PAGE專題05幾何中的尺規作圖（解答壓軸題）通用的解題思路：尺規作圖的解題思路主要包括以下幾個步驟：1.理解題目要求：首先，你需要清楚理解題目要求你做什么。這可能涉及到繪制特定的圖形，如等邊三角形、正方形或圓，或者可能涉及到構造特定的線段或角度。2.分析已知條件：接下來，你需要分析題目給出的已知條件。這可能包括特定的線段長度、角度大小或其他幾何信息。這些信息將是你進行作圖的基礎。3.確定作圖步驟：基于題目要求和已知條件，你需要確定作圖的步驟。這可能涉及到使用直尺和圓規來繪制線段、作角、作垂線等。4.執行作圖步驟：在確定了作圖步驟后，你需要按照步驟來執行。在執行過程中，你需要保持精確，確保每一步都符合題目要求和幾何原理。5.檢查答案：最后，你需要檢查你的答案。這可能涉及到驗證你的作圖是否滿足題目要求，或者驗證你的作圖是否符合幾何原理。1．（2023·江蘇·中考真題）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．

(1)尺規作圖：作SKIPIF1<0，使得圓心SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0且與邊SKIPIF1<0相切于點SKIPIF1<0（請保留作圖痕跡，標明相應的字母，不寫作法）；(2)在（1）的條件下，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重疊部分的面積．【答案】(1)見解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）作SKIPIF1<0的角平分線交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑作SKIPIF1<0，即可；（2）根據含30度角的直角三角形的性質，求得圓的半徑，設SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0是等邊三角形，進而根據SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重疊部分的面積等于扇形面積與等邊三角形的面積和，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，SKIPIF1<0即為所求；

（2）解：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切線，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，如圖所示，設SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，

∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等邊三角形，如圖所示，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，

∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重疊部分的面積為SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了基本作圖，切線的性質，求扇形面積，熟練掌握基本作圖與切線的性質是解題的關鍵．2．（2023·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)求出對角線SKIPIF1<0的長；(2)尺規作圖：將四邊形SKIPIF1<0沿著經過SKIPIF1<0點的某條直線翻折，使點SKIPIF1<0落在SKIPIF1<0邊上的點SKIPIF1<0處，請作出折痕．（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】(1)SKIPIF1<0(2)作圖見解析【分析】（1）連接SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，如圖所示，由勾股定理先求出SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中再由勾股定理，SKIPIF1<0；（2）連接SKIPIF1<0，根據軸對稱性質，過點SKIPIF1<0尺規作圖作線段SKIPIF1<0的垂直平分線即可得到答案．【詳解】（1）解：連接SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，如圖所示：

SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；（2）解：如圖所示：

【點睛】本題考查平行四邊形背景下求線段長，涉及勾股定理、尺規作圖作線段垂直平分線，熟練掌握勾股定理求線段長及中垂線的尺規作圖是解決問題的關鍵．3．（2023·江蘇無錫·中考真題）如圖，已知SKIPIF1<0，點M是SKIPIF1<0上的一個定點．

(1)尺規作圖：請在圖1中作SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0與射線SKIPIF1<0相切于點M，同時與SKIPIF1<0相切，切點記為N；(2)在（1）的條件下，若SKIPIF1<0，則所作的SKIPIF1<0的劣弧SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所圍成圖形的面積是_________．【答案】(1)見解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）先作SKIPIF1<0的平分線SKIPIF1<0，再過M點作SKIPIF1<0的垂線交SKIPIF1<0于點O，接著過O點作SKIPIF1<0于N點，然后以O點為圓心，SKIPIF1<0為半徑作圓，則SKIPIF1<0滿足條件；（2）先利用切線的性質得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據切線長定理得到SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，再利用含30度角的直角三角形三邊的關系計算出SKIPIF1<0，然后根據扇形的面積公式，利用SKIPIF1<0的劣弧SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所圍成圖形的面積SKIPIF1<0進行計算．【詳解】（1）解：如圖，SKIPIF1<0為所作；

