193/193二元一次方程組【教學目標】一、教學知識點。（一）體會方程是刻畫現實世界的有效數學模型。（二）二元一次方程、二元一次方程組及其解的概念。二、能力訓練要求。（一）通過分析實際問題，使學生進一步體會方程是刻畫現實世界的數學模型。（二）了解二元一次方程、二元一次方程組及其解的概念，并會判斷一組數是不是某個二元一次方程組的解。三、情感與價值觀要求。（一）體會方程的模型思想，培養學生良好的數學應用意識。（二）通過對學生熟悉的傳統內容（如雞兔同籠）的討論，激發學生學習數學的興趣。【教學重難點】一、重點。（一）通過對實際問題的分析，使學生進一步體會方程是刻畫現實世界的有效模型。（二）了解二元一次方程、二元一次方程組及其解等概念，并會判斷一組數是不是某個二元一次方程組的解。二、難點。（一）探索實際問題中的等量關系，列出二元一次方程組。（二）判斷一組數是不是二元一次方程組的解。【教學方法】學生自主探索——教師引導的方法。學生已具備了列一元二次方程解決實際問題的經驗基礎。在教學中，教師可引導學生思考列二元一次方程時，如何尋求等量關系，放手讓學生經過自主探索列出二元一次方程組。【教學過程】一、創設情境，引入新課。［師］小學時，我們就解答過著名的“雞兔同籠”的問題，如“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？”誰能用我們學過的知識來解答一下呢？［生］解：設雞有x只，則兔有(35－x)只，根據題意，可得：2x+4(35－x)=94；解得x=23。∵35－x=35－23=12；答：雞有23只，兔有12只。［生］不用方程也可以解答：如果讓每只雞都抬起一條腿，讓每只兔子都抬起兩條腿，即讓它們表演“優美動人”的“金雞獨立”和“玉兔拜月”，這樣它們一共抬起了94÷2=47條腿，并且只有47條腿著地了。接著讓雞飛上藍天，讓兔練習“金雞獨立”，也就是每只兔子只有一只腿著地，這樣著地的腿數又減少了35條，而只有47－35=12條腿著地了，并且有一條腿著地，就有一只兔子，所以應該有12只兔子，35－12=23只雞。［師］這兩位同學解答“雞兔同籠”的問題都非常精彩，特別是第二位同學。我們用掌聲鼓勵他們。接下來，老師說一種新的思路。在上面“雞兔同籠”的問題中，我們會發現它有兩個等量關系：雞的只數+兔子的只數=35；雞的腿數+兔子的腿數=94。如果我設雞有x只，兔子有y只，這時我們就得到了方程x+y=35和2x+4y=94。這節課我們就來學習這樣的方程及由它們組成的方程組。二、講授新課。出示：有這么一段對話：老牛和小馬馱著包裹走在路上。老牛：累死我了！小馬：你還累？這么大的個兒，才比我多馱2個。老牛：哼，我從你背上拿來1個，我的包裹數就是你的2倍！小馬：真的？！請問：老牛和小馬各馱了多少包裹呢？［師生共析］設老牛馱了x個包裹，小馬馱了y個包裹。從老牛和小馬的對話中，我們可以探索到其中的等量關系：①老牛馱的包裹－小馬馱的包裹數=2，②老牛馱的包裹數+1=(小馬馱的包裹數－1)×2。由此我們就可得到方程x－y=2和x+1=2(y－1)。出示：星期天，俱樂部舉行“希望工程”義演，每張成人票5元，每張兒童票3元。我們共去了8個人，買門票花了34元，請問我們共去了幾個成人，幾個兒童呢？如果設我們共去了x個成人，y個兒童，由此你能找到怎樣的等量關系？得到怎樣的方程呢？［生］在上述問題中，我們可以找到的等量關系為：成人人數+兒童人數=8，成人票款+兒童票款=34。由此我們可得方程x+y=8和5x+3y=34。［師］在上面的兩個問題中，我們得到了四個方程：x－y=2和x+1=2(y－1)，x+y=8和5x+3y=34。在這四個方程中，它們有何共同的特點。下面請同學們分組討論。（此時，老師可參與到學生的討論中，引導學生和以前學過的一元一次方程相聯系，觀察方程中有幾個未知數，未知數的次數是幾次？含有未知數的項的次數是幾次？）［生］上面我們所列的四個方程都含有兩個未知數，未知數的次數和含有未知數的項的次數都是一次。老師，我們能不能把它們叫二元一次方程。因為我國古代就把未知數叫做元，并且它們的未知數的次數是一次。［師］很好。它們的確都是二元一次方程。但我有一個問題和大家共討論。我這兒有一個方程6xy－3=2。它也含有兩個未知數，且未知數的次數x，y都是一次，它和上面的四個方程一樣嗎？［生］不一樣。它雖然含有兩個未知數，未知數x，y也都是一次的，但6xy這一項即含未知數的項卻是二次的。［師］你真棒。正像這位同學說的，6xy－3=2不是二元一次方程。x－y=2和x+1=2(y－1)，x+y=8和5x+3y=34它們才是二元一次方程。能用自己的語言歸納什么叫二元一次方程嗎？［生］含有兩個未知數，并且含有兩個未知數的項的次數都是1的方程叫做二元一次方程。［師］接下來，我們討論下面的問題：在上面的方程x－y=2和x+1=2(y－1)中，x，y的含義相同嗎？［生］應該相同。在兩個二元一次方程中，x都表示老牛馱的包裹數，y都表示小馬馱的包裹數，因此x，y的含義是相同的。［師］也就是說，x、y既滿足第一個方程x－y=2，又滿足第二個方程x+1=2(y－1)。于是我們把它們聯立起來，得：像這樣的含有兩個未知數的兩個一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組。如：和都是二元一次方程組。注意在一個方程組中x、y應代表同一個量。出示：做一做（一）x=6，y=2適合方程x+y=8嗎？x=5，y=3呢？x=4，y=4呢？你還能找到其他x、y值適合方程x+y=8嗎？（二）x=5，y=3適合方程5x+3y=34嗎？x=2，y=8呢？（三）你能找到一組x、y的值，同時適合方程x+y=8和5x+3y=34嗎？（四）從以上三個問題歸納總結什么是二元一次方程的解？它的解有何特點？（五）滿足何條件的一組值才能是二元一次方程組的解？（請同學們分組討論完成，教師深入學生當中，隨時發現同學們討論問題時的閃光點。）［師生共析］（一）把x=6，y=2代入方程x+y=8的左邊得x+y=6+2=8，左邊=右邊，所以x=6，y=2是適合方程x+y=8。我們把適合二元一次方程的一組未知數的值，叫做這個二元一次方程的解。因此x=6，y=2即為x+y=8的一組解。我們會發現x=5，y=3也適合方程x+y=8，因此x=5，y=3也是方程x+y=8的一組解。還有沒有其他的x，y的值適合方程x+y=8呢？［生］有。如x=1，y=7；x=4，y=4；x=8，y=0；……［生］我發現，只要給出x的一個值，代入x+y=8中，便可得到y的一個值。例如我們設x=－1，則代入x+y=8中，得－1+y=8，解得y=9。所以x=－1，y=9適合方程，是方程的一個解。也因此而得到x+y=8的解有無數多個。［師生共析］（二）把x=5，y=3代入方程5x+3y=34的左邊=5x+3y=5×5+3×3=34。所以x=5，y=3是方程5x+3y=34的一個解。同樣x=2，y=8也是方程5x+3y=34的一個解。我們把x=2，y=8是方程5x+3y=34的一個解記作同樣也是方程5x+3y=34的一個解。（三）由（一）、（二）我們可以發現既是方程x+y=8的一個解，也是5x+3y=34的一個解。我們把這兩個二元一次方程的公共解，叫做由這兩個二元一次方程組成的方程組的解。例如就是二元一次方程組的解。三、例題精析。［例1］已知方程2xm+2+3y1－2n=17是一個二元一次方程，則m=________，n=________。解：由二元一次方程的定義，得：m+2=1，1－2n=1；∴m=－1，n=0。［例2］寫出一個以為解的二元一次方程組。解：答案不是惟一。只要寫出的二元一次方程組的解是即可。例如。評注：二元一次方程組的解必須同時適合方程組中的每個方程。四、課時小結。這節課通過對實際問題的分析，使學生進一步體會到了方程是刻畫現實世界的有效模型。在此基礎上，我們了解了二元一次方程。二元一次方程組及其解等概念，并學會了判斷一組數是不是某個二元一次方程組的解。五、活動與探究。求二元一次方程2x+y=7的正整數解。過程：我們知道求二元一次方程2x+y=7的正整數解，就是求適合2x+y=7的一組未知數的正整數的值。