第3章

一次方程與方程組

小結與復習課程導入

課程講授習題解析歸納總結一、方程的有關概念1.

方程：含有未知數的等式叫作方程．2.

一元一次方程的概念：只含有____個未知數(元)，未知數的次數都是____，且等式兩邊都是______的方程叫作一元一次方程．3.

方程的解：使方程兩邊相等的未知數的值叫作方程的解．4.

解方程：根據等式的性質求方程的解的過程．一1整式1.二元一次方程的概念：含有______未知數的_____方程，叫做二元一次方程.2.二元一次方程組的概念：由兩個______方程組成的含有______未知數的方程組叫作二元一次方程組.3.二元一次方程組的解：使二元一次方程組中每個方程都成立的兩個未知數的值，叫作二元一次方程組的解.二、二（三）元一次方程組的有關概念

兩個一次一次兩個4.三元一次方程組的概念：由三個_____方程組成的含有_______未知數的方程組叫作三元一次方程組.一次三個1.等式的性質1：等式的兩邊都加上(或減去)同一個數

或同一個整式子，所得結果仍是整式．

如果a＝b，那么a±

＝b±c.2.等式的性質2：等式的兩邊都乘以(或除以)同一個數

(除數不能為0)，所得結果仍是等式．

如果a＝b，那么ac＝___

，＝

(c≠0).三、等式的性質c3.如果

a=b，那么

b=a.（對稱性）4.如果

a=b，b=c，那么

a=c.（傳遞性）bc

___

解一元一次方程的一般步驟：(1)去分母：方程兩邊都乘各分母的最小公倍數，別漏乘.(2)去括號：注意括號前的系數與符號．(3)移項：把含有未知數的項移到方程的左邊，

常數項移到方程右邊，移項注意要改變符號．(4)合并同類項：把方程化成

ax＝b(a≠0)的形式．(5)系數化為1：方程兩邊同除以x的系數，得

x＝m的形式.四、一元一次方程的解法五、二元一次方程組的解法（1）代入法：從一個方程中求出某一個未知數的表達式，再把它“代入”另一個方程，進行求解，這種方法叫作代入消元法，簡稱代入法.（2）加減法：把方程的兩邊分別相加或相減消去一個未知數的方法，叫作加減消元法，簡稱加減法.六、三元一次方程組的解法消元法：通過消元，把一個較復雜的三元一次方程組轉化為簡單易解的階梯形的方程組，從而通過回代得出其解，整個求解過程稱為用消元法解三元一次方程組.1.列方程(組)的應用題的一般步驟：審：審清題意，分清題中的已知量、未知量．設：設未知數.列：根據題意尋找等量關系列方程．解：解方程（組）．驗：檢驗方程的解是否符合題意．答：寫出答案(包括單位)．[注意]審題是基礎，找等量關系是關鍵.七、用一次方程與方程組解決實際問題2.常見的幾種方程類型及等量關系：(1)行程問題中基本量之間的關系：①路程＝速度×時間；②相遇問題：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程；③追及問題：甲為快者，被追路程＝甲走路程－乙走路程；④流水問題：v順＝v靜＋v水，v逆＝v靜－v水．（2）等積變形問題中基本量之間的關系：

①原料面積=成品面積；

②原料體積=成品體積.（3）儲蓄問題中基本量之間的關系：

①本金×利率×年數=利息；

②本金+利息=本息和.（4）銷售問題中基本量之間的關系：

①實際售價

-

進價(成本)=利潤；

②利潤÷進價×100%=利潤率；

③進價×(1+利潤率)=售價；

標價×折扣數÷10=進價.（5）和、差、倍、分問題中基本量之間的關系：

①增長率=原有量×增長率；

現有量=原有量+增長量.

②降低量=原有量×降低率；

現有量=原有量

-

降低量.（6）百分率問題中基本量之間的關系：

①濃度問題：濃度=溶質質量÷溶液質量；

②增長率問題：原量×(1+增長率)=增長后的量；

原量×(1-

減少率)=減少后的量.考點一方程（組）的有關概念解析：將x＝2代入方程得1＋a＝－1，解得

a＝－2.例1

如果x=2是方程的解，那么a的值是

(

)A.0B.2C.－2D.－6方法總結：已知方程的解求字母參數的值，將方程的解代入方程中，得到關于字母參數的方程，解方程即可得字母參數的值.C1.

