第一章偏微分方程定解問題引言：在研究、探索自然科學和工程技術中，經常遇到各種微分方程。如牛頓定律------(1)波動方程------(2)熱傳導方程------(3)靜電場位方程------(4)激波方程------(5)等等。其中(1)為一維常微分方程；(2)----(4)為三維偏微分方程；(5)為一維偏微分方程。這些數學中的微分方程均來自物理問題，有著各自的物理背景，從數量關系上反映著相應的物理規律，稱為數學物理方程，簡稱數理方程。數學物理方程是數學與物理學的交叉分支學科。從物理上講它是理論物理的基本工具；在數學上屬于應用數學的(偏)微分方程分支。本課程主要研究和討論三類數理方程(2)，(3)，(4)的建立(導出)以及幾種常用的典型的求解方法。為了下面研究和討論的方便，先引入有關微分方程的幾個基本概念(術語)。1.常，偏微分方程只含一個自變量，關于該變量的未知函數，以及未知函數對該變量的導數的微分方程為常微分方程，如(1)。含有多個自變量，關于這些變量的未知函數，以及未知函數對這些變量的偏導數的微分方程為偏微分方程，如(2)----(5)。2.階上述(1)----(5)均可改寫成如下形式------(1’)-------(2’)------(3’)------(4’)------(5’)其中，x=x(t)，u=u(t,x,y,z)或u(x,y,z)，f=f(t,x,y,z)或f(x,y,z)。這些方程可歸納為如下形式=0，其中為導數的最高階數，成為方程的階。3.線性、非線性偏微分方程只涉及未知函數及其偏導數的線性組合(一次項)的偏微分方程稱為線性偏微分方程。如(2)----(4)。含有未知函數及欺騙導數二次或二次以上乘積項的偏微方程稱為非線性偏微分方程。如(5)。1.1三個典型方程的導出本課程中研究問題的方式是：先將物理問題裝化為數學問題，建立數學模型；再求解數學模型；最后由所得解來分析，解釋，揭示實際物理問題出現的結果。：弦的(微小)橫振動(1)相關的物理規律牛頓第二定律胡克定律(2)波動方程的導出微元分析法：(x,x+dx)已知外力，均勻線密度為弦內部張力導數的基和意義：，由牛頓第二定律得到如下矢量關系式即由此可得：，即，又由小振動條件知而故最終有一維波動方程為，用同樣的方法可導出：二維波動方程(如鼓膜小振動)：，三維波動方程(如聲波)：。(3)說明波動方程反映了一類物理系統，如細弦、彈性桿、鼓膜、聲音，乃至電磁系統中的電流、電壓、電場、磁場隨時間演化的共同規律。這些物理系統的狀態(方程的解)隨時間的變化是可逆的。而在數學上該方程屬于一類典型的偏微分方程----雙曲型方程。:熱傳導問題(1)相關的物理規律傅立葉定律(熱傳導)其中為沿方向的熱流強度，k>0，能量轉化與守恒定律(熱平衡)牛頓冷卻定律(熱交換)，其中為邊界面積，為外界溫度。(2)熱傳導方程的導出微元分析法dV=dxdydz已知dV中dt內產生的熱量為g(t,x,y,z)dVdt經面1流入dV的熱量滿足：，經面2流入dV的熱量滿足：tt+dt內沿x軸流入dV中的凈熱量為，同理，tt+dt內沿y軸流入dV中的凈熱量為，tt+dt內沿z軸流入dV中的凈熱量為故tt+dt內dV中增加的凈熱量為這些熱量用來使dV內的物質在tt+dt內升溫，升溫所需的熱量為，c為物質的比熱，由能量守恒定律知：即化簡后可得三維熱傳導方程其中，。同理可得出二維、一維熱傳導方程為：二維(如溫度分布、變化與高度無關的柱體)；一維(如側面絕熱細桿)。(3)說明熱傳導方程也反映了一類物理現象的共同特征。只要機理與熱傳導相似(有源，流等)，如氣體擴散、雜質擴散、濃度擴散等，均滿足該形式的方程，故熱傳導方程也常稱為擴散方程。這類現象(方程的解)隨時間的演化是不可逆的。在數學上，該方程也屬于一類典型的偏微分方程----拋物型方程。:(靜電)場位方程(1)相關物理規律高斯定律(積分形式)(微分形式)法拉弟定律(積分形式)(微分形式)(2)場位方程的導出若則反之，數學上可以證明：若，則必有標量函數，使。由法拉弟定律可知代入高斯定律有，化簡后即得三維場位方程其中，相應的二維和一維方程分別是：和。