2x+y=7的解有無數多個，而正整數解只有九個。由等式的性質可由方程2x+y=7得到y=7－2x，由于x，y只能取正整數，所以x=1，2或3。當x=1時，y=7－2×1=5；當x=2時，y=7－2×2=3；當x=3時，y=7－2×3=1。結果：二元一次方程2x+y=7的正整數解為。六、參考練習。（一）填空題。1．已知方程2x2n－1－3y3m－n+1=0是二元一次方程，則m=_________，n2．方程①2x+5y=0；②2x－=8；③5x+2y=7；④4x－xy=3；⑤；⑥x－2y2=6；⑦+y=5中，二元一次方程有_________。（填序號）3．若x－3y=2，則7－2x+6y=_________。4．若x=1，y=－1適合方程3x－4my=1，則m=_________。5．在x－5y=7中，用x表示y=_________；若用y表示x，則_________。答案：1．、；2．①③⑤⑦；3．7－2x+6y=7－2(x－3y)=7－2×2=3；4．－；5．、7+5y。（二）選擇題。1．下列方程組中，是二元一次方程組的是（）。A．B．C．D．2．下列各對數中，是方程組的解是（）。A．B．C．D．均不對3．已知是方程組的解，則a等于（）。A．B．2C．1D．－24．若是方程3x+y=0的一個解（a≠0）。則有（）。A．A、B異號B．A、B同號C．A、B同號也可能異號D．以上均不對答案：1．C；2．B；3．A；4．A。（三）已知方程，求當x=－3時，y的值。答案：－3。解二元一次方程組【課時安排】2課時【第一課時】【教學內容】解二元一次方程組（一）；代入法。【教學目標】一、教學知識點。（一）代入消元法解二元一次方程組。（二）解二元一次方程組時的“消元”思想，“化未知為已知”的化歸思想。二、能力訓練要求。（一）會用代入消元法解二元一次方程組。（二）了解解二元一次方程組的“消元”思想，初步體會數學研究中“化未知為已知”的化歸思想。三、情感與價值觀要求。（一）在學生了解二元一次方程組的“消元”思想，從而初步理解化“未知”為“已知”和化復雜問題為簡單問題的化歸思想中，享受學習數學的樂趣，提高學習數學的信心。（二）培養學生合作交流，自主探索的良好習慣。【教學重點】1．會用代入消元法解二元一次方程組。2．了解解二元一次方程組的“消元”思想，初步體現數學研究中“化未知為已知”的化歸思想。【教學難點】1．“消元”的思想。2．“化未知為已知”的化歸思想。【教學準備】投影片兩張：第一張：例題；第二張：問題串。【教學過程】一、提出疑問，引入新課。［師生共憶］我們討論一個“希望工程”義演的問題；沒去觀看義演的成人有x人，兒童有y人，我們得到了方程組成人和兒童到底去了多少人呢？［生］在上一節課的“做一做”中，我們通過檢驗是不是方程x+y=8和方程5x+3y=34，得知這個解既是x+y=8的解，也是5x+3y=34的解，根據二元一次方程組解的定義得出是方程組的解。所以成人和兒童分別去了5個人和3個人。［師］但是，這個解是試出來的。我們知道二元一次方程的解有無數個。難道我們每個方程組的解都去這樣試？［生］太麻煩啦。［生］不可能。［師］這就需要我們學習二元一次方程組的解法。二、講授新課。［師］我們學過一元一次方程，也曾碰到過“希望工程”義演問題，當時是如何解的呢？［生］解：設成人去了x人，兒童去了(8－x)人，根據題意，得：5x+3(8－x)=34解得x=5；將x=5代入8－x=8－5=3；答：成人去了5個，兒童去了3個。［師］同學們可以比較一下：列二元一次方程組和列一元一次方程設未知數有何不同？列出的方程和方程組又有何聯系？對你解二元一次方程組有何啟示？［生］列二元一次方程組設出有兩個未知數成人去了x人，兒童去了y人。列一元一次方程設成人去了x人，兒童去了(8－x)人。y應該等于(8－x)。而由二元一次方程組的一個方程x+y=8根據等式的性質可以推出y=8－x。［生］我還發現一元一次方程中5x+3(8－x)=34與方程組中的第二個方程5x+3y=34相比較，把5x+3y=34中的“y”用“8－x”代替就轉化成了一元一次方程。［師］太好了。我們發現了新舊知識之間的聯系，便可尋求到解決新問題的方法——即將新知識轉化為舊知識便可。如何轉化呢？［生］我們就已知道方程組的兩個未知數所包含的意義是相同的。所以將中的①變形，得y=8－x③；我們把y=8－x代入方程②，即將②中的y用8－x代替，這樣就有5x+3(8－x)=34。“二元”化成“一元”。［師］這位同學很善于思考。他用了我們在數學研究中“化未知為已知”的化歸思想，從而使問題得到解決。下面我們完整地解一下這個二元一次方程組。解：由①得，y=8－x③；將③代入②得，5x+3(8－x)=34；解得x=5；把x=5代入③得，y=3。所以原方程組的解為。下面我們試著用這種方法來解答“誰的包裹多”的問題。［師生共析］解二元一次方程組：分析：我們解二元一次方程組的第一步需將其中的一個方程變形用含一個未知數的代數式表示另一個未知數，把表示了的未知數代入未變形的方程中，從而將二元一次方程組轉化為一元一次方程。解：由①得，x=2+y③；將③代入②得，(2+y)+1=2(y－1)；解得y=5；把y=5代入③，得，x=7。所以原方程組的解為，即老牛馱了7個包裹，小馬馱了5個包裹。［師］在解上面兩個二元一次方程組時，我們都是將其中的一個方程變形，即用其中一個未知數的代數式表示另一個未知數，然后代入第二個未變形的方程，從而由“二元”轉化為“一元”而得到消元的目的。我們將這種方法叫代入消元法。這種解二元一次方程組的思想為消元思想。我們再來看兩個例子。出示投影片：［例題］解方程組（由學生自己完成，兩個同學板演）。解：（1）將②代入①，得，3×+2y=8；3y+9+4y=16；7y=7；y=1；將y=1代入②，得，x=2。所以原方程組的解是。（2）由②，得，x=13－4y③；將③代入①，得，2(13－4y)+3y=16；－5y=－10，y=2；將y=2代入③，得，x=5。所以原方程組的解是。［師］下面我們來討論幾個問題：出示投影片：（1）上面解方程組的基本思路是什么？（2）主要步驟有哪些？（3）我們觀察例1和例2的解法會發現，我們在解方程組之前，首先要觀察方程組中未知數的特點，盡可能地選擇變形后的方程較簡單和代入后化簡比較容易的方程變形，這是關鍵的一步。你認為選擇未知數有何特點的方程變形好呢？（由學生分組討論，教師深入參與到學生討論中，發現學生在自主探索、討論過程中的獨特想法。）［生］我來回答第一問：解二元一次方程組的基本思路是消元，把“二元”變為“一元”。［生］我們組總結了一下解上述方程組的步驟：第一步：在已知方程組的兩個方程中選擇一個適當的方程，把它變形為用一個未知數的代數式表示另一個未知數。第二步：把表示另一個未知數的代數式代入沒有變形的另一個方程，可得一個一元一次方程。第三步：解這個一元一次方程，得到一個未知數的值。第四步：把求得的未知數的值代回到原方程組中的任意一個方程或變形后的方程（一般代入變形后的方程），求得另一個未知數的值。第五步：用“{”把原方程組的解表示出來。第六步：檢驗（口算或筆算在草稿紙上進行）把求得的解代入每一個方程看是否成立。［師］這個組的同學總結的步驟真棒，甚至連我們平時容易忽略的檢驗問題也提了出來，很值得提倡。在我們數學學習的過程中，應該養成反思自己解答過程，檢驗自己答案正確與否的習慣。［生］老師，我代表我們組來回答第三個問題。我們認為用代入消元法解二元一次方程組時，盡量選取一個未知數的分數是1的方程進行變形；若未知數的系數都不是1，則選取系數的絕對值較小的方程變形。但我們也有一個問題要問：在例2中，我們選擇②變形這是無可厚非的，把②變形后代入①中消元得到的是一元一次方程系數都為整數也較簡便。可例1中，雖然可直接把②代入①中消去x，可得到的是含有分母的一元一次方程，并不簡便，有沒有更簡捷的方法呢？［師］這個問題提的太好了。下面同學們分組討論一下。如果你發現了更好的解法，請把你的解答過程寫到黑板上來。［生］解：由②得：2x=y+3③；③兩邊同時乘以2，得：4x=2y+6④；由④得，2y=4x－6⑤；把⑤代入①，得：3x+(4x－6)=8解得：7x=14，x=2。