5.2.2 導數的四則運算法則一、教學內容導數的四則運算法則.二、教學目標理解并掌握導數的四則運算法則；用導數的四則運算法則求簡單函數的導數.三、教學重難點教學重點：體會四則運算法則的探究過程，能靈活運用導數的四則運算法則求函數導數.教學難點：函數積、商的求導法則.四、教學過程設計【溫故知新】復習 我們學習了哪些基本初等函數的導數？1.若f(x)=c（c為常數），則f￠(x)=0；2.若f(x)=xa（a?Q，且a10），則f￠(x)=axa-1；3.若f(x)=sinx，則f￠(x)=cosx；4.若f(x)=cosx，則f￠(x)=-sinx；5.若f(x)=ax（a>0，且a11），則f￠(x)=axlna；特別地，若f(x)=ex，則￠(x)=ex；6.若f(x)=logax（a>0且a11），則f￠(x)=xln1a；特別地，若f(x)=lnx，則￠(x)=1x.【設計意圖】復習基本初等函數導數的公式，引入本節課題.【探究新知】探究一 如何求函數h(x)=x2+x的導數？設y=h(x)=x2+x，由導數的定義，Vy(x+Vx)2+(x+Vx)-(x2+x)Vx2+2x×Vx+Vx===Vx+2x+1,VxVxVx\h￠(x)=limVy=2x+1.Vx?0Vx思考 觀察f(x)=x2,g(x)=x,h(x)=x2+x與導數￠(x)=2x,g￠(x)=1,h￠(x)=2x+1你有什么發現和猜想？(x)=f(x)+g(x);h￠(x)=f￠(x)+g￠(x).éf(x)+g(x)ù￠=f￠(x)+g￠(x).? ?同樣地，éf(x)-g(x)ù￠=f￠(x)-g￠(x).? ?【設計意圖】幫助學生回憶定義法求導數以及基本初等函數的求導公式.結論 函數和、差的求導運算法則：éf(x)±g(x)ù￠=f￠(x)±g￠(x).? ?兩個函數的和（或差）的導數，等于這兩個函數的導數的和（或差）.【典例分析】例1 求下列函數的導數：（1）f(x)=x3-x+3；（2）g(x)=2x+cosx.解：（1）f￠(x)=(x3-x+3)￠=(x3)￠-(x)￠+(3)￠=3x2-1；（2）g￠(x)=(2x+cosx)￠=(2x)￠+(cosx)￠=2xlnx-sinx.【設計意圖】以課本實例演示求導過程，利用導數運算法則求導數比用定義法要簡便.探究二 兩個函數積的導數呢？也等于這兩個函數導數的積嗎？f(x)=x2,g(x)=x為例，計算éf(x)g(x)ù￠與f￠(x)g￠(x)是否相等？?éf(x)g(x)ù￠=(x3)￠=3x2，f￠(x)g￠(x)=2x×=12x，? ?\éf(x)g(x)ù￠1f￠(x)g￠(x).? ?思考 f(x)=x2,g(x)=x的商的導數是否等于它們導數的商？éf(x)￠2￠f￠(x)2xéf(x)￠f￠(x)ù=?x?=x￠=1,==2x.\ù1.g￠(x)1g￠(x)?g(x)?èx??g(x)?結論 對于兩個函數f(x),g(x)的乘積（或商）的導數，我們有如下法則：éf(x)g(x)ù￠=f￠(x)g(x)+f(x)g￠(x);? ?f(x)ù￠=f￠(x)g(x)-f(x)g￠(x)(g(x)10).êg(x)úég(x)ù2???【設計意圖】類比加減法的方式去嘗試一下積和商的導數，這對學生要求較高，學生不易得出結論，用定義證明時，也需要極限的運算，這一部分可以建議同學們課下探究.兩個函數的積的導數，等于第一個函數的導數乘以第二個函數，加上第一個函數乘以第二個函數的導數.兩個函數的商的導數，等于分子的導數乘分母減去分母的導數乘分子，再除以分母的平方.écf(x)ù￠=cf(x)+cf(x)=cf(x).結論 一般地，由函數乘積的導數法則可以得出? ? ￠ ￠ ￠é()ù￠ ()也就是說，常數與函數的積的導數，等于常數與函數的導數的積，即?cfx?=cf￠x.【典例分析】例2 求下列函數的導數：（1）f(x)=x3ex；（2）g(x)=2sinx.x2解：（1）f￠(x)=(x3ex)￠=(x3)￠ex+x3(ex)￠=3x2ex+x3ex；￠2sinx￠2-2sinxx2￠2?)=×-()?2sinx÷2cosxx4x2x4x（2）è?

