二輪復習2024年中考數學重要考點名校模擬題分類匯編專題02——二次函數性質綜合題（選擇題共38道）（天津專用）1．（2020上·天津南開·九年級南開翔宇學校校考階段練習）拋物線y=ax2+bx+c（a,b,c為常數，a<0）經過點(0,2)，且關于直線x=?1對稱，x1,0是拋物線與x軸的一個交點.有下列結論：①方程ax2+bx+c=2的一個根是x=-2；②若1<x1<2，則?23<a<?1A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】拋物線y=ax2+bx+c經過點(0,2)，且關于直線x=?1對稱，可得c=2，b=2a，將x=-2代入即可判斷①；根據函數的圖像及x1,0是拋物線與x軸的一個交點.且1<x1<2，得當x=1時y=3a+2>0，當x=2時y=8a+2<0，則可判斷②;若m=4時，方程【詳解】解：∵拋物線y=ax2+bx+c經過點(0,2)∴根據拋物線的對稱性可得圖象經過（-2，0）且c=2；∴方程ax∵拋物線y=ax2+bx+c∴-b2∴拋物線為：y=ax2+2ax+2∵x1,0∴當x=1時y=3a+2>0，當x=2時y=8a+2<0；∴?2∵若m=4時，方程ax2∴Δ=12a2，∵a<0∴方程ax∵拋物線y=ax2+bx+c∴當x=-1時y有最大值為：-a+2，且x=?32與x=∵拋物線開口向下，當x>?1時，y隨x的增大而減小，∴當x=0時，y的函數值為：2，∵若?32≤x≤0∴-a+2=3，∴a=-1，故④正確；故選D．【點睛】本題考查二次函數的圖象與性質，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，學會利用數形結合的思想思考問題，屬于中考常考題型．2．（2022上·天津·九年級天津市匯文中學校考期中）已知函數y＝x2﹣（a+1）x+a（a是常數，且a≠1），下列說法中：①若該函數圖象的對稱軸是直線x＝﹣2，則a＝﹣5；②方程x2﹣（a+1）x+a＝0至少有一個整數根；③關于x的方程x2﹣（a+1）x+a﹣m＝0（m＞0）有兩個不相等的實數根；④若y＝x2﹣（a+1）x+a的函數值為負數，則a＜A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據對稱軸為x＝﹣2即可求出a的值；令y＝0，解方程即可判斷②；根據②和拋物線的性質可以判斷③④．【詳解】解：若該函數圖象的對稱軸是直線x=??(a+1)解得a＝﹣5，故①正確；令x2﹣（a+1）x+a＝0，即（x﹣a）（x解得x1=a，所以方程方程x2﹣（a+1）x+a＝0至少有一個整數根x故②正確；由②得拋物線y＝x2﹣（a+1）x+a（a是常數，且a≠1）與x又拋物線開口向上，所以拋物線y＝x2﹣（a+1）x+a與直線y＝m（m即關于x的方程x2﹣（a+1）x+a﹣m＝0（m故③正確；由②知，拋物線與x軸交點為（a，0）和（1，0），拋物線開口向上，∴當a＞1時，y＝x2﹣（a+1）x+a的函數值為負數對應的x取值范圍是1＜x＜a當a＜1時，y＝x2﹣（a+1）x+a的函數值為負數對應的x取值范圍是a＜x故④錯誤．故選C．【點睛】本題考查拋物線與x軸的交點，方程的解與交點坐標的關系，關鍵是對二次函數性質的掌握．3．（2022上·天津濱海新·九年級塘沽二中校考期中）關于二次函數y=x①它的圖像與x軸有兩個公共點；②如果當x≤2時，y隨x的增大而減小，則m=2；③如果將它的圖像向左平移3個單位后過原點，則m=?1；④如果當x=1時的函數值與x=2021時的函數值相等，則當x=2022時的函數值為?3．其中正確的說法有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據根據的判別式Δ>0判定①；根據二次函數的增減性，利用對稱軸列不等式求解可判定②；根據圖像平移找出原函數圖像上一個已知點求出m【詳解】解：①∵Δ故二次函數圖像與x軸有兩個不同的公共點，故說法①正確；②∵當x≤2時，y隨x的增大而減小，∴??2m2≥2故說法②錯誤；③∵二次函數的圖像向左平移3個單位后過原點，∴點(3,0)在二次函數y=x∴3∴m=1，故說法③錯誤；④∵當x=1時的函數值與x=2021時的函數值相等，∴二次函數圖像的對稱軸為直線x=1011，∵當x=0時，y=?3，∴當x=2022時，y=?3，故說法④正確；故正確的說法有：①④共2個；故選：B．【點睛】此題考查了二次函數的圖像與性質，熟練掌握二次函數圖像與x軸的交點問題、二次函數的對稱性以及增減性是解答此題的關鍵．4．（2022上·天津·九年級天津市第二南開中學校考期末）已知拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）經過點(1,1)，(0,?1)，當x=2①abc>0；②關于x的方程ax③a?b+c<?3．其中，正確結論的個數是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】①將點(1,1)，(0,?1)，代入拋物線解析式求得a=2?b,c=?1，根據當x=2時，與其對應的函數值y<?1，可得b>4，進而可得abc>0；②將a=2?b,c=?1代入方程，根據根的判別式得到Δ=5b2-20b+24，根據配方法求解即可；③將a=2?b，c=?1，代入不等式的左邊，根據b>4，即可求解．【詳解】解：∵拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）經過點(1,1)∴a+b+c=1,c=?1，∴a=2?b，∵當x=2時，與其對應的函數值y<?1，∴4a+2b+c<?1，即4a+2b+c<c，∴2a+b<0，22?b解得b>4，∴a=2?b<0，∴abc>0，故①正確；②∵a=2?b，c=?1，由ax∴2?b即2?bx∴Δ=b2-4×（2-b）×（b-3）=5b2-20b+24=5b?2∴Δ>0，∴關于x的方程ax③∵a=2?b，c=?1，∴a?b+c=2?b?b?1=1?2b，∵b>4，∴1?2b<?7，即a?b+c<?7，故③不正確；故選C【點睛】本題考查了二次函數的圖象與性質，二次函數與不等式，一元二次方程，掌握二次函數的性質是解題的關鍵．5．