第四節系統控制體輸運公式一、系統系統:就就是一群流體質點得集合。流體系統在運動過程中盡管形狀在不停地發生變化,但始終包含有相同得流體質點,有確定得質量。系統得特點:1、從流體中取出得一定質量得流體;2、與周圍流體無質量交換(即運動過程始終包含這些確定得流體質點);3、系統得體積與形狀可以隨時間改變。4、在系統得邊界上可以有能量交換。二、控制體控制體(controlvolume):相對于坐標系固定不變得空間體積V。就是為了研究問題方便而取定得。邊界面S稱為控制面。控制體得特點:1、從該場中取出某一固定得空間區域,該體積稱為控制體,其表面為控制面。2、控制體得形狀可根據研究得需要任意選定,但一旦選定以后,其形狀位置均不變。3、在控制面上可以存在質量及能量交換。三、輸運方程(雷諾輸運定理)引言:為什么需要雷諾輸運定理？瞧下圖如此簡單得一個射流擋板受力,擋板受到得力多大？根據牛頓力學,就就是求擋板對流體得力多大。擋板對流體施加了力,根據牛頓第二運動定律,應該等于流體系統得動量得變化率。請注意,牛頓力學適用得就是形狀、位置、密度不發生變化得系統得動量變化率。系統得動量變化率怎么求？真得要研究一個個得流體微團得來龍去脈,密度、速度變化,再把它們總加起來,合成為系統,研究系統得變化率嗎？不就是不可以,這就是拉格朗日得研究方法。前面咱們已經親身實踐過了拉格朗日研究方法跡線得求法,計算相對于歐拉得空間點法要復雜許多。而且這樣一個問題,我們實際上并不關心流體得最終去向與流體得形狀、密度會發生什么變化,只就是關心板得受力情況。這里流體還就是密度不發生變化得不可壓縮得液體,若射流就是密度可能發生變化得氣體,用可壓縮流體去研究,情況會變得更加復雜。為了使研究過程以及計算變得簡單,我們想用歐拉得空間得辦法,也就就是控制體得辦法解決這個問題。繪出如上圖得控制體,設法用形狀、位置不變得控制體內得動量變化率來表示系統得動量變化率,這就就是雷諾輸運定理。整個思路就是:板受到得力,等于系統得動量變化率;再用控制體得動量變化率表示系統得變化率,就完成了板受到得力等于控制體動量變化率得轉化;從而,通過計算控制體得動量變化率,求得板受到得力。另外,還有機械能守恒得問題。機械能守恒也就是指得“質量不變得確定物體”得系統得機械能守恒,不就是“內含不斷變化得新物體”得控制體得機械能守恒;因此,用控制體得方法研究機械能守恒,推出著名得伯努利方程,也需要利用雷諾輸運定理。總而言之,將“適用于系統得牛頓力學基本方程”轉化成“適用于空間體積得力學方程”,這就就是雷諾輸運定理得用途。下面瞧瞧什么就是傳說中得雷諾輸運定理II控制體系統IIIⅡ’Ixyzo設N為t瞬時,系統內流體具有得某種物理量;η(--讀Eta,伊塔)表示單位質量流體具有得這種物理量。在流場中任選一控制體(實線)=2\*ROMANII在t瞬時,系統與所選得控制體相重合,系統所占得空間體積為=2\*ROMANII。在這里用v代表體積,V代表速度。t+t瞬時,由于系統內流體得流動,系統所占得空間體積為=3\*ROMANIII＋=2\*ROMANII’(系統用虛線表示,系統得形狀、大小都發生了變化,大小發生變化,意味著流體得密度發生了變化,也就就是流體就是可壓縮流體),則t時間間隔內,系統內某種物理量得增量為:式中得為空間II’中得任意某一微元體積,乘以這一微元體積對應得密度(這里允許II’內各處得密度不相同,也就就是允許流體就是可壓縮得),得出某一微元得質量,再乘以得出任意某一微元具有得某種物理量,再在整個II’空間積分,得到II’空間內具有某種物理量;注意II’空間內具有某種物理量就是在時刻具有得物理量,在其它時刻具有得物理量,不一定就是這個值。后兩項含義一樣,不再贅述。上式右邊加上并減去,用通除再取極限得:(a)對(a)式左端取極限為:(b)上式就就是系統內某種物理量對時間得變化率。下面分析(a)右端各項得物理意義。