2sinx×2x 2xcosx-4sinx= x3【設計意圖】以課本實例演示求導過程，掌握函數積或商的導數運算法則.例3 日常生活中的飲用水通常是經過凈化的.隨著水的純凈度的提高，所需凈化費用不斷增加.已知將1噸水凈化到純凈度為x%時所需費用（單位：元）為c(x)=1005284-x(80<x<100).求凈化到下列純凈度時，所需凈化費用的瞬時變化率：（1）90%；（2）98%.思考 怎樣求純凈度為90%和98%時，所需凈化費用的瞬時變化率？分析 通過求凈化費用函數的導數來解決.??(-x)-5284()(-x)-5284′()52845284￠5284￠′100′100-x￠0′100-1c￠(x)=?÷===.(2(22è100-x?-x100-x100100-x所以c￠90=5284=52.84,c￠98=5284=1321.))()(-90()(-9810021002凈化到純凈度為98%時凈化費用的瞬時變化率是凈化到純凈度為90%時的25倍.即凈化到純凈度為98%時凈化費用變化的快慢是凈化到純凈度為90%時凈化費用變化快慢的25倍.這說明，水的純度越高，需要的凈化費用就越多，而且凈化費用增加的速度也越快.【設計意圖】函數求導在實際生活中有著非常重要的應用，是考察事物變化快慢的重要參考.通過導數可以簡化運算，從而解決生活中的實際問題，【課堂練習】1、課本P78頁練習題；2.求曲線y=x2+3x在（1,4）處的切線程；3.已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，則f′(0)＝________．【課堂小結】1、對于兩個函數f(x)和g(x)，有如下導數的運算法則：[f(x)±g(x)]￠=f￠(x)±g￠(x)；[f(x)g(x)]￠=f￠(x)g(x)+f(x)g￠(x)；[cf(x)]￠=cf￠(x)；éf(x)ù￠f￠(x)g(x)-f(x)g￠(x)êú=(g(x)10).2?g(x)?[g(x)]2、利用導數運算法則的策略(1)利用函數的和、差、積、商的求導法則求函數的導數時，要分清函數的結構，再利用相應的法則進行求導．(2)遇到函數的表達式是乘積形式或是商的形式，有時先將函數表達式展開或化簡，然后再求導．【布置作業】1.課本81頁1、2、3、4、5.2.求y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)的導數.3.求出下列函數的導數．(1)y＝ln(2x-1)；(2)y＝esinx；(3)y＝cos(x＋1)．【目標檢測設計】一、選擇題1．已知函數f(x)=x2+2x-xex，則f￠(0)=（）A．1B．0C．-1D．22．函數y=2x(lnx+1)在x=1處的切線方程為（）A．y=4x+2()B．y=2x-4C．y=4x-2D．y=2x+43．已知函數f()()=（x=lnx-3x+f￠1x2，則f1）A．2B．1C．0D．-14．（多選題）下列求導運算錯誤的是（）3)￠=131A．(x++B．(log2x)￠=xx2xln2C．(3x)￠=3xD．(x2cosx)￠=-2xsinx二、填空題15．函數y=x+的導數是___________.x6．已知函數f(x)=x2ex，f'(x)為f(x)的導函數，則f￠(1)的值為___________.7．設函數f(x)在(0,+￥)內可導，其導函數為f￠(x)，且f