（2022上·天津河西·九年級天津市第四十二中學校考期末）已知拋物線y=ax2+bx+c（a,b,c是常數，a≠0,c>1）經過點2,0①abc>0；②關于x的方程ax③a<?1其中，正確結論的個數是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據對稱軸和拋物線與x軸的一個交點，得到另一個交點，然后根據圖象確定答案即可判斷①根據根的判別式b2?4ac>0，即可判斷②；根據【詳解】∵拋物線y=ax2+bx+c經過點2,0∴拋物線經過點(?1,0)，b=-a當x=-1時，0=a-b+c，∴c=-2a;當x=2時，0=4a+2b+c，∴a+b=0，∴ab<0，∵c＞1，∴abc＜0，由此①是錯誤的，由已知，拋物線與x軸，有兩個交點，∴b∵②中方程△=b∴關于x的方程ax∵c>1，c=-2a>1，∴a<?1故選：C.【點睛】本題考查了二次函數圖象與系數的關系：對于二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小：當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右；常數項c決定拋物線與y軸交點位置：拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點個數由△決定：△=b2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．6．（2021·天津·統考中考真題）已知拋物線y=ax2+bx+c（a,b,c是常數，a≠0）經過點(?1,?1),(0,1)，當x=?2時，與其對應的函數值y>1．有下列結論：①abc>0；②關于x的方程ax2A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據函數與點的關系,一元二次方程根的判別式,不等式的性質，逐一計算判斷即可【詳解】∵拋物線y=ax2+bx+c（a,b,c是常數，a≠0）經過點(?1,?1),(0,1)，當x=?2∴c=1＞0，a-b+c=-1,4a-2b+c＞1，∴a-b=-2,2a-b＞0，∴2a-a-2＞0，∴a＞2＞0，∴b=a+2＞0，∴abc＞0，∵ax∴△=b2?4a(c?3)=∴ax∵b=a+2，a＞2，c=1，∴a+b+c=a+a+2+1=2a+3，∵a＞2，∴2a＞4，∴2a+3＞4+3＞7，故選D．【點睛】本題考查了二次函數的性質，一元二次方程根的判別式，不等式的基本性質，熟練掌握二次函數的性質，靈活使用根的判別式，準確掌握不等式的基本性質是解題的關鍵．7．（2022·天津·統考中考真題）已知拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，0<a<c①2a+b<0；②當x>1時，y隨x的增大而增大；③關于x的方程ax其中，正確結論的個數是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【詳解】由題意可知：a+b+c=0，b=?(a+c)，b+c=?a，∵0<a<c，∴a+c>2a，即b=?(a+c)<?2a，得出b+2a<0，故①正確；∵b+2a<0，∴對稱軸x0∵a>0，∴1<x<x0時，y隨x的增大而減小，x>x0時，∵b∴關于x的方程ax故選：C．【點睛】本題考查二次函數的圖象與性質及一元二次方程根的判別式，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的性質并能應用求解．8．（2022上·天津南開·九年級天津育賢中學校考期末）拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A?1,0，B3,0，交y軸的負半軸于C，頂點為D.下列結論：①2a+b=0；②2c<3b；③當m≠1時，a+b<am2+bm；④當ABD是等腰直角三角形時，則a=1A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】根據二次函數圖像與系數的關系，二次函數與x軸交于點A?1,0，B3,0，可知二次函數的對稱軸為x=?1+32=1，即?b2a=1，可判斷①；將A、B兩點代入消去a得3b?2c=0可得c、b的關系，可判斷②；函數開口向下，x=1時取得最小值，則m≠1時，可判斷③；根據圖像AD=BD，設點D坐標為1,y，運用勾股定理求出y，得到頂點【詳解】解：拋物線y=ax2+bx+c交x軸于拋物線對稱軸為直線：x=∴?∴2a+b=0故①正確；②∵y=ax2+bx+c交x軸于Aa?b+c=09a+3b+c=0消去a得3b?2c=0∴2c=3b故②錯誤；∵拋物線開口向上，對稱軸是x=1∴x=1時，二次函數有最小值∴m≠1時，a+b+c<a∴a+b<a故③正確；④∵AD=BD，AB=4，ABD是等腰直角三角形．∴A∴A設點D坐標為1,y．則1??1解得y=±2．∵點D在x軸下方．∴點D為1,?2．設二次函數解析式為y=ax?12?2∴0=a?1?1解得a=1故④正確；⑤由題意可得，∵AC2∴AC≠BC．故△ABC是等腰三角形時，只有兩種情況，故a的值有2個．故⑤錯誤．故①③④正確，②⑤錯誤．故選：C．【點睛】主要考查了二次函數的圖像和性質，以及二次函數與幾何圖形結合的綜合判斷．掌握函數圖像基本性質和數形結合思想是解題的關鍵．9．（2022上·天津和平·九年級天津一中校考期末）二次函數y=ax2+bx+c大致圖象如圖所示，其中頂點為（-2，?9a）下列結論：①abc<0；②4a+2b+c>0；③5a?bA．①②③④ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①②④⑤【答案】D【分析】①拋物線對稱軸在y軸左側，則ab同號，而c＜0②x=2時，y③5a④y=ax⑤若方程|ax2+bx+c【詳解】解：∵頂點為（?2，?9a），設二次函數表達式為：y①拋物線對稱軸在y軸左側，則ab同號，而c＜0，則abc②函數在y軸右側與x軸的交點（1，0），當x=2時，y③5a④y=ax+5x?1+1，相當于由原拋物線y=a⑤若方程|ax2+bx根據一元二次方程根與系數的關系得：其兩個根的和為?ba=同理當ax2+bx+c+1=0故選：D．【點睛】本題主要考查了二次函數圖象的性質，二次函數圖象與系數的關系，拋物線與x軸交點，一元二次方程根與系數的關系、根的判別式等，關鍵是熟練掌握二次函數圖象的性質．10．（2022上·天津南開·九年級南開中學校考期末）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+ca≠0的部分圖象如圖所示，則下列結論：①abc<0；②關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根是x1=?1，x2=3A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】由拋物線的開口方向，對稱軸方程以及與y軸的交點坐標可判斷①，根據拋物線與x軸的交點坐標可判斷②，由拋物線的對稱軸為直線x=1，且開口向下，可判斷③，分別用含a的代數式表示b，c，可判斷④，當x=1時，函數有最大值y=a+b+c，再消去a，b可判斷⑤，從而可得答案．