；（2）解：∵SKIPIF1<0和SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的切線，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的劣弧SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所圍成圖形的面積SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了切線的判定與性質、扇形的面積計算．4．（2023·江蘇鹽城·中考真題）如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0；(2)用直尺和圓規作圖：過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0．（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據邊角邊證明SKIPIF1<0即可證明結論成立；（2）根據過直線外一點向直線最垂線的作法得出即可．【詳解】（1）證明：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）解：所作圖形如圖，．

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，過直線外一點向直線最垂線的作法，熟練記憶正確作法是解題關鍵．5．（2023·江蘇鎮江·中考真題）小磊安裝了一個連桿裝置，他將兩根定長的金屬桿各自的一個端點固定在一起，形成的角大小可變，將兩桿各自的另一個端點分別固定在門框和門的頂部．如圖1是俯視圖，SKIPIF1<0分別表示門框和門所在位置，M，N分別是SKIPIF1<0上的定點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的長度固定，SKIPIF1<0的大小可變．

(1)圖2是門完全打開時的俯視圖，此時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的度數．(2)圖1中的門在開合過程中的某一時刻，點F的位置如圖3所示，請在圖3中作出此時門的位置SKIPIF1<0．（用無刻度的直尺和圓規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(3)在門開合的過程中，SKIPIF1<0的最大值為______．（參考數據：SKIPIF1<0）【答案】(1)SKIPIF1<0(2)見解析(3)SKIPIF1<0【分析】（1）在SKIPIF1<0中，利用銳角三角函數求得結果；（2）以點O為圓心、SKIPIF1<0的長為半徑畫弧，與以點F為圓心、SKIPIF1<0的長為半徑的弧交于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0得出門SKIPIF1<0的位置；（3）當SKIPIF1<0最大時，SKIPIF1<0的值最大，過點O作MN的垂線段，當這條垂線段最大時，SKIPIF1<0最大，即當垂線段為OM即垂足為M時，SKIPIF1<0最大，故SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0．【詳解】（1）解：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．（2）門的位置SKIPIF1<0如圖1中SKIPIF1<0或SKIPIF1<0所示．（畫出其中一條即可）

（3）如圖2，連接SKIPIF1<0，過點O作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延長線于點H．

∵在門的開合過程中，SKIPIF1<0在不斷變化，∴當SKIPIF1<0最大時，SKIPIF1<0的值最大．由圖2可知，當SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合時，SKIPIF1<0取得最大值，此時SKIPIF1<0最大，∴SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0【點睛】本題考查了旋轉、尺規作圖、銳角三角函數等知識，準確作圖，數形結合是解題的關鍵．6．（2023·江蘇徐州·中考真題）兩漢文化看徐州，桐桐在徐州博物館“天工漢玉”展廳參觀時了解到；玉壁，玉環為我國的傳統玉器，通常為正中帶圓孔的扇圓型器物，據《爾雅·釋器》記載：“肉倍好，謂之璧；肉好若一，調之環．”如圖1，“肉”指邊（陰影部分），“好”指孔，其比例關系見圖示，以考古發現看，這兩種玉器的“肉”與“好”未必符合該比例關系．(1)若圖1中兩個大圓的直徑相等，則璧與環的“肉”的面積之比為；(2)利用圓規與無刻度的直尺，解決下列問題（保留作圖痕跡，不寫作法）．①圖2為徐州獅子山楚王墓出土的“雷紋玉環”及其主視圖，試判斷該件玉器的比例關系是否符合“肉好若一”？②圖3表示一件圓形玉坯，若將其加工成玉璧，且比例關系符合“肉倍好”，請畫出內孔．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)①符合，圖見詳解；②圖見詳解【分析】（1）根據圓環面積可進行求解；（2）①先確定該圓環的圓心，然后利用圓規確定其比例關系即可；②先確定好圓的圓心，然后根據平行線所截線段成比例可進行作圖．【詳解】（1）解：由圖1可知：璧的“肉”的面積為SKIPIF1<0；環的“肉”的面積為SKIPIF1<0，∴它們的面積之比為SKIPIF1<0；故答案為SKIPIF1<0；（2）解：①在該圓環任意畫兩條相交的線，且交點在外圓的圓上，且與外圓的交點分別為A、B、C，則分別以A、B為圓心，大于SKIPIF1<0長為半徑畫弧，交于兩點，連接這兩點，同理可畫出線段SKIPIF1<0的垂直平分線，線段SKIPIF1<0的垂直平分線的交點即為圓心O，過圓心O畫一條直徑，以O為圓心，內圓半徑為半徑畫弧，看是否滿足“肉好若一”的比例關系即可

