的是（填寫“必然事件”或“不可能事件”或“隨機事件”）．【答案】隨機事件【分析】根據確定事件和隨機事件的定義來區分判斷即可，必然事件和不可能事件統稱確定性事件；必然事件：在一定條件下，一定會發生的事件稱為必然事件；不可能事件：在一定條件下，一定不會發生的事件稱為不可能事件；隨機事件：在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件稱為隨機事件．【詳解】“八月十五云遮月，正月十五雪打燈”是一句諺語，意思是說如果八月十五晚上陰天的話，正月十五晚上就下雪，說的是隨機事件．故答案為：隨機事件．【點睛】本題考查了確定事件和隨機事件的定義，熟悉定義是解題的關鍵．【知識點2事件發生的可能性的大小】必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，隨機事件發生的可能性有大有小。不同的隨機事件發生的可能性的大小有可能不同。【題型2判斷事件發生的可能性的大小】【例2】（2023春·全國·九年級期末）在下列事件中，發生的可能性最小的是（

）A．在地面上拋一顆骰子，骰子終將落下B．射擊運動員射擊一次，命中10環C．杭州五一節當天的最高溫度為35℃D．用長為10cm，10cm，【答案】D【分析】根據事件發生的可能性大小判斷相應事件類型，即可得到答案．【詳解】解：A、在地面上拋一顆骰子，骰子終將落下，是必然事件，不符合題意；B、射擊運動員射擊一次，命中10環，是隨機事件，不符合題意；C、杭州五一節當天的最高溫度為35℃，是隨機事件，不符合題意；D、用長為10cm，10cm，20故選：D．【點睛】本題考查了可能性大小的判斷，解決這類題目要注意具體情況具體對待，一般必然事件的可能性大小為1，不可能事件發生的可能性大小為0，隨機事件發生的可能性大小在0~1之間．【變式2-1】（2023春·山東臨沂·九年級統考期末）小明連續拋一枚質量均勻的硬幣5次，都是正面朝上，若他再拋一次，則朝上的一面（

）A．一定是正面 B．是正面的可能性較大C．一定是反面 D．是正面或反面的可能性一樣大【答案】D【分析】根據實際情況可知，硬幣有2面，正面和反面；投擲一次，正面與反面的可能性是一樣的，據此解答.【詳解】解：小明連續拋一枚硬幣，前5次都是正面朝上，拋第6次正面朝上和反面朝上的可能性一樣大．故選D.【點睛】本題考查的是可能性的運用,較為簡單.【變式2-2】（2023春·江蘇揚州·九年級統考期末）在質地均勻的小立方體中，有一個面上標有數字1，有兩個面上標有數字2，有三個面上標有數字3，拋擲這個小立方體，則向上一面的數字可能性最大的是．【答案】3【分析】根據概率公式即可得出答案．【詳解】解：∵小立方體的一個面上標有數字1，兩個面上標有數字2，三個面上標有數字3，∴向上一面的數字可能性最大的是3；故答案為：3．【點睛】此題考查了基本概率的計算及比較可能性大小，用到的知識點為：可能性等于所求情況數與總情況數之比．【變式2-3】（2023春·江蘇連云港·九年級統考期末）一個袋中裝有3個紅球，5個黃球，3個白球，每個球除顏色外都相同，任意摸出一球，摸到球的可能性最大．【答案】黃【分析】利用概率公式分別計算出摸到紅球、黃球、白球的概率，然后利用概率的大小判斷可能性的大小．【詳解】解：∵袋中裝有3個紅球，5個黃球，3個白球，∴總球數是：3+5+3=11個，∴摸到紅球的概率是311摸到黃球的概率是511摸到白球的概率是311∴摸出黃球的可能性最大．故答案為：黃．【點睛】本題主要考查了可能性的大小，解題的關鍵是計算每種顏色球摸到的概率．【知識點3概率】一般地，對于一個隨機事件A，我們把刻畫其發生可能性大小的數值，稱為隨機事件A發生的概率，記作P（A）。一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結果，并且它們發生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結果，那么事件A發生的概率P（A）=mn。由m與n的含義可知0≤m≤n，因此0≤m當A為必然事件時，P（A）=1；當A為不可能事件時，P（A）=0.【題型3根據概率公式計算概率】【例3】（2023春·四川廣元·九年級統考期末）在一個不透明的盒子中，裝有2個白球和1個紅球，這些球除顏色外其余都相同.攪勻后從中任意摸出一個球，要使摸出紅球的概率為12，應在該盒子中再添加紅球（