把x=2代入③得：y=1。所以原方程組的解為。［師］真了不起，能把我們所學的知識靈活應用，而且不拘一格，將“2y”整體上看作一個未知數代入方程①，這是一個“科學的發明”。三、隨堂練習。課本習題答案。（一）用代入消元法解下列方程組。解：將①代入②，得：x+2x=12；x=4。把x=4代入①，得：y=8。所以原方程組的解為。將①代入②，得：4x+3(2x+5)=65；解得，x=5。把x=5代入①，得：y=15。所以原方程組的解為。。由①，得：x=11－y③；把③代入②，得：11－y－y=7；y=2。把y=2代入③，得：x=9。所以原方程組的解為。由②，得：x=3－2y③；把③代入①，得：3(3－2y)－2y=9；得：y=0。把y=0代入③，得：x=3。所以原方程組的解為。注：在隨堂練習中，可以鼓勵學生通過自主探索與交流，各個學生消元的具體方法可能不同，不必強調解答過程統一。四、課時小結。這節課我們介紹了二元一次方程組的第一種解法——代入消元法。了解到了解二元一次方程組的基本思路是“消元”即把“二元”變為“一元”。主要步驟是：將其中的一個方程中的某個未知數用含有另一個未知數的代數式表示出來，并代入另一個方程中，從而消去一個未知數，化二元一次方程組為一元一次方程。解這個一元一次方程，便可得到一個未知數的值，再將所求未知數的值代入變形后的方程，便求出了一對未知數的值。即求得了方程的解。五、活動與探究。已知代數式x2+px+q，當x=－1時，它的值是－5；當x=－2時，它的值是4，求p、q的值。過程：根據代數式值的意義，可得兩個未知數都是p、q的方程，即：當x=－1時，代數式的值是－5，得：(－1)2+(－1)p+q=－5①；當x=－2時，代數式的值是4，得：(－2)2+(－2)p+q=4②；將①、②兩個方程整理，并組成方程組：－p+q=－6③；－2p+q=0④；解方程組，便可解決。結果：由④得，q=2p；把q=2p代入③，得：－p+2p=－6；解得p=－6。把p=－6代入q=2p=－12；所以p、q的值分別為－6、－12。【第二課時】【教學內容】解二元一次方程組（二）；加減法。【教學目標】一、教學知識點。（一）用加減消元法解二元一次方程組。（二）進一步了解解二元一次方程組時的“消元”思想，“化未知為已知”化歸思路。二、能力訓練要求。（一）會用加減消元法解二元一次方程組。（二）根據不同方程的特點，進一步體會解二元一次方程組的基本思路——消元。三、情感與價值觀要求。（一）進一步體會解二元一次方程組的消元思想，在化“未知為已知”的過程中，體驗學習的快樂。（二）根據方程組的特點，培養學生學習教學的創新、開拓的意識。【教學重點】1．掌握加減消元法解二元一次方程組的原理及一般步驟。2．能熟練地運用加減消元法解二元一次方程組。【教學難點】1．解二元一次方程組的基本思路消元即化“二元”為“一元”的思想。2．數學研究的“化未知為已知”的化歸思想。【教學準備】投影片一張：問題串。【教學過程】一、提出疑問，創設問題情景，引入新課。［師］怎樣解下面的二元一次方程組呢？［生1］解：把②變形，得x=③；把③代入①，得：3×+5y=21；解得y=－3。把y=3代入②，得：x=2。所以方程組的解為。［生2］解：由②得5y=2x+11③；把5y當作整體將③代入①，得：3x+(2x+11)=21；解得x=2。把x=2代入③，得：5y=2×2+11；y=3。所以原方程的解為。［師］我們可以發現第二種解法比第一種解法簡單。有沒有更好的解法呢？也就是說，我們上一節課學習了用代入的方法可以消元，從而使“二元”變為“一元”。那么有沒有別的消元辦法也可以使“二元”變為“一元”。［生］我發現了方程①和②中的5y和－5y互為相反數，根據互為相反數的和為零，如果能將方程①和②的左右兩邊相加，根據等式的性質我們可以得到一個含有x的等式，即一元一次方程，而5y+(－5y)=0消去了y。［師］很好。這正是我們這節課要學習的二元一次方程組的解法中的第二種方法——加減消元法。二、講授新課。［師］下面我們就用剛才這位同學的方法解上面的二元一次方程組。解：由①+②，得：(3x+5y)+(2x－5y)=21+(－11)；即3x+2x=10，x=2。把x=2代入②中，得：y=3。所以原方程組的解為。［師生共析］一個方程組我們用了三種方法，從中可以發現，恰當地選擇解法可以起到事半功倍的效果。回憶上一節的練習和習題，看哪些題用代入消元法解起來比較簡單？哪些題我們用加減消元法簡單？我們分組討論，并派一個代表闡述自己的意見。［生］我們組認為課本的隨堂練習的（3）（4）小題用加減消元法簡單。［師］你們組能派兩位同學有加減消元法把這兩個方程組解一下嗎？［生］可以。（學生黑板演示，接著聽其他組討論的結果。）［生］我們組認為習題的第1題中（2）也可以用加減消元法，我可以到黑板上做。［師］下面，我們講評一下剛才這幾位同學解方程組的方程。（1）；（2）這兩個方程組中，y的系數都是互為相反數，因此這兩位同學都用了用方程組中的兩個方程相加，從而把y消去，將二元轉化為一元，最后解出了方程的解，很好。（3）我們觀察此方程y的系數都是1，因此這位同學想到了用②－①，得x=3，代入①就解出y=2。這幾位同學的解法很好，同學們已經發現了方程組中如果一個未知數的系數相反或相同，我們就可以用加減消元法來解方程組。［生］老師，我有一個問題：有些題，用代入消元法解，較麻煩。用加減消元法解，x、y的系數不相同也不相反，沒有辦法用加減消元法。是不是還有別的方法。［師］這個同學提的問題太好了。能發現問題是我們學習很重要的一個方面，同學們應該向他學習。接下來，同學們分組討論，方程組不用代入消元法如何解？［生］老師，我們組想出了一個辦法，能不能用等式的性質將這個方程組中的x或y的系數化成相等（或相反）呢？［生］可以。我只要在方程①和方程②的兩邊分別除以3和4，x的系數不就變成“1”了嗎？這樣就可以用加減消元法了。［生］我不同意。這樣做，y的系數和常數項都變成了分數，比代入消元法還麻煩。我覺得應該找到y的系數－2的絕對值和3的最小公倍數6，在方程①兩邊同乘以3，得9x－6y=－12③，在方程②兩邊同乘以2，得8x+6y=－22④，然后③+④，就可以將y消去，得17x=－34，x=－2。把x=－2代入①得，y=－1。所以方程組的解為。［師］同學們為他鼓掌，他的想法太精彩了，我們祝賀他。其實在我們學習數學的過程中，不一定二元一次方程組中未知數的系數剛好是1，或同一個未知數的系數剛好相同或相反。我們遇到的往往就是這樣的方程組，我們要想比較簡捷地把它解出來，就需要轉化為同一個未知數系數相同或相反的情形，從而用加減消元法，達到消元的目的。下面我們看一個例子。解方程組。分析：未知數的系數沒有絕對值是1的，也沒有哪一個未知數的系數相同或相反。我們觀察可以發現，x的系數絕對值較小，因此我們找到2和3的最小公倍數6，然后①×3，②×2，便可將①②的x的系數化為相同。解：①×3得6x+9y=36③；②×2，得6x+8y=34④；③－④，得y=2。將y=2代入①，得x=3。所以原方程組的解是。［師］我們根據上面幾個方程組的解法，接下來討論下面兩個問題：出示投影片：（1）加減消元法解二元一次方程組的基本思路是什么？（2）用加減消元法解二元一次方程組的主要步驟有哪些？（由學生分組討論、總結）。［師生共析］（1）用加減消元法解二元一次方程組的基本思路仍然是“消元”。（2）用加減法解二元一次方程組的一般步驟。第一步：在所解的方程組中的兩個方程，如果某個未知數的系數互為相反數，可以把這兩個方程的兩邊分別相加，消去這個未知數；如果未知數的系數相等，可以直接把兩個方程的兩邊分別相減，消去這個未知數。第二步：如果方程組中不存在某個未知數的系數的絕對值相等，那么應選出一組系數（選最小公倍數較小的一組系數），求出它們的最小公倍數（如果一個系數是另一個系數的整數倍，該系數即為最小公倍數），然后將原方程組變形，使新方程組的這組系數的絕對值相等（都等于原系數的最小公倍數），再加減消元。第三步：對于較復雜的二元一次方程組，應先化簡（去分母，去括號，合并同類項等）。