專題2.8有理數的加減運算（知識梳理與考點分類講解）

第一部分【知識點歸納】

【知識點一】有理數的加法

1.定義：把兩個有理數合成一個有理數的運算叫作有理數的加法.

2.法則：（1）同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加；（2）絕對值不相等的異號

兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值.互為相反數

的兩個數相加得0；（3）一個數同0相加，仍得這個數.

3.運算律：

文字語

兩個數相加，交換加數的位置，和不變

加法交換

律

符號語

a+b=b+a

言

有理數加法運

算律

文字語三個數相加，先把前兩個數相加，或者先把后兩個數

相加，和不變

加法結合

律

符號語

(a+b)+c=Q+3+C)

重點強調：交換加數的位置時，不要忘記符號.

【知識點二】有理數的減法

1.定義：已知兩個數的和與其中一個加數，求另一個加數的運算，叫做減法，例如：

（-5）+?=7,求？,減法是加法的逆運算.

【要點提示】（1）任意兩個數都可以進行減法運算；（2）幾個有理數相減，差仍為有理數,

差由兩部分組成：①性質符號；②數字即數的絕對值.

2.法則：減去一個數，等于加這個數的相反數，即有：a-b=a+（-b）.

【要點提示】將減法轉化為加法時，注意同時進行的兩變，一變是減法變加法；二變是把

減數變為它的相反數”.

【知識點三】有理數加減混合運算

將加減法統一成加法運算，適當應用加法運算律簡化計算.

試卷第1頁，共6頁

第二部分【題型展示與方法點撥】

【題型1]有理數的加法運算

【例1】(2024七年級上?全國?專題練習)

1.計算下列各題

(1)180+(-50)；

(2)(-2.8)+(-1.4)；

【變式1】(23-24七年級上?山東濰坊?期中)

2.將-(-5)+(+6)+(-3)-(+2)寫成省略加號后的形式是()

A.5+6—3—2B.—5+6—3—2C.5+6+3—2D.—5+6—3+2

【變式2](23-24七年級上?浙江臺州?階段練習)

3.若。=4,|切=3,且〃6<0,貝！J〃+b=.

【題型2]有理數的加法運算律

【例2】(24-25七年級上?全國?隨堂練習)

4.計算：

(1)15+(-19)+18+(-12)+(-14)；

⑵2.75+[-2；]+[+1J+1-14?+(-5.125).

【變式1】(24-25七年級上?全國?隨堂練習)

5.6-2+5-8+12=(6+5+12)+(-2-8)是應用了()

A.加法交換律B.加法結合律

C.分配律D.加法的交換律與結合律

【變式2】(20-21七年級下?上海楊浦?期中)

6.計算：0.125+2；+1一2川(一0.25)=.

【題型3】有理數的減法運算

【例3】(23-24七年級上?山東臨沂?階段練習)

7.計算：

(1)(-13)+(-8)=

(2)(-0.9)+1.51=

試卷第2頁，共6頁

（3）90-（-3）=

（4）0.75-^-3^=

【變式1】（23-24七年級上?江蘇宿遷?階段練習）

8.有理數a,6在數軸上的對應點如圖所示，則下面式子中錯誤的是（）

h0a

A.b<0<aB.|6|>\a\C.b-a>0D.a+b<0

【變式2】（23-24七年級上?海南省直轄縣級單位?期末）

9.若（。-2）2+|6—1|=0,則b—Q=.

【題型4］有理數的加減混合運算

【例4】（24-25七年級上?全國?隨堂練習）

10.計算：

（1）4.1-（-8.9）-7.4+（-6.6）；

（2）］—歷］+（+23）+（-0.1）+（-2.2）+］+—+（+3.5）.

【變式1］（2024?河北石家莊?二模）

11.式子-2-1+6-9有下面兩種讀法；

讀法一：負2,負1,正6與負9的和；

讀法二：負2減1加6減9.

則關于這兩種讀法，下列說法正確的是（）

A.只有讀法一正確B.只有讀法二正確

C.兩種讀法都不正確D.兩種讀法都正確

【變式2】（23-24六年級下?黑龍江哈爾濱?期中）

12.在數軸上有一個動點尸從原點出發，以每秒1個單位長度的速度在數軸上運動.若點尸

的運動規律是先向右運動1個單位長度，再向左運動2個單位長度，再向右運動3個單位長

度，再向左運動4個單位長度，以此類推，第30秒時，點P在數軸上所對應的數

是.

【題型5】有理數加減中的簡便運算

［例5］（21-22七年級?全國?假期作業）

13.用較為簡便的方法計算下列各題：

試卷第3頁，共6頁

192

(2)-8721+53------1279+4—；

【變式1】（23-24七年級上?河南駐馬店?階段練習）

1132

14.在計算:-：+2；+］時，下面四種方法運算過程正確且比較簡便的是（）

2_j_3

3-44

2_13_J_3

3~34-44

【變式2］（23-24七年級上?重慶?階段練習）

22222

15.用簡便方法計算：9y+99y+999y+9999y+99999y+4=.