A．2個 B．3個 C．4個 D．1個【答案】D【分析】首先設應在該盒子中再添加紅球x個，根據題意得x+1【詳解】解：設應在該盒子中再添加紅球x個，根據題意得：x+1解得：x=1經檢驗，x=1故選：D．【點睛】此題考查了概率公式的應用．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．【變式3-1】（2023春·遼寧鐵嶺·九年級統考期末）四張完全相同的卡片上，分別畫有等邊三角形、平行四邊形、菱形、正五邊形，現從中隨機抽取一張，卡片上畫的恰好是軸對稱圖形的概率為（

）A．14 B．12 C．3【答案】C【分析】首先由等邊三角形、平行四邊形、菱形、正五邊形中是軸對稱圖形的有等邊三角形、菱形、正五邊形，再直接利用概率公式求解即可求得答案．【詳解】解：∵等邊三角形、平行四邊形、、菱形、正五邊形中是軸對稱圖形的有等邊三角形、菱形、正五邊形，∴現從中隨機抽取一張，卡片上畫的圖形恰好是軸對稱圖形的概率是：34故選：C．【點睛】本題主要考查了概率公式，軸對稱圖形的識別，解題的關鍵是掌握隨機事件A的概率P(A)=事件A可能出現的結果數÷所有可能出現的結果數．【變式3-2】（2023春·山東煙臺·九年級統考期末）李明用6個球設計了一個摸球游戲，共有四種方案，肯定不能成功的是（

）A．摸到黃球、紅球的概率均為1B．摸到黃球的概率是23，摸到紅球、白球的概率均為C．摸到黃球、紅球、白球的概率分別為12、13D．摸到黃球、紅球、白球的概率都是1【答案】B【分析】分析各個選項中的概率之和即可選出不成功的選項．【詳解】A.P摸到黃球B.P摸到黃球C.P摸到黃球D.P摸到黃球故選：B．【點睛】本題考查簡單事件的概率．一次試驗中有n種等可能的結果，每種結果出現的概率之和為1．【變式3-3】（2023春·四川瀘州·九年級統考期末）九年級學生李明每天騎自行車上學時都要經過一個十字路口，設十字路口有紅、黃、綠三色交通信號燈，他在路口遇到紅燈的概率為13，遇到黃燈的概率為2A．19 B．29 C．49【答案】C【分析】利用十字路口有紅、黃、綠三色交通信號燈，遇到每種信號燈的概率之和為1，進而求出即可．【詳解】解：∵十字路口有紅、黃、綠三色交通信號燈，他在路口遇到紅燈的概率為13，遇到黃燈的概率為2∴他遇到綠燈的概率為：1?1故選：C．【點睛】本題考查了概率公式，掌握遇到每種信號燈的概率之和為1是關鍵．【知識點4用列表法、樹狀圖法求概率】列表法：當一次試驗要涉及兩個因素并且可能出現得結果數目較多時，為不重不漏地列出所有可能得結果，通常用列表法。列表法就是用表格得形式反映事件發生得各種情況出現的次數與方式，以及某一事件發生的可能的次數與方式，并求出概率的方法。樹狀圖法：當一次試驗要涉及3個或更多得因素時，列方形表就不方便了，為不重不漏地列出所有可能得結果，通常采用樹形圖。樹形圖就是反映事件發生得各種情況出現得次數與方式，并求出概率得方法。（1）樹形圖法同樣適用于各種情況出現得總次數不就是很大時求概率得方法。（2）在用列表法與樹形圖法求隨機事件得概率時，應注意各種情況出現得可能性務必相同。【題型4幾何概率】【例4】（2023春·山東淄博·九年級統考期末）一只蜘蛛爬到如圖所示的一面墻上，停留位置是隨機的，則停留在陰影區域上的概率是（

）A．23 B．12 C．13【答案】C【分析】設每小格的面積為1，易得整個方磚的面積為9，陰影區域的面積3，然后根據概率的定義計算即可．【詳解】解：設每小格的面積為1，∴整個方磚的面積為9，陰影區域的面積為3，∴最終停在陰影區域上的概率為：39故選：C．【點睛】本題考查了求幾何概率的方法：先利用幾何性質求出整個幾何圖形的面積n,再計算出其中某個區域的幾何圖形的面積m,然后根據概率的定義計算出落在這個幾何區域的事件的概率=mn【變式4-1】（2023·廣西河池·九年級統考期末）如圖，正方形ABCD內接于⊙O，⊙O的直徑為2分米，若在這個圓面上隨意拋一粒豆子，則豆子落在正方形ABCD內的概率是（）A．2π B．π2 C．12π【答案】A【分析】在這個圓面上隨意拋一粒豆子，落在圓內每一個地方是均等的，因此計算出正方形和圓的面積，利用幾何概率的計算方法解答即可.【詳解】因為⊙O的直徑為2分米，則半徑為22分米，⊙O的面積為π正方形的邊長為22因為豆子落在圓內每一個地方是均等的，所以P（豆子落在正方形ABCD內）=1故答案為A．