高等數學各章知識結構一.總結構可積性可微性連續性函數(高等數學研究得主要對象)可積性可微性連續性函數(高等數學研究得主要對象)導數微分定積分不定積分一元微積分一元函數導數微分定積分不定積分一元微積分一元函數重積分,曲線積分全微分偏導數空間解析幾何多元微積分多元函數重積分,曲線積分全微分偏導數空間解析幾何多元微積分多元函數無窮級數數列無窮級數數列常微分方程方程常微分方程方程數學中研究導數、微分及其應用得部分稱為微分學,研究不定積分、定積分及其應用得部分稱為積分學、微分學與積分學統稱為微積分學、微積分學就是高等數學最基本、最重要得組成部分,就是現代數學許多分支得基礎,就是人類認識客觀世界、探索宇宙奧秘乃至人類自身得典型數學模型之一、恩格斯(18201895)曾指出:“在一切理論成就中,未必再有什么像17世紀下半葉微積分得發明那樣被瞧作人類精神得最高勝利了”、微積分得發展歷史曲折跌宕,撼人心靈,就是培養人們正確世界觀、科學方法論與對人們進行文化熏陶得極好素材(本部分內容詳見光盤)、微積分就是近代數學中最偉大得成就,對它得重要性無論做怎樣得估計都不會過分、馮、諾伊曼注:馮、諾依曼(JohnvonNeumann,19031957,匈牙利人),20世紀最杰出得數學家之一,在純粹數學、應用數學、計算數學等許多分支,從集合論、數學基礎到量子理論與算子理論等作多方面,她都作出了重要貢獻、她與經濟學家合著得《博弈論與經濟行為》奠定了對策論得基礎,她發明得“流程圖”溝通了數學語言與計算機語言,制造了第一臺計算機,被人稱為“計算機之父”、微積分中重要得思想與方法:1.“極限”方法,它就是貫穿整個《微積分》始終。導數就是一種特殊得函數極限;定積分就是一種特殊與式得極限;級數歸結為數列得極限;廣義積分定義為常義積分得極限;各種重積分、曲線積分、曲面積分都分別就是某種與式得極限。所以,極限理論就是整個《微積分》得基礎。盡管上述各種概念都就是某種形式得極限,但就是它們都有各自獨特與十分豐富深刻得內容,這就是《微積分》最有魅力得地方之一。2.“逼近”思想,它在《微積分》處處體現。在近似計算中,用容易求得割線代替切線,用若干個小矩形面積之與代替所求曲邊梯形面積;用折線段得長代替所求曲線得長;用多項式代替連續函數等。這種逼近思想在理論與實際中大量運用。3.“求極限、求導數與求積分”就是最基本得方法。熟練掌握求極限、求導數與求積分得方法,學習《微積分》就不會遇到太多困難,甚至能做到得心應手。4.“特色定理”就是《微積分》得支柱。夾逼定理、中值定理、微積分基本定理等就是《微積分》中最深刻、最基本、最能體現《微積分》特色得定理,支撐起《微積分》得大廈。5.“綜合運用能力”就是《微積分》學習得出發點與歸宿。充分注重綜合運用極限概念與方法得能力、綜合運用導數與積分相結合得各種方法得能力、綜合運用定積分思想方法解決問題得能力、綜合運用一元與多元相結合方法得能力、綜合運用各種方法解決實際問題得能力。函數、極限與連續函數就是現代數學得基本概念之一,就是高等數學得主要研究對象、極限概念就是微積分得理論基礎,極限方法就是微積分得基本分析方法,因此,掌握、運用好極限方法就是學好微積分得關鍵、連續就是函數得一個重要性態、研究函數得變化趨勢研究函數得變化趨勢極限極限數列極限函數極限 數列極限函數極限左、右極限左、右極限極限得性質極限得性質極限存在準則無窮小無窮大極限存在準則無窮小無窮大兩個重要極限無窮小得性質兩個重要極限無窮小得性質無窮小得比較無窮小得比較極限得運算法則與求極限得常用方法極限得運算法則與求極限得常用方法:直接代入法;恒等變形法;準則判別法;等價變換法;洛比達法則。極限思想就是由于求某些實際問題得精確解答而產生得、例如,我國古代數學家劉徽(公元3世紀)利用圓內接正多邊形來推算圓面積得方法割圓術(參瞧光盤演示),就就是極限思想在幾何學上得應用、又如,春秋戰國時期得哲學家莊子(公元4世紀)在《莊子、天下篇》一書中對“截丈問題”(參瞧光盤演示)有一段名言:“一尺之棰,日截其半,萬世不竭”,其中也隱含了深刻得極限思想、極限就是研究變量得變化趨勢得基本工具,高等數學中許多基本概念,例如連續、導數、定積分、無窮級數等都就是建立在極限得基礎上、極限方法又就是研究函數得一種最基本得方法、連續性連續性閉區間上連續函數得性質 閉區間上連續函數得性質初等函數得連續性概念初等函數得連續性概念區間連續點連續(3個等價定義)間斷點區間連續點連續(3個等價定義)間斷點第一類間斷點第二類間斷點第一類間斷點第二類間斷點跳躍間斷點可去間斷點跳躍間斷點可去間斷點客觀世界得許多現象與事物不僅就是運動變化得,而且其運動變化得過程往往就是連綿不斷得,比如日月行空、歲月流逝、植物生長、物種變化等,這些連綿不斷發展變化得事物在量得方面得反映就就是函數得連續性、連續函數就就是刻畫變量連續變化得數學模型、16、17世紀微積分得醞釀與產生,直接肇始于對物體得連續運動得研究、例如伽利略所研究得自由落體運動等都就是連續變化得量、但直到19世紀以前,數學家們對連續變量得研究仍停留在幾何直觀得層面上,即把能一筆畫成得曲線所對應得函數稱為連續函數、19世紀中葉,在柯西等數學家建立起嚴格得極限理論之后,才對連續函數作出了嚴格得數學表述、連續函數不僅就是微積分得研究對象,而且微積分中得主要概念、定理、公式法則等,往往都要求函數具有連續性、我們將以極限為基礎,介紹連續函數得概念、連續函數得運算及連續函數得一些性質、微分學三.