通常要把每個方程整理成含未知數的項在方程的左邊，常數項在方程右邊的形式，再作如上加減消元的考慮。三、隨堂練習。課本用加減消元法解下列方程組：1．解：①+②，得：16x=－16；x=－1。把x=－1代入①，得：y=－5。所以原方程的解為。②－①，得6y=－18；y=－3。把y=－3代入①，得：x=－2。所以原方程組的解為。①－②×2得：5t=15；t=3。把t=3代入②，得：s=－1。所以原方程組的解為。①×2－②×3，得：－11x=33；x=－3。把x=－3代入①得y=－4。所以原方程組的解為。注：在隨堂練習中，可以鼓勵學生通過自主探索與交流，不必強調解答過程統一。四、課時小結。關于二元一次方程組的解法：代入消元法和加減消元法我們全部學完了。比較這兩種解法我們會發現其實質都是消元，即通過消去一個未知數，化“二元”為“一元”。五、活動與探究解三元一次方程組：過程：解二元一次方程組的實質是消元，即通過消去一個未知數，由“二元”變為“一元”，于是我們聯想，能否借助解二元一次方程組消元的思路，將三元一次方程組消元，由“三元”消為“二元”，不就是我們剛學過的二元一次方程組嗎。我們觀察這個方程組②中不含未知數z，如果能利用①和②消去z，不就又得到一個和②一樣只含x，y的二元一次方程④，將②和④聯立成二元一次方程組。也就將三元一次方程組消元，由“三元”變為“二元”。結果：解：由①－③得：－x+2y=8④；聯立②、④得：；由②+④得：y=9。把y=9代入②，得：x=10。把x=10，y=9代入①得：z=7。所以三元一次方程組的解為：。二元一次方程組的應用【課時安排】3課時【第一課時】【教學目標】（一）使學生初步掌握列二元一次方程組解應用題。（二）通過將實際問題轉化成純數學問題的應用訓練，培養學生分析問題、解決問題的能力。（三）通過對祖國文明史的了解，培養學生愛國主義精神，樹立為中華崛起而學習的信心。【教學重難點】一、重點。根據等量關系列二元一次方程組解應用題。二、難點。根據題意找出等量關系，列出方程。【教學過程】一、以歷史背景引課。我們偉大祖國具有五千年的文明史，在歷史的長河中，為科學知識的創新和發展做出了巨大的貢獻，特別在數學領域有[九章算術]、[孫子算經]等古代名著流傳于世，普及趨于民眾，許多問題淺顯易懂，趣味性強，如[九章算術]下卷第三題目“雉兔同籠”等，漂洋過海傳到了日本等國，對中國古代文明史的傳播起了很大作用。“雉兔同籠”題為：“今有雉兔同籠，上有三十五關，下有九十四足，問雉兔各幾何？”問題1：“上有三十五頭”指的意思是什么？“下有九十四足”呢？答：“上有三十五頭”指的雞和兔共有三十五個頭，“下有九十四足”指的是雞和兔共有九十四只腳。這個古老的數學問題，用今天的方程解決，體現了古為今用的原則，為后人理解了數學的過去和現在，當代的著名的數學家陳省生教授在說起“雞兔同籠”時，曾另有一番別有風趣的延伸：“全體雞兔立正，兔子提起前面的兩只腳，請問現在共有幾只腳？”二、暢所欲言。從上面的問題的解決中，你得到了什么感悟，有什么收獲？請與同學們交流。用方程組解決實際問題時應該注意下列幾個問題：認真讀題和審題，弄清古代問題的現實意義；正確設出未知數；找出相等關系，并列出方程組。解此方程組。寫出答案。三、動手動腦，練一練。（一）古代有一個捕快，一天晚上他在野外的一個茅屋里，聽到外邊來了一群人，在分贓，在吵鬧，他隱隱約約地聽到幾個聲音，下面有這一古詩為證：隔壁聽到人分銀，不知人數不知銀。只知每人五兩多六兩，每人六兩少五兩，問你多少人數多少銀？（二）“今有牛五、羊二、直金十兩，牛二、羊五，直金八兩，牛、羊各直金幾何？”四、課堂小結，理一理經過本節課的學習，你有什么收獲和體會？【第二課時】【教學目標】一、目標。（一）會正確地運用表格分析與“增收節支”相似一類問題的數量關系，會列二元一次方程組這類問題。（二）培養學生分析問題和解決問題的能力。（三）讓學生進一步經歷和體驗列方程組解決實際問題的過程，體會方程（組）是刻畫現實世界的有效數學模型，培養學生的數學應用能力。【教學重難點】會正確地運用表格分析與“增收節支”相似一類問題的數量關系，會列二元一次方程組這類問題。【教學過程】一、議一議。（一）增長（虧損）率問題的公式？原量（1+增長率）=新量，或原量（1-虧損率）=新量。（二）銀行利率問題中的公式？利息=本金×利率×期數，本息和本金+利息。二、做一做。（1）某工廠去年的利潤（總產值-總支出）為200萬元，今年總產值比去年增加了20%，總支出比去年減少了10%，今年的利潤為780萬元，去年的總產值、總支出各是多少萬元？設去年的總產值為x萬元，總支出為y萬元，則有總產值/萬元總支出/萬元利潤/萬元去年xy200今年（小組討論，完成上表）總產值/萬元總支出/萬元利潤/萬元去年xy200今年（1+20%）x（1-10%）y780根據題意得：，解之得：。答：去年的總產值為2000萬元，總支出1800萬元，變式：若條件不變，求今年的總產值、總支出各是多少萬元？簡析：如果設今年的總產值為x萬元，總支出為y萬元，則：讓學生動手解這個方程組，體驗這種解法的繁瑣，再讓學生探索，受上例的啟發，應該設間接未知數，設去年的總產值勤x萬元，總支出為y萬元，計算方便。醫院用甲、乙兩種原料為手術后的病人配制營養品，每克甲原料含0.5單位蛋白質和1單位鐵質，每克乙原料含0.7單位蛋白質和0.4單位鐵質，若病人每餐需要35單位蛋白質和40單位鐵質，那么每餐甲、乙兩種原料各多少克恰好滿足病人的需要？解：設每餐需甲、乙兩種原料各x、y克，則有下表：甲原料各x克乙原料各y克所配制營養品其中所含營養品0.5x單位0.7y單位(0.5x+0.7y)單位其中所含鐵質x單位0.4y單位(x+0.4y)單位根據題意，可得方程組：0.5x+0.7y=35x+0.4y=40化簡，得，5x+7y=350①5x+2y=200②①－②，得5y=150，y=30；將y=30代入①，得x=28。所以每餐需要甲原料28克、乙原料30克。解此題需要注意以下兩點：（一）甲（乙）原料所含蛋白質（鐵質）=甲（乙）原料的質量×每克所含蛋白質（鐵質）的含量。（二）甲原料所含蛋白質（鐵質）+乙原料所含蛋白質（鐵質）=營養品所含蛋白質（鐵質）。（2）甲、乙兩相距6千米，兩人同時出發，同向而行，甲3小時可追上乙；相向而行，1小時相遇，兩人的平均速度各是多少？解：設甲的平均速度是每小時行x千米，乙的平均速度是每小時行y，根據題意，得：；解這個方程組，得：。答：平均每小時甲行4千米，乙行2千米。四、小結。（一）做應用題時應強調列表分析數量關系的重要性。（二）設未知數有兩種方法：1．直接設元。2．間接設元，當直接設元較繁時應間接設元。（三）教后感：讓學生進一步經歷和體驗列方程組解決實際問題的過程，體會方程（組）是刻畫現實世界的有效數學模型，培養學生的數學應用能力。正確地運用表格分析與“增收節支”相似一類問題的數量關系，會列二元一次方程組這類問題。【第三課時】【教學目標】一、教學知識點。（一）用二元一次方程組解決“里程碑上的數”這一有趣場景中的數字問題和行程問題。（二）歸納出用二元一次方程組解決實際問題的一般步驟。二、能力訓練要求。（一）讓學生進一步經歷和體驗列方程組解決實際問題的過程，體會方程(組)是刻畫現實世界的有效數學模型。（二）初步體會列方程組解決實際問題的一般步驟。三、情感與價值觀要求。（一）“里程碑上的數”這一場景既是一個數字問題，又和行程有關。相對而言有一定難度，讓學生體驗把復雜問題化為簡單問題策略的同時，培養學生克服困難的意志和勇氣。（二）鼓勵學生合作交流，培養學生的團隊精神。【教學重難點】一、重點。（一）用二元一次方程組刻畫數學問題和行程問題。（二）初步體會列方程組解決實際問題的步驟。二、難點。將實際問題轉化成二元一次方程組的數學模型。【教學方法】引導——討論——發現法。【教學過程】一、創設情境，引入新課。（一）出示：［問題1］1．一個兩位數，個位數字是a，十位數字是b，那么這個數可表示為_________；如果交換個位和十位上的數字，得到一個新的兩位數可表示為_________。2．