【點睛】此題主要考查幾何概率的意義：一般地，如果試驗的基本事件為m，隨機事件A所包含的基本事件數為n，我們就用來描述事件A出現的可能性大小，稱它為事件A的概率，記作P（A），即有P（A）=nm【變式4-2】（2023春·河北唐山·九年級統考期末）如圖，在△ABC中，AD為中線，點E，F，G為AD的四等分點，在△ABC內任意拋一粒豆子，豆子落在陰影部分的概率為．【答案】3【分析】先求出陰影部分的面積與總面積的關系，再根據概率=相應的面積與總面積之比即可求出答案．【詳解】解：∵在△ABC中，AD為中線，∴S△ADC∵點E、F、G為AD的四等分點，∴S△EDC=34S∴，S∴S陰影部分∴豆子落在陰影部分的概率為38故答案為：38【點睛】此題考查了幾何概率，關鍵是求出陰影部分的面積與總面積的關系，用到的知識點為：概率=相應的面積與總面積之比．【變式4-3】（2023春·江蘇泰州·九年級統考期末）七巧板是我國古代勞動人民的發明之一，被譽為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的．如圖是一個用七巧板拼成的正方形，如果在此正方形中隨機取一點，那么此點取自黑色部分的概率是．【答案】3【分析】設正方形的邊長為4，將△BIC的面積和?GHEF的面積計算出來，再用陰影部分的面積除以正方形的面積即可求出此點取自黑色部分的概率.【詳解】設正方形ABDF的邊長為4，則S正方形ABDF∵△BIC是等腰直角三角形∴∠IBC=45°∴IC=BCsin∴BI=∴∵Rt△CDE中，CD=2,∠ECD=45°∴CE=∴HE=OH=IC=∴S∴∴此點取自黑色部分的概率是S【點睛】本題主要考查了幾何概率的求法，解題的關鍵是正確計算出陰影部分的面積.【題型5游戲的公平性】【例5】（2023春·四川雅安·九年級統考期末）一個不透明的布袋里裝有20個除顏色外均相同的小球，其中白球有x個，紅球有2x個，其他均為黃球．現從布袋中隨機摸出一個球，若是紅球則甲同學獲勝，若為黃球，則乙同學獲勝．(1)當x=5時，誰獲勝的可能性大？(2)要使游戲對甲乙雙方是公平的，x應取何值？【答案】(1)摸到紅球的可能性更大(2)x=4【分析】（1）根據x=5時，紅球的個數多于黃球的個數，即可得出結論；（2）根據概率相等時，游戲公平，列式求解即可．【詳解】（1）解：當x=5時，則紅球有10個，黃球有5個，∵紅球的個數多于黃球的個數，∴摸到紅球的可能性更大，∴當x=5時，甲同學獲勝可能性大；（2）要使游戲對甲乙雙方公平，必須有：2x解得x=4；∴當x=4時，游戲對甲乙雙方是公平的．【點睛】本題考查利用概率解決游戲公平性．熟練掌握概率公式，是解題的關鍵．【變式5-1】（2023春·新疆·九年級新疆農業大學附屬中學校考期末）有3張背面相同的紙牌A，B，C，其正面分別畫有三個不同的圖形（如圖），將這3張紙牌洗勻后，背面朝上放在桌面上．(1)隨機地摸出一張，求摸出牌面圖形是軸對稱圖形的概率；(2)小華和小明玩游戲，規則是：隨機地摸出一張，放回洗勻后再摸一張．若摸出兩張牌面圖形都是軸對稱圖形的紙牌，則小華贏；否則，小明贏．你認為該游戲公平嗎？請用畫樹狀圖或列表法說明理由．（紙牌可用A，B，C表示）【答案】(1)2(2)不公平，理由見解析【分析】（1）隨機地摸出一張共有3種等可能的結果，其中摸出牌面圖形是軸對稱圖形的結果有2種，再利用概率公式計算即可得；（2）先畫出樹狀圖，從而可得摸出兩張牌的所有等可能的結果，再找出摸出兩張牌面圖形都是軸對稱圖形的結果，然后利用概率公式求出摸出兩張牌面圖形都是軸對稱圖形、摸出兩張牌面圖形不都是軸對稱圖形的概率，由此即可得．【詳解】（1）解：由題意，隨機地摸出一張共有3種等可能的結果，其中摸出牌面圖形是軸對稱圖形的結果有紙牌A,B，共2種，則摸出牌面圖形是軸對稱圖形的概率為P=2（2）解：由題意，畫出樹狀圖如下：由圖可知，摸出兩張牌共有9種等可能的結果，其中摸出兩張牌面圖形都是軸對稱圖形的結果有4種、摸出兩張牌面圖形不都是軸對稱圖形的結果有5種，則摸出兩張牌面圖形都是軸對稱圖形的概率是49，摸出兩張牌面圖形不都是軸對稱圖形的概率是5因為49所以這個游戲不公平．【點睛】本題考查了簡單的概率計算、利用列舉法求概率，正確畫出樹狀圖是解題關鍵．【變式5-2】（2023·北京海淀·九年級期末）在一只不透明的袋中，裝著標有數字4，5，7，9的質地、大小均相同的四個小球．