初中數學逆向思維的教學案例【案例背景：】人們習慣于沿著事物發展的正方向去思考問題并尋求解決辦法。其實，對于某些問題，尤其是一些特殊問題，從結論往回推，倒過來思考，從求解回到已知條件，反過去想或許會使問題簡單化，使解決它變得輕而易舉，甚至因此而有所發現，創造出驚天動地的奇跡來，這就是逆向思維和它的魅力。

有一道趣味題是這樣的：有四個相同的瓶子，怎樣擺放才能使其中任意兩個瓶口的距離都相等呢？可能我們琢磨了很久還找不到答案。那么，辦法是什么呢？原來，把三個瓶子放在正三角形的頂點，將第四個瓶子倒過來放在三角形的中心位置，答案就出來了。把第四個瓶子“倒過來”，多么形象的逆向思維啊！一、從正、逆兩個方向去理解概念數學概念、定義總是雙向的，因此在概念的教學中，除了讓學生理解概念本身及其常規應用外，還要善于引導啟發學生反過來思考，從而加深理解概念的內涵和外延。作為定義的數學命題，其逆命題總是成立的。因此，學習一個新概念，如果注意從逆向提問，學生不僅對概念辨析得更清楚，理解得更透徹，而且能夠培養學生養成雙向考慮問題的良好習慣。如：講述：“同類二次根式”時明確“化簡后被開方數相同的幾個二次根式是同類二次根式”。反過來，若兩個根式是同類二次根式，則必須在化簡后被開方數相同。例1、若與是同類二次根式，求x略解，2x-1=2-x，即x＝1。如：“方程的解”這一概念，它就包含了以下兩方面的特征：“凡使方程左右兩邊的值相等的未知數的值，就是方程的解”與“方程的解，就是使方程左右兩邊的值相等的未知數的值”。還可以通過下列問題進一步認識方程的解的特征。例2、不解方程，求作一個新方程，使它的根分別是方程x2－6x＋5＝0的兩根的2倍。略解，若設所求方程的根y，依題意，y=2x，則x=，因為是已知方程的根，所以（）2－6×+5＝0，即y2－12y＋20=0即為所求方程．例3、已知a≠b，且a2＋3a－7＝0，b2＋3b一7=0，求a2＋b2解：由方程根的定義知，a、b是方程x2＋3x－7=0的兩根，∴a＋b＝－3，ah=一7，∴a2＋b2=（a＋b）2-2ab=23。二、加強公式逆向應用的訓練數學中的公式都具有雙向性。正向運用它們的同時，加強公式的逆向應用訓練，不僅可以加深學生對公式的理解的掌握，培養學生靈活運用公式的能力，還可以培養學生的雙向思維能力。例4、設a、b、c、d均為實數，且ad－bc=1，＝l，求abcd的值。分析：由第二個等式聯想到用完全平方公式．由已知得，即：即得a＝b=d＝－c，而ad－bc=l，可得=，從而得abcd=一=-三、逆用運算法則的訓練數學中的很多運算都有一個與它相反的運算作為逆運算，如：加法和減法、乘法和除法、乘方和開方都是互為逆運算，彼此依存，共同反映某種變化中的數量關系。而且在同一級運算中，可以互相轉化，如利用相反數的概念，減法可以轉化為加法，利用倒數的概念，除法可以轉化為乘法。例5、計算，有些學生竟然對它進行通分，卻不會逆用分式的減法法則作變形。解：原式＝例6、已知：，，求：的值.分析：該題將同底數冪除法法則逆用后得到結果。解：原式.四、定理教學中逆向思維的訓練不是所有的定理的逆命題都是正確的，引導學生探究定理的逆命題的正確性，不僅能使學生學到的知識更加完備，而且能激發學生去探索新的知識。勾股定理、一元二次方程根的判別式定理、韋達定理的逆定理都是存在的，應用也十分廣泛。例7、設、、滿足，求：的取值范圍。解：原方程組變形得：，根據韋達定理的逆定理可知：、為關于的一元二次方程的兩根，的取值范圍為：。五、加強執果索因的思維方法訓練（即分析法訓練）分析法是執果索因，綜合法是由因導果。在研究問題時，往往兼用這兩種思維方法，從分析中得到思路，用綜合法嚴謹地表述解題過程。這樣可促進雙向思維的培養，也可簡化思維過程。例8、已知a，b，c，d均為正數，求證，即證明就是要證，找到證題起點。、已知p＞0,q＞0且＝2，求證p＋q≤2，即證：顯然成立。六、加強從反面思考的思維方式訓練（一）加強反證法訓練反證法是一種間接證法，當某些數學問題用直接證法相當困難時，常常被采用的證法。它是從待證結論的反面出發，推出矛盾，從而否定要證結論的反面，肯定待證的結論。加強反證法的訓練是促進學生逆向思維逐步形成的必要措施．例10、取什么實數時，拋物線的頂點不在第四象限？［分析］拋物線的頂點“不在第四象限”，所指的范圍很廣，可以在第一象限、第二象限、第三象限，還可以在坐標軸上。如果對上述各種情況逐一討論，在各種情況下求出的集合，再取其并集，可見其討論范圍之大。若反過來，從問題的反面考慮，直接求出拋物線的頂點在第四象限時的集合，再取其補集，顯然簡便得多。解：令拋物線的頂點在第四象限，由頂點坐標公式得：解這個不等式得：．可知，當時，拋物線的頂點在第四象限。所以，當≤2或≥4時，拋物線的頂點不在第四象限。例11、若關于的方程至多有一個負根，求的取值范圍。分析：逆向思維，用反證法，“一元二次方程至多一個負根”的反面就是“兩個根都是負根”，由此下手，此題可解。解：假設兩個根都是負根，則必須滿足下列不等式組：解得：，∴的取值范圍為。（二）加強舉反例訓練用命題形式給出的一個數學問題，要判斷它是錯誤的，只要舉出一個滿足命題的條件，但結論不成立的例子，就足以否定這個命題，這樣的例子就是通常意義下的反例。學會構造反倒不僅對加深記憶，深入理解定義、定理或公式等起著重要的作用，同時它也是糾正錯誤的常用方法，是培養逆向思維能力的重要手段。例如：命題“若兩多邊形的對應邊成比例，則必相似”，只需舉一個菱形或一個正方形即可判其為假命題。說明“一組對邊平行，一組對邊相等的四邊形為平行四邊形”為假命題，只需舉一個等腰梯形即可。七、編排逆向訓練的習題為了訓練學生的逆向思維，在教學中，可有意識地編排順逆雙向配對的練習題供學生訓練。學生通過練習，可以逐步養成逆向思維的習慣，提高逆向思維的能力。總之，在初中數學教學中，確保學生具備豐富而扎實的“雙基”知識的前提下，量力而行；有意識地對