2024高考數學專項復習

史上最全橢圓二級結論大全

f2\pp\

l.\PFU\PF2\=2a2.標準方程=+==13.」Ue<l

ab4

4.點P處的切線PT平分APFF?在點P處的外角.

5.PT平分△PBF2在點P處的外角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長

軸的兩個端點.

6.以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應準線相離.7.以焦點半徑PB為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內

切.

8.設Ai、A2為橢圓的左、右頂點，則△PF1F2在邊PF2(或PFi)上的旁切圓，必與A1A2所在的直線切于

A](或Ai).

22

9.橢圓=+2r=1(a>b>0)的兩個頂點為A(-a,0),4(a,0),與y軸平行的直線交橢圓于Pi.P2時

ab

2

AR與A2P2交點的軌跡方程是二

a

10.若兄(%,％)在橢圓與+4=1上，則過凡的橢圓的切線方程是誓+$尹=1.

abab

22

11.若￡)(%,%)在橢圓二+與=1外，則過PO作橢圓的兩條切線切點為Pl、P2,則切點弦P1P2的直線

ab

J34王THk=1.

ab2

12.AB是橢圓=+當=1的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則自

aba

2222

13.若6(%,%)在橢圓5+與=1內，則被p。所平分的中點弦的方程是￥+岑=2+4.

ababatr

2222

14.若兄(x°,%)在橢圓0+2=1內，則過P。的弦中點的軌跡方程是5+當=警+邛.

ababab

22-111-1

15.若PQ是橢圓二+多=l(a>b>0)上對中心張直角的弦，則===+=|。尸|/=|OQ\).

ab八r1ab

22

16.若橢圓二+與=1(a>b>0)上中心張直角的弦L所在直線方程為"+為=1(ABHO),則(1)

ab

2+5452

1199

/+廠…；⑵L=

a2A2+b2B2

2-h1

222222222n

17.給定橢圓G：bx+ay=ab(a>b>0),C2：bx+ay=(—7-7ab)\則(i)對上任意給

a-+b-

222

,a-b-a-b

定的點尸(%,%),它的任一直角弦必須經過C,上一定點M(———yx0,-一5——7y0).

a+Zr?-+b-

(ii)對C2上任一點P\x0,y0)在G上存在唯一的點M',使得M'的任一直角弦都經過P'點.

22

18.設P(x°,%)為橢圓(或圓)<2:=+多=1(a>0?b>0)上一點，P1P2為曲線C的動弦，且弦PPi,PP2

ab

1

1+m

斜率存在，記為ki,k2,則直線P1P2通過定點M■(明，-9%)⑺W1)的充要條件是K?左2=---------T-

-1—ma

22

19.過橢圓與=1(a>0,b>0)上任一點A(x0,y°)任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于B,C兩點，

ab

則直線BC有定向且施c="(常數).

礦為

22

20.橢圓二+與=1(a>b>0)的左右焦點分別為Fi，F2,點P為橢圓上任意一點/耳「招=/,則橢圓的

ab

焦點三角形的面積為=〃tan乙P(±-Jc2-62tan2,±—tan.

122cV2c2

22

21.若P為橢圓。+m=1(a>b>0)上異于長軸端點的任一點,Fi,F2是焦點，^PFXF2=a,

ab

/PF?F\=0,則^^=tanttan2.

〃+c22

22

22.橢圓3+當=1(a>b>0)的焦半徑公式：|MGI=a+eXo，|MEJ=a—e/(4(—c,0),F.(c,0),

ab

加(%0，%)),

22

23.若橢圓'+4=1(a>b>0)的左、右焦點分別為Fi、F2,左準線為L,則當

a2b2

V2-l<e<lHt,可在橢圓上求一點P,使得PFi是P到對應準線距離d與PF2的比例中項.

22

24.P為橢圓二+與=1(a>b>0)上任一點,Fi,F2為二焦點，A為橢圓內一定點，則

ab

2a-\AF21<|PA|+1P耳區2〃+1A與I,當且僅當A6,。三點共線時，等號成立.