【詳解】解：∵拋物線開口向下，∴a<0，∵拋物線的對稱軸為直線x=?b∴b=?2a>∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，∴c>∴abc<0，所以①符合題意；∵拋物線的對稱軸為直線x=1，拋物線與x軸的一個交點坐標為3,0，∴拋物線與x軸的另一個交點坐標為?1,0，∴關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根是x所以②符合題意；∵拋物線的對稱軸為直線x=1，且開口向下，∴當x>1時，y隨故③不符合題意；∵當x=?1時，y=0，∴a?b+c=0，而b=?2a，∴a+2a+c=0，即c=?3a，∴a+2b?c=a?4a+3a=0，即a+2b=c，所以④符合題意；∵當x=1時，函數有最大值y=a+b+c，函數有最大值y=a?2a+c=?a+c=1所以⑤符合題意．故選：C．【點睛】本題考查的是二次函數的圖象與性質，利用二次函數的圖象與對稱性，增減性，最值，與坐標軸的交點坐標解決問題是關鍵．11．（2022上·天津·九年級天津市第五十五中學校考期末）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+ca≠0的部分圖像如圖所示，拋物線與y軸的交點在2和3之間（不含端點）．則下列結論：①abc>0；②0<x<3時，y>0；③y的最大值=4A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據函數開口方向判斷a的符號，根據對稱軸判斷b的符號，根據函數圖象與y軸交點判斷c的符號，即可判斷①；根據函數圖象即可判斷②；將函數圖象與x軸交點坐標代入，即可得出a=?c3，再根據對稱軸得出函數的最值，即可判斷③；根據函數圖象與【詳解】解：∵函數開口向下，∴a<0，∵函數對稱軸為x=1，∴?b2a=1∵函數圖象與y軸交于正半軸，∴c>0，∴abc<0，故①不正確，不符合題意；由圖可知：當0<x<3時，y>0；故②正確，符合題意；由圖可知，函數圖象與x軸交于點3,0，把點3,0帶入得：0=9a+3b+c，由①可得b=?2a，∴0=9a?6a+c，整理得：a=?c∵函數對稱軸為x=1，∴當x=1時，函數取最大值，y=a+b+c=a?2a+c=?a+c=c故③正確，符合題意；由③可得：a=?c3，則∵拋物線與y軸的交點在2和3之間（不含端點），∴2<c<3，則2<?3a<3，∴?1<a<?2故④正確，符合題意；綜上，正確的有②③④，共3個，故選：C．【點睛】本題主要考查了二次函數的圖象和性質，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的相關內容，根據圖象得出各個系數的取值范圍．12．（2022上·天津武清·九年級天津英華國際學校校考階段練習）二次函數y=ax列結論：①abc<0，②b<a+c，③4a+2b+c>0，④2c<3b，⑤a+b<mam+b(m≠1)中正確的是（

A．②④⑤ B．①②④ C．①③④ D．①③④⑤【答案】C【詳解】①由圖象可知：a<0，b>0，c>0，abc<0，故此選項正確；②當x=?1時，y=a?b+c<0，即b>a+c，錯誤；③由對稱知，當x=2時，函數值大于0，即y=4a+2b+c>0，故此選項正確；④當x=3時函數值小于0,y=9a+3b+c<0,且x=?b2a=1，即a=?12b,代入得9(?點睛：本題考查了圖象與二次函數系數之間的關系，二次函數y=ax13．（2022上·天津·九年級天津市第五十五中學校考期中）如圖是二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）圖像的一部分，與x軸的交點A在點（2，0）和（3，0）之間，對稱軸是x=1．對于下列說法：①ab<0；②2a+b=0；③3a+c>0；④a+b≥mam+b（m為實數）；⑤當?1<x<3時，A．①②④ B．①② C．②③④ D．③④【答案】A【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據對稱軸判定b與0的關系以及2a＋b＝0；當x＝?1時，y＝a?b＋c；然后由圖像確定當x取何值時，y＞0．【詳解】解：①∵對稱軸在y軸右側，∴a、b異號，∴ab＜0，故正確；②∵對稱軸x＝?b2a∴2a＋b＝0；故正確；③∵2a＋b＝0，∴b＝?2a,∵當x＝?1時，y＝a?b＋c＜0，∴a?（?2a）＋c＝3a＋c＜0，故錯誤；④根據圖示知，當x＝1時，有最大值；當m≠1時，有am2＋bm＋c＜a＋b＋c,所以a＋b≥m（am＋b）（m為實數）．故正確．⑤如圖，當?1＜x＜3時，y不只是大于0．故錯誤．故選：A．【點睛】本題主要考查了二次函數圖像與系數的關系，關鍵是熟練掌握①二次項系數a決定拋物線的開口方向，當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；②一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）③常數項c決定拋物線與y軸交點，拋物線與y軸交于（0，c）．14．（2021上·天津河東·九年級天津市第七中學校考期中）已知拋物線y=ax2+bx+c(a>0)的對稱軸為直線x=?1，該拋物線與x軸的一個交點為x1,0，且0<x1<1，有下列結論：①abc>0②A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】①根據函數圖象可得a、b、c的符號從而可以判斷①是否正確；②由對稱軸為直線x=?1，可知點(1,a+b+c)，(?3,9a?3b+c)是拋物線上兩個對稱點，根據0<x1<1，a>0，判斷a+b+c>0，由此可知9a?3b+c>0，從而判斷9a?3b+c的符號；③由對稱軸公式可知，?b2a=?1，即b=2a>0，由此可判斷a、b的大小關系；④由②③可知，把【詳解】解：①∵由函數圖象開口向上，∴a>0，∵對稱軸在y軸左側，∴?∴b>0，∵函數圖象與y軸交于負半軸，∴c<0，∴abc<0，故①錯誤；②由圖象可知：當x=1時，y=a+b+c>0，∵對稱軸為直線x=?1，∴拋物線上x=1與x=?3對應的點的縱坐標相等，∴當x=?3時，y=9a?3b+c>0，故②正確；③∵?b∴b=2a，∴b?a=2a?a=a>0，∴b>a，故③錯誤；④把b=2a代入a+b+c>0得3a+c>0，故④正確，綜上所述：正確的有②④，共2個，故選：B．