由作圖可知滿足比例關系為SKIPIF1<0的關系；②按照①中作出圓的圓心O，過圓心畫一條直徑SKIPIF1<0，過點A作一條射線，然后以A為圓心，適當長為半徑畫弧，把射線三等分，交點分別為C、D、E，連接SKIPIF1<0，然后分別過點C、D作SKIPIF1<0的平行線，交SKIPIF1<0于點F、G，進而以SKIPIF1<0為直徑畫圓，則問題得解；如圖所示：

【點睛】本題主要考查圓的基本性質及平行線所截線段成比例，熟練掌握圓的基本性質及平行線所截線段成比例是解題的關鍵．7．（2022·江蘇揚州·中考真題）【問題提出】如何用圓規和無刻度的直尺作一條直線或圓弧平分已知扇形的面積？【初步嘗試】如圖1，已知扇形SKIPIF1<0，請你用圓規和無刻度的直尺過圓心SKIPIF1<0作一條直線，使扇形的面積被這條直線平分；【問題聯想】如圖2，已知線段SKIPIF1<0，請你用圓規和無刻度的直尺作一個以SKIPIF1<0為斜邊的等腰直角三角形SKIPIF1<0；【問題再解】如圖3，已知扇形SKIPIF1<0，請你用圓規和無刻度的直尺作一條以點SKIPIF1<0為圓心的圓弧，使扇形的面積被這條圓弧平分．（友情提醒：以上作圖均不寫作法，但需保留作圖痕跡）【答案】見解析【分析】【初步嘗試】如圖1，作∠AOB的角平分線所在直線即為所求；【問題聯想】如圖2，先作MN的線段垂直平分線交MN于點O，再以O為圓心MO為半徑作圓，與垂直平分線的交點即為等腰直角三角形的頂點；【問題再解】如圖3先作OB的線段垂直平分線交OB于點N，再以N為圓心NO為半徑作圓,與垂直平分線的交點為M，然后以O為圓心，OM為半徑作圓與扇形SKIPIF1<0所交的圓弧即為所求．【詳解】【初步嘗試】如圖所示，作∠AOB的角平分線所在直線OP即為所求；【問題聯想】如圖，先作MN的線段垂直平分線交MN于點O，再以O為圓心MO為半徑作圓，與垂直平分線的交點即為等腰直角三角形的頂點；【問題再解】如圖，先作OB的線段垂直平分線交OB于點N，再以N為圓心NO為半徑作圓,與垂直平分線的交點為M，然后以O為圓心，OM為半徑作圓與扇形SKIPIF1<0所交的圓弧CD即為所求．【點睛】本題考查了尺規作圖，角平分線的性質，線段垂直平分線的性質，扇形的面積等知識，解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，掌握基本作圖方法．1．綜合與實踐：折紙中的數學折紙是我國傳統的民間藝術，也是同學們喜歡的手工活動之一，幸運星、紙飛機、千紙鶴、密信等折紙活動在生活中都是廣為流傳的，通過折紙我們可以得到許多美麗的圖形，同時折紙的過程還蘊含著豐富的數學知識，折紙往往從矩形紙片開始，下面就讓我們帶著數學的眼光來探究一下有關矩形紙片的折疊問題，看看折疊矩形紙片蘊含著哪些豐富的數學知識．(1)折紙1：如圖1，在一張矩形紙片上任意畫一條線段SKIPIF1<0，將紙片沿線段SKIPIF1<0折疊（如圖2）問題1：重疊部分的SKIPIF1<0的形狀______（是、不是）等腰三角形．問題2：若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則重疊部分SKIPIF1<0的面積為______SKIPIF1<0(2)折紙2：如圖3，矩形紙片SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為邊SKIPIF1<0上一點，將SKIPIF1<0沿著直線SKIPIF1<0折疊，使點SKIPIF1<0的對應點SKIPIF1<0落在邊SKIPIF1<0上，請僅用無刻度的尺子和圓規在圖SKIPIF1<0中找出點SKIPIF1<0的位置（保留作圖痕跡，不寫作法）．