若(m－3)x|m|－2＋2＝1是關于x的一元一次方程，則m的值為_____．－3針對訓練注意：結合一元一次方程的定義求字母參數的值，需謹記未知數的系數不為0.

例2若(a-3)x+y|a|-

2＝9是關于

x，y的二元一次方程，則a的值為______．【解析】由題意，未知數

x的系數為

a-3，所以

a-3≠0.

由未知數

y的次數為|a|

-

2，所以|a|

-

2=1，即

a=±3.但

a≠3.所以

a=

-3.

-3針對訓練2.若

xm

-

yn+2

=3是二元一次方程，則mn的值為________．-1考點二等式的基本性質例3

下列說法正確的是

(

)A.x+1=2+2x變形得到1=xB.2x=3x變形得到2=3C.將方程系數化為1，得D.將方程3x=4x－4變形得到x=4D方法總結：利用等式的性質變形，需注意符號問題，同時一定要謹記，利用等式性質2變形，等式兩邊同時除以一個數時，該數不能為0.3.

下列運用等式的性質，變形正確的是(

)A.若x=y，則x－5=y+5B.若a=b，則ac=bcC.若，則2a=3bD.若x=y，則Ba可能為0針對訓練考點三一元一次方程的解法例3

解下列方程：(1)；解：去分母，得3(2x+1)－12=12x－(10x+1).去括號，得6x＋3－12=12x－10x－1.移項，得6x－12x＋10x=－1－3＋12.合并同類項，得4x=8.系數化為1，得x=2.提示：先用分配律、去括號簡化方程，再求解較容易．(2).解：去括號，得

移項，得

合并同類項，得

系數化為1，得

4.

解方程：解：去分母，得

2(x－2)=20－5(x＋3).去括號，得2x－4=20－5x－15.

移項，得2x＋5x=20－15＋4.合并同類項，得7x=9.

系數化為1，得針對訓練考點四二（三）元一次方程組的解法例5解下列方程組①②解：由①得，x=3+2y.③

將③代入②中，3(3+2y)-8y=13.

解得

y=-2.將

y=-2代入③中，得x=-1.所以原方程組的解為解：原方程組可化簡為由①×2+②，得

11x=22，解得

x=2.將

x=2代入①中，得

8-

y=5，解得

y=3.所以原方程組的解為①②解：設解得所以即解得則原方程組可化為方程組中有分數形式，這類方程組可以利用設參數的方法進行消元.解：①

+③×4，得17x+5y=85.④

③×3-

②，得

7x

-

y=35.⑤

解由④⑤組成的方程組，得

x=5，y=0.

把

x=5，y=0代入③中，得15-

z=18，即z=-3.

所以，原方程組的解為①②③針對訓練解：(1)將②代入①中，得1+y+2y=10，解得

y=3.將

y=3代入②中，得所以，原方程的解為5.解下列方程組：①②解：(2)設

則

x=2k，y=3k，z=4k.將其代入方程②中，得2k+3k+4k=45.即

k=5.所以，原方程組的解為①②考點四實際問題與一元一次方程例6

一輪船在甲、乙兩碼頭間往返航行，已知船在靜水中速度為7km/h，水流速度為2km/h，往返一次共用28h，求甲、乙兩碼頭之間的距離．解：設甲、乙兩碼頭之間的距離是xkm.由順水航行時間＋逆水航行時間＝往返一次共用時間，得解得x=90.答：甲、乙兩碼頭之間的距離是90km.一行程問題方法總結：(1)順水航行所用時間+逆水航行所用時間=總時間.(2)順流速度=船在靜水中的速度+水流速度.

逆流速度=船在靜水中的速度

-

水流速度.6.小明從家里騎自行車到學校，每小時騎15千米，可

早到10分鐘；每小時騎12千米，就會遲到5分鐘，

則他家到學校的路程是多少千米？解：設他家到學校的路程是x千米，依題意得解得x=15.

答：他家到學校的路程是15千米.針對訓練二等積變形問題例7用直徑90mm的圓柱形玻璃杯（已裝滿水）向一個底面積為125×125mm2，內高81mm的長方體鐵盒倒滿水時，玻璃杯中的水的高度下降了多少mm？(結果保留整數）等量關系：玻璃杯中倒出水的體積=長方體鐵盒的體積．解：設玻璃杯中的水的高度下降了x

mm.依題意得解得x≈199.