【點睛】本題考查拋物線的對稱軸以及拋物線與系數之間的關系，解題的關鍵是根據圖象可以判斷a、b、c的符號，靈活變化，能夠找出所求各結論需要的條件．15．（2021上·天津河北·九年級天津外國語大學附屬外國語學校校考階段練習）如圖是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象，其頂點是（1，n），且與x的一個交點在點（3，0）和（4，0）之間，則下列結論：①a-b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c-n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n-1有兩個不等的實數根．其中正確結論的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點在點（-2，0）和（-1，0）之間，則當x=-1時，y>0，于是可對①進行判斷；利用拋物線的對稱軸為直線x=-b2a=1，即b=-2a，則可對②進行判斷；利用拋物線的頂點的縱坐標為n得到4ac?b24a=n，則可對③進行判斷；由于拋物線與直線y=n有一個公共點，則拋物線與直線【詳解】∵拋物線與x軸的一個交點在點（3，0）和（4，0）之間，而拋物線的對稱軸為直線x=1，∴拋物線與x軸的另一個交點在點（-2，0）和（-1，0）之間．∴當x=-1時，y＞0，即a-b+c＞0，所以①正確；∵拋物線的對稱軸為直線x=-b2a=1，即b=-2a∴3a+b=3a-2a=a，所以②錯誤；∵拋物線的頂點坐標為（1，n），∴4ac?b24a∴b2=4ac-4an=4a（c-n），所以③正確；∵拋物線與直線y=n有一個公共點，∴拋物線與直線y=n-1有2個公共點，∴一元二次方程ax2+bx+c=n-1有兩個不相等的實數根，所以④正確．故選：C．【點睛】本題考查了二次函數圖像與系數的關系，熟練掌握二次函數性質是解題的關鍵．16．（2020上·天津·九年級天津二十五中校考階段練習）如圖所示，已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C，OA=OC，對稱軸為直線x=1，則下列結論：①abc<0；②a+12b+14c=0A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據拋物線的開口方向、對稱軸、與y軸交點的位置可得a、b、c的取值范圍，由此可判斷①；根據b=?2a結合c的取值范圍可對②進行判斷；由OA=OC可得A的坐標，代入解析式可判斷③；由點A坐標結合對稱軸可得點B坐標，據此可判斷④.【詳解】∵拋物線開口向下，∴a<0，∵拋物線的對稱軸為直線x=?b∴b=?2a>0，∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，∴c>0，∴abc<0，所以①正確；∵b=?2a，∴a+1∵c>0，∴a+1∵C(0,c)，OA=OC，∴A(?c,0)，把A(?c,0)代入y=ax2+bx+c∴ac?b+1=0，所以③正確；∵A(?c,0)，對稱軸為直線x=1，∴B(2+c,0)，∴2+c是關于x的一元二次方程ax綜上正確的有3個，故選C.【點睛】本題考查了拋物線與x軸交點及與二次函數圖象與系數的關系，做好本題要知道以下幾點：①當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；②當a與b同號時(即ab＞0)，對稱軸在y軸左；當a與b異號時(即ab＜0)，對稱軸在y軸右．(簡稱：左同右異)；③常數項c決定拋物線與y軸交點，拋物線與y軸交于(0，c)．④拋物線y=ax2+bx+c17．（2024上·天津和平·九年級天津二十中校考期末）如圖，二次函數y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸的正半軸交于點C，它的對稱軸為直線x＝﹣1．有下列結論：①abc＞0；②4ac﹣b2＞0；③c﹣a＞0；④當x＝﹣A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據二次函數的開口方向，對稱軸的位置，二次函數的性質，二次函數的圖像與x軸的交點情況去分析判斷即可．【詳解】解：由圖象開口向上，可知a＞0，與y軸的交點在x軸的上方，可知c＞0，又對稱軸為直線x＝﹣1，∴﹣b2a∴b＞0，∴abc＞0，故①正確；∵二次函數y＝ax2∴b2∴4ac﹣b2故②錯誤；∵﹣b2a∴b＝2a，∵當x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＜0，∴a﹣2a+c＜0，∴c﹣a＜0，故③錯誤；當x＝﹣n2y＝ax2+bx+c＝a(?n2?2)2+b（﹣n∵a＞0，n2≥0，n∴y＝an2（n故④正確，故選：C．【點睛】本題主要考查二次函數的圖象和性質．熟練掌握圖象與系數的關系以及二次函數與方程的關系是解題的關鍵．18．（2024上·天津和平·九年級天津市第五十五中學校考期末）如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的頂點為（1，n），與x軸的一個交點B（3，0），與y軸的交點在（0，﹣3）和（0，﹣2）之間．下列結論中：①abc>0；②﹣2＜b<?53；③（a＋c）2﹣b2＝0；④2c﹣a＜2A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據二次函數的圖象和性質逐一進行判斷即可【詳解】解：∵拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的開口向上，∴a＞0，∵拋物線線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的頂點坐標為（1，n），∴對稱軸x=?b∴b=-2a＜0，∵拋物線與y軸的交點在（0，﹣3）和（0，﹣2）之間∴-3＜c＜-2＜0，∴abc∵拋物線線x軸的一個交點B（3，0），∴9a+3b+c=0，拋物線線x軸的一個交點（-1，0），∵b=-2a∴c=3b2∴-3＜3b2∴﹣2＜b<?4∵拋物線線x軸的一個交點（-1，0），∴a-b+c=0，∴（a＋c）2﹣b2＝（a+b+c）（a-b+c）=0，故③正確；∵a＞0，∴-a＜0∵b=-2a∴3a+2b=-a＜0∴2c﹣a＞2（a+b+c），∵拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的頂點為（1，n），∴a+b+c=n，∴2c﹣a＞2n；故④錯誤；故選：B【點睛】本題考查了二次函數圖象與系數的關系：對于二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），明確以下幾點：①二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小：當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；②一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右；③常數項c決定拋物線與y軸交點位置：拋物線與y軸交于（0，c）．