(3)折紙3：如圖4，矩形紙片SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若點SKIPIF1<0為射線SKIPIF1<0上一點，將SKIPIF1<0沿著直線SKIPIF1<0折疊，折疊后點SKIPIF1<0的對應點為SKIPIF1<0，當點SKIPIF1<0恰好落在SKIPIF1<0的垂直平分線上時，求SKIPIF1<0的長．【答案】(1)是；SKIPIF1<0(2)見解析(3)SKIPIF1<0或15【分析】本題考查了平行線的性質，解直角三角形，折疊的性質，勾股定理；（1）①設紙片右下角的點為點M，根據平行線的性質以及折疊的性質可得SKIPIF1<0，即可；②過點C作SKIPIF1<0于點H，則SKIPIF1<0，根據勾股定理可得SKIPIF1<0的長，再由三角形的面積公式計算，即可；（2）以點B為圓心，以SKIPIF1<0長度為半徑作圓交SKIPIF1<0于點F，作SKIPIF1<0的角平分線SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點E，即可；（3）分兩種情況討論：當點SKIPIF1<0落在長方形紙片SKIPIF1<0的外部時；當點SKIPIF1<0落在長方形紙片SKIPIF1<0的內部時結合銳角三角函數，即可求解．【詳解】（1）問題1：如圖②，設點M是紙片下邊上的點，∵紙片為矩形，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由折疊的性質知，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的形狀為等腰三角形，故答案為：是；問題2：過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0；（2）以點SKIPIF1<0為圓心，以SKIPIF1<0長度為半徑作圓交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0的角平分線SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，作圖過程如下：（3）當點SKIPIF1<0落在矩形內部時，如圖，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0由題意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點SKIPIF1<0恰好落在SKIPIF1<0的垂直平分線上，故SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．當點SKIPIF1<0落在矩形外部時，如圖，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0的長為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．2．如圖，在每個小正方形的邊長為1的網格中，SKIPIF1<0的頂點SKIPIF1<0均落在格點上，以SKIPIF1<0為直徑的半圓的圓心為SKIPIF1<0，僅用無刻度的直尺在給定網格中完成畫圖．（保留作圖痕跡）