小明和小東同時從袋中隨機各摸出1個球，并計算這兩球上的數字之和，當和小于13時小明獲勝，反之小東獲勝．(1)請用列表的方法，求小明獲勝的概率；(2)這個游戲公平嗎？請說明理由．【答案】(1)12(2)游戲公平，理由如下．【分析】（1）根據題意以小明為橫排，小東為豎列，列出所有情況，找到和小于13時的情況及大于或等于13的情況，根據P(m)（2）比較小東、小明的概率即可得到公平性．【詳解】（1）解：由題意可得，以小明為橫排，小東為豎列，列表如下：根據表可知：總共有12種情況，小于13的有6種，大于或等于13的有6種，∴P(（2）解：這個游戲公平，理由如下，由（1）得，P(∴P∴這個游戲公平．【點睛】本題考查用列表法求概率及判斷游戲公平性，解題的關鍵是，列出表格，找到所有情況及小于13的情況．【變式5-3】（2023春·黑龍江黑河·九年級統考期末）淘淘和明明玩骰子游戲，每人將一個各面分別標有1，2，3，4，5，6的正方體骰子擲一次，把兩人擲得的點數相加，并約定：點數之和等于6，淘淘贏；點數之和等于7，明明贏；點數之和是其它數，兩人不分勝負．(1)請你用“畫樹狀圖”或“列表”的方法分析說明此游戲是否公平．(2)請你基于（1）問中得到的數據，設計出一種公平的游戲規則．(列出一種即可)【答案】(1)此游戲不公平，見解析(2)點數之和等于6，淘淘贏；點數之和等于8，明明贏【分析】（1）畫樹狀圖求出淘淘和明明獲勝的概率，再比較概率即可判定游戲是否公平；（2）設計一個兩人獲勝概率一樣的游戲規則即可．【詳解】（1）解：畫樹狀圖：由圖可知，點數之和共有36種可能的結果，其中6出現5次，7出現6次，故P(和為6)=536，P(和為7)P(和為6)<P(和為7)，∴明明獲勝的概率大，此游戲不公平；（2）解：如：“點數之和等于6，淘淘贏；點數之和等于8，明明贏；點數之和是其它數，兩人不分勝負．”（答案不唯一）由（1）樹狀圖可知：點數之和等于6出現5次，點數之和等于8也出現5次，∴P(和為6)=536，P(和為8)∴P(和為6)=P(和為8)，故游戲公平．【點睛】本題考查用列表法或畫樹狀圖法求概率，游戲公平性問題，熟練掌握用列表法或畫樹狀圖法求概率是解題的關鍵．【題型6概率在比賽中的應用】【例6】（2023春·陜西榆林·九年級統考期中）某校將舉辦“齊學二十大，共筑中國夢”的主題演講比賽，九年級通過預賽確定出兩名男生和兩名女生，共4名同學作為推薦人選．(1)若從中隨機選一名同學參加學校比賽，則選中女生的概率為______；(2)若從中隨機選兩名同學組成一組選手參加比賽，請用樹狀圖（或列表法）求出恰好選中一名男生和一名女生的概率．【答案】(1)1(2)2【分析】（1）畫出樹狀圖，找出所有情況及可能情況，根據P(m)（2）畫出樹狀圖，找出所有情況及可能情況，根據P(m)【詳解】（1）解：由題意可得，樹狀圖如下所示，，共有4種等可能出現的結果，其中選中女生的有2種，∴選中女生的概率為P=2（2）解：由題意可得，樹狀圖如下所示，

共有12種等可能出現的結果，其中恰好選中一名男生和一名女生的有8種，∴恰好選中一名男生和一名女生的概率為P=8【點睛】本題考查樹狀圖法求概率，解題的關鍵是正確化出樹狀圖．【變式6-1】（2023春·陜西咸陽·九年級統考期中）為讓同學們進一步了解中國科技的快速發展，某中學組織了一次黑板報比賽，每個班從A．“天宮空間站”；B．“5G時代”：C．“東風快遞”；D．“智軌快運”四個主題中任選一個主題，每一個主題被選擇的可能性相同，小明和小雨在不同的班級(1)小明所在的班級選擇“天宮空間站”的概率為___________；(2)請用列表法或畫樹狀圖法，求小明和小麗所在的班級選擇相同主題的概率【答案】(1)1(2)1【分析】（1）用概率公式即可計算出概率；（2）畫出樹狀圖，再用概率公式計算即可．【詳解】（1）解：根據題意得：一共有4種選擇，明所在的班級選擇“天宮空間站”的概率為14故答案為：14（2）畫樹狀圖如下：由樹狀圖知共有16種等可能結果，其中小明和小麗所在的班級選擇相同主題的有4種結果，所以小明和小麗所在的班級選擇相同主題的概率為416【點睛】本題主要考查了列表法或樹狀圖法求概率，列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適用于兩步或兩步以上完成的事件；解題時還要注意是放回實驗還是不放回實驗．