有兩個兩位數x和y，如果將x放在y的左邊，就得到一個四位數，那么這個四位數就可以表示為_________；如果將x放在y的右邊，得到一個新的四位數，那么這個新的四位數又可表示為_________。3．一個兩位數，個位上的數為m，十位上的數為n，如果在它們之間添上一個零，就得到一個三位數，用代數式表示這個三位數為_________。［師生共析］1．個位上的數字是a，即有a個1，十位數字是b個10，所以這個兩位數是b個10和a個1的和即10b+a；如果交換它們的位置，得到一個新的兩位數，即a個10與b個1的和即10a+b。2．兩位數x放在兩位數y的左邊，組成一個四位數，這時，x的個位數就變成了百位，十位數就變成了千位，因此這個四位數里含有x個100，而兩位數y在四位數中數位沒有變化，因此這個四位數中還含有y個1。因此用x、y表示這個四位數為100x+y。同理，如果將x放在y的右邊，得到一個新的四位數為100y+x。3．一個兩位數，個位上的數是m，十位上的數是n，如果在它們之間添上零，十位上的幾便成了百位上的數。因此這個三位數是由n個100，0個10，m個1組成的，用代數式表示這個三位數即為100n+m。［師］下面我們就用上面幾個小知識解決下面的綜合性問題。二、講援新課。［師］翻開課本，我們來研究“里程碑上的數”。同學們先閱讀課本上的第一段文字及文字下的三幅圖片，然后我請一位同學陳述一下問題的內容。［生］這個問題講的是：小明的爸爸騎著摩托車帶著小明在公路上勻速行駛。小明在12∶00時看到的里程碑上的數是一個兩位數，它的兩個數字之和是7；在13∶00時看到的里程碑上的數十位與個位數字與12∶00時看到的正好顛倒了；在14∶00時小明看到的里程碑上的數比12∶00時看到的兩位數中間多個0。試確定小明12∶00時看到里程碑上的數。［師］我們可以注意到“里程碑上的數”這一場景是非常有趣的，它既是一個數字問題，又和行程有關，同時，相對而言又有一定的難度。但我們知道一個復雜的問題往往是由幾個簡單的問題組合而成的，要想求出12∶00時小明看到的里程碑上的數，就得確定這個兩位數個位和十位上的數字。我們不妨設小明在12∶00時看到的數十位數字是x，個位數字是y，根據題意，你能將12∶00、13∶00、14∶00時小明看到的里程碑上的數表示出來嗎？［生］小明12∶00時看到的里程碑上的數可以表示為10x+y；13∶00時看到的里程碑上的數可表示為10y+x；14∶00時看到的里程碑上的數可表示為100x+y。［師］我們要想求出x、y的值，就得建立關于x、y的二元一次方程組這樣的數學模型，為此，我們必須找出題目中的等量關系。［生］12∶00時小明看到的里程碑上的數，它的兩個數字之和是7，于是我們可得到一個等量關系，用x，y表示即為x+y=7。［生］從題目中，我們還可以注意到小明的爸爸騎摩托車帶著小明在公路上是勻速行駛的。說明12∶00～13∶00與13∶00～14∶00兩段時間內所行駛的路程相等。現在我們最關鍵的是用x、y表示出12∶00～13∶00時間段所行駛的路程，13∶00～14∶00時間段所行駛的路程。［生］根據12∶00、13∶00、14∶00時小明看到的里程碑上的數可得：12∶00～13∶00間摩托車行駛的路程為(10y+x)－(10x+y)；13：00～14：00間摩托車行駛的路程為(100x+y)－(10y+x)。因此可列出相應的方程為(10y+x)－(10x+y)=(100x+y)－(10y+x)。［師］根據以上分析，同學們在練習本上列出方程組，解出方程組的解。（由兩位同學黑板上板演）。解：設小明在12∶00時看到的十位數字是x，個位數字是y，根據題意，得方程組：。①②化簡，得：①②把②代入①，得：x=1；把x=1代入②，得y=6；所以，這個方程組的解為。因此，小明在12：00時看到的里程碑上的數是16。［師］從對上述問題的求解過程，我們可以得到一點啟示：遇到較復雜的問題，我們通過把它化解為幾個簡單問題去分析，可以使思路清晰，使復雜問題在化解的過程中迎刃而解，下面我們再來看一下例題。出示：兩個兩位數的和是68，在較大的兩位數的右邊接著寫較小的兩位數，得到一個四位數；在較大的兩位數的左邊寫上較小的兩位數，也得到一個四位數。已知前一個四位數比后一個四位數大2718，求這兩個兩位數。分析1．本題目中的兩個等量關系為：較大的兩位數+較小的兩位數=68；前一個四位數－后一個四位數=2178。2．設較大的兩位數為x，較小的兩位數為y，在較大的數的右邊接著寫較小的數，所寫的數可表示為100x+y；在較大的數左邊寫上較小的數，所寫的數可表示為100y+x。解：設較大的兩位數為x，較小的兩位數為y，則；化簡，得：；即；解該方程組，得：；所以這兩個兩位數分別是45和23。三、課時小結。列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟是怎樣的？（引導學生回顧本章各個問題的解決過程，歸納出列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟。不一定要明晰一個十分具體的步驟。只要學生了解這個過程即可，不必要求學生回答規范化、統一化。）［師生共同分析］列二元一次方程組解應用題的主要步驟：1．弄清題意和題目中的等量關系。用字母表示題目中的兩個未知數。2．找出能夠表示應用題全部含義的兩個相等關系。3．根據這兩個相等關系列出需要的代數式，從而列出方程并組成方程組。4．解這個方程組并求出未知數的值。5．根據應用題的實際意義，檢查求得的結果是否合理？6．寫出符合題意的解釋。四、活動與探究。北京和上海能制造同型號電子計算機，除本地使用外，北京支援外地10臺，上海可支援外地4臺，現在決定給重慶8臺，武漢6臺，每臺運費如表所示。現在有一種調運方案的總運費為7600元。問：這種調運方案中北京、上海分別應調給武漢、重慶各多少臺？終終點起點武漢重慶北京48上海35過程：如果設這種調運方案中北京應調x臺到武漢，y臺到重慶；上海則應調(6－x)臺到武漢，(8－y)臺到重慶。由每臺運費的表格可知：北京—→武漢，費用需4x百元。北京—→重慶，費用需8y百元。上海—→武漢，費用需3(6－x)百元。上海—→重慶，費用需5(8－y)百元。合計7600元即76百元。結果：解：設這種調運方案中北京應調x臺到武漢，y臺到重慶；上海應調(6－x)臺到武漢，(8－y)臺到重慶，根據題意，得：；化簡得；解得。所以從北京調6臺到武漢，4臺到重慶；上海不用給武漢調，只需給重慶調4臺。二元一次方程與一次函數【教學目標】一、知識目標。（一）使學生初步理解二元一次方程與一次函數的關系。（二）能根據一次函數的圖象求二元一次方程組的近似解。（三）能利用二元一次方程組確定一次函數的表達式。二、能力目標。通過學生的思考和操作，在力圖提示出方程與圖象之間的關系，引入二元一次方程組圖象解法，同時培養了學生初步的數形結合的意識和能力。三、情感目標。通過學生的自主探索，提示出方程和圖象之間的對應關系，加強了新舊知識的聯系，培養了學生的創新意識，激發了學生學習數學的興趣。【教學重難點】一、重點。（一）二元一次方程和一次函數的關系。（二）能根據一次函數的圖象求二元一次方程組的近似解。二、難點。方程和函數之間的對應關系即數形結合的意識和能力。【教學過程】一、試一試。問題：方程x+y=5的解有多少個？寫出其中的幾個解來。方程x+y=5的解有無數多個，如：、、、、等。在直角坐標系中分別描出以這些解為坐標的點，它們在一次函數y=5－x的圖象上嗎？在一次函數y=5－x的圖象上任取一點，它的坐標適合方程x+y=5嗎？以方程x+y=5的解為坐標的所有點組成的圖象與一次函數y=5－x的圖象相同嗎？二、做一做。在同一直角坐標系內分別作出一次函數y=5－x和y=2x－1的圖象，這兩個圖象有交點嗎？交點的坐標與方程組的解有什么關系？你能說明理由嗎？一次函數y=5－x和y=2x－1的圖象的交點為（2，3），因此，就是方程組的解。例1：用作圖象的方法解方程組。解：由x－2y=－2可得y=，同理，由2x–y=2可得y=2x–2，在同坐標系中作出一次函數y=的圖象和y=2x–2的圖象，觀察圖象，得兩直線交于點（2，2），所以方程組的解是x=2，y=2。同學們從本題中感悟到什么？