2024內(nèi)蒙古中考數(shù)學(xué)二輪專項訓(xùn)練題型六函數(shù)的實際應(yīng)用

類型一最值問題

1.“互聯(lián)網(wǎng)+”讓我國經(jīng)濟更具活力，直播助銷就是運用“互聯(lián)網(wǎng)+”的生機勃勃的銷售

方式，讓大山深處的農(nóng)產(chǎn)品遠銷全國各地.甲為當?shù)靥厣ㄉc茶葉兩種產(chǎn)品助銷，已知每

千克花生的售價比每千克茶葉的售價低40元，銷售50千克花生與銷售10千克茶葉的總售

價相同.

(1)求每千克花生、茶葉的售價；

⑵已知花生的成本為6元/千克，茶葉的成本為36元/千克.甲計劃兩種產(chǎn)品共助銷60千克,

總成本不高于1260元，且花生的數(shù)量不高于茶葉數(shù)量的2倍.則花生、茶葉各銷售多少千

克可獲得最大利潤？最大利潤是多少？

2.科學(xué)計算器是一種常見的生活和學(xué)習(xí)工具，它有著重要的作用.根據(jù)市場需求，某文具

店代售8兩種品牌的科學(xué)計算器，下表為其中兩次的進貨情況：

進貨數(shù)量(個)

進貨批次進貨花費(元)

4品牌5品牌

第一次1015510

第二次1520720

(1)求N,8兩種品牌科學(xué)計算器的進貨單價；

(2)該文具店某次進貨時，恰好趕上廠家的優(yōu)惠活動，活動有兩種方案：

方案一：購買48兩種品牌的科學(xué)計算器，每滿10個贈送2個8品牌科學(xué)計算器；

方案二：/、B兩種品牌的科學(xué)計算器均按8.5折計算.

若該文具店老板計劃購進N,8兩種品牌的科學(xué)計算器共50個，且兩種品牌的數(shù)量均不少

于20個.請你幫老板算一算，如何購買能使花費最少？

(注：廠家規(guī)定，兩種優(yōu)惠方案不能同時使用)

3.狒猴嬉戲是王屋山景區(qū)的一大特色，貓猴玩偶非常暢銷.小李在某網(wǎng)店選中/,3兩款

掰猴玩偶，決定從該網(wǎng)店進貨并銷售，兩款玩偶的進貨價和銷售價如下表：

類別

A款玩偶8款玩偶

價格

進貨價（元/個）4030

銷售價（元/個）5645

（1）第一次小李用1100元購進了4,8兩款玩偶共30個，求兩款玩偶各購進多少個；

（2）第二次小李進貨時，網(wǎng)店規(guī)定/款玩偶進貨數(shù)量不得超過8款玩偶進貨數(shù)量的一半.小

李計劃購進兩款玩偶共30個，應(yīng)如何設(shè)計進貨方案才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？

（3）小李第二次進貨時采取了（2）中設(shè)計的方案，并且兩次購進的玩偶全部售出，請從利潤率

的角度分析，對于小李來說哪一次更合算？（注：利潤率

成本

4.某公司電商平臺，在2021年“五一”長假期間，舉行了商品打折促銷活動，經(jīng)市場調(diào)查

發(fā)現(xiàn)，某種商品的周銷售量y（件）是關(guān)于售價洶元/件）的一次函數(shù)，下表僅列出了該商品的售

價x,周銷售量外周銷售利潤少（元）的三組對應(yīng)值數(shù)據(jù).

X407090

y1809030

W360045002100

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

（2）若該商品進價a（元/件），售價x為多少時，周銷售利潤少最大？并求出此時的最大利潤；

⑶因新冠肺炎疫情期間，該商品進價提高了皿元/件）（機＞0）,公司為回饋消費者，規(guī)定該商

品售價x不得超過55（元/件），且該商品在今后的銷售中，周銷售量與售價仍滿足（1）中的函

數(shù)關(guān)系，若周銷售最大利潤是4050元，求％的值.