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．【變式6-2】（2023春·遼寧大連·九年級統考期中）為慶祝二十大勝利召開，中山區教育系統拔河比賽于2022年10月26日至11月2日在東港第一中學成功舉辦．本次比賽共進行三場，分別為：A．10月26日初賽，B．10月28日半決賽，C．11月2日決賽．李老師和張老師都是裁判員，他們被隨機分配到這三場比賽中的任意一場進行裁判的可能性相同．(1)求李老師被分配到C做裁判員的概率；(2)利用畫樹狀圖或列表的方法，求李老師和張老師同時被分配到同一場比賽做裁判員的概率．【答案】(1)李老師被分配到C做裁判員的概率是1(2)李老師和張老師同時被分配到同一場比賽作裁判的概率是1【分析】（1）這是求簡單事件的概率，求得所有可能的結果數及事件發生的結果數，再由概率計算公式進行計算即可；（2）利用列表法，可得所有可能的結果數及事件發生的結果數，再由概率計算公式進行計算即可．【詳解】（1）李老師被分配到三場比賽作裁判員的可能性有三種，并且可能性相等．被分到C的可能性只有一種．∴P(C)=1（2）列表如下：李老師張老師ABCAA,AB,AC,ABA,BB,BC,BCA,CB,CC,C由表可以看出，所有可能出現的結果有9種，并且出現的可能性相等．兩人同時被分配到同一場比賽做裁判的可能性有3種，即A,A，B,B，C,C．∴李老師和張老師同時被分配到同一場比賽作裁判的概率P=3【點睛】本題考查了求簡單事件的概率及稍復雜事件的概率，對于稍復雜事件的概率，運用列表法或樹狀圖解決，無論哪種求概率，都要求出所有可能的結果數及事件發生的結果數，再由概率計算公式進行計算．【變式6-3】（2023春·陜西商洛·九年級校考期末）為慶祝黨的二十大勝利召開，某學校舉行作文比賽，題目有“偉大的中國共產黨”“科技托起中國夢”“家鄉的新變化”“時代賦予我們的使命”（分別用字母A，B，C，D依次表示這四個題目）．比賽時，將A，B，C，D這四個字母分別寫在4張無差別不透明的卡片的正面上，洗勻后正面向下放在桌面上，小青先從中隨機抽取一張卡片，放回后洗勻，再由小云從中隨機抽取一張卡片，進行比賽．試用畫樹狀圖或列表的方法表示所有可能的結果，并求出小青和小云抽中不同題目的概率．【答案】3【分析】列表法求概率即可．【詳解】解：由題意，列表如下：ABCDAA，AA，BA，CA，DBB，AB，BB，CB，DCC，AC，BC，CC，DDD，AD，BD，CD，D共有16種等可能的結果，其中小青和小云抽中不同題目的結果有12種，∴P=12【點睛】本題考查列表法求概率．熟練掌握列表法求概率，是解題的關鍵．【題型7概率在電路問題中的應用】【例7】（2023·陜西榆林·統考三模）如圖，某同學學習物理《電流和電路》后設計了如圖所示的電路圖，其中S?、S?、S?、S?分別表示四個可開閉的開關，“?”表示小燈泡，“|I”表示電源．電源、小燈泡、開關和線路都能正常工作，當閉合開關S?、S?、S?中任意一個，再閉合開關S?時，小燈泡發光，按要求完成下列問題：

(1)當開關S?閉合時，再隨機閉合開關S?或S?或S?其中一個，小燈泡發光的概率為；(2)當隨機閉合開關S?、S?、S?、S?中的兩個，請用畫樹狀圖或列表的方法求小燈泡發光的概率．【答案】(1)1(2)1【分析】（1）據概率公式直接填空即可；（2）畫樹狀圖展示所有12種等可能的結果，再找出小燈泡發光的結果數，然后根據概率公式求解．【詳解】（1）解：當開關S?閉合時，再隨機閉合開關S?或S?或S?其中一個，三種情況中小燈泡會發光的只有閉合開關S?一種情況，故小燈泡發光的概率為13故答案為：13（2）解：畫樹狀圖如下：