答：玻璃杯中的水的高度下降了199mm.針對訓練7.

已知一圓柱形容器底面直徑為0.5m，高為1.5m，里面盛有1m深的水，將底面直徑為0.3m，高為0.5m的圓柱形鐵塊沉入水中，問容器內水面將升高多少？等量關系：圓柱內升高部分的體積=圓形鐵塊的體積．解：設容器內的水面將升高

xm.依題意得解得x=0.18.

答：容器內的水面將升高0.18m.例8

某農戶把手頭一筆錢買了年利率為2.89%的3年期國庫券.如果他想3年后得到2萬元，現應約買這種國庫券多少元？三儲蓄問題解：設現應購買這種國庫券

x元.等量關系：本息和=本金+利息=本金+本金×利率×年數．依題意得x+

2.89%×3x=20000.解得x≈18404

.答：現應約買這種國庫券18404元.針對訓練 8.小紅的父親在停征利息稅后存入了一種年利率為2.43%的兩年儲蓄，到期后，所得利息正好給小紅買了一個價格為121.5元的計算器，那么小紅的父親存入了多少元錢？解：設小紅的父親存入了

x元錢.等量關系：利息=本金×年利率×年數．依題意得2.43%×2x=121.5.解得x=2500

.答：小紅的父親存入了2500元.例9

某種商品零售價每件900元，為了適應市場競爭，商店按零售價的9折降價并讓利40元，仍可獲利10%，則這種商品的進價每件多少元？四銷售問題解：設這種商品進貨每件為

x元.等量關系：標價×折扣÷10-40=進價×(1+10%)依題意得(1+10%)x=900×9÷10-40

.

解得x=700

.答：這種商品進價每件為700元.方法歸納：（1）售價=標價×折扣÷10.（2）售價=進價+利潤=進價×(1+利潤率).針對訓練9.一件衣服按標價的6折出售，店主可賺22元.已知這件衣服的進價是50元，問標價是多少元？解：設這件衣服的標價為

x元.等量關系：標價×折扣÷10=進價+利潤.依題意得

解得x=120

.答：這件衣服的標價為120元.五、比例問題例10

三個正整數的比為1:2:4，它們的和是84，那么這三個數分別是多少？解：設這三個數分別為

x，2x，4x.相等關系：三數之和=84.依題意得x+2x+4x=84

.解得x=12

.所以，x=12，2x=24，4x=48.答：這三個數分別為12，24和48.方法歸納：比例問題一般采用間接設元法，通常設每一份為

x.比例問題中等量關系為：各部分之和=總量.針對訓練 10.A、B、C三個公司合作一項工程，計劃派出91名技術人員，按公司的投入比例3:4:6，則A、B、C三個公司分別派出的技術人員的人數各是多少？解：設A、B、C三個公司分別派出的技術人員為3x

人、4x

人、6x

人.依題意得3x+4x+6x=91.解得x=7

.所以3x=21，4x=28，6x=42.答：A、B、C三個公司分別派出的技術人員為21人、28人、42人.六和、差、倍、分問題例11

旅行社的一輛汽車在第一次旅程中用去油箱里汽油的

25%，第二次旅程中用去剩余汽油的

40%，這樣油箱中剩的汽油比兩次所用的汽油少1升，求油箱里原有汽油多少升？等量關系：兩次所用汽油之和=剩余汽油

-1.

兩次所用汽油之和+剩余汽油=原有汽油.解：設油箱中原有的汽油

x

升.依題意得[25%x+(1-25%)x×40%]×2-1=x

.

解得x=10.答：油箱中原有汽油10升.針對訓練 11.把一個減法算式里的被減數，減數與差相加，得數是592，已知減數比差的2倍還大2，問減數是多少？解：設差為

x，則減數為2x+2.等量關系：被減數=減數+差.

被減數+減數+差=592.依題意得(x+2x+2)×2=592.

解得x=98.所以減數2x+2=198.答：減數為198.七、百分率問題例12

已知現有含鹽

20%

與含鹽

8%

的鹽水，若需配置含鹽

15%

的鹽水

300

千克，求這兩種鹽水各需多少千克？等量關系：含鹽20%的鹽水質量+含鹽8%的鹽水質量=300.兩種鹽水中的含鹽量之和=300×15%.解：配置300千克含鹽15%的鹽水，需含鹽20%的鹽水

x