5.甲，乙兩汽車出租公司均有50輛汽車對外出租，下面是兩公司經(jīng)理的一段對話:

O------------------------------------------------------------

|▼火司綬"；可?柄汽1

WMNbt.郵么50場汽車可以全，租杲吊第

上《的周―。?增*>90位.綠。/少?小|朝上

隼,另外.公司為毒H租出的汽車支什月州"曾

2110元.

乙4同曜度；*公司汽4月9m

￡.無論是否租出汽車.2可向等一上0?支紂

H雄夕曹WftIKSOA..

說明：①汽車數(shù)量為擎戮；

②月利潤=月租車費一月維護費；

③兩公司月利潤差=月利潤較高公司的利潤一月利潤較低公司的利潤.

在兩公司租出的汽車數(shù)量相等的條件下，根據(jù)上述信息，解決下列問題：

(1)當每個公司租出的汽車為10輛時，甲公司的月利潤是元；當每個公司租出的汽車

為______輛時，兩公司的月利潤相等；

(2)求兩公司月利潤差的最大值；

(3)甲公司熱心公益事業(yè)，每租出1輛汽車捐出。元(0>0)給慈善機構(gòu)，如果捐款后甲公司剩

余的月利潤仍高于乙公司月利潤，且當兩公司租出的汽車均為17輛時，甲公司剩余的月利

潤與乙公司月利潤之差最大，求。的取值范圍.

6.某體育專賣店銷售/型和B型兩種健身器材，其中A型健身器材每臺的利潤為400元，

B型健身器材每臺的利潤為500元，該體育專賣店計劃一次性購進兩種型號的健身器材共

100臺，其中B型健身器材的臺數(shù)不超過N型健身器材臺數(shù)的3倍，設(shè)購進/型健身器材X

臺，銷售這100臺健身器材的總利潤為y元.

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當/型健身器材購進多少臺時，銷售的總利潤最大？最大利潤為多少？

(3)實際進貨時，廠家對/型健身器材的出廠價下降加(0<〃?<400)元，且限定該體育專賣店

最多購進/型健身器材80臺，若該體育專賣店保持兩種健身器材的售價不變.請你根據(jù)以

上信息，設(shè)計出使這100臺健身器材銷售總利潤最大的進貨方案.

類型二分段函數(shù)

1.為響應(yīng)國家深化具有中國特色體教融合發(fā)展的要求，某中學(xué)積極行動，并決定購買一批

體育用品.在購買足球時，由于足球價格稍貴，該校與一運動器械專賣店議價，最終優(yōu)惠如

下：每個足球的原價為90元，若一次性購買不超過10個，則按原價銷售；若一次性購買超

過10個，前10個按原價銷售，超過的部分打8折.

(1)設(shè)該中學(xué)購買足球x個，所需費用為y元，請寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若該中學(xué)計劃購買足球的費用不超過1200元，則最多能購買幾個足球？

⑶若購買了20個足球，則平均每個足球的售價為多少元？

2.超市購進某種蘋果，如果進價增加2元/千克要用300元；如果進價減少2元/千克，同

樣數(shù)量的蘋果只用200元.

(1)求蘋果的進價；

(2)如果購進這種蘋果不超過100千克，就按原價購進；如果購進蘋果超過100千克，超過

部分購進價格減少2元/千克，寫出購進蘋果的支出義元)與購進數(shù)量x(千克)之間的函數(shù)關(guān)系

式；

(3)超市一天購進蘋果數(shù)量不超過300千克，且購進蘋果當天全部銷售完.據(jù)統(tǒng)計，銷售單

價z(元/千克)與一天銷售數(shù)量x(千克)的關(guān)系為z=-二0x+12.在(2)的條件下，要使超市銷售

蘋果利潤w(元)最大，求一天購進蘋果數(shù)量.(利潤=銷售收入一購進支出)

3.某果品合作社收購了14噸水果，決定同時采用兩種方式進行銷售：

方式1：直接銷售，每噸水果可獲得利潤0.2萬元；

方式2：加工成水果制品銷售，每噸水果可獲得利潤0.6萬元，但需要支付加工費.