(3)說明場位方程也反映了一類物理現象，即穩定分布現象的共同特征。這些現象是不隨時間變化的(方程的解中不含時間變量)，故也常成為穩定分布方程。例如，熱傳導問題中可以出現單位時間內某物體內熱源產生的熱量恰好等于傳出體外的熱量，此時體內溫度的分布便不隨時間變化，在熱傳導方程中有，熱傳導方程自然轉化為溫度的穩定分布方程。在數學上，場位方程(有時稱為Poisson方程)屬于又一類典型的偏微分方程----橢圓型方程。1.2定解問題及其適定性在完成了建立偏微分(數理)方程后，接下來的任務就是求解這些方程。為此還要介紹幾個有關微分方程解的基本概念。:解，通解和特解如果將一個函數代入微分方程(取代未知函數)后，原方程變成一個恒等式，該函數就稱為原方程的解。微分方程的解可分為兩類：通解和特解。例求解，其中。分析：若，則為與無關的任意常數。但當時，雖然由形式上仍可得，但此處的常數C應該僅僅只是與無關。因是兩個獨立的變量，故一般說來，C可以與有關，即為與無關的任意函數。解：將原方程兩邊對積分，得。例求解，其中。解：原方程可寫為，兩邊對積分一次得，兩邊再對積分一次得其中均為任意可微函數。上述兩例中方程的解均含有任意函數。例含一個，而方程為1階；例中含兩個，而方程為2階。這種m階偏微分方程的含有m個任意函數的解稱為偏微分方程的通解。與常微分方程通解相比，它們要復雜得多。這就從數學上表明僅有偏微分方程本身，充其量只能求得其通解，不能確定其中任意函數的具體形式。具體問題的解釋不能含有不確定的任意函數或任意常數的，這種解稱為方程的特解。以波動方程為例從物理上看，在獲得這一方程時僅考慮到任一時刻弦內部及外力對弦內部的作用而未考慮初始時刻弦的運動以及外部環境對弦震動的影響，因此，不管是初始時不動的弦還是初始時運動的弦；不管是無限長的弦還是有限長的弦，它們的運動均滿足同一個波動方程。換句話說，這些不同情況的弦的運動都是波動方程的解。因此，僅有一個波動方程最多就能解出反映各種弦運動共同特征的通解，而不能得出反映不同的具有各自特色的弦運動的特解。前述分析表明實際上單靠一些數理方程是不能完全決定一個具體問題的解的，因此，數理方程本身被稱為泛定方程。:定解條件前面已說明，要解決一個具體的數理問題，單給泛定方程是不夠的。更為嚴重的是，實際上只有極少數極其簡單的泛定方程能求出其通解，求解一般的偏微分方程的通解是極其困難的，也不實用。通常情況是根據方程的物理背景或數學特點求出某些特定形式的特解，這除了需要泛定方程外，還要有具體問題找出相應的定解條件。泛定方程+定解條件=定解問題。常見的定解條件如下初始條件系統的狀態隨時間的變化是個歷史過程。某時刻(t=0或t=)的狀態對今后時刻(t>0或t>)的狀態是會有影響的，該時刻系統狀態的數學表式即為初始條件。到底怎樣才算給出了初始條件，以自由弦的波動方程為例來說明。自由弦的波動方程為，關于t的偏導數最高階數為2。若僅給出，則僅能由方程得出任意x處的值，并不能得出x處的值，故下一時刻()的不知，推求進程無法繼續。若同時給出，，則下一時刻()x處的值可知，同時由方程可知的值，因此下一時刻()x處的的值也可知，再由已知的、同理可推出更下一時刻的的值，，等等。這樣，任一時刻t>0之u值可求出。由此推廣可知，偏微分方程中關于t的最高騙到的最高階數為m,則出數條件應為：給出之值。給定初始條件求泛定方程特解的問題稱為初值問題。注意：初始條件需給出t=0時整個系統的狀態而非某一處的狀態值。邊界條件系統的狀態變化除了本身的內在因素，還要受到周圍環境的影響。這種影響在數理方程的求解問題中就表現為邊界條件。邊界條件有多種，常見的有以下三類：第I類邊界條件：直接給出系統在邊界處的狀態值，如；第II類邊界條件：給出系統在邊界處的偏導數值，如；第III類邊界條件：給出系統在邊界處的偏導數與狀態值的線性組合潪。如。到底采用何種邊界條件要由具體問題決定。給出邊界條件求泛定方程特解的問題稱為邊值問題。注意：邊界條件需要給出系統邊界處所有時刻之值而不是某時刻之值。同時給出初始條件和邊界條件求泛定方程特解的問題稱為混合問題。3：銜接條件系統由若干個性質或參數不同部分組成時，各部分交界處的物理量要滿足一定的數值關系，此即銜接條件。