寧波市2023學年第二學期期末考試

高二數學試題卷

本試卷共4頁，19小題，滿分150分。考試用時120分鐘。

注意事項：

1.答卷前，考生務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、學校、準考證號填涂在答題卡

±o將條形碼橫貼在答題卡的“貼條形碼區

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案標號涂黑;

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。所有答案必須寫在答題卡上，寫在試卷上無

效。

3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應

位置上：如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液。不

按以上要求作答的答案無效。

4.考生必須保持答題卡的整潔，不要折疊、不要弄破。

選擇題部分（共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的。

1.已知集合。={1,2,3,4,5},Z={1,2,4},5={1,5},貝！1(令()

A.0B.{1}C.網D.{1,5}

z=l+2i,則工的虛部為（

2.已知復數)

z

22.2.2

A.-B.-1C.----1D.----

5555

4八r/Sina+cosa

3.已知角a的終邊過點(-4,3),則m=()

117

A.——B.——C.D.-

2343

u

4.已知d9B為單位向量，貝1]”是\a-21+B”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.對于直線加，〃和平面a,0,下列說法簿誤的是（）

A.若加〃a,n//a,m,〃共面，則加〃〃

B.若加ua,n//a,m,〃共面，則加〃〃

C.若加_L/?,豆a〃B,則加_La

D.若加_La,且加〃則

22

6.^Inx-lny>y-xf貝U()

A.ex~y>1B.ex~y<1C.ln|x-y|>0D.ln|x-y|<0

7.袋子中有幾個大小質地完全相同的球，其中4個為紅球，其余均為黃球，從中不放回地依次隨機摸出2

個球，已知摸出的2個球都是紅球的概率為工，則兩次摸到的球顏色不相同的概率為()

6

54-513

A.—B.—C.-D.—

189918

8.頤和園的十七孔橋，初建于清乾隆年間；永定河上的盧溝橋，始建于宋代；四川達州的大風高拱橋，修

建于清同治7年，這些橋梁屹立百年而不倒，觀察它們的橋梁結構，有一個共同的特點，那就是拱形結構,

這是懸鏈線在建筑領域的應用。懸鏈線出現在建筑領域，最早是由十七世紀英國杰出的科學家羅伯特?胡

克提出的，他認為當懸鏈線自然下垂時，處于最穩定的狀態，反之如果把懸鏈線反方向放置，它也是一種

穩定的狀態，后來由此演變出了懸鏈線拱門，其中雙曲余弦函數就是一種特殊的懸鏈線函數，其函數表達

式為cos/z(x)=e'；e:相應的雙曲正弦函數的表達式為sin/z(x)=三色:.若關于x的不等式

4加以)5〃2(%)一45吊〃(2X)-1>0對任意的工>0恒成立，則實數冽的取值范圍為()

A.(2,+8)B.[2,+8)C.,+coJD.—,+coj

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.已知平面向量1=(1,2),b=[-2,x),貝U()

A.當x=2時，a+b=(-1,4)B.若G〃B,則x=-l

c.若萬,則x=lD.若1與B的夾角為針角，貝！|xe(—00,—4)U(—4,1)

X

m，2-1

10.已知函數/(x)=2'+]是奇函數，則下列說法正確的是()

A.m=lB.=無解

C./(x)是減函數D./(2024)+/(-2023)>0

—?1——■——.1——.

11.如圖，點P是棱長為3的正方體48CD—481GA的表面上一個動點，AXE=-AXBX,AXF=-AxDx,

與「〃平面/ER則下列說法正確的是()

G

A.三棱錐Z-PEE的體積是定值B.存在一點尸，使得

D.五面體防-的外接球半徑為交五

C.動點尸的軌跡長度為5挺+2JHJ

6

非選擇題部分（共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

log3x,0<x<l

12.設/（》）=1，則/（/（2））=.

._1

J+X

13.已知正實數x,y滿足》2+4/—29=1,則成的最大值為.

14.在△/8C中，a,6,c分別是/,B,C所對的邊，b2-a2=-c2,當tan2+取得最小值時，角

3tan5

C的大小為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15,（13分）已知單位向量,，。2滿足q,C2=g.

（1）求恒+3e21；

（2）求,-3%在q上的投影向量（用耳表示）.

a）>Q,H<|）的部分圖象如圖，P《,0）和

16.（15分）函數/（X）=Zsin（Gx+0）（4〉0,

均在函數/（x）的圖象上，且。是圖象上的最低點.

（1）求函數/（X）的單調遞增區間；

1

（2）若/（X。）=,x0ej,-|,求cos胃的值.

17.（15分）如圖，在三棱錐P—中，ZABC=ZPBC=45°,PA=C,AB=BC=PB=2,

40L8C,點。在5c上，點￡為我的中點.

（1）求證：平面尸40_L平面依C；

（2）求BE與平面尸2。所成角的正弦值.