25.橢圓二+與=1(a>b>0)上存在兩點關于直線/：y=左(x—2)對稱的充要條件是玉/?￡")；

ab~a~+bk~

26.過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切

線垂直.

27.過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.

\x—acos(p)1

28.P是橢圓1(a>b>0)上一點，則點P對橢圓兩焦點張直角的充要條件是e?=......-.

y=bsin(p1+sincp

2222

29.設A,B為橢圓左伏>0,左Hl)上兩點，其直線AB與橢圓一+4=1相交于P,Q,則

abab

AP=BQ.

Y22

30.在橢圓—+j~=l中，定長為2m(o<m<a)的弦中點軌跡方程為

a

~2

1/X+/?25出2。),其中tan。=一史，當y=0時，。=90.

m2=—十cos2a

7ay

31.設S為橢圓++當=l(a>b>0)的通徑，定長線段L的兩端點A,B在橢圓上移動，記|AB|=/,M(%,%)

ab

是AB中點，則當IN①S時，有(Xo)max=----L(c2=a2-b2,e=-);當/〈①S時，有

c2ea

2

(%)max=不』4b?一儼,(%)1nhi=。.

2b

22

.橢圓二+與直線互有公共點的充要條件是2”>2

322r=1Ac+y+C=O42a+c.

ab

33.橢圓一+(y一；。)2=1與直線Ax+By+C=o有公共點的充要條件是

ab

l2

A2a2+B2b>(Ax0+By0+C).

34.設橢圓=+與=1(a>b>0)的兩個焦點為Fi、F2,P(異于長軸端點)為橢圓上任意一點，在△PFE

ab

winac

中，記/耳^PFF=(3^FFP=Y，則有-----------=—=e.

X2X2sin/+sin/a

35.經過橢圓尸￡+口2y2二片尸(a>b>o)的長軸的兩端點Ai和A2的切線，與橢圓上任一點的切線相

交于Pi和P2,貝uwAwgar/.

36.已知橢圓工+斗=1(a>b>0),0為坐標原點，P、Q為橢圓上兩動點，且OPLOQ.(1)

ab

1-111A.2人2272

—^+—^=4+4；(2)IOPF+IOQF的最小值為軍一；(3)SAOM的最小值是母。.

|0P|2|0Q|2a2b-cr+b2AOPQa2+b2

37.MN是經過橢圓〃/+q2y2(a>b>0)焦點的任一弦，若AB是經過橢圓中心。且平行于MN

的弦，貝i]|A5/=2a|MN|.

38.MN是經過橢圓及犬+口2y2(a>b〉o)焦點的任一弦，若過橢圓中心0的半弦OP，MN,

e2111

則--------1------------二----1------

a\MN\|0P|2a2b2

22

39.設橢圓=+多=1(a>b>0),M(m,o)或(o,m)為其對稱軸上除中心，頂點外的任一點，過M引一條

ab

2

直線與橢圓相交于P、Q兩點，則直線AiP、A?Q(Ai.A2為對稱軸上的兩頂點)的交點N在直線/：x=L(或

m

b1

y=一)上u.

m

40.設過橢圓焦點F作直線與橢圓相交P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結AP和AQ分別交相

應于焦點F的橢圓準線于M、N兩點，則MFLNF.

41.過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點P、Q,Ai、A2為橢圓長軸上的頂點，AiP和A2Q交于點M,

A2P和AiQ交于點N,則MFLNF.

22

42.設橢圓方程三+與=1,則斜率為k(k￥0)的平行弦的中點必在直線/：y=質的共軌直線y=左x上,而

ab~

口，，，b1

且kk=——-.

a"

22

43.設A、B、C、D為橢圓三+當=1上四點,AB、CD所在直線的傾斜角分別為圓月，直線AB與CD

ab

\PA-\PB\_b2cos2/3+crsin213

相交于P,且P不在橢圓上，則

\PC\PD\b2cos2a+a2sin2a

22

44.已知橢圓J+與=1(a>b>0),點P為其上一點FI,F2為橢圓的焦點，N￡P凡的外(內)角平分線

ab

3

為I,作Fi，F?分別垂直/于R、S,當P跑遍整個橢圓時，R、S形成的軌跡方程是

a2y2+/?2%(九±c)]

2,22z22

x+y=a(cy=).

