專題提優突破六概率與統計統計解答題的考查內容包括:概率的運算、隨機變量分布列、均值與方差、統計與統計案例、回歸方程、獨立性檢驗、概率與統計的綜合問題等.通過對近幾年高考試題分析,在高考解答題中,概率與回歸分析、獨立性檢驗、隨機變量及其分布列相結合的綜合問題既是考查的熱點又是重點,通常設計成包含概率、隨機變量的數學期望與方差、統計圖表的識別與應用等知識的綜合題,以實際應用問題為載體,考查考生應用數學知識和基本方法分析問題和解決問題的能力.近幾年,試題位置后移,也凸顯了對考查要求的提高和對應用問題的重視.考查方法:樹形圖、數表分析、統計方法、正難則反、整體代換、反證法、分類、歸納、特殊化.考查思想:用樣本估計總體、隨機的思想、算法思想、正難則反、數學建模、劃歸思想、分類思想、數形結合、直觀化策略思想,突出考查數據分析能力、計算能力.解題模式:問題的提出→模型的建立→數據的整理和分析→統計與概率知識的應用.解題中要注意:特殊元素和特殊位置優先、抽樣的等可能、二項分布和超幾何分布的區別.統計概率中的新定義問題新定義問題是近年高考數學命題的熱點,新定義問題是指給學生一個從未接觸過的新背景、新規定,要求學生在閱讀理解的基礎上分析解決問題,側重考查學生的創新意識.解決新定義問題要過“心里關”、“審題關”、“應用關”.新定義問題主要考查以下兩種類型:①定義新運算,定義一種新的運算規則,其通常考查學生數學運算等素養;②定義新概念,定義一種新的數學名詞,其通常考查學生數學運算、邏輯推理、數學建模等素養.新概念可能定義一種新數、新數組、新方程、新點、新坐標系、新函數等.典例1籃球誕生美國馬薩諸塞州的春田學院.1891年,春田學院的體育教師加拿大人詹姆斯奈史密斯博士(JamesNaismith)為了對付冬季寒冷的氣溫,讓學生們能夠在室內有限的空間里繼續進行有趣的傳球訓練.現有甲、乙、丙3名同學在某次傳球的訓練中,球從甲開始,等可能地隨機傳向另外2人中的1人,接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外2人中的1人,如此不停地傳下去,假設傳出的球都能接住.記第n次傳球之前球在甲手里的概率為pn,第n次傳球之前球在乙手里的概率為qn,顯然p1=1,q1=0.(1)求p3+2q3的值;(2)比較p8,q8的大小.訓練1中國大力推進生物多樣性保護和恢復,完善政策法規,改善生態環境質量,劃定生態保護紅線,建立國家公園體系,實施長江十年禁漁,不斷加大監管和執法力度,積極履行國際公約義務,全社會生物多樣性保護意識不斷增強,參與度不斷提升,生物多樣性下降勢頭得到基本控制,生態系統穩定性明顯增強.某興趣小組在開展昆蟲研究時,設計了如下實驗:在一個不透明的密封盒子中裝有蝴蝶、蜜蜂等多種昆蟲共2n(n≥4,n∈N)只.現在盒子上開一小孔,每次只能飛出一只昆蟲,且任意一只昆蟲都等可能地飛出.(1)若盒子中共有8只昆蟲,從中任意飛出2只昆蟲時,飛出的恰好有1只是蜜蜂的概率為47①求蜜蜂的只數;②從盒子中任意飛出3只昆蟲,記飛出蜜蜂的只數為X,求隨機變量X的分布列與期望E(X).(2)若盒子中的昆蟲有一半是蝴蝶時,求“從盒子中任意飛出2只昆蟲,至少有1只蝴蝶飛出”的概率最大值.與遞推數列有關的概率問題縱觀近幾年的高考真題和模擬題,含數列模型的概率試題是命題者青睞的熱點和難點問題,其背景新穎,視角獨特,應用性較強,以中檔題為主.含數列模型的概率問題主要考查兩類題型:①題干給出數列的遞推關系或者問題中證明數列為等差或者等比數列,需要通過構造數列來求通項公式,把概率問題轉化成一個與自然數n有關的數列問題,借助數列求和、基本不等式求最值或者證明不等式;②題干沒有給出數列的遞推關系,需要利用全概率公式、正態分布或者概率之間的關系獲得數列的遞推關系式,然后通過配湊構造等比數列,求出概率中的期望值,進而做出最佳的決策.典例2(2023·江蘇鹽城中學校考三模)在我國射擊也是一項歷史悠久的運動.某射擊運動愛好者甲來到靶場練習.