原來我們解二元一次方程組除了代入法和加減法外還可以用圖象法，那么用作圖法來解方程組的步驟如下：（一）把二元一次方程化成一次函數的形式。（二）在直角坐標系中畫出兩個一次函數的圖象，并標出交點。（三）交點坐標就是方程組的解。三、想一想。在同一直角坐標系中，分別畫出一次函數y=x+1和y=x－2的圖象，觀察它們有怎樣的位置關系？方程組的解的情況如何？你發現了什么？兩條直線平行，所以方程組無解。四、練一練。用作圖象的方法解方程組。由2x+y=4得y=－2x+4由2x－3y=12可得y=在同一直角坐標系中做出函數y=－2x+4和函數y=的圖象，觀察圖象可得交點為（3，－2），所以方程組的解是。五、教后感。（一）通過學生的思考和操作、自主探索，畫圖提示出方程與圖象之間的關系，引入二元一次方程組圖象解法，同時培養了學生初步的數形結合的意識和能力。使學生初步理解二元一次方程與一次函數的關系并能根據一次函數的圖象求二元一次方程組的近似解。（二）通過學生的提示出方程和圖象之間的對應關系，加強了新舊知識的聯系，培養了學生的創新意識，激發了學生學習數學的興趣。【第二課時】【教學目標】一、知識與技能。二元一次方程和一次函數的關系。二、過程與方法。通過學生的思考和比較，進而獲得從圖象等信息確定一次函數表達式的方法。同時培養了學生初步的數形結合的意識和能力。三、情感態度與價值觀。通過學生的自主探索、思考和比較，進而獲得從圖象等信息確定一次函數表達式的方法，加強一次函數與二元一次方程的聯系。【教學重難點】一、重點。從圖象等信息確定一次函數表達式的方法。二、難點。方程和函數之間的對應關系即數形結合的意識和能力。【教學過程】一、創設情景，引入新課。出示：A、B兩地相距100千米，甲、乙兩人騎車同時從A、B兩地相向而行。假設他們都保持勻速行駛，則他們各自到A地的距離s（千米）都是騎車時間t（時）的一次函數。1時后乙距A地80千米；2時后甲距A地30千米。問經過多長時間兩人將相遇？你是怎樣做的？與同伴交流。小明：可以分別做出兩人s與t之間的圖象（如圖所示）：出交點的橫坐標就行了！小穎：對于乙s是t的一次函數，可設s=kt+b，當t=0時，s=100；t=1時，s=80；將它們分別代入s=kt+b中可求出k、b的值，也即可求出s與t的函數表達式。同樣可以求出甲s與t的函數表達式，再聯立這個表達式求解方程組就行了。小彬：1時后乙距A地80千米，即乙速度是20千米/時，2時后甲距A地30千米，也即甲速度是15千米/時，由此可以求出甲、乙兩人的速度和為20+15=35（千米/時）所以兩人相遇需要的時間為==2（小時），由此可以看出一道題可以用三種不同的方法來解：通過畫圖象解方程，用消元法解方程組，用解方程三種方法，由此可知，二元一次方程和一次函數密切相關——這節課我們繼續研究：二元一次方程和一次函數的關系。二、講授講課。（一）提出問題，引發討論。你明白他們的想法嗎？用他們的方法做一做，看看和你的結果一致嗎？小明的方法求出的結果準確嗎？小明的想法是：由于在前一課時已經有了用作圖象的方法解方程組的經驗，因此較為自然的做法是畫圖象，但畫圖的結果多是近似的難以精確。小穎的想法是：確定甲、乙各自的s與t之間的函數表達式，再用消元法解方程組，能準確地求出結果。小彬的想法是：根據行程問題中的相遇問題，找出等量關系列一元一次方程來解。通過對上述幾種方法的比較，發現小穎的想法很好，既利用了小明的想法的優點，克服了他的想法的缺點。優點：直觀地獲得問題的結果，使考慮問題的思路清晰，借助圖象幫助我們尋找解題途徑；缺點：作圖象的方法難以獲得準確的結果，由此可見當遇到一次函數，二元一次方程有關的問題，要認真審清題意，必要時要借助數形結合，從圖象信息確定一次函數表達式加強一次函數與二元一次方程的聯系。（二）導入知識，解釋疑難。從上面的問題中，用作圖象的方法可以直觀地獲得問題的結果，但有時卻難以準確，為了獲得準確的結果，我們一般用代數方法。例題講解：某長途汽車客運站規定，乘客可以免費攜帶一定質量的行李，但超過該質量則需購買行李票，且行李費y（元）是行李質量x（千克）的一次函數。現知李明帶了60千克的行李，交了行李費5元；張華帶了90千克的行李，交了行李費10元。1．寫出y與x之間的函數表達式。2．旅客最多可免費攜帶多少千克的行李？解：1．設y=kx+b依題意得；②－①得30k=5，。將k=代入①得b=－5，所以y=x－5。2．當x=30時，y=0，所以旅客最多可免費攜帶30千克的行李。三、隨堂練習。（一）圖中的兩直線l1，l2的交點坐標可以看作方程組_________的解。解：根據圖象可知l1過點(1，3)、(0，1)。設l1是函數y=k1x+b1的圖象，根據題意，得；解之得k1=2，b1=1。所以l1是函數y=2x+1的圖象。l1同理可得l2是函數y=4－x的圖象。所以l1、l2交點的坐標可看作二元一次方程組的解。四、課時作業設計。A、B兩地相距50千米，甲于某日下午1時騎自行車從A地出發駛往B地，乙也于同日下午從A地出發駛往B地，如下圖中，折線PQR和線段MN分別表示甲和乙，所行的里程S與該日下午時間t之間的關系。（一）甲出發多少小時乙才開始出發？（二）乙行使多少小時就能追上了甲，這時兩人離B地還有多少千米？答案：解：（1）甲下午1時出發，乙下午2時出發，乙比甲晚1小時出發。（2）設QR的表達式為s=k1t+b1點Q(2，20)、R(5，50)。依題意得：；解之得：。所以QR的表達式為s=10t。設MN的表達式為s=k2t+b2點M(2，0)、N(3，50)。依題意得：；解之得：。所以MN的表達式為s=50t－100；解方程組；得。所以乙行使2.5－2=0.5（小時）就追上甲，此時兩人離B地還有：50－25=25千米。三元一次方程組【教學目標】1．通過對二元一次方程組的類比學習，了解三元一次方程組的概念，會用“代入”“加減”把三元一次方程組化為“二元”、進而化為“一元”方程來解決；2．再次經歷找等量關系、建立方程模型的活動過程。在解方程組的過程中體會其基本思想就是“消元”。無論是解二元一次方程組、還是三元一次方程組，推廣到四元、五元、多元一次方程組，基本策略都是化多為少、逐一解決，具體措施都是“代入”或“加減”，以實現“消元”，轉化為一元一次方程，從而得解。【教學重點】讓學生感受把新知轉化為已知、把不會的問題轉化為學過的問題、把難度大的問題轉化為難度較小的問題這一化歸思想。【教學難點】感受數學知識之間的密切聯系，增強學生的數學應用意識，初步培養學生建立數學模型解決問題的良好習慣。【教學方法】自主探究合作交流。【教學過程】一、創設情景，導入新課。內容：問題1．已知甲、乙、丙三數的和是23，甲的數比乙的數大1，甲的數的兩倍與乙的數的和比丙數大20，求這三個數。在這個方程組中，和都含有三個未知數，并且所含未知數的項的次數都是1，這樣的方程叫做三元一次方程（linearequationwiththreeunknowns）。像這樣共含有三個未知數的三個一次方程所組成的一組方程，叫做三元一次方程組（systemoflinearequationswiththreeunknowns）。關注概念中的三個要點：1．未知數的個數；2．未知數的次數；3．未知數同時滿足三個等量關系。三元一次方程組中各個方程的公共解，叫做這個三元一次方程組的解。二、類比學習，探究新知。內容：引導學生回顧前面所學二元一次方程組解法的基本指導思想——消元，以及消元的基本方法（代入消元、加減消元），嘗試對。進行消元，從而解決問題1。步驟（一）選取一種方法解此三元一次方程組，由學生獨立思考解決，教師注意指導學生規范表達。步驟（二）在學生獨立選擇方法解決的基礎上，引導學生進行比較：在解三元一次方程組時的消元與解二元一次方程組的消元有什么不同？解上面的方程組時，你能先消去未知數y（或z），從而得到方程組的解嗎？1．三元一次方程組的消元可以類比二元一次方程組的消元進行；2．用代入消元法：由于方程組③式的特點，可將③式分別代入①②式，消去x，從而轉化為關于y，z的二元一次方程組的求解；3．用加減消元法：由于③式中沒有含z，可以將①，②式聯立相加，消掉z，從而得到關于x，y的二元一次方程組的求解；4．