18.（17分）為紀念五四青年運動105周年，進一步激勵廣大團員青年繼承和發揚五四精神，寧波市教育局

組織中小學開展形式多樣、內容豐富、彰顯青年時代風貌的系列主題活動.某中學開展“讀好紅色經典，

爭做強國少年”經典知識競賽答題活動，現從該校參加競賽的全體學生中隨機選取100份學生的答卷作為

樣本，所有得分都分布在［0,140］,將得分數據按照［0,20）,［20,40）,…，［120,140］分成7組，得到如

圖所示的頻率分布直方圖.

（1）估計該中學參加競賽學生成績的平均分（注：同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）;

（2）估計該中學參加競賽學生成績的第75百分位數（結果精確到0.1）；

（3）若競賽得分100分及以上的學生視為“強國少年”.根據選取的100份答卷數據統計；競賽得分在

［100,120）內學生的平均分和方差分別為110和9,競賽得分在［120,140］內學生的平均分和方差分別為128

和6,請估計該中學“強國少年”得分的方差.

19.（17分）己知函數/（X）=/一4Mx+3/.

5

（1）當“=1時，求/，并判斷函數/（x）零點的個數;

<2\2

（2）當//￡時，/（X）有三個零點項，x2,Xj（X]<X,<&）,i己-----=^,z=1,2,3.證

X

\i3,7

明:

①2<$+2X2+3X3<5；

o11

②%+,

o1

32

參考公式：（X-X1）（X-X2）（X-X3）=X-（%1+x2+X3）x+（X1X2+X2X3+%3項）X-X1X2X3.

寧波市2023學年第二學期期末考試

高二數學參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的。

1.C2.D3.B4.C5.A

6.A7.C8.B

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.ACD10.ABD11.ACD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

1兀

12.-113.—14.-

22

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（13分）

解：（1）［2,+3e2|=Jg+3e?|=V4+9+6=y/19.....6分

（2）4-3瓦在弓上的投影向量為13分

16.（15分）

解：（1）由題得Z=JL之7=3,故7=4,

—+2kn，左eZ,

42

故°=一^+2版，k&Z,網<],故（p

2

兀/兀C74k,即/（x）單調遞增區間為—；+4左1+4左，

--+2br<-x------V—F2左兀=>—-+4k<x<-+

223233

左eZ.9分

即sinl|x-^458'則會。蘭

（2）由f（x）=--0，又me,故

0533如

71713

5

V33+4百?〈八

cosl|x71兀71兀7117171

0=cos+—=cos屋廠sm7。一二---二..........157T

32210

17.（15分）

解：（1）;AB=BC=PB,ZPBC=ZABC=45°,BD=BD,：.APBD咨A4BD.AD工BC,

：.PD1BC."：AD,PDu平面APD,。=￡>,；.5CJ_平面：BCu平面P8C,...平

面產401.平面PBC.

（2）過點/作P￡>的垂線交PD于M,過點￡作/M的平行線交PD于點N,連接BN.

?.?平面PBCn平面尸4D=PD,ZMu平面AMLPD,

ZM_1_平面P3C.EN//AM,￡N_L平面尸2C,/E3N就是AE■與平面P3C所成的角.：

ZABD=ZPBD=45°,AD=PD=41.

?：PA=4i,.?.△APD為等邊三角形，AAM=—

2

：￡為4尸的中點，,EN=工=諉.在△E43中易知8E=—,/.sinAEBN=—=￡=巨.

242BE2V714

721

因此，8E與平面必C所成角的正弦值為……15分

14

18.（17分）

解：（1）

（0.0025x10+0.0050x30+0.0100x50+0.0175x70+0.0075x90+0.0050x110+0.0025x130）

x20=69（分），據此估計該校參加競賽學生成績的平均分約為69分.……5分

（2）前4組頻率和為（0.0025+0.0050+0.0100+0.0175）x20=0.7,第5組頻率為0.0075x20=0.15,

故第75百分位數在［80,100）內，即第75百分位數為80+x20=86.7（分）.據此估計該校參

加競賽學生成績的第75百分位數約為86.7分.……10分

（3）競賽得分在［100,120）內學生的答卷數為0.0050x20x100=10；分數記為西，/，…，/，其平

均數記為無，方差記為4；競賽得分在［120,140）內學生的答卷數為0.0025x20x100=5；分數記為％,

%，…，八，其平均數記為歹，方差記為學；把“強國少年”得分的平均數記為彳，方差記為/.根據

方差的定義，總樣本方差為：

52=1￡（西-4+￡回-彳）2=\101；+￡一［2］+5h+5-邙.（*）

由元=110,歹=128,根據按比例分配分層隨機抽樣總樣本平均數與各層樣本平均數的關系，可得總樣本

10_5_10x110+5x128

平均數為:----------XH---------V=-------------------------------=116.

10+510+5.15

把已知的平均數和方差的取值代入(*)可得：52=—110[9+(110-116)21+5[6+(128-116)215=80.

據此估計該學?！皬妵倌辍钡梅值姆讲罴s為80.……17分

19.（17分）

解：(1)法1：當瓦=1時，/(x)=/—4x+3,所以1.令/(x)=0可得(x—1)卜2+x—3)=0,

-1+、府

所以x=l或,所以函數/(x)的零點個數為3.

法2：當i/=l時，/(X)=X3-4X+3,所以又/(一3)=—12<0,/(0)=