由圖可知，共有12種等可能的結果，其中小燈泡發光的結果有6種，∴小燈泡發光的概率為6【點睛】題主要考查概率的求法．是跨學科綜合題，綜合物理學中電學知識，結合電路圖，正確判斷出燈泡發光的條件，掌握根據題意正確畫出樹狀圖或列表法以及概率的計算方法是解題的關鍵．【變式7-1】（2023春·廣東惠州·九年級校考階段練習）如圖所示的電路中，當隨機閉合開關S1，S2，S3【答案】1【分析】根據概率計算方法解答即可；【詳解】當閉合開關S1，S2時，燈泡發光；當閉合開關S1，S3時，燈泡發光；當閉合開關S2故答案為1【點睛】該題考查了概率的計算，能夠正確的寫出所有的可能情況，清楚概率的計算方法是解答該題的關鍵．【變式7-2】（2023·河南新鄉·統考三模）如圖，電路上有編號①②③④共4個開關和1個小燈泡，任意閉合電路上其中的兩個開關，小燈泡發光的概率為．【答案】1【分析】用列表法或樹狀圖法列舉出所有等可能出現的情況，從中找出能夠“點亮燈泡”的情況數，進而求出概率．【詳解】解：列表如下：①②③④①(((②(((③(((④(((∴一共有12種情況，能使小燈泡發光的有4種情況，∴小燈泡發光的的概率為：412故答案為：13【點睛】考查列表法或樹狀圖法求等可能事件發生的概率，使用此方法一定注意每一種結果出現的可能性是均等的，即為等可能事件．【變式7-3】（2023·安徽安慶·安慶市第四中學校考二模）在物理課上，同學們學習了“電學”知識之后，便可以設計一些簡單的電路圖．

(1)如圖1所示的電路圖中，三個開關并聯成一個開關組A，閉合其中任何一個開關，可以使燈泡發亮的概率是________；(2)如圖2，在圖1的電路圖中，新增一個開關組B，在A、B兩個開關組中各閉合一個開關，用樹狀圖或列表法求小燈泡發亮的概率．(3)小明同學觀察圖2后提出：“若將開關S5或S6去掉，則在【答案】(1)1(2)1(3)小明同學的說法正確，理由見解析【分析】（1）根據概率計算公式求解即可；（2）先列出表格得到所有等可能性的結果數，再找到能使小燈泡發亮的結果數，最后依據概率計算公式求解即可；（3）先列出表格得到所有等可能性的結果數，再找到能使小燈泡發亮的結果數，最后依據概率計算公式求解即可．【詳解】（1）解：由并聯電路的特點可知，閉合三個開關中的任何一個開關都能使燈泡發亮，∴閉合其中任何一個開關，可以使燈泡發亮的概率是1，故答案為：1；（2）解：設用A，B，C表示S1，S2，S3，用D列表如下：ABCDEFA（A，D）（A，E）（A，F）B（B，D）（B，E）（B，F）C（C，D）（C，E）（C，F）D（D，A）（D，B）（D，C）E（E，A）（E，B）（E，C）F（F，A）（F，B）（F，C）由表格可知一共有18種等可能性的結果數，其中能使小燈泡發亮（AD、BD、CD、DA、DB、DC）的結果數有6種，∴能使小燈泡發亮的概率為618（3）解：小明同學的說法正確，理由如下：列表如下：設用A，B，C表示S1，S2，ABCDA（A，D）B（B，D）C（C，D）D（A，D）（B，D）（C，D）由表格可知一共有6種等可能性的結果數，其中能使小燈泡發亮（AD、BD、CD、DA、DB、DC）的結果數有6種，∴能使小燈泡發亮的概率為66∴若將開關S5或S6去掉，則在∴小明同學的說法正確．【點睛】本題主要考查了簡單的概率計算，樹狀圖法或列表法求解概率，正確理解題意列出表格或畫出樹狀圖是解題的關鍵．【題型8概率在轉盤抽獎中的應用】【例8】（2023·福建福州·福建省福州第十九中學校考模擬預測）福州第十九中學每年的校園科學文化藝術節中的“愛心義賣會”活動，是學校同學們表現愛心的重要活動，在2021年的義賣會上，九年某班的同學設計了一個“愛心盲盒大抽獎”的活動，其規則如下：通過購買愛心小盲盒，每個愛心小盲盒3元，根據小盲盒內事先藏好的數字，可以進行兌獎，而每一位參與活動的同學都有4個小盲盒可以選擇，其中一個小盲盒藏有數字4，可以兌換4元，有一個小盲盒藏有數字2，可以兌換2元，剩余的兩個小盲盒藏有數字1，可以兌換1元，每位同學最多只能買2個小盲盒．(1)張同學購買了兩個小盲盒，用列表法或樹狀圖的方法求出求他購買的第1個小盲盒里藏有數字4的概率：______；(2)李同學手上有7元，請用概率統計的知識說明，從李同學最終在手上的錢的平均值為依據，她是買一個小盲盒好，還是兩個小盲盒好．【答案】(1)1(2)李同學應該買一個小盲盒好，理由見解析【分析】（1）用列表法展示12種等可能的結果數，找出張同學購買的第1個小盲盒里藏有數字4的結果數，然后根據概率公式求解；（2）先分別計算出李同學購買一個小盲盒和兩個小盲盒后最終在手上的錢的平均值，然后再比較即可判斷．【詳解】（1）解：列表得：42114/4,24,14,122,4/2,12,111,41,2/1,111,41,21,1/共有12種等可能情況，記購買的第1個小盲盒里藏有數字4為事件A，共3種情況，∴PA故答案為：14（2）若李同學購買1個小盲盒，花去3元，還有4元，則可兌換4元的概率為14，兌換2元的概率為14，兌換1元的概率為因此此時李同學最終在手上的錢的平均值為：4+4×1若李同學購買2個小盲盒，花去6元，還有1元，由（1）可知，可兌換6元的概率為212可兌換5元的概率為412可兌換3元的概率為412可兌換2元的概率為212因此此時李同學最終在手上的錢的平均值為：1+6×1∵6>5，∴李同學應該買一個小盲盒好．