(22y2+Z?2(x±c)2

45.設AABC內接于橢圓「，且AB為「的直徑，/為AB的共輒直徑所在的直線，/分別交直線AC、BC

于E和F,又D為/上一點，則CD與橢圓「相切的充要條件是D為EF的中點.

22

46.過橢圓A+與=1(a>b>0)的右焦點F作直線交該橢圓右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交

ab

x軸于p,則L

\MN\2

Y2y2A2V

47.設A(X1,yi)是橢圓三+2T=1(a>b>0)上任一點，過A作一條斜率為-竽的直線L,又設d

abayx

是原點到直線L的距離，小馬分別是A到橢圓兩焦點的距離，則配d=

2222

48.已知橢圓「+4=1(a>b>0)和=+1=%(0<2<1),一直線順次與它們相交于A、B、C、

a2b-a2b-

D四點，貝ij|AB|=|CD|.

22

49.已知橢圓。+與=1(a>b>0),A、B、是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點

ab

..礦*a2-b"

Pn(x,n0),則nl--------<x<------.

0a0a

22

50.設P點是橢圓二+與=1(a>b>0)上異于長軸端點的任一點,Fi、F2為其焦點記=，，則

ab

⑴|因IIPF21=二型w.(2)SgF,=/tan2

1+cos92

51.設過橢圓的長軸上一點B(m,o)作直線與橢圓相交于P、Q兩點，A為橢圓長軸的左頂點，連結AP

/7_rrj一

和AQ分別交相應于過H點的直線MN：元=〃于M,N兩點，則NM5N=90O----=-.....

a-\-mb(ji+d)

x2

52.L是經過橢圓一十y=1(a>b>0)長軸頂點A且與長軸垂直的直線，E、F是橢圓兩個焦點，e是

ab2

離心率，點尸wL,若NEPF=a,則a是銳角且sine<e或。<arcsine(當且僅當|PH|二人時取等號).

22

53.L是橢圓二+多=1(a>b>0)的準線,A、B是橢圓的長軸兩頂點，點PwL,e是離心率，/EPF=a,

ab

nh

H是L與X軸的交點c是半焦距,則a是銳角且sinor<e或cr<arcsine(當且僅當|PH|=一時取等號).

c

2

Yy

54.L是橢圓-y+=1(a>b>0)的準線,E、F是兩個焦點,H是L與x軸的交點，點、PGL,ZEPF=a,

a

則a為銳角且sinaWe2或aWarcsin/(當且僅當|PHu'ja?+C之時取等

離心率為e,半焦距為c,

C

號).

22

55.已知橢圓二+與=1

(a>b>0),直線L通過其右焦點F2,且與橢圓相交于A、B兩點，將A、B與

CTb2

橢圓左焦點Fi連結起來，則固區Ra，1/)一(當且僅當AB，X軸時右邊不等式取等號，當

a

4

且僅當A、Fi、B三點共線時左邊不等式取等號）.

56.設A、B是橢圓=1a>b>0）的長軸兩端點，P是橢圓上的一點，ZPAB=a,

NPBA=0,NBPA=y,c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有⑴|P4|=1cos，⑵

a—ccosoc

201b2

tanatan/?=1—/.（3）S'PAB~cot/.

57.設A、B是橢圓「+與=1（a>b>0）長軸上分別位于橢圓內（異于原點）、外部的兩點，且乙、乙

ab

的橫坐標（1）若過A點引直線與這橢圓相交于P、Q兩點，則/PBA=NQ8A；（2）若過B

引直線與這橢圓相交于P、Q兩點，則/口43+/243=180.