19．（2023上·天津和平·九年級天津市第五十五中學校考階段練習）拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)過0,0和3,3，且對稱軸為直線x=t．現有下面四個推斷：①若t=1，則a=1；②若t>1，則a>1；③若t<1，則a<1；④存在實數λ，使得a(1?λt)A．①③ B．①④ C．①②③ D．①③④【答案】B【分析】把0,0和3,3代入y=ax2+bx+c(a≠0)，可得解析式為y=ax2+1?3ax，可得對稱軸為直線x=t=32?【詳解】解：∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)過0,0∴c=09a+3b+c=3，解得：b=1?3a∴拋物線為：y=ax∴拋物線的對稱軸為直線x=t=?1?3a當t=1時，則32解得：a=1，經檢驗，符合題意，故①符合題意；當t>1，則32∴1a當a>0時，a>1，當a<0時，恒成立，∴a>1或a<0，故②不符合題意；當t<1時，則32∴1a∴當a>0時，a<1，此時0<a<1，當a<0時，不等式不成立，故③不符合題意；∵t=3∴a(1?λt)=a?aλt=a?aλ=a?=1?當1?32λ=0即λ=故選B【點睛】本題考查的是利用待定系數法求解二次函數的解析式，二次函數的性質，不等式的性質，多項式的值與某字母的值無關，理解題意，選擇合適的方法解題是關鍵．20．（2023上·天津濱海新·九年級天津市濱海新區塘沽第一中學校考期中）如圖，拋物線y=ax2+bx+ca≠0的對稱軸為直線x=1，與y軸交于點B0,?2，點A?1,m在拋物線上，有下列結論：①ab<0；②一元二次方程ax2+bx+c=0的正實數根在2和3之間；③a=A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】由拋物線開口方向得到a＞0，利用拋物線的對稱軸方程得到b＝?2a＜0，即可判斷①；利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點坐標在（2，0）與（3，0）之間，則根據拋物線與x軸的交點問題可對②進行判斷；把B（0，?2），A（?1，m）和b＝?2a代入拋物解析式可對③選項進行判斷；利用二次函數的增減性對④進行判斷．【詳解】解：∵拋物線開口向上，∴a＞0，∵拋物線的對稱軸為直線x＝?b∴b＝-2a＜0，∴ab＜0，故①正確；∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，拋物線與x軸的一個交點坐標在（0，0）與（﹣1，0）之間，∴拋物線與x軸的另一個交點坐標在（2，0）與（3，0）之間，∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的正實數根在2和3之間，故②正確；把B（0，﹣2），A（﹣1，m）代入拋物線得c＝﹣2，a﹣b+c＝m，而b＝﹣2a，∴a+2a﹣2＝m，∴a＝m+23∵點P1（t，y1），P2（t+1，y2）在拋物線上，∴當點P1、P2都在直線x＝1的右側時，y1＜y2，此時t≥1；當點P1在直線x＝1的左側，點P2在直線x＝1的右側時，y1＜y2，此時0＜t＜1且t+1﹣1＞1﹣t，即12＜t∴當12＜t＜1或t≥1時，y1＜y2故選B．【點睛】本題考查了圖象法求一元二次方程的近似根：利用二次函數圖象的對稱性確定拋物線與x軸的交點坐標，從而得到一元二次方程的根．也考查了二次函數的性質，熟練掌握二次函數的相關知識是解題的關鍵．21．（2023上·天津河西·九年級天津實驗中學校考階段練習）在平面直角坐標系內，拋物線y=ax2?x+1a≠0與線段AB有兩個不同的交點，其中點①直線AB的解析式為y=12x+12；②方程ax2其中，正確結論的個數為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】①設直線AB的解析式為y=kx+b,把A②∵拋物線y=ax2?x+1a≠0與直線y=12x+12③分a>0，a<0兩種情況討論，根據題意列出不等式組，可求a的取值范圍．【詳解】解：①設直線AB的解析式為y=kx+b,把A0=?k+b1=k+b解得，k=∴直線AB的解析式為y=1②∵拋物線y=ax2?x+1令12x+12=ax2?x+1，則∴方程ax③∵拋物線y=ax2?x+1∴令12x+12=ax2?x+1，則2ax∴Δ=9?8a>0∴a<9a<0時，a+1+1?0解得：a??2∴a??2，當a>0時，a+1+1?0解得：a?1∴1?a<9綜上所述：1?a<98或a?故選：D.【點睛】本題考查二次函數圖象與系數的關系，一次函數圖象上點的坐標特征，二次函數圖象點的坐標特征，利用分類討論思想解決問題是本題的關鍵．22．（2023上·天津河北·九年級天津外國語大學附屬外國語學校校考階段練習）如圖，二次函數y=ax2+bx+c的圖象關于直線x=1對稱，與x軸交于A(x1,0)，B(x2,0)兩點，若?2<正確結論的個數為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據二次函數的對稱性，即可判斷①；由開口方向和對稱軸即可判斷②；根據拋物線與x軸的交點已經x=-1時的函數的取值，即可判斷③；根據拋物線的開口方向、對稱軸，與y軸的交點以及a－b＋c＜0，即可判斷④．【詳解】∵對稱軸為直線x=1，-2<x1<-1，∴3＜x2＜4，①正確，∵?b∴b=-2а，∴3a＋2b=3a-4a=-a，∵a＞0，∴3a+2b<0，②錯誤；∵拋物線與x軸有兩個交點，∴b2-4ac>0，根據題意可知x=-1時，y<0，∴a－b＋c<0，∴a＋c<b，∵a＞0，∴b=-2a<0，∴a＋c<0，∴b2-4ac>a+c，∴b2＞a＋c＋4ac，③正確；∵拋物線開口向上，與y軸的交點在x軸下方，∴a＞0，c<0，∴a>c，∵a-b＋c<0，b=-2a，∴3a+c<0，∴c<-3a，∴b=–2a，∴b＞c，以④錯誤；故選B【點睛】本題主要考查圖象與二次函數系數之間的關系，解題的關鍵是掌握數形結合思想的應用，注意掌握二次函數圖象與系數的關系，掌握二次函數的對稱性．