(1)在圖1中線段SKIPIF1<0上確定一點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0；(2)在圖2中作出SKIPIF1<0的SKIPIF1<0邊上的高SKIPIF1<0；(3)在圖3中作出SKIPIF1<0的切線SKIPIF1<0．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）如圖，設SKIPIF1<0與網格交于點SKIPIF1<0，利用三角形的中位線定理解決問題即可；（2）如圖，延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0即可；（3）如圖，取格點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0即可．【詳解】（1）解：如圖，線段SKIPIF1<0即為所求；

（2）解：如圖，線段SKIPIF1<0即為所求；

（3）解：如圖，直線SKIPIF1<0即為所求．

【點睛】本題考查作圖，三角形的中位線定理，圓周角定理，切線的判定和性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．3．如圖，已知在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，以A為圓心，SKIPIF1<0的長為半徑作圓，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切線與SKIPIF1<0的延長線交于點E．

(1)請用無刻度的直尺和圓規過點A作SKIPIF1<0的垂線交SKIPIF1<0的延長線于點D．（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）的條件下，連接SKIPIF1<0．①試判斷直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的位置關系，并說明理由；②若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的半徑為3，求SKIPIF1<0的長．【答案】(1)見解析(2)①SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切，理由見解析；②6【分析】（1）使用尺規作圖作線段垂線，分別以點SKIPIF1<0、點SKIPIF1<0為圓心，作半徑相同的圓弧，交于一點，連接點A與該點并延長交SKIPIF1<0的延長線于點SKIPIF1<0．（2）①根據垂直平分線性質求得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切；②在SKIPIF1<0中，由勾股定理可得SKIPIF1<0即可得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由SKIPIF1<0即可求解．【詳解】（1）如圖，SKIPIF1<0為所作垂線；

（2）①SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切，理由如下∶SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂線，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂直平分線，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切；②在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0根據勾股定理，得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0【點睛】本題考查圓的切線的判定定理、垂直平分線性質和勾股定理，銳角三角函數，熟練掌握切線的判定定理是解題的關鍵．4．如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)尺規作圖：在SKIPIF1<0上找一點P，作SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都相切，與SKIPIF1<0的切點為Q；（保留作圖痕跡）(2)在（1）所作的圖中，連接SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)見解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）結合切線的判定與性質，作SKIPIF1<0的平分線，交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，以點SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0的長為半徑畫圓即可．（2）由題意可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0為等邊三角形，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，進而可得答案．【詳解】（1）解：如圖，作SKIPIF1<0的平分線，交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，以點SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0的長為半徑畫圓，交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即為所求．

（2）解：由（1）可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【點睛】本題考查作圖—復雜作圖、切線的判定與性質、等邊三角形的性質、特殊角的三角函數值等知識點，熟練掌握相關知識點是解答本題的關鍵．5．如圖，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0相交于點O．(1)給出下列信息：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0．請從上面三個選項中選出兩個作為條件，一個作為結論，構成一個真命題，并加以證明．你選擇的條件是______，結論是_________．(填序號)(2)在（1）的條件下，已知SKIPIF1<0，請用無刻度的直尺和圓規作菱形SKIPIF1<0，頂點E，F分別在邊SKIPIF1<0上(保留作圖痕跡，不要求寫作法)．【答案】(1)①②，③（答案不唯一）；見解析(2)見解析【分析】（1）條件①②，結論③；或條件②③，結論①；都是真命題，證明全等三角形，推出四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，即可證明結論成立；（2）作線段SKIPIF1<0的垂直平分線分別交邊SKIPIF1<0于點E，F，則四邊形為所作的SKIPIF1<0菱形．【詳解】（1）解：條件①②，結論③；或條件②③，結論①；都是真命題，選擇：條件①②，結論③；∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，∴SKIPIF1<0；選擇：條件②③，結論①；∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，∴SKIPIF1<0；故答案為：①②，③（答案不唯一）；（2）解：菱形SKIPIF1<0如圖所示：．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質，菱形的判定，全等三角形的判定和性質，作線段的垂直平分線．掌握平行四邊形的判定是解題的關鍵．6．閱讀材料：尺規作圖是起源于古希臘的數學課題，是指用沒有刻度的直尺和圓規作圖．無刻度直尺在作圖時只可用來畫直線、射線或線段．請根據以上材料按要求進行作圖．