22

58.設A、B是橢圓當=1（a>b>0）長軸上分別位于橢圓內（異于原點），外部的兩點，（1）若過

a-b2

A點引直線與這橢圓相交于P、Q兩點，（若BP交橢圓于兩點，則P、Q不關于x軸對稱），且NPBA=NQ8A,

則點A、B的橫坐標與、/滿足九（2）若過B點引直線與這橢圓相交于P、Q兩點，且

NP4B+NQAB=180,則點A、B的橫坐標滿足4

22

59.設4A是橢圓二+二=1的長軸的兩個端點，是與A4'垂直的弦，則直線AQ與A'Q’的交點P

ab

22

的軌跡是雙曲線。-與=1.

ab

22

60.過橢圓「+與=1（a>b>0）的左焦點P作互相垂直的兩條弦AB、CD則

a2b2

8ab2<|AB|+1CD|<2（a+b

a2+b2a

22。—c*

61.到橢圓——H—z-=1a>b>0）兩焦點的距離之比等于——（c為半焦距）的動點M的軌跡是姊妹

/b2b

圓（九±a）?+y2=b2.

22Z7—C

62.到橢圓——H——=1a>b>0）的長軸兩端點的距離之比等于——（C為半焦距）的動點M的軌跡

abb

是姊妹圓（x±@）2+y2=A2.

ee

Y2y2。—c*

63.至I」橢圓節+J=1（a>b>0）的兩準線和X軸的交點的距離之比為幺上（C為半焦距）的動點的軌

ab2b

跡是姊妹圓（x±：）2+y2=（§）2（e為離心率）.

e

.2,2

64.已知P是橢圓二+1=1（a>b>0）上一個動點，A',A是它長軸的兩個端點，且

ab

f扇2

AQ±AP,AQ±AP,則Q點的軌跡方程是—=1.

aa

65.橢圓的一條直徑（過中心的弦）的長，為通過一個焦點且與此直徑平行的弦長和長軸之長的比例中項.

I"2d刃2

66.設橢圓彳+4=1（a>b>0）長軸的端點為A,A',P（玉,％）是橢圓上的點過P作斜率為—1的直

abayx

5

線/,過A,A分別作垂直于長軸的直線交/于則（1）\AM\\AM'\^b2.（2）四邊形MAA'”面積

的最小值是2H?.

22

67.已知橢圓=+與=1（a>b>0）的右準線/與x軸相交于點E,過橢圓右焦點R的直線與橢圓相交

a2b2

于A、B兩點，點C在右準線/上，且BC//X軸，則直線AC經過線段EF的中點.

68.OA、OB是橢圓+與=1（a>0,b>0）的兩條互相垂直的弦，O為坐標原點，則（1）直線

ab

r\72

AB必經過一個定點（^^,0）.（2）以OA、OB為直徑的兩圓的另一個交點Q的軌跡方程是

a+b

69.P（人"）是橢圓+1=1（a>b>0）上一個定點，PA、PB是互相垂直的弦，貝U（1）直線

ab

2ab2+m(a2-b2)n(b2-a2)

AB必經過一個定點（■）.（2）以PA、PB為直徑的兩圓的另一個交點Q的軌

a2+b2'a2+b2

跡方程是

心Z/+叫:⑹］租

(/+/)2，

70.如果一個橢圓短半軸長為b,焦點日、F2到直線L的距離分別為出、d2,那么（1）4d2=/,且B、

F2在L同側O直線L和橢圓相切.（2）44>/,且FI、F2在L同側o直線L和橢圓相離,（3）4%〈濟,

或Fi、F2在L異側O直線L和橢圓相交.

22

71.AB是橢圓當=1（a>b>0）的長軸，N是橢圓上的動點，過N的切線與過A、B的切線交于C、

a-b2

Y24V2

。兩點，則梯形ABDC的對角線的交點M的軌跡方程是r+—=l（yH0）.

a"b~

2222

72.設點PC%,為）為橢圓二+與=1（a>b>0）的內部一定點，AB是橢圓二+與=1過定點P（%,%）

aba~b

2222

ab—(a2%2+Z>x0)

的任一弦，當弦AB平行（或重合）于橢圓長軸所在直線時（|巳4|?|/>5|）3.當弦

b2

a'b2-(?2y2+Z>2%2)

AB垂直于長軸所在直線時，（IPAI-IPBI）^=00

a2

73.橢圓焦三角形中，以焦半徑為直徑的圓必與以橢圓長軸為直徑的圓相內切.

