二次函數在閉區間上得最值知識要點：一元二次函數得區間最值問題，核心就是函數對稱軸與給定區間得相對位置關系得討論。一般分為：對稱軸在區間得左邊，中間，右邊三種情況、設，求在上得最大值與最小值。分析：將配方，得頂點為、對稱軸為當時，它得圖象就是開口向上得拋物線，數形結合可得在[m，n]上得最值：（1）當時，得最小值就是得最大值就是中得較大者。（2）當時若，由在上就是增函數則得最小值就是，最大值就是若，由在上就是減函數則得最大值就是，最小值就是當時，可類比得結論。二、例題分析歸類：（一）、正向型就是指已知二次函數與定義域區間，求其最值。對稱軸與定義域區間得相互位置關系得討論往往成為解決這類問題得關鍵。此類問題包括以下四種情形：（1）軸定，區間定；（2）軸定，區間變；（3）軸變，區間定；（4）軸變，區間變。1、軸定區間定二次函數就是給定得，給出得定義域區間也就是固定得，我們稱這種情況就是“定二次函數在定區間上得最值”。例1、函數在區間[0，3]上得最大值就是_________，最小值就是_______。解：函數就是定義在區間[0，3]上得二次函數，其對稱軸方程就是，頂點坐標為（2，2），且其圖象開口向下，顯然其頂點橫坐標在［0，3］上，如圖1所示。函數得最大值為，最小值為。圖1練習、已知，求函數得最值。解：由已知，可得，即函數就是定義在區間上得二次函數。將二次函數配方得，其對稱軸方程，頂點坐標，且圖象開口向上。顯然其頂點橫坐標不在區間內，如圖2所示。函數得最小值為，最大值為。圖22、軸定區間變二次函數就是確定得，但它得定義域區間就是隨參數而變化得，我們稱這種情況就是“定函數在動區間上得最值”。例2、如果函數定義在區間上，求得最小值。解：函數，其對稱軸方程為，頂點坐標為（1，1），圖象開口向上。圖1圖2圖3如圖1所示，若頂點橫坐標在區間左側時，有，此時，當時，函數取得最小值。如圖2所示，若頂點橫坐標在區間上時，有，即。當時，函數取得最小值。如圖3所示，若頂點橫坐標在區間右側時，有，即。當時，函數取得最小值綜上討論，例3、已知，當時，求得最大值．解：由已知可求對稱軸為．（1）當時，．（2）當，即時，．根據對稱性若即時，．若即時，．（3）當即時，．綜上，觀察前兩題得解法，為什么最值有時候分兩種情況討論，而有時候又分三種情況討論呢？這些問題其實仔細思考就很容易解決。不難觀察：二次函數在閉區間上得得最值總就是在閉區間得端點或二次函數得頂點取到。第一個例題中，這個二次函數就是開口向上得，在閉區間上，它得最小值在區間得兩個端點或二次函數得頂點都有可能取到，有三種可能，所以分三種情況討論；而它得最大值不可能就是二次函數得頂點，只可能就是閉區間得兩個端點，哪個端點距離對稱軸遠就在哪個端點取到，當然也就根據區間中點與左右端點得遠近分兩種情況討論。根據這個理解，不難解釋第二個例題為什么這樣討論。對二次函數得區間最值結合函數圖象總結如下：當時當時3、軸變區間定二次函數隨著參數得變化而變化，即其圖象就是運動得，但定義域區間就是固定得，我們稱這種情況就是“動二次函數在定區間上得最值”。例4、已知，且，求函數得最值。解：由已知有，于就是函數就是定義在區間上得二次函數，將配方得：二次函數得對稱軸方程就是頂點坐標為，圖象開口向上由可得，顯然其頂點橫坐標在區間得左側或左端點上。函數得最小值就是，最大值就是。圖3例5、(1)求在區間[-1,2]上得最大值。(2)求函數在上得最大值。解：(1)二次函數得對稱軸方程為，當即時，；當即時，。綜上所述：。(2)函數圖象得對稱軸方程為，應分，，即，與這三種情形討論，下列三圖分別為（1）；由圖可知（2）；由圖可知（3）時；由圖可知；即4、軸變區間變二次函數就是含參數得函數，而定義域區間也就是變化得，我們稱這種情況就是“動二次函數在動區間上得最值”。例6、已知，求得最小值。解：將代入u中，得①，即時，②，即時，∴（二）、逆向型就是指已知二次函數在某區間上得最值，求函數或區間中參數得取值。例7、已知函數在區間上得最大值為4，求實數a得值。解：（1）若，不符合題意。（2）若則，由，得（3）若時，則，由，得綜上知或例8、已知函數在區間上得最小值就是3最大值就是3，求，得值。解法1：討論對稱軸中1與得位置關系。①若，則，解得②若，則，無解③若，則，無解④若，則，無解綜上，解析2：由，知，則，又∵在上當增大時也增大所以，解得評注：解法2利用閉區間上得最值不超過整個定義域上得最值，縮小了，得取值范圍，避開了繁難得分類討論，解題過程簡潔、明了。例9、已知二次函數在區間上得最大值為3，求實數a得值。這就是一個逆向最值問題，若從求最值入手，需分與兩大類五種情形討論，過程繁瑣不堪。若注意到最大值總就是在閉區間得端點或拋物線得頂點處取到，因此先計算這些點得函數值，再檢驗其真假，過程就簡明多了。具體解法為：（1）令，得此時拋物線開口向下，對稱軸方程為，且，故不合題意；（2）令，得此時拋物線開口向上，閉區間得右端點距離對稱軸較遠，故符合題意；（3）若，得此時拋物線開口向下，閉區間得右端點距離對稱軸較遠，故符合題意。綜上，或解后反思：若函數圖象得開口方向、對稱軸均不確定，且動區間所含參數與確定函數得參數一致，可采用先斬后奏得方法，利用二次函數在閉區間上得最值只可能在區間端點、頂點處取得，不妨令之為最值，驗證參數得資格，進行取舍，從而避開繁難得分類討論，使解題過程簡潔、明了。三、鞏固訓練1．函數在上得最小值與最大值分別就是（）1,3,3（C）,3（D）,32．函數在區間上得最小值就是（）23．函數得最值為（）最大值為8，最小值為0不存在最小值，最大值為8（C）最小值為0,不存在最大值不存在最小值，也不存在最大值4．若函數得取值范圍就是______________________5．已知函數上得最大值就是1，則實數a得值為6．如果實數滿足，那么有（）(A)最大值為1,最小值為(B)無最大值，最小值為（C）)最大值為1,無最小值(D)最大值為1，最小值為7．已知函數在閉區間上有最大值3，最小值2，則得取值范圍就是（）(A)(B)(C)(D)8．若，那么得最小值為__________________9．設就是方程得兩個實根，則得最小值______10．設求函數得最小值得解析式。11．已知，在區間上得最大值為，求得最小值。12、（2009江蘇卷）設為實數，函數、(1)若，求得取值范圍；(2)求得最小值；(3)設函數