【點睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率和概率的應用．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．注意概率=所求情況數與總情況數之比．理解和掌握概率公式的應用是解題的關鍵．【變式8-1】（2023春·湖南長沙·九年級統考期中）某商場為了吸引顧客，設立了一個可以自由轉動的轉盤，如圖所示，并規定：顧客消費200元（含200元）以上，就能獲得一次轉動轉盤的機會，如果轉盤停止后，指針正好對準九折、八折、七折區域，顧客就可以獲得此項優惠，如果指針恰好在分割線上時，則需重新轉動轉盤．（1）某顧客正好消費220元，他轉一次轉盤，他獲得九折、八折、七折優惠的概率分別是多少？（2）某顧客消費中獲得了轉動一次轉盤的機會，實際付費168元，請問他消費所購物品的原價應為多少元．【答案】（1）12，13，【分析】（1）由圓盤可知，七折圓心角為30°，八折圓心角為60°，九折圓心角為90°，利用它們所占圓的百分比即可算出概率；（2）對于實際花費的168元進行三種情況的計算，即可得到答案．【詳解】（1）獲得九折的概率為90°×2360°獲得八折的概率為60°×2360°獲得七折的概率為30°×2360°（2）∵200×0.9=180>168∴他沒有獲得九折優惠．∵200×0.8=160<168∴168÷0.8=210，∵200×0.7=140<168∴168÷0.7=240答：他消費所購物品的原價應為210元或240元．【點睛】本題考查了用扇形統計圖計算概率，解題的關鍵是掌握概率的計算，以及實際問題的應用情況．【變式8-2】（2023春·遼寧丹東·九年級校考期中）九（1）班組織班級聯歡會，最后進入抽獎環節，每名同學都有一次抽獎機會，抽獎方案如下：將一副撲克牌中點數為“2”，“3”，“3”，“5”，“6”的五張牌背面朝上洗勻，先從中抽出1張牌，再從余下的4張牌中抽出1張牌，記錄兩張牌點數后放回，完成一次抽獎，記每次抽出兩張牌點數之差為x，按表格要求確定獎項．（1）用列表或畫樹狀圖的方法求出甲同學獲得一等獎的概率；（2）是否每次抽獎都會獲獎，為什么？【答案】（1）110【分析】（1）畫出樹狀圖，找出符合條件的情況，求出其概率即可．（2）根據題意分析不滿足條件的情況并找出即可求是否存在不中獎的情況．【詳解】解：（1）畫樹狀圖得：∵共有20種等可能的結果，甲同學獲得一等獎的有2種情況，∴甲同學獲得一等獎的概率為：220（2）不是，當兩張牌都是3時，|x|=0，不會有獎．【變式8-3】（2023春·河南三門峽·九年級統考期末）某商場開展購物抽獎活動，抽獎箱中有4個標號分別為1，2，3，4的質地、大小相同的小球，顧客任意摸取一個小球，然后放回，再摸取一個小球，若兩次摸出的數字之和為“8”是一等獎，數字之和為“6”是二等獎，數字之和為其他數字則是三等獎，請用列舉法分別求出顧客抽中一、二、三等獎的概率．【答案】P（一等獎）=116P（二等獎）=316【詳解】試題分析：列舉出符合題意的各種情況的個數，再根據概率公式解答即可．試題解析：列表：所以一等獎的概率為116；二等獎的概率為316；三等獎的概率為考點：列表法與樹狀圖法．【題型9概率在摸球試驗中的應用】【例9】（2023春·湖北襄陽·九年級統考期末）閱讀材料，回答問題：材料題1：經過某十字路口的汽車，可能直行，也可能向左轉或向右轉．如果這三種可能性的大小相同，求三輛汽車經過這個十字路口時，至少要兩輛車向左轉的概率題2：有兩把不同的鎖和三把鑰匙，其中兩把鑰匙分別能打開這兩把鎖（一把鑰匙只能開一把鎖），第三把鑰匙不能打開這兩把鎖．隨機取出一把鑰匙開任意一把鎖，一次打開鎖的概率是多少？我們可以用“袋中摸球”的試驗來模擬題1：在口袋中放三個不同顏色的小球，紅球表示直行，綠球表示向左轉，黑球表示向右轉，三輛汽車經過路口，相當于從三個這樣的口袋中各隨機摸出一球.問題：（1）事件“至少有兩輛車向左轉”相當于“袋中摸球”的試驗中的什么事件？