74.橢圓焦三角形的旁切圓必切長軸于非焦頂點同側的長軸端點.

75.橢圓兩焦點到橢圓焦三角形旁切圓的切線長為定值a+c與a-c.

76.橢圓焦三角形的非焦頂點到其內切圓的切線長為定值a-c.

77.橢圓焦三角形中，內點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數e（離心率）.（注:在橢圓焦三

角形中，非焦頂點的內、外角平分線與長軸交點分別稱為內、外點.）

78.橢圓焦三角形中，內心將內點與非焦頂點連線段分成定比e.

79.橢圓焦三角形中，半焦距必為內、外點到橢圓中心的比例中項.

80.橢圓焦三角形中立陶圓中心到內點的距離、內點到同側焦點的距離、半焦距及外點到同側焦點的距離成

比例.

81.橢圓焦三角形中，半焦距、外點與橢圓中心連線段、內點與同側焦點連線段、外點與同側焦點連線段成

比例.

82.橢圓焦三角形中，過任一焦點向非焦頂點的外角平分線引垂線,則橢圓中心與垂足連線必與另一焦半徑所

6

在直線平行.

83.橢圓焦三角形中，過任一焦點向非焦頂點的外角平分線引垂線,則橢圓中心與垂足的距離為橢圓長半軸的

長.

84.橢圓焦三角形中，過任一焦點向非焦頂點的外角平分線引垂線,垂足就是垂足同側焦半徑為直徑的圓和橢

圓長軸為直徑的圓的切點.

85.橢圓焦三角形中,非焦頂點的外角平分線與焦半徑、長軸所在直線的夾角的余弦的比為定值e.

86.橢圓焦三角形中，非焦頂點的法線即為該頂角的內角平分線.

87.橢圓焦三角形中，非焦頂點的切線即為該頂角的外角平分線.

88.橢圓焦三角形中，過非焦頂點的切線與橢圓長軸兩端點處的切線相交，則以兩交點為直徑的圓必過兩焦點.

X2V2bb

89.已知橢圓―+==l(a>O,b>0)(包括圓在內)上有一點P，過點P分別作直線y=—%及丁=一一x的

a"baa

平行線，與了軸于M,N,與y軸交于尺Q.,。為原點，則：(1)\OM^+\ON^2a2；(2)

|0。|2+|ORF=2〃

bb

90.過平面上的尸點作直線/］：>=—%及4:y=—-%的平行線，分別交x軸于MN,交y軸于

aa

22

若|OM1+1ON『=2",則p的軌跡方程是f+.=1(。>o,/,>0).(2)若|OQ『+1OR/=2b2,則P

ab

22

的軌跡方程是二+與=l(a>0乃>0).

ab

22

91.點P為橢圓T+多=l(a>0力>0)(包括圓在內)在第一象限的弧上任意一點，過P引x軸、y軸的

ab

b

平行線，交y軸、元軸于交直線y=——x于Q,R,記AOMQ與AONR的面積為與下？，則：

a

5+S,=—.

'22

_b

92.點尸為第一象限內一點，過尸引x軸、y軸的平行線，交y軸、x軸于M,N,交直線y=--x于Q,R,

a

記AOMQ與AONR的面積為y,S2，已知S+S2=一，則P的軌跡方程是二十4=1(Q>0/>0).

2ab

7

橢圓性質92條證明

1.橢圓第一定義。2.由定義即可得橢圓標準方程。3.橢圓第二定義。

4.如圖，設？（后,%）,切線PT（即/）的斜率為k,尸耳所在直線斜率為匕，尸鳥所在直線斜率為上2。

h—k?

由兩直線夾角公式tan6=得:

1+k[k?