(1)已知用于射擊打靶的某型號槍支彈夾中一共有k(k∈N*)發子彈,甲每次打靶的命中率均為12(2)若某種型號的槍支彈巢中一共可裝填6發子彈,現有一槍支其中有m(m≥1)發為實彈,其余均為空包彈,現規定:每次射擊后,都需要在下一次射擊之前填充一發空包彈,假設每次射擊相互獨立且均隨機,在進行n(n∈N)次射擊后,記彈巢中空包彈的發數為Xn,①當k∈N*時,請直接寫出數學期望E(Xn)與E(Xn1)的關系;②求出E(Xn)關于n的表達式.訓練2綠色已成為當今世界主題,綠色動力已成為時代的驅動力,綠色能源是未來新能源行業的主導.某汽車公司順應時代潮流,最新研發了一款新能源汽車,并在出廠前對100輛汽車進行了單次最大續航里程(理論上是指新能源汽車所裝載的燃料或電池所能夠提供給車行駛的最遠里程)的測試.現對測試數據進行分析,得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)估計這100輛汽車的單次最大續航里程的平均值x(同一組中的數據用該組區間的中點值代表);(2)根據大量的汽車測試數據,可以認為這款汽車的單次最大續航里程X近似地服從正態分布N(μ,σ2),經計算第(1)問中樣本標準差s的近似值為50.用樣本平均數x作為μ的近似值,用樣本標準差s作為σ的估計值.①現從該汽車公司最新研發的新能源汽車中任取一輛汽車,求它的單次最大續航里程恰好在200km到350km之間的概率;②從該汽車公司最新研發的新能源汽車中隨機抽取10輛,設這10輛汽車中單次最大續航里程恰好在200km到350km之間的數量為Y,求E(Y).(3)某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車,現面向意向客戶推出“玩游戲,送大獎”活動,客戶可根據拋擲硬幣的結果,操控微型遙控車在方格圖上行進,若遙控車最終停在“勝利大本營”,則可獲得購車優惠券.已知硬幣出現正、反面的概率都是12,方格圖上標有第0格、第1格、第2格、…、第50格.遙控車開始在第0格,客戶每擲一次硬幣,遙控車向前移動一次,若擲出正面,遙控車向前移動一格(從k到k+1),若擲出反面,遙控車向前移動兩格(從k到k+2),直到遙控車移到第49格(勝利大本營)或第50格(失敗大本營)時,游戲結束.設遙控車移到第n格的概率為Pn(n=1,2,…,50),其中P0=1,試說明{PnPn1參考數據:若隨機變量ξ服從正態分布N(μ,σ2),則P(μσ<ξ≤μ+σ)≈0.6827,P(μ2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973.與導數有關的概率問題新高考對概率統計的考查更加關注數學的應用性,函數模型下的概率問題備受關注,而概率統計知識和導數進行綜合更是高考的熱點,此類問題往往運用函數思想,借助函數的單調性,求解概率最大(最小)或均值最大(最小),再根據題目要求進行決策.考題往往有兩種類型:①將與概率有關的問題(尤其是最值問題)轉化為函數問題,再利用導數知識解決;②以決策判斷的開放性問題來巧妙設置,從數學角度進行科學創新與判斷,為決策或判斷提供理論支持.典例3我國某芯片企業使用新技術對一款芯片進行試產,設試產該款芯片的次品率為p(0<p<1),且各個芯片的生產互不影響.(1)試產該款芯片共有兩道工序,且互不影響,其次品率依次為p1=133,p2=1①求p;②現對該款試產的芯片進行自動智能檢測,自動智能檢測為次品(注:合格品不會被誤檢成次品)的芯片會被自動淘汰,然后再進行人工抽檢.已知自動智能檢測顯示該款芯片的合格率為96%,求人工抽檢時,抽檢的一個芯片是合格品的概率.視p為概率,記從試產的芯片中隨機抽取n個恰含m(n>m)個次品的概率為f(p),求證:f(p)在p=mn訓練3學習強國中有兩項競賽答題活動,一項為“雙人對戰”,另一項為“四人賽”.活動規則如下:一天內參與“雙人對戰”活動,僅首局比賽可獲得積分,獲勝得2分,失敗得1分;一天內參與“四人賽”活動,僅前兩局比賽可獲得積分,首局獲勝得3分,次局獲勝得