（2）設計一個“袋中摸球”的試驗模擬題2，請簡要說明你的方案（3）請直接寫出題2的結果．【答案】題1.727；題2.(1)至少摸出兩個綠球；(2)方案詳見解析；(3)1【詳解】試題分析：題1：因為此題需要三步完成，所以畫出樹狀圖求解即可，注意要做到不重不漏；題2：根據題意列出表格，得出所有等可能的情況數，找出隨機取出一把鑰匙開任意一把鎖，一次打開鎖的情況數，即可求出所求的概率；問題：（1）綠球代表左轉，所以為：至少摸出兩個綠球；（2）寫出方案；（3）直接寫結果即可．試題解析：題1：畫樹狀圖得：∴一共有27種等可能的情況；至少有兩輛車向左轉的有7種：直左左，右左左，左直左，左右左，左左直，左左右，左左左，則至少有兩輛車向左轉的概率為：727題2：列表得：鎖1鎖2鑰匙1（鎖1，鑰匙1）（鎖2，鑰匙1）鑰匙2（鎖1，鑰匙2）（鎖2，鑰匙2）鑰匙3（鎖1，鑰匙3）（鎖2，鑰匙3）所有等可能的情況有6種，其中隨機取出一把鑰匙開任意一把鎖，一次打開鎖的2種，則P=26=1問題：（1）至少摸出兩個綠球；（2）一口袋中放紅色和黑色的小球各一個，分別表示不同的鎖；另一口袋中放紅色、黑色和綠色的小球各一個，分別表示不同的鑰匙；其中同顏色的球表示一套鎖和鑰匙．“隨機取出一把鑰匙開任意一把鎖，一次打開鎖的概率”，相當于，“從兩個口袋中各隨機摸出一個球，兩球顏色一樣的概率”；（3）13考點：隨機事件．【變式9-1】（2023春·遼寧錦州·九年級校考期末）在用摸球試驗來模擬6人中有2人生肖相同的概率的過程中，有如下不同的觀點，其中正確的是（

）A．摸出的球不能放回 B．摸出的球一定要放回C．可放回，可不放回 D．不能用摸球試驗來模擬此事件【答案】B【分析】一年有365天，6個人中有兩個人生肖相同即從365天中任意取出6個數，其中有相同的概率，可以結合摸球實驗來進行設計．【詳解】解：方案：有從1到365共365個球，這些球除數字不同外，其它都相同，從中任摸一球，放回，然后混合均勻以后再任意摸出一個，如此循環6次，則6次摸到的球有兩個的數字相同的概率．故選：B【點睛】本題考查了模擬實驗求概率，通過模擬實驗可以便于實驗，容易實驗．【變式9-2】（2023春·四川達州·九年級校考期末）一不透明的布袋里，裝有紅、黃、藍三種顏色的小球（除顏色外其余都相同），其中有紅球2個，籃球1個，黃球若干個，現從中任意摸出一個球是紅球的概率為12（1）求口袋中黃球的個數；（2）甲同學先隨機摸出一個小球（不放回），再隨機摸出一個小球，請用“樹狀圖法”或“列表法”，求兩次摸出都是紅球的概率；（3）現規定：摸到紅球得5分，摸到黃球得3分（每次摸后放回），乙同學在一次摸球游戲中，第一次隨機摸到一個紅球第二次又隨機摸到一個藍球，若隨機，再摸一次，求乙同學三次摸球所得分數之和不低于10分的概率．【答案】(1)黃球有1個；(2)16；(3)3【分析】（1）首先設口袋中黃球的個數為x個，根據題意得：22+1+（2）首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與兩次摸出都是紅球的情況，再利用概率公式即可求得答案．（3）由若隨機，再摸一次，求乙同學三次摸球所得分數之和不低于10分的有3種情況，且共有4種等可能的結果；直接利用概率公式求解即可求得答案．【詳解】解：（1）設口袋中黃球的個數為x個，根據題意得：22+1+經檢驗：x=1是原分式方程的解．∴口袋中黃球的個數為1個．（2）畫樹狀圖得：∵共有12種等可能的結果，兩次摸出都是紅球的有2種情況，∴兩次摸出都是紅球的概率為：212（3）∵摸到紅球得5分，摸到黃球得3分，而乙同學在一次摸球游戲中，第一次隨機摸到一個紅球第二次又隨機摸到一個藍球，∴乙同學已經得了7分．∴若隨機，再摸一次，求乙同學三次摸球所得分數之和不低于10分的有3種情況，且共有4種等可能的結果；∴若隨機，再摸一次，求乙同學三次摸球所得分數之和不低于10分的概率為：34【變式9-3】（2023春·福建福州·九年級福建省福州屏東中學校考期中）某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎．抽獎規則如下：1．抽獎方案有以下兩種：方案A，從裝有1個紅球、2個白球（僅顏色不同）的甲袋中隨機摸出1個球，若是紅球，則獲得獎金15元，否則，沒有獎金，兌獎后將摸出的球放回甲袋中；方案B，從裝有2個紅、