【題型6】有理數加減混合運算的應用

【例6】（2024七年級上?全國?專題練習）

16.小蟲從點。出發在一條直線上來回爬行，向右爬行的路程記為正，向左爬行的路程記

為負，爬行的各段路程依次為：+5,-3,+10,-8,-6,+12,-10.（單位：cm）

⑴小蟲最后是否回到出發地。？為什么？

（2）小蟲離開。點最遠時是多少？

（3）在爬行過程中，如果每爬行1cm獎勵1粒芝麻，則小蟲一共可以得到多少粒芝麻？

【變式1］（23-24七年級下?福建莆田?期末）

17.將-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6這10個數填到圖中的10個格子里，每個格子

中只填一個數，使得所有田字形的4個格子中所填數字之和都等于"，則〃的最大值是（）

C.10

【變式2】（2024?甘肅平涼?一模）

試卷第4頁，共6頁

18.一輛公交車上原有13人，經過3個站點時乘客上、下車情況如下（上車人數記為正,

下車人數記為負，單位：人）；-3,+4；-5,+7；+5,-11.此時公交車上有人.

第三部分【中考鏈接與拓展延伸】

1、直通中考

【例1】（2024?內蒙古赤峰?中考真題）

19.如圖，數軸上點M,3分別表示數。+仇b,若4M>BM,則下列運算結果一

定是正數的是（）

IlliIlinIlli

A.a+bB.a-bC.abD.|a|-^

【例2】（2024?陜西?中考真題）

20.小華探究“幻方”時，提出了一個問題：如圖，將0,-2,-1,1,2這五個數分別填在

五個小正方形內，使橫向三個數之和與縱向三個數之和相等，則填入中間位置的小正方形內

的數可以是.（寫出一個符合題意的數即可）

[例1]（24-25七年級上?全國?假期作業）

21.計算.

（1）2004--2003-+2002--2001-+-??+2--1-+-

i,2323232

（2）2023-2020+2017-2014+2011-2008+……+16-13+10-7+4

【例2】（23-24七年級上?天津靜海?階段練習）

22.觀察下列各式的特征：|7-6|=7-6；|6-7|=7-6；；—：二；—：；：—根

乙JNJJN

據規律，解決相關問題：

（1）根據上面的規律，將下列各式寫成去掉絕對值符號的形式（不能寫出計算結果）：

77

①"21|=；@7T--=;

i/1o

（2）當時，\a-b\=；當〃<6時，|。一耳=.

試卷第5頁，共6頁

(3)有理數。在數軸上的位置如圖，則化簡|。-2|的結果為()

A.〃一2B.a+2C.2-aD.—ci—2

合理的方法計算：；；111

(4)++|----F,—F

420042003

試卷第6頁，共6頁

1.(1)130

⑵-4.2

【分析】本題主要考查了有理數加法運算，熟練掌握相關運算法則是解題關鍵.根據有理數

加法法則進行運算即可.

【詳解】(1)解：原式=+(180-50)=130；

(2)解：原式=-(2.8+1.4)=_4.2.

2.A

【分析】本題考查了對式子進行化簡，關鍵是正確理解加法的定義.注意：減去一個數，等

于加上這個數的相反.

注意：減去一個數，等于加上這個數的相反數.即可把減法統一成加法.省略加號時，注意

符號變化法則：++得+，一得+，-+得-，+-得一.

【詳解】解：原式=一(一5)+(+6)+(-3)_(+2)

=(+5)+(+6)+(-3)+(-2)

=5+6—3—2,

故選：A.

3.1

【分析】本題考查了有理數的乘法，絕對值的性質，求得b的值是解題的關鍵.

由絕對值的性質先求得6的值，然后代入計算即可.

【詳解】解：,。=4,|6|=3,

???b=—3,

**?6z+Z?—4—3—1.

故答案為：1.

4.(1)-12

⑵-哈

【分析】本題主要考查了有理數的加法，掌握運算法則，利用加法的交換律與結合律進行計

算是解題關鍵.

答案第1頁，共12頁

(1)去括號利用，再利用加法的交換律與結合律進行計算即可.

(2)去括號利用，再利用加法的交換律與結合律進行計算即可.

【詳解】(1)15+(-19)+18+(-12)+(-14)

15-19+18-12-14

=(15+18)+(-19-12-14)

=33+(-45)

⑵2.75+12沙(+4+卜臼+

5.D

【分析】本題考查有理數的混合運算，熟練掌握運算律是解答本題的關鍵.