(1)如圖1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，請用無刻度直尺與圓規在SKIPIF1<0邊上作出一點O，使得SKIPIF1<0過點C且與SKIPIF1<0相切．（保留作圖痕跡，不需說明作圖步驟）(2)如圖2，在正方形網格中，每個小正方形的頂點叫做格點，點A，B，C，D是網格的四個格點，且SKIPIF1<0．①作圖：請在圖2中僅用無刻度直尺作出一點O，使得SKIPIF1<0過點C且與SKIPIF1<0相切于點D；（保留作圖痕跡，不需說明作圖步驟）②若此網格中每個小正方形邊長為1，則SKIPIF1<0的半徑為________．（可利用圖2備用圖計算）【答案】(1)見詳解(2)①見詳解②SKIPIF1<0【分析】本題考查了線段垂直平分線和角平分線的尺規作圖，圓的切線判定，勾股定理，全等三角形的判定及性質，相似三角形的判定及性質等；（1）作出SKIPIF1<0的平分線交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，即可求解；（2）①連接SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0的垂直平分線，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂線，交SKIPIF1<0的垂直平分線于SKIPIF1<0，即可求解；②由SKIPIF1<0可判定SKIPIF1<0，由全等三角形的性質得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可判定SKIPIF1<0，由相似三角形的性質得SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，由勾股定理得SKIPIF1<0，即可求解；掌握作法，能利用判定方法及性質進行求解是解題的關鍵．【詳解】（1）解：如圖，SKIPIF1<0SKIPIF1<0是所求作的點；（2）解：①如圖，SKIPIF1<0SKIPIF1<0是所求作的點；②如圖，由圖得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由作圖過程得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；故答案：SKIPIF1<0．7．問題探究：（1）將一直角梯形SKIPIF1<0放在如圖1所示的正方形網格（圖中每個小正方形的邊長均為一個單位長度）中，梯形SKIPIF1<0的頂點均在格點上，請你在圖中作一條直線l，使它將梯形SKIPIF1<0分成面積相等的兩部分；（畫出一種即可）（2）如圖2，SKIPIF1<0，點A、D在SKIPIF1<0上，點B、C在SKIPIF1<0上，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，交于點O，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．試說明：SKIPIF1<0；問題解決：（3）如圖3，在平面直角坐標系中，不規則五邊形SKIPIF1<0是李大爺家的一塊土地的示意圖，頂點B在y軸正半軸上，SKIPIF1<0邊在x軸正半軸上，SKIPIF1<0平行于x軸，SKIPIF1<0的中點P處有一口灌溉水井，現結合實際耕種需求，需在SKIPIF1<0上找一點Q，使SKIPIF1<0將這塊土地的面積分為相等的兩部分，用于耕種兩種不同的作物，并沿SKIPIF1<0修一條灌溉水渠（水渠的寬度忽略不計）．①請你利用有刻度的直尺在圖中畫出SKIPIF1<0的位置，并簡要說明作圖過程；②若點A的坐標為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，請求出直線SKIPIF1<0的解析式．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）①見解析；②直線SKIPIF1<0的解析式為SKIPIF1<0【分析】本題考查同底等高的三角形的面積關系、用待定系數法求一次函數解析式、一次函數平移的性質，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．（1）根據網格和梯形的面積公式求解即可；（2）根據SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可求解；（3）①如圖，連接SKIPIF1<0，平移SKIPIF1<0，使其經過點B，交x軸于點M，連接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點N，量出SKIPIF1<0的中點Q，連接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，從而可得SKIPIF1<0，可證SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0平分梯形SKIPIF1<0的面積，即可求解；②由題意可得SKIPIF1<0，利用待定系數法求得直線SKIPIF1<0的解析式為SKIPIF1<0，再根據一次函數平移的規律可設直線SKIPIF1<0的解析式為SKIPIF1<0，再把SKIPIF1<0代入求得直線SKIPIF1<0的解析式為SKIPIF1<0，從而可得SKIPIF1<0，再利用待定系數法求解即可．【詳解】解：（1）直線l的位置如圖所示．（答案不唯一），理由如下：如圖，直線l分別交SKIPIF1<0、SKIPIF1<0于點E、F，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0；（2）設SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之間的距離為h，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（3）①如圖，連接SKIPIF1<0，平移SKIPIF1<0，使其經過點B，交x軸于點M，連接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點N，量出SKIPIF1<0的中點Q，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的位置如圖所示．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0平分梯形SKIPIF1<0的面積，∴SKIPIF1<0平分五邊形SKIPIF1<0的面積，②由題意得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設直線SKIPIF1<0的解析式為SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴直線SKIPIF1<0的解析式為SKIPIF1<0，故可設直線SKIPIF1<0的解析式為SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入，得SKIPIF1<0，∴直線SKIPIF1<0的解析式為SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，設直線SKIPIF1<0的解析式為SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴直線SKIPIF1<0的解析式為SKIPIF1<0．8．在平面內，將一個多邊形先繞自身的頂點SKIPIF1<0旋轉一個角度SKIPIF1<0，再將旋轉后的多邊形以點SKIPIF1<0為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應線段的比為SKIPIF1<0，稱這種變換為自旋轉位似變換．