如：固、液體界面處的壓強，不同材料連成的彈性桿，不同金屬連成的電阻，不同介電常數組成的系統，等等。:定解問題的適定性如果一個定解問題的解存在，唯一且穩定(初始條件有微小變化時，相應的解也只有微小的變化)，就稱該定解問題是適定的。今后我們只討論適定的定解問題，直接承認其適定性而不作證明。1.3三類數理方程常見的定解問題：波動方程的定解問題下面以一維方程為例來說明。因方程中對時間偏導最高階數為2，故需要兩個初始條件：，。三類邊界條件如下：I直接給出邊界處的振動情況。II給出邊界處的外力，相當于給出邊界處的偏微商。取微元(),已給出處的負荷外力為，則又，故，即。III邊界處除外力，還有彈力，相當于給出邊界處的函數值與其偏微商的線性組合值。取微元(),已給出處的負荷外力和彈力，則用與上述II相同的方法，可得移項后即有。注意：無限長弦問題不需要邊界條件；半無限長弦問題需要一個(端)邊界條件；有限長弦問題需要兩個(端)邊界條件。:熱傳導方程的定解問題下面以三為方程為例來說明因方程中對時間偏導最高階數為1，故需要一個初始條件：。三類邊界條件如下：I直接給出邊界面上的溫度值，其中為體積V的邊界。II給出邊界面上的沿方向的熱流。相當于給出邊界面上的偏微商。在邊界面運用法拉第熱傳導定律即有。III給出邊界面內外熱交換，面外溫度為，面內溫度為，相當于給出邊界面上的函數值與其偏微商的線性組合值。在邊界面上運用牛頓熱交換定律和傅立葉熱傳導定律，沿方向在dt內流經dS的凈熱量為，而熱量在界面上是不能積累的，故有：，即：：場位方程的定解問題因方程中不含對時間的偏導數，故問題無初始條件。三類邊界條件如下I直接給出邊界上的電勢值。II由場強與電勢的關系式(比較電容器中勻強電場情況)可知。若給出邊界面的場強分量值，則相當于給出。III在時間足夠長時，熱傳導體系處于溫度穩定分布，有。仿照前述，若體系外界溫度為，則有。1.4波動方程的行波解:一維無界齊次波動方程的通解及其處置問題的達朗貝爾公式一維無界齊次波動方程為，可化為，令------(i)，則------(ii)設想作變量變換以化簡原方程。此時，有，，------(iii)若能將(ii)化為，則易由積分求出，若再能將(i)化為=，則u也可由積分求出。先看(ii)：比較(iii)，若取且------(iv)則(ii)為=0------(a)，再看(i)：比較(iii)，若取且------(v)則(i)為------(b)，由(i)、(ii)、(a)、(b)知原方程化為，按照例，對其積分兩次可得：------(c)、均為可微函數。接著再確定的具體形式，由(iv)得，把(vi)代入(v)得，解得：，代入(vi)有，，反解出：，不妨取，即得：，------(d)式(d)代入式(c)，得到原方程最終解為：，其中f，g均為任意可微函數。顯然，這是原波動方程的通解。現討論其物理意義：如圖，以a=1為例，表明為左行波；，表明為右行波。故無限長弦自由橫振動的通解為左、右行波解。要具體確定f，g的形式需用初值條件。例無限長弦自由橫振動的初值問題解：由上面的討論知的通解是，。將初始值代入得，即此即達朗貝爾公式。達朗貝爾解的物理意義：反映出初始擾動在體系中的傳播過程。(i)初始位移的擾動,僅由x+at，x-at兩處的值決定。(ii)初始速度的擾動，由2[x+at，x-at]區間內所有初速值共同決定，是一種積累效應。令，則分別為左、右傳播的位移行波，而即為兩者的反相疊加。依賴區間，確定區域及影響區域：半直線上的問題——延拓法例一端固定半無界弦的自由振動因為有邊界(端點)，故除了初始條件外，還有邊界條件，為混合問題。解：因，僅在時有定義，時無意義。故不能直接應用達朗貝爾公式。可通過補充定義范圍中的初始條件而將，延拓至，再利用達朗貝爾公式。自然延拓后的初始條件在時有。延拓后按達朗貝爾公式有因獨立，故。又由任意，故，均為奇函數。即。此時邊界條件與初始條件均能滿足，有=。下面討論此解的物理意義(為方便起見令)當時，，t時刻x處的位移由初位移的左行波與右行波決定。由圖可知的左行波總能影響x點