【詳解】

解：6-2+5-8+12=(6+5+12)+(-2-8)是應用了加法的交換律與結合律，

故選：D.

6.0

【詳解】原式=；+2；+.2j+卜j

=-2+2

=0

故答案為：0.

【點睛】本題考查了有理數的加法運算，熟練掌握有理數加法交換律和結合律是解答本題的

關鍵.

7.(1)-21

(2)0.61

答案第2頁，共12頁

(3)93

⑷4

【分析】此題考查有理數的加減法運算，掌握運算法則是解題關鍵.

(1)同號兩數相加，符號不變，并把絕對值相加；

(2)異號兩數相加，取絕對值較大的數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值;

(3)減去一個數，等于加上這個數的相反數；

(4)減去一個數，等于加上這個數的相反數.

【詳解】⑴解:(-13)+(-8)

=-(13+8)

=-21；

(2)解：(-0.9)+1.51

=+(1.51-0.9)

=0.61；

(3)解：90-(-3)

=90+3

=93；

=4.

8.C

【分析】本題考查了有理數與數軸，解題的關鍵是掌握數軸知識和有理數的加減法運算法則,

絕對值的定義.

利用數軸知識，有理數的加法、減法，絕對值的定義判斷.

【詳解】解：???由數軸可知，b<O<a,\b\>\a\,

''-A,B選項正確，不符合題意；

■■■b-a<Q,

答案第3頁，共12頁

??.C選項錯誤，符合題意;

t:b<0<a,\b\>\a\,

???a+b<0,

??.D選項正確，不符合題意.

故選：C.

9.-1

【分析】本題考查了非負數的性質，有理數的加減混合運算，由平方和絕對值的非負性得

:一;二:,即可求解；理解非負性是解題的關鍵.

p-l=0

【詳解】解：由題意得

a—2=0

6-1=0

a=2

解得

b=\

b-a

=1-2

=-1.

故答案：-1.

10.(1)-1

(2)24.2

【分析】本題主要考查了有理數加減運算，掌握有理數加減運算法則是解決問題的關鍵.

(1)把原式寫成去掉括號的形式，分別計算正數和負數的和，即可得到答案；

(2)應用加法的交換，結合律，即可計算.

【詳解】(1)解：4.1-(-8.9)-7.4+(-6.6)

=4.1+8.9-7.4-6.6

=13-14

-1

+(+23)+(-0.1)+(―2.2)+(+：

(2)解:+(+3.5)

答案第4頁，共12頁

77

=——+—+23+3.5-0.1-2.2

1010

=24.2.

11.D

【分析】本題考查有理數加減混合運算，解題的關鍵是明確有理數的加減混合運算的讀

法.據此解答即可.

【詳解】解:對于式子-2-1+6-9,

可讀作：負2,負1,正6與負9的和；也可讀作：負2減1加6減9,

兩種讀法都正確.

故選：D.

12.2

【分析】本題考查的是有理數的加減運算應用，理解題意，先列式，再計算即可.

【詳解】解：?.?1+2+3+4+5+6+7+2=30,

由題意得：第30秒對應的數為：

1-2+3-4+5-6+7-2

=2,

故答案為：2.

3

13.(l)-19y

(2)-9942

⑶口

~20

【分析】(1)原式結合后，相加即可得到結果；

(2)原式結合后，相加即可得到結果；

(3)原式結合后，相加即可得到結果；

(4)原式利用減法法則變形，結合后計算即可得到結果.

答案第5頁，共12頁

=-8-11-

=-19-；

192

(2)-8721+53--1279+4—

2121

=(-8721-1279)+卜畀吟)

=-10000+58

=—9942；

---54

13

二1—

54

11

~20；

113532

(4)3-+(-5-)-(-1-)-(+3-)+(10-)-10-

464675

113532

——5-+1——3-+10——10-

464675

【點睛】本題考查有理數的混合運算，解題的關鍵是明確有理數混合運算的計算方法.

14.D

【分析】有理數的加減混合運算，運用加法交換律和結合律，將同分母的結合即可簡便計

算.

1132123_j_

【詳解】解：---+2-+--+—

334~4

故選：D.

【點睛】本題考查有理數的加減法混合運算，涉及加法交換律和加法結合律的運用，注意到

題目的特征是解決問題的關鍵.

15.111111

答案第6頁，共12頁

【分析】原式變形后，計算即可得到結果.

22222

【詳解】解:原式=(9+99+999+9999+99999)++4

55555

=(10+100+1000+10000+100000-5)+|x5+4

=111111,

故答案為：111111.