若順時針旋轉，記作SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，順SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）；若逆時針旋轉，記作SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，逆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）．例如：如圖①，先將SKIPIF1<0繞點SKIPIF1<0逆時針旋轉SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，再將SKIPIF1<0以點SKIPIF1<0為位似中心縮小到原來的SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，這個變換記作SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，逆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）．(1)如圖②，SKIPIF1<0經過SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，順SKIPIF1<0，2）得到SKIPIF1<0，用尺規作出SKIPIF1<0．（保留作圖痕跡）(2)如圖③，SKIPIF1<0經過SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，逆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0經過SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，順SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）得到SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求證：四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形．(3)如圖④，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0經過（2）中的變換得到的四邊形SKIPIF1<0是正方形．Ⅰ．用尺規作出點SKIPIF1<0（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）；Ⅱ．直接寫出SKIPIF1<0的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)①見解析；②SKIPIF1<0【分析】（1）旋轉SKIPIF1<0，可作等邊SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，從而得出SKIPIF1<0點和點SKIPIF1<0對應點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，進而作出圖形；（2）根據SKIPIF1<0和SKIPIF1<0位似，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0位似得出對應角相等及對應邊成比例，進而推出SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，進而得出SKIPIF1<0，同理可得：SKIPIF1<0，從而推出四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形；（3）要使SKIPIF1<0是正方形，應使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0的度數，得出SKIPIF1<0的度數，從而求出SKIPIF1<0，于是作等邊SKIPIF1<0，保證SKIPIF1<0，作直徑SKIPIF1<0，保證SKIPIF1<0，這樣得出作法．【詳解】（1）解：如圖，1．以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑畫弧，以SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑畫弧，兩弧在SKIPIF1<0的上方交于點SKIPIF1<0，分別以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為圓心，以SKIPIF1<0為半徑畫弧，兩弧交于點SKIPIF1<0，2．延長SKIPIF1<0至SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，延長SKIPIF1<0至SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0就是求作的三角形；（2）證明：SKIPIF1<0和SKIPIF1<0位似，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0位似，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形；（3）解：如圖，1．以SKIPIF1<0為邊在SKIPIF1<0上方作等邊SKIPIF1<0，2．作等邊SKIPIF1<0的外接圓SKIPIF1<0，作直徑SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，3．作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，延長SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0是正方形，證明：由上知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0是正方形，應使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0作等邊SKIPIF1<0，保證SKIPIF1<0，作直徑SKIPIF1<0，保證SKIPIF1<0，這樣得出作法；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，圓周角定理，確定圓的條件，平行四邊形的判定，尺規作圖等知識，解決問題的關鍵是掌握并靈活運用相關知識．9．如圖1，在SKIPIF1<0中，點D在邊SKIPIF1<0上，若滿足SKIPIF1<0，則稱點P是點D的“和諧點”．?(1)如圖2，SKIPIF1<0．①求證：點P是點D的“和諧點”；②在邊SKIPIF1<0上還存在某一點Q（不與點P重合），使得點Q也是點D的“和諧點”，請在圖2中僅用沒有刻度的直尺和圓規作圖，并寫出證明過程．（保留作圖痕跡）(2)如圖3，以點A為原點，SKIPIF1<0為x軸正方向建立平面直角坐標系SKIPIF1<0，CSKIPIF1<0，點P在線段SKIPIF1<0上，且點P是點D的“和諧點”．①若SKIPIF1<0，求出點P的坐標；②若滿足條件的點P恰有2個，直接寫出SKIPIF1<0長的取值范圍是．【答案】(1)①詳見解析；②詳見解析(2)①點P的坐標為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0．【分析】（1）①由SKIPIF1<0考慮平角SKIPIF1<0，只要證明SKIPIF1<0即可；②分別做線段SKIPIF1<0、SKIPIF