23．（2023上·天津和平·九年級天津一中校考階段練習）如圖，已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點A（﹣1，0），對稱軸為直線x=1，與y①當x＞3時，y＜0；②3a+b＜0；③?1≤a≤?2④4ac?b其中正確的結論是（）A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】B【分析】①由拋物線的對稱性可求得拋物線與x軸另一個交點的坐標為（3，0）即可判斷①；②拋物線開口向下，故a＜0，利用對稱軸建立等式即可判斷；③設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣3），則y=ax2?2ax?3a，令x=0得：y=﹣3a．根據拋物線與y軸的交點B在（0，2）和（0，3）之間，即可判斷；④．拋物線y【詳解】解：①由拋物線的對稱性可求得拋物線與x軸另一個交點的坐標為（3，0），當x＞3時，y＜0，故①正確；②拋物線開口向下，故a＜0，∵x=?b∴2a+b=0．∴3a+b=0+a=a＜0，故②正確；③設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣3），則y=ax令x=0得：y=﹣3a．∵拋物線與y軸的交點B在（0，2）和（0，3）之間，∴2≤?3a≤3．解得：?1≤a≤?2故③正確；④．∵拋物線y軸的交點B在（0，2）和（0，3）之間，∴2≤c≤3，由4ac?b2>8a∵a＜0，∴c?2<b∴c﹣2＜0，∴c＜2，與2≤c≤3矛盾，故④錯誤．故選B．【點睛】本題考查二次函數圖象與系數的關系，結合圖象，數形結合的思想的運用是本題的解題關鍵．24．（2023上·天津·九年級天津外國語大學附屬外國語學校校考階段練習）如圖，已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點A（-1，0），與y軸的交點B在（0，-2）和（0，-1）之間（不包含這兩點），對稱軸為直線x=1．在下列結論中：①abc＞0；②16a+4b+c＜0；③4ac-b2＜8a；④13＜a＜23；⑤b＜c．正確結論的個數為（A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據二次函數圖象的開口方向、對稱軸位置、與x軸的交點坐標、頂點坐標等知識，逐個判斷即可．【詳解】解：∵拋物線開口向上，∴a＞0，∵對稱軸為直線x=1＞0，∴a、b異號，∴ab＜0，∵與y軸的交點B在（0，-2）和（0，-1）之間，∴-2＜c＜-1，∴abc＞0，故①正確；∵拋物線x軸交于點A（-1，0），對稱軸為直線x=1，∴與x軸的另一個交點為（3，0），∴當x=4時，y=16a+4b+c＞0，故②不正確；∵a＞0，4ac?b24a＜-1，即4ac-b2∵-4a＜8a，∴4ac-b2＜8a，故③正確；由題意可得，方程ax2+bx+c=0的兩個根為x1=-1，x2=3，∴ca=-3，即c=-3a∵-2＜c＜-1，∴-2＜-3a＜-1，∴13＜a＜2∵拋物線過（-1，0）點，∴y=a-b+c=0，即a=b-c，又a＞0，∴b-c＞0，∴b＞c，所以⑤不正確，綜上所述，正確的結論有①③④三個，故選：C．【點睛】本題考查二次函數的圖象和性質，掌握a、b、c的值決定拋物線的位置以及二次函數與一元二次方程的關系，是正確判斷的前提．25．（2023上·天津和平·九年級天津市匯文中學校考階段練習）如圖，已知二次函數y=ax2+bx+ca≠0的圖象與x軸交于點A?1,0，與y軸的交點B在0,?2和0,?1之間（不包括這兩點），對稱軸為直線x=1．下列結論：①abc>0；②4a+2b+c>0；③4ac?b2

A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【答案】B【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．【詳解】解：①∵函數開口方向向上，∴a>0，∵對稱軸在y軸右側，∴a、b異號，b<0，∵拋物線與y軸交點在y軸負半軸，∴c<0，∴abc>0，故①正確；②∵圖象與x軸交于點A?1,0，對稱軸為直線x=1∴圖象與x軸的另一個交點為3,0，∴當x=2時，y<0，∴4a+2b+c<0，故②錯誤；③∵拋物線與y軸B交點在0,?2和0,?1之間，對稱軸為直線x=1，∴頂點縱坐標要小于?1，∴4ac?b24a∴4ac?b④∵圖象與y軸的交點B在0,?2和0,?1之間，∴?2<c<?1，∵圖象與x軸交于點A?1,0和3,0∴ax2+bx+c=0由韋達定理可知：ca∴c=?3a，∴?2<?3a<?1，∴13⑤∵對稱軸為直線為x=?b∴b=?2a，∵a>0，c=?3a，∴b>c，故⑤正確．綜上所述，正確的有①③④⑤，，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數圖象與系數的關系．二次函數y=ax2+bx+c26．（2023上·天津武清·九年級天津英華國際學校校考階段練習）如圖，已知二次函數y=ax2+bx+c的a≠0圖象與x軸交于點A?1,0，對稱軸為直線x=1，與y軸的交點B在0,2和0,3之間（包括這兩點），下列結論：（1）當x>3時，y<0；（2）3a+b<0；（3）?1≤a≤?2