【點睛】此題考查了有理數的加法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

16.(1)小蟲最后回到了出發地。理由見解析

(2)向右12cm

(3)54粒

【分析】本題考查了利用有理數的加減混合運算解決實際問題，絕對值的概念，熟練計算是

解題的關鍵.題目中給出的各數由兩部分組成：一是性質符號，表示的爬行的方向，二是絕

對值部分，表示爬行的路程大小.所以若直接將它們相加得到的和也包括兩層含義：方向和

路程大小；若只把它們的絕對值相加，則最后結果只表示路程的大小.

(1)將所有的路程相加即可得到答案；

(2)分別計算前兩次路程和、前三次路程和......前七次路程和，比較各和的絕對值，

絕對值最大的便是所求+12；

(3)將各路程的絕對值相加即可得到答案.

【詳解】⑴解：(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)+(+12)+(-10),

=(5+10+12)+(-3-8-6-10),

=27—27,

=0,

根據題意，0表示最后小蟲又回到了出發點O；

答：小蟲最后回到了出發地。

(2)解：(+5)+(-3)=+2；

(+5)+(-3)+(+10)=+12；

(+5)+(-3)+(+10)+(-8)=+4；

答案第7頁，共12頁

(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)=-2；

(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)+(+12)=+10；

(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)+(+12)+(-10)=0.

因為絕對值最大的是+12,所以小蟲離開。點最遠時是向右12cm；

(3)解：卜5|+卜3|+|+10|+卜8|+卜6|+|+12|+|-10|=54(cm),

所以小蟲爬行的總路程是54cm,

由1x54=54(粒).

答：小蟲一共可以得到54粒芝麻.

17.A

【分析】本題考查了整數運算的綜合運用，解題的關鍵是明確三個田字格的所有數字之和中,

有兩個數被重復計算了.先求出所有數字之和，得出15+①+②=3"，且"為整數，則

n=5+?±?,進而推出當①+②=4+5=9時，"有最大值，即可解答.

3

【詳解】解：-3-2-1+0+1+2+3+4+5+6=15,

?.?所有田字形的4個格子中所填數字之和都等于〃，

.?.15+①+②=3”，且力為整數，

整理得：〃=5+處修，

3

.??當①+②最大時，〃有最大值，

,??〃為整數，

二當①+②=4+5=9時，〃有最大值，

9

此時n=5+—=8,

3

故選：A.

18.10

答案第8頁，共12頁

【分析】本題考查正、負數的實際應用，有理數加減混合運算的實際應用，求出13人與所

有上車下車人數的和，即可求解.

【詳解】解：13-3+4-5+7+5-11

=10(人)，

故答案為：10.

19.A

【分析】本題主要考查了列代數式、數軸、正數和負數、絕對值等知識點，得到"0,b>0

且〈同是解題的關鍵.

數軸上點4,M,3分另Ll表示數a+b,b,貝!|/Af=。+b-a=6、BM=b-(a+b)=-a,

由㈤11>民以可得原點在/、M之間，由它們的位置可得"0,a+b>0,b>0且同<可，

再根據整式的加減乘法運算的計算法則逐項判斷即可.

【詳解】解：數軸上點/,M,8分別表示數“，a+b,b,

：.AM=a+b-a=bBM=b-^a+b^-—a,

??,AM>BM,

???原點在/之間，由它們的位置可得。<0,6>0且同<同，

：.a+b>0,a-b<0fab<Q,\a\-b<0,

故運算結果一定是正數的是6.

故選：A.

20.0

【分析】本題考查有理數的運算，根據橫向三個數之和與縱向三個數之和相等，進行填寫即

可得出結果.

【詳解】解：由題意，填寫如下：

21+0+(-1)=0,2+0+(-2)=0,滿足題意;

故答案為：0.

21.(1)1169-

(2)1012

答案第9頁，共12頁

【分析】（1）根據帶分數的意義，可將算式變為

2004+；-（2003+g）+2002+；_（2001+g[+…+2+；_（l+g）+g,然后去掉括號，將算式

變為2004+：-2003-5+2002+1-20014+--+2+:-1一+：,然后根據帶符號搬家和括

2323232

號的應用，將算式變為

+…十15一5,再計算括號里面

(2004-2003)+(2002-2001)...+(2-1)+

1002個

的結果，接著根據乘法的意義，將算式變為lxl002+Jxl002+2進行簡算即可.

62

(2)合理分組：(2023-2020)+(2017-2014)+(2011-2008)+……+(13-10)+(7-4)+1每

兩個數為一組，結果是3；一共有337組；進行簡算即可.

【詳解】(1)2004--2003-+2002--2001-+---+2--1-+-

2323232

=2004+--I2003+-I+2002+--I2001+-|+---+2+--|1+-I+-

2(3)213J213)2

=2004+--2003--+2002+--2001--+---+2+--l--+-

2323232

2004-2003+2002-2001...+2-1+---+---+---+---+-

2

(2004-2003)+(2002-2001)...+(2-1)

1+1...+1+-+-+?--+-+-

=、io