"一。二

22

k-k[ayx+cb2x1+a2yl+/?2xca2b2+b1cx/(a+5)

tana=—00=0=Q=

222222cbol

1+kk]]%ax0y0+acy0-bx0y0CXoyo+acy0cy0(a+cx0)

2

ayQx0+c

?y°

2十1

k-k，2b2x^+“2y：-b2XCa2b2-b2cxb(/_/)

tan/?="o%一000

222~~i22

l+kk21b，%ax0y0-acy0-bx0y0C_QQocy0(a-cx0)

12

a%%-c

a,/3^^:.a=/3同理可證其它情況。故切線PT平分點P處的外角。

5.如圖，延長FF至A,使PA=PF2,則APAg是等腰三角形，AF2中點即為射影H?。則。82=當=。，

同理可得O〃i=a,所以射影Hi,上的軌跡是以長軸為直徑的圓除去兩端點。

6.設P,Q兩點到與焦點對應的準線的距離分別為4,4,以PQ中點到準線的距離為d,以PQ為直徑的圓

的半徑為r,則d==：＞r,故以PQ為直徑的圓與對應準線相離。

8

\PF.\2a-\PF,\\PF7\,,「一

-------=--------———=a--———=a-r,故兩圓內切。

222

8.如圖,由切線長定理：⑶S|+閨T|=|「用+|「居|+閨閶=2a+2c,⑶S|=|耳7|=a+c

而怩T|=a+c=|耳闋，T與4重合，故旁切圓與x軸切于右頂點，同理可證P在其他位置情況。

22

9.易知A（-。,。）4（。,。），設6（%o,%）,￡（%（）,—%），則3"+，~=1

A4:y=%x+aVAiR,:y=———(x-a

a+xQ一a-x0

2/2、21a2y°?_22

則九尸=幺n尸a伙.Xpa02b2-cry^1.-.尸點的軌跡方程為三-==1

b2為22222

aZ?x0Z?x0ab

x2,22222

10.--6(%,%)在橢圓+=1對J+與=1求導得：

—aiaba2b-

2x2yy，Mx。

=0n-.y=―-

7+方礦為

22

，切線方程為y—%=—一）即誓+若*+*1

1?%%

11,設片（石，弘），鳥（入2，%），由1。得：卞+芋^=1=1,因為點耳鳥在直線片鳥上，且

ab2

同時滿足方程誓+程=i,所以《鳥：￥+岑=1

abab

22,222

12.設A。,yj,5（為2，%），/（%，%）則有T+普=1，耳+今=1作差得:+x-=0

ababa2b2

=0

b2

9

22

b(石+Z)hX〃人2

/(%+%)

x-x)=>片%y一〃2乂+/?2XX-Z?2XQ=0

13.由12可得：y-yQ=-00

22

2212

=^>bxQx+ay0y=b^+an-^+碧^二號+消

abab

14..由12可得：-——?—=-^-na2y2—〃2%丁+/工2一人2%0%=0

x-xQxa

22

222

+ay=Z?\x+ay0j=1卷=勺+鬟

abab

bsintbsint1a

15.設尸(acos，,bsin%),Q(acos，,bsin，)則左°尸?左OQ=------------r=一41，tan%?tan%=——-

acostacost--------------------b

22a1(cos21+cos2t^+b1(sin21+sin2，)

L16+2

+r2r2COS2t+b2sin2s21+b2sin21j

i2("CO

22

]+1^tan1tan1

cos2r+cos2^'J+[cos?%+cos21J/(2+tai?%+tan2"+/^tan2r+tan2，)+2b2tan"tan21

222222

(/+人2tan?"(a?+/tan?，)/+ab(tanr+tan，)+//tanHan1

(iz2+Z?2)(tan2r+tan2r')+2d!2-^±^-[：+?n2/+tan2/)+2,1】

--2/+調佃也+1皿2”--2'+(taM-tan?”不廬

16.將直線AB代入橢圓方程中得：(42/+32/)％2-24/；(；+02(1-32加)=0

A=4a2B2b2(A2a2+BV-1),\AB\AM2a2+§2二_1

2Aa2a2(l-B2b2}b2(l-^a2}

設A(x，y則x+x=----，不與二----------，y%=—--------

'勺J"V2122^a2+B2b2-^a2+B2b2”242a?十產〃

OALOB

X/2+X%=0="+/=/4萬+⑹二萬+^2=J_+J_