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據題意和圖象可以分別計算出各個小題中的結論是否成立，從而可以解答本題．【詳解】解：①由拋物線的對稱性可求得拋物線與x軸另一個交點的坐標為(3,0)，當x>3時，y<0故①正確；②拋物線開口向下，故a<0，∵x=?b∴2a+b=0．∴3a+b=0+a=a<0，故②正確；③設拋物線的解析式為y=a(x+1)(x?3)，則y=ax令x=0得：y=?3a．∵拋物線與y軸的交點B在(0,2)和(0,3)之間，∴2≤?3a≤3．解得：?1≤a≤?23，故④∵拋物線與y軸的交點B在(0,2)和(0,3)之間，∴4ac?b∵a<0，∴4ac?b2<8a故選：C．【點睛】本題考查二次函數圖象與系數的關系、拋物線與x軸的交點，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用二次函數的性質解答．27．（2023·天津河西·天津市新華中學校考二模）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）的頂點為（1，n），拋物線與x軸交于點A（3，0），則下列結論：①abc>0；②若方程ax2+bx+c﹣1=0的解是x1，x2，且滿足x1<x2，則x1<﹣1，x2>3；③關于x的方程ax2+bx+c﹣A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】由二次函數的對稱性可得與x軸的另一個交點（-1，0），利用二次函數的交點式y=a（x+1）（x-3）由點（1，n）求得a，b，c的表達式，由n＜0，即可判斷結論①④；根據二次函數與相應方程解的關系，再結合二次函數的圖象性質即可判斷結論②③.【詳解】解：由二次函數的對稱性可得：與x軸的另一個交點為（-1，0），由二次函數的交點式可得y=a（x+1）（x-3），點（1，n）代入可得a=?n∴y=?n∴a=?n4，b=n2，c∵n＜0，∴a＞0，b＜0，c＜0；∴abc＞0，故①正確；∵2c-a=7n4，n∴7n4＞2n方程ax2+bx+c﹣1=0的解為拋物線y=ax2+bx+c與直線y=1的交點的橫坐標，由函數圖象可得：函數值為1時，x1<﹣1，x2>3故②正確；方程ax2+bx+c﹣n+1=0的解為拋物線y=ax2+bx+c=n-1時對應的橫坐標，∵n-1＜n，而拋物線的頂點縱坐標為n，∴二次函數上不存在縱坐標為n-1的點，即方程ax2+bx+c﹣n+1=0無實數解，故③錯誤；綜上所述①②正確，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數的對稱性，二次函數的表達式，二次函數與相應方程解的關系等知識；掌握由二次函數的圖象判斷相應方程的解是解題關鍵．28．（2023·天津河西·天津市新華中學校考一模）已知拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0，c>3）經過點(5①abc<②關于x的方程ax③a<?3其中，正確結論的個數是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】由題意得到拋物線的開口向下，結合拋物線的對稱軸以及與x軸的交點進行判斷①②，然后把已知點(5，0)代入拋物線的解析式得到25a+5b+c=0，再結合對稱軸直線以及【詳解】解：∵拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0，c>3）經過點(5∴拋物線與x軸的另一交點坐標為?1，∵c>3，∴拋物線的開口向下，∴a<0，∵拋物線的對稱軸是直線x=2，∴b>0，∴abc<∵拋物線開口向下，與x軸有兩個交點，頂點在x軸的上方，且c>3，∴拋物線與直線y=2有兩個交點，∴關于x的方程ax∵拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0，c>3∴25a+5b+c=0，又∵x=?b∴b=?4a，∴25a?20a+c=0，∴c=?5a，∵c>3，∴?5a>3，解得a<?3∴①②③都正確，故選：D．【點睛】本題考查了二次函數的圖象與系數的關系，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解題的關鍵．29．（天津市河北區2021-2022學年九年級上學期期末數學試題）已知二次函數y＝a（x+1）（x﹣m）（a為非零常數，1＜m＜2），當x<-1時，y隨x的增大而增大，則下列結論正確的是（）①當x＞2時，y隨x的增大而減小；②若圖象經過點（0，1），則﹣1＜a＜0；③若（﹣2021，y1），（2021，y2）是函數圖象上的兩點，則y1＜y2；④若圖象上兩點（14，y1），（14+n，y2）對一切正數n，總有y1＞y2，則1＜m≤A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④【答案】D【分析】根據題目中的函數解析式和二次函數的性質，可以判斷各個選項中的說法是否正確，從而可以解答本題．【詳解】解：①：∵二次函數y＝a（x+1）（x﹣m）（a為非零常數，1＜m＜2），∴x1＝﹣1，x2＝m，x1＜x2，又∵當x＜﹣1時，y隨x的增大而增大，∴a＜0，開口向下，∴當x＞2＞x2時，y隨x的增大而減小，故①正確；②：∵二次函數y＝a（x+1）（x﹣m）（a為非零常數，1＜m＜2），當x＜﹣1時，y隨x的增大而增大，∴a＜0，若圖象經過點（0，1），則1＝a（0+1）（0﹣m），得1＝﹣am，∵a＜0，1＜m＜2，∴﹣1＜a＜﹣12故②錯誤；③：又∵對稱軸為直線x＝?1+m2，1＜m＜2∴0＜?1+m2＜12∴若（﹣2021，y1），（2021，y2）是函數圖象上的兩點，2021離對稱軸近些，則y1＜y2，故③正確；④若圖象上兩點（14，y1），（14+n，y2）對一切正數n，總有y1＞y2，1＜m＜∴該函數與x軸的兩個交點為（﹣1，0），（m，0），∴0＜?1+m2≤1解得1＜m≤32故④正確；∴①③④正確；②錯誤．故選：D．【點睛】本題考查二次函數的性質、二次函數圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質解答．30．（2023·天津河西·天津市新華中學校考三模）拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，且a<0），頂點坐標是?2,3，與x軸的一個交點在點①4a?b=0；②關于x的方程ax③c>3a．其中，正確的個數是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】求解?b2a=?2，可得b=4a，判斷①符合題意；由函數的最大值為y=3，可得ax2+bx+c=4無解，判斷②不符合題意；由拋物線與x軸的一個交點在點?4,0和點【詳解】解：∵頂點坐標是?2,3，∴?b2a=?2∴4a?b=0，故①符合題意；∵頂點坐標是?2,3，a<0，∴函數的最大值為y=3，∴ax∴關于x的方程ax∵拋物線與x軸的一個交點在點?4,0和點?3,0之間，∴9a?3b+c>0，而b=4a，∴c>3a，故③符合題意；故選C．【點睛】本題考查的是二次函數的圖象與性質，二次函數與一元二次方程的關系，熟練的利用數形結合的方法解題是關鍵．31．（2023下·天津和平·九年級天津一中校考階段練習）已知拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）經過點(1,0)，(0,3)①abc<0；②拋物線經過點?1③方程ax④?3<a<0．