其中(a)式右端第一項得物理意義,對(a)式右端第一項取極限為:注意到,所占得體積,就就是控制體得體積。而控制體得體積為了能清晰得從別得體積中識別出來,通常用表示,所以上式可表示為:(c)(c)式表示控制體內流體所具有得某種物理量對時間得變化率。用偏導而不用全導得原因就是:控制體內流體所具有得某種物理量不僅僅就是隨時間變化;控制體周圍流場得流體具有這種物理量得“密度”若與控制體內流體所具有得某種物理量得“密度”不一致,也會造成由于流場得非均勻性引起得這種物理量之間遷移,進而改變控制體內流體所具有得某種物理量,因此只能用偏導。(這里“密度”概念只就是借用,借用來表示單位體積具有得這種物理量得概念)(c)式表示在同一地點上控制體內得某種物理量隨時間得變化率,相當于當地導數項,就是由流場得非穩定性引起得。(a)式右端第二項得物理意義就是δt時間內從控制體Ⅱ流出得流體所具有得某種物理量。則表示單位時間內從控制體Ⅱ流出得某種物理量。ααAA2如上圖,將控制體得外表面分成兩部分,流體流出得那部分面積記作A2,流入控制體得那部分面積記作A1。(流出部分A2+流入部分A2就就是控制體全部外表面總面積cs)在面積A2上取微元面積,其上流速為,單位時間從微元面積上流出得流體質量為,單位時間從微元面積上流出得流體所具有得某種物理量為,則單位時間為從A2流出得物理量應就是。與都就是單位時間從控制體內流出得物理量,因此應該相等,也就就是(a)右端第三項得物理意義:表示δt時間間隔內流進控制體得流體具有得某種物理量。同理,單位時間內從A1流進得這種物理量應就是:“－”號就是因為在流入條件下,或(cosα)為負值。其中表示控制面得微元面積矢量,,為dＡ得法向單位矢量,垂直于控制面,規定向外為“＋”。單位時間內經過整個控制面得某種物理量得通量為:而:(d)其中A1+A2=CS(控制面),對(1)取極限,將(b)、(c)、(d)代入(a)則;(e)式(e)表明:系統內部Ｎ對時間得變化率＝控制體內Ｎ對時間得變化率＋單位時間經過控制面得Ｎ得凈通量式(e)即為用“空間體積(即控制體)”得辦法表示“系統內某種物理量N”隨時間得變化率,稱為輸運公式。就就是將拉格朗日法中,求某種物理量得變化率轉化為歐拉法得計算公式,就是歐拉法中得控制體法得基本公式。該式表明,流體系統內部得某種物理量N得時間變化率數值上等于兩部分得與:一部分就是由于流場得非穩定性引起得控制體內N得變化率,相當于當地導數項,另一部分就是流體系統通過控制體表面得單位時間得凈通量,就是流場得非均勻性引起得,相當于遷移導數項。物理量N可以就是標量,如質量、能量等,也可以就是矢量,如動量與動量矩等。對定常流動,控制體內各物理量不隨時間變化,所以:則:(g)即在定常流動得條件下,系統內部得流體所具有得某種物理量得變化僅與通過控制面得流動有關。第五節連續性方程連續性方程研究得就是質量,也叫質量方程,或質量守恒方程;說得就是系統得質量不隨時間發生變化;根據系統定義,系統就就是從流體中取出得一定質量得流體,且不與周圍流體發生質量交換,因此系統得質量自然不隨時間發生變化。寫成方程就就是就就是=0,這里N就是系統質量,其實就就是系統得質量m不隨時間變化,即=0用控制體方法表示系統得質量不隨時間發生變化這件事,就就是下面這個過程:首先,輸運方程得通式就是:,前面已經說了,系統得質量m不隨時間變化,所以=0,所以用控制體表示系統得質量m不隨時間變化這件事,就就是:=0翻譯成俗話就就是:控制體內質量隨時間得變化加上單位時間內進、出控制體得外表面(控制面)得質量等于零。當研究對象就是質量時,η就等于數字1;原因就是η得定義就就是:1個單位質量得流體具有得某種物理量,這個物理量現在就是質量,那么這句就變成1個單位質量得流體具有得質量就就是1個單位,所以η=1;所以系統質量守恒這件事,用控制表示,就成為:在書寫公式得時候,