總結求解三元一次方程組的整體思路——消元，實現三元二元一元的轉化。在消元過程中，消“誰”都行，用那種消法（代入法、加減法）也可，但如果選擇合適，可提高計算的效率。三、理解鞏固。內容：解方程（1）（2）四、實際應用。內容：某校初中三個年級共有651人，八年級的學生比九年級的學生人數多10%，七年級的學生比八年級多5%，求三個年級各有多少學生？解：由題意設七，八，九年級的學生人數分別為x，y，z人，得方程：由②可將z用y表示，由③可將x用y表示，代入①可得到關于y的一元一次方程。解得：。所以，七，八，九年級的學生人數分別為231，220，200人。五、課堂小結。內容：（一）三元一次方程組的概念；（二）三元一次方程組的解法；三元三元一次方程組二元一次方程組一元一次方程消元消元注意選好要消的“元”，選好要消的“法”：代入消元、加減消元。（三）談談求解多元一次方程組的思路，提煉化歸的思想。【作業布置】1．課本習題。2．有同學說列三元一次方程組能解決的問題，一元一次方程也能解決，說一下你的看法。【教學反思】1．本節課的內容屬于選修學習的內容，主要突出對數學興趣濃厚、學有余力的同學進一步探究和拓展使用，在數學方法和思想方面需重點引導，通過引導，使學生明白解多元方程組的一般方法和思想，理解鞏固環節需多注意多種解題方法的引導，并且比較各種解題方法之間的優劣，總結出解多元方程的基本方法。2．作為選修課，在內容上要讓學生理解三元一次方程組概念的同時，要讓學生理解為什么要用三元一次方程組甚至多元方程組去求解實際問題的必要性，從而掌握本堂課的基礎知識。在教學的過程中，要讓學生充分理解對復雜的實際問題方程中元越多，等量關系的建立就越直接；充分理解代入消元法和加減法解方程的優點和缺點，有關這一方面的題目要讓學生充分討論、交流、合作，其理解才會深刻。定義與命題【課時安排】2課時【第一課時】【教學目標】一、知識目標。從具體實例中，探索出定義，并了解定義在現實生活中的重要性。從具體實例中，了解命題的概念，并會區分命題。二、能力目標。通過從具體例子中提煉數學概念，使學生體會數學與實踐的聯系。【教學重難點】一、重點。命題的概念。二、難點。命題的概念的理解。【教學過程】一、巧設現實情境，引入新課。“有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。”這一簡短的語句既說明了等腰三角形是三角形的一類，又指出了等腰三角形區別于其他三角形的本質特征。我們把它叫做等腰三角形的定義。這節課我們就要研究：定義與命題。二、講授新課。在日常生活中，為了交流方便，我們就要對名稱和術語的含義加以描述，做出明確的規定，也就是給他們下定義。如：“具有中華人民共和國國籍的人，叫做中華人民共和國的公民”是“中華人民共和國公民”的定義。大家還能舉出一些例子嗎？定義實際上就是一種規定。例如，“大于直角而小于平角的角叫做鈍角。”這個定義規定了凡是大于直角而小于平角的角都是鈍角，反過來，凡是鈍角都大于直角而小于平角。這個定義既可以作為鈍角的一種判定方法——凡是大于直角而小于平角的角都可以“判定”為鈍角，又可以作為鈍角的性質——鈍角都大于直角而小于平角。過去我們學習過數、式和圖形的一些性質。（一）例如：1．如果a=b，那么a+c=b+c；2．對頂角相等；3．如果a，b，c是三角形的三條邊長，并且a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形；4．如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。上面給出的語句都是對某件事情進行判斷的句子。對事情做出判斷的句子，就叫做命題。即：命題是判斷一件事情的句子。（二）例如：1．熊貓沒有翅膀。2．對頂角相等。3．大家能舉出這樣的例子嗎？4．兩直線平行，內錯角相等。5．無論n為任意的自然數，式子n2－n+11的值都是質數。6．任意一個三角形都有一個直角。7．如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。8．全等三角形的對應角相等。大家舉出許多例子，說明命題就是肯定一個事物是什么或者不是什么，不能同時既否定又肯定，如：你喜歡數學嗎？作線段AB=A。平行用符號“∥”表示。這些句子沒有對某一件事情做出任何判斷，那么它們就不是命題。一般情況下：疑問句不是命題。圖形的作法不是命題。三、課堂練習。（一）你能列舉出一些命題嗎？答案：能。如：你是人。（二）舉出一些不是命題的語句。答案：如：你是人嗎？四、課時小結。本節課我們通過具體實例，說明了定義在生活中的重要性。在具體實例中，了解了命題的概念。命題：判斷一件事情的句子。【第二課時】【教學目標】一、知識目標。了解真命題、假命題、定理的含義，會區分命題的條件（題設）和結論，奠定推理論證的基礎。二、能力目標。初步體會公理化思想，并了解本套教材所采用的公理。三、情感目標。通過介紹歐幾里得的《原本》，使學生感受公理化方法對數學發展和促進人類文明進步的價值。【教學重難點】一、重點。對命題的組成能清楚地區分，對命題的真假能準確地判斷。二、難點。體會公理化思想。【教學過程】一、創設情境。（一）活動：觀察下列命題，你能發現這些命題有什么共同的結構特征？與同伴交流。1．如果兩個三角形的三條邊對應相等，那么這兩個三角形全等。2．如果a=b，那么a2=b2。3．如果一個三角形是等腰三角形，那么這個三角形的兩個底角相等。4．如果兩個三角形中有兩邊和一個角分別相等，那么這兩個三角形全等。5．如果兩個角是內錯角，那么它們相等。討論如下問題：1．哪些命題是正確的？哪些命題是錯誤的？2．這些命題有什么共同的特征？3．你能仿照這些命題的結構特征寫出幾個命題嗎？（通過討論、交流，引導學生抓住命題的結構特征“如果……那么……”，進而概括出：命題都是由條件和結論兩部分組成的，條件就是已經知道的事項，結論就是由已知的事項推斷出的事項。）（主要讓學生通過所給例子的學習，逐步感悟、體會命題的含義和結構，不要讓學生機械記憶。）（二）活動：做一做。下列各命題的條件是什么？結論是什么？1．面積相等的兩個三角形全等。2．同角的補角相等。3．兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等。上述命題中哪些是正確的？哪些是不正確的？你怎么知道它們是不正確的？與同伴交流。（可引導學生先將命題進行改寫，寫成“如果……那么……”的統一結構形式，進一步區分命題的條件和結論；通過判別命題的正誤，讓學生領會命題的真、假（即真命題與假命題）同時引導學生體會：要說明一個命題是假命題，通常舉出一個反例就可以了。）（三）活動：想一想：如何證實一個命題是假命題呢？要判斷一個命題是假命題，只要能夠舉出一個例子，使之具備命題的條件，而不具有命題的結論，就可以說明這一命題是假命題，這種例子通常稱為反例。你能舉出一個反例，說明“相等的角是對頂角”是假命題嗎？介紹歐幾里得《原本》。二、課堂小結。命題都是由條件和結論兩部分組成的，命題有真命題和假命題兩類。證明的必要性【教學目標】1．知識目標：經歷觀察、驗證、歸納等過程，使我們對由這些方法所得到的結論產生懷疑，從此激發我們的好奇心理，認識證明的必要性，體會檢驗數學結論的常用方法：實驗驗證、舉出反例、推理等。2．能力目標：提高推理意識。【教學重難點】體會證明的必要性。【教學準備】投影儀、投影片。【教學方法】引導探究、合作交流。【教學過程】一、創設情境，提出問題：小明任意畫了幾個三角形，用量角器分別測量各三角形內角的度數，然后把三個角度加起來，發現每個三角形的內角的和都是180度，于是他就得出了一個一般性的結論：三角形的三個內角的和等于180度。小穎對小明的做法提出了異議：你怎么知道你的結論一定可靠呢？三角形有無數個，你才測量了幾個三角形？即使測量幾千個、幾萬個，也只是很小的一部分，怎么能從這很小的一部分的性質推出所有三角形的性質呢？再說，你的測量不可能沒有誤差，你怎么能確定三角形的內角和正好是180度，而不是181度或179度呢？