其中，正確結論的個數為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據拋物線的對稱軸及與y軸的交點坐標，可判斷①錯誤；根據拋物線的對稱性可以判斷②錯誤，根據條件得拋物線開口向下，可判斷③正確；根據拋物線與x軸的交點及對稱軸的位置，可判斷④正確，故可得解．【詳解】∵對稱軸在y軸左側∴?b2a∴a、b同號，即ab＞0∵y=ax2+bx+c經過點(0,3)∴c=3＞0∴abc＞0，故①錯誤；∵拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）經過點(1,0)，其對稱軸在y軸左側，故拋物線不能經過點(-1拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）經過點(1,0)，(0,3)，其對稱軸在y軸左側，可知拋物線開口向下，即a＜0，與直線y=2有兩個交點，因此方程ax2+bx+c=2有兩個不相等的實數根，故③正確；∵對稱軸在y軸左側，∴?b2a∵a＜0∴b＜0∵y=ax2+bx+c經過點(1,0)∴a＋b+c=0∵y=ax2+bx+c經過點(0,3)∴c=3∴a＋b=-3∴b=-a-3，a=-b-3∴-3<a<0．故④正確．故選C．【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數圖象與系數的關系，二次函數與一元二次方程的關系，不等式的性質等知識，難度適中．32．（2023下·天津南開·九年級南開翔宇學校校考階段練習）如圖，二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，且a≠0）的圖象的對稱軸為直線x=1，與x軸的一個交點為3,0，與y①b>0；②a?b+c=0；③一元二次方程ax2+bx+c+2=0a≠0的兩個實數根是④當x<?1或x>3時，y>0．其中，正確結論的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據二次函數圖象開口向上，a>0，對稱軸為直線x=1，得出b=?2a<0；與x軸的一個交點為3,0則二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸的另一個交點為?1,0，可得a?b+c=0，根據二次函數y=ax2+bx+c的圖象與【詳解】解：∵二次函數y=ax2+bx+c的圖象開口向上，a>0∴x=?∴b=?2a<0，故①錯誤；∵對稱軸為直線x=1，與x軸的一個交點為3,0∴二次函數y=ax2+bx+c的圖象與∴a?b+c=0，故②正確；∵二次函數y=ax2+bx+c的圖象與y軸交于點0,?2∴一元二次方程ax2+bx+c+2=0a≠0的兩個實數根是根據函數圖象可知當x<?1或x>3時，y>0，故④正確．故選：C．【點睛】本題考查了二次函數圖象的性質，掌握二次函數圖象的性質是解題的關鍵．33．（2023·天津河東·天津市第七中學校考模擬預測）二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象如圖所示，圖象經過點(?1,0)，對稱軸為直線x=2，下列結論：①4a+b=0；②9a+c>3b；③若點A?3,y1、點B?12,y2、點C72,A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】根據對稱軸為x=2，即?b2a=2即可判斷①，根據當x=?3時，函數值小于0，即可判斷②，根據拋物線開口向下，當點的橫坐標到對稱軸的距離越遠則函數值越小即可判斷③，根據對稱性，二次函數與x軸的另一個交點為5,0，方程a(x+1)(x?5)=?3的解即y=a(x+1)(x?5)【詳解】解：∵二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為∴b+4a=0故①正確；觀察圖象可知當x=?3時，函數值為9a?3b+c<0即9a+c<3b故②不正確；∵二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)∵點A?3,y1、點B2?則y故③正確；根據對稱性，二次函數與x軸的另一個交點為5,0，設拋物線的解析式為y=a(x+1)(x?5)，方程a(x+1)(x?5)=?3的解即y=a(x+1)(x?5)與y=?3的交點的橫坐標，如圖，則若方程a(x+1)(x?5)=?3的兩根為x1和x2，且x1故④正確綜上所述，正確的有①③④，共3個，故選B【點睛】本題考查了二次函數的圖象與性質，圖象法判斷一元二次方程的解，掌握二次函數圖象的性質是解題的關鍵．34．（2023下·天津河北·九年級天津二中校考階段練習）如圖是二次函數y=ax2+bx+c的圖象，其對稱軸為x=1.下列結論：①abc>0；②2a+b=0；③9a+3b+c<0；④若?32A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】由拋物線開口方向得到a＜0，根據對稱軸得到b=-2a＞0，由拋物線與y軸的交點位置得到c＞0，則可對①進行判斷；由b=-2a可對②進行判斷；利用拋物線的對稱性可得到拋物線與x軸的另一個交點為（3，0），則可判斷當x=3時，y=0，于是可對③進行判斷；通過二次函數的增減性可對④進行判斷．【詳解】解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵拋物線的對稱軸為直線x=?b∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①錯誤；∵b=-2a，∴2a+b=0，所以②正確；∵拋物線與x軸的一個交點為（-1，0），拋物線的對稱軸為直線x=1，∴拋物線與x軸的另一個交點為（3，0），∴當x=3時，y=0，∴9a+3b+c=0，所以③錯誤；∵拋物線的對稱軸為直線x=1，且拋物線開口向下，∴當x<1時，y隨x的增大而增大∵?點?32,∴y1>y2，所以④正確．故選B．【點睛】本題考查了二次函數圖象與系數的關系：對于二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小，當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右；常數項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點