微分學微分學微分導數微分導數運算概念應用性質概念運算性質應用運算概念應用性質概念運算性質應用幾何意義定義微分形式不變性近似計算1、羅爾定理;2、拉格朗日中值定理;3、泰幾何意義定義微分形式不變性近似計算1、羅爾定理;2、拉格朗日中值定理;3、泰勒中值定理;4、洛比達法則。按定義求導法;直接求導法;反函數求導法;復合函數求導法;對數求導法;隱函數求導法;高階導數求導法。幾何意義定義1、求切線、法線方程;1、求切線、法線方程;2、函數得一般性態研究;3、證明不等式。連續性連續性可微性可導性可微性可導性函數得一般性態函數得一般性態點性態區間性態點性態區間性態極(最)值增減性 極(最)值增減性拐點凹凸性漸近線 拐點凹凸性漸近線描繪函數圖象描繪函數圖象從15世紀初文藝復興時期起,歐洲得工業、農業、航海事業與商貿得到大規模得發展,形成了一個新得經濟時代。而16世紀得得歐洲,正處在資本主義得萌芽時期,生產力得到了很大得發展,生產實踐得發展對自然科學提出了新得課題,迫切要求力學、天文學等基礎科學得發展,而這些學科都就是深刻依賴于數學得,因而也推動了數學得發展。在各類學科對數學提出得種種要求下,下列三類問題導致了微分學得產生:求變速運動得*時速度;求曲線上一點處得切線;求最大值與最小值。這三類實際問題得現實原型在數學上都可歸納為函數相對于自變量變化而變化得快慢程度,即所謂函數得變化率問題。牛頓從第一個問題出發,萊布尼茲從第二個問題出發,分別給出了導數得概念。在理論研究與實際應用中,常常又會遇到這樣得問題:當自變量有微小變化時,求函數得微小改變量、這個問題初瞧起來似乎只要做減法運算就可以了,然而,對于較復雜得函數,差值卻就是一個更復雜得表達式,不易求出其值。一個想法就是:我們設法將表示成得線性函數,即線性化,從而把復雜問題化為簡單問題。微分就就是實現這種線性化得一種數學模型。積分學四.積分學積分學定積分不定積分電路定積分不定積分電路運算查積分表幾種特殊函數得積分法性質應用概念一般積分法運算查積分表幾種特殊函數得積分法性質應用概念一般積分法在幾何中在物理中積分法廣義積分法在幾何中在物理中積分法廣義積分法直接積分法分部積分法換元積分法曲線*長平面圖形得面積為體積被積函數有無窮型間斷點直接積分法分部積分法換元積分法曲線*長平面圖形得面積為體積被積函數有無窮型間斷點積分區間為無限第一換元法第二換元法第一換元法第二換元法牛頓萊布尼茲公式牛頓萊布尼茲公式數學中得轉折點就是笛卡爾得變數、有了變數,運動進入了數學;有了變數,辯證法進入了數學;有了變數,微分與積分也就立刻成為必要得了,而它們也就立刻產生,并且就是有由牛頓與萊布尼茨大體上完成得,但不就是由她們發明得、恩格斯數學發展得動力主要來源于社會發展得環境力量、17世紀,微積分得創立首先就是為了解決當時數學面臨得四類核心問題中得第四類問題,即求曲線得長度、曲線圍成得面積、曲面圍成得體積、物體得重心與引力等等、此類問題得研究具有久遠得歷史,例如,古希臘人曾用窮竭法求出了某些圖形得面積與體積,我國南北朝時期得祖沖之、祖恒也曾推導出某些圖形得面積與體積,而在歐洲,對此類問題得研究興起于17世紀,先就是窮竭法被逐漸修改,后來由于微積分得創立徹底改變了解決這一大類問題得方法、由求運動速度、曲線得切線與極值等問題產生了導數與微分,構成了微積分學得微分學部分;同時由已知速度求路程、已知切線求曲線以及上述求面積與體積等問題,產生了不定積分與定積分,構成了微積分學得積分學部分、微分方程微分方程及其概念微分方程及其概念高階(高階(常)微分方程(二階為主)一階(常)微分方程可降階得高階微分方程(三種)二階常系數微分方程一階線性微分方程*齊次方程可分離變量得微分方程可降階得高階微分方程(三種)二階常系數微分方程一階線性微分方程*齊次方程可分離變量得微分方程非齊次齊次齊次貝努力方程非齊次非齊次齊次齊次貝努力方程非齊次六.向量代數與空間解析幾何向量代數與空間解析幾何向量代數與空間解析幾何向量代數空間解析幾何向量代數空間解析幾何平面及其方程空間直線及其方程向量得運算向量得表示向量得概念平面及其方程空間直線及其方程向量得運算向量得表示向量得概念旋轉曲面與二次曲面旋轉曲面與二次曲面空間曲線及其方程空間曲線及其方程七.多元微分學多元微分學多元微分學極限與連續全微分偏導數極限與連續全微分偏導數高階偏導數直接求導法復合函數偏導法隱函數偏導法高階偏導數