二、設置問題，步步引導：在數學學習中，我們可以通過實驗、歸納、觀察、猜測等方法，得到數學命題，你是否想過，通過這些方法得到的命題一定是真命題嗎？三、層層深入，挖掘特點：（一）當n=0，1，2，3，4時，代數式n2-n+11的值是質數還是合數？小明由此得出一個命題：對于所有自然數n，n2-n+11的值都是質數，你認為小明得出的命題是真命題嗎？為什么？（二）小剛發現，……，由此得出一個命題：任何一個整數都大于它的倒數。你認為小剛得出的命題正確嗎？為什么？與同伴進行交流。（三）小穎在一張紙上畫出一條直線，這條直線把紙面分成2部分；她在紙上又畫出一條直線，發現這兩條直線最多可以把紙面分為4部分。于是她猜想：“三條直線最多可以把一個平面分為6部分。”小明則認為：“三條直線最多可以把一個平面分為7部分。”你認為誰的說法是正確的？為什么？與同伴進行交流。結論：要判斷一個命題是不是真命題，僅僅依靠經驗、觀察、實驗和猜想是不夠的，必須一步一步，有根有據地進行推理，推理的過程叫做證明。四、指導應用，鼓勵創新：（一）在數學學習中，你用到過推理嗎？舉例說明。（二）在日常生活中，你用到過推理嗎？舉例說明。（可舉我們學過的定理的證明。）五、歸納小結：證明及證明的必要性。基本事實與定理【教學目標】一、目標。（一）知識目標：了解公理、定理的含義，初步體會公理化思想，并了解本套教科書所采用的公理。（二）情感目標：通過介紹歐幾里得的《原本》，使學生感受公理化方法對數學發展和促進人類文明進步的價值。【教學重難點】根據命題寫出已知、求證。【教學方法】引導探究、合作交流。【教學過程】一、創設情境，提出問題：如何通過推理的方法證實一個命題是真命題呢？二、設置問題，步步引導：在數學發展史上，數學家們也遇到過類似的問題，公元前3世紀，古希臘數學家歐幾里得將前人積累下來的豐富的幾何學成果整理在系統的邏輯體系中，他挑選了一部分不定義的數學名詞（稱為原名）和一部分公認的真命題（稱為公理）作為證實其他命題的起始依據，定義出其他有關的概念，并運用推理的方法，證實了數百個有關的命題，使幾何學成為一門具有公理化體系的科學。三、層層深入，挖掘特點：通過長期實踐總結出來，并且被人們公認的真命題叫做公理。例如，歐幾里德將“兩點確定一條直線”、“直角都相等”等五條基本幾何事實作為公理。通過推理得到證實的真命題叫做定理。本教科書選用如下命題作為基本事實：（一）兩點確定一條直線。（二）兩點之間線段最短。（三）同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。（四）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。簡單的說：同位角相等，兩直線平行。（五）過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行。（六）兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等。（七）兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等。（八）三邊分別相等的兩個三角形全等。此外，等式的有關性質和不等式的有關性質都可以看作公理，例如，“在等式或不等式中，一個量可以用它的等量來代替”簡稱為“等量代換”。四、指導應用，鼓勵創新：證明：等角的補角相等。已知：∠1=∠2，∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°。求證：∠3=∠4。證明：∵∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°（已知），∴∠3=180°－∠1，∠4=180°－∠2（等式的性質）。∵∠1=∠2（已知），∴∠3=∠4（等式的性質）。這樣，我們便可以把上面這個經過證實的命題稱作定理了，已經證明的定理可以作為以后推理的依據。證明一個命題的正確性，要按“已知”“求證”“證明”的順序和格式寫出，其中“已知”是命題的條件，“求證”是命題的結論，而“證明”則是由條件（已知）出發，根據已給出的定義，公理，已經證明的定理，經過一步一步的推理，最后證實結論（求證）的過程。平行線的判定定理【教學目標】1．熟練掌握平行線的判定公理及定理。2．能對平行線的判定進行靈活運用，并把它們應用于幾何證明中。3．通過經歷探索平行線的判定方法的過程，發展學生的邏輯推理能力，逐步掌握規范的推理論證格式。4．通過學生畫圖、討論、推理等活動，給學生滲透化歸思想和分類思想。【教學重難點】1．熟練掌握平行線的判定公理及定理；2．能對平行線的判定進行靈活運用，并把它們應用于幾何證明中。【教學過程】一、情景引入。活動內容：回顧兩直線平行的判定方法。師：前面我們探索過直線平行的條件。大家來想一想：兩條直線在什么情況下互相平行呢？生1：在同一平面內，不相交的兩條直線就叫做平行線。生2：兩條直線都和第三條直線平行，則這兩條直線互相平行。生3：同位角相等兩直線平行；內錯角相等兩直線平行；同旁內角互補兩直線平行。師：很好。這些判定方法都是我們經過觀察、操作、推理、交流等活動得到的。上節課我們談到了要證實一個命題是真命題。除公理、定義外，其他真命題都需要通過推理的方法證實。我們知道：“在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線”是定義。“兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行”是公理。那其他的三個真命題如何證實呢？這節課我們就來探討。活動目的：回顧平行線的判定方法，為下一步順利地引出新課埋下伏筆。教學效果：由于平行線的判定方法是學生比較熟悉的知識，教師通過對話的形式，可以使學生很快地回憶起這些知識。二、探索平行線判定方法的證明。活動內容：（一）證明：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行。師：這是一個文字證明題，需要先把命題的文字語言轉化成幾何圖形和符號語言。所以根據題意，可以把這個文字證明題轉化為下列形式：如圖，已知，∠1和∠2是直線a、b被直線c截出的同旁內角，且∠1與∠2互補，求證：a∥b。如何證明這個題呢？我們來分析分析。師生分析：要證明直線a與b平行，可以想到應用平行線的判定公理來證明。這時從圖中可以知道：∠1與∠3是同位角，所以只需證明∠1=∠3，則a與b即平行。因為從圖中可知∠2與∠3組成一個平角，即∠2+∠3=180°，所以：∠3=180°-∠2。又因為已知條件中有∠2與∠1互補，即：∠2+∠1=180°，所以∠1=180°－∠2，因此由等量代換可以知道：∠1=∠3。師：好。下面我們來書寫推理過程，大家口述，老師來書寫。（在書寫的同時說明：符號“∵”讀作“因為”，“∴”讀作“所以”）證明：∵∠1與∠2互補（已知），∴∠1+∠2=180°（互補定義）。∴∠1=180°－∠2（等式的性質）。∵∠3+∠2=180°（平角定義），∴∠3=180°－∠2（等式的性質）。∴∠1=∠3（等量代換）。∴a∥b（同位角相等，兩直線平行）。這樣我們經過推理的過程證明了一個命題是真命題，我們把這個真命題稱為：直線平行的判定定理。這一定理可簡單地寫成：同旁內角互補，兩直線平行。注意：1．已給的公理，定義和已經證明的定理以后都可以作為依據。用來證明新定理。2．證明中的每一步推理都要有根據，不能“想當然”。這些根據，可以是已知條件，也可以是定義、公理，已經學過的定理。在初學證明時，要求把根據寫在每一步推理后面的括號內。（二）證明：內錯角相等，兩直線平行。師：小明用下面的方法做出了平行線，你認為他的作法對嗎？為什么？生：我認為他的作法對。他的作法可用上圖來表示：∠CFE=45°，∠BEF=45°。因為∠BEF與∠FEA組成一個平角，所以∠FEA=180°－∠BEF=180°－45°=135°。而∠CFE與∠FEA是同旁內角。且這兩個角的和為180°，因此可知：CD∥AB。師：很好。從圖中可知：∠CFE與∠FEB是內錯角。因此可知：“內錯角相等，兩直線平行”是真命題。下面我們