設(shè)加工成水果制品的水果為x噸，當0<xW8時，加工總費用y（萬元）與x2成正比，當8V

xW14時，加工總費用y（萬元）與x滿足一次函數(shù)關(guān)系，經(jīng)過統(tǒng)計得到如下數(shù)據(jù)：

x（噸）51012

y（萬元）1.253.84.4

若將x噸水果加工成水果制品銷售，其余直接銷售.

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

⑵若將這14噸水果全部銷售完所獲得的總利潤w為3.4萬元，求尤的值;

（3）求這14噸水果全部銷售完的情況下，能獲得的最大總利潤w是多少？

類型三面積問題

1.為了節(jié)省材料,某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶計劃用長為96米的圍網(wǎng)在水塘中圍成如圖所示的①②③三

塊區(qū)域，其中區(qū)域①是正方形，區(qū)域②、③是矩形，已知/G：BG=3：2,設(shè)5G的長為2x

米.

⑴是否存在x,使得矩形CZ）在的面積為180平方米，若存在，求出x的值；若不存在，請

說明理由；

⑵當x為何值時，矩形/BCD的面積最大？最大面積是多少？

第1題圖

2.工人師傅用一塊長為12分米，寬為8分米的矩形鐵皮制作一個無蓋長方體容器，需要將

四角各裁掉一個正方形.(厚度不計)

(1)請在圖中畫出裁剪示意圖，用實線表示裁剪線，虛線表示折痕；并求當長方體底面面積

為32平方分米時，裁掉的正方形邊長是多少？

(2)若要求制作的長方體的底面長不大于底面寬的5倍(長大于寬)，并將容器外表面進行防銹

處理，側(cè)面每平方分米的費用為0.5元，底面每平方分米的費用為2元，求裁掉的正方形邊

長為多少時，總費用最低，最低費用為多少元？

第2題圖

3.為了美化校園，某校計劃在如圖所示的一塊邊長為40米的正方形區(qū)域/BCD上建造花

壇，其中￡、F、G、〃分別為正方形區(qū)域各邊中點，鋪灰區(qū)域為四個全等的矩形，在四邊

形EFG8區(qū)域種植甲種花，在鋪灰區(qū)域種植草坪，剩余部分種植乙種花.設(shè)的長為x

米，種植草坪的區(qū)域面積為y平方米.

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)種植甲種花每平方米的價格為20元，種植乙種花每平方米價格為30元，種植草坪每平

方米的價格為10元，設(shè)建造花壇的總費用為少元，求少的最小值.

第3題圖

參考答案

類型一最值問題

1.解：(1)設(shè)每千克花生的售價為X元，則每千克茶葉的售價為(40+x)元，

根據(jù)題意，得50x=10(40+x),

解得x=10,

.*.40+x=40+10=50(元)，

答：每千克花生的售價為10元，每千克茶葉的售價為50元；

(2)設(shè)花生銷售m千克，茶葉銷售(60—⑼千克獲利最大，所獲利潤為墳元，

由題意，得

6??+36(60—機)W1260,

以(2(60—in),

解得30W"?W40,

w=(10—6)加+(50—36)(60—%)

=4"?+840-14m

=-10m+840,

.'.w隨m的增大而減小，

?.?30WZ40,

當機=30時，利潤最大，此時花生銷售30千克，茶葉銷售60—30=30千克，.最大=一

10X30+840=540(元)，

答：當花生銷售30千克，茶葉銷售30千克時利潤最大，最大利潤為540元.

2.解：(1)設(shè)8兩種品牌科學(xué)計算器的進貨單價分別為x元和y元，根據(jù)題意，得

10x+15y=510,k=24,

?解得.

ll5x+20y=720,卜=18.

答：A,3兩種品牌科學(xué)計算器的進貨單價分別為24元和18元；

(2)設(shè)總花費為1V元，購買加個/品牌科學(xué)計算器，則購買(50—%)個8品牌科學(xué)計算器.

選擇方案一購買：根據(jù)題意可知，最少花費為購買任意42個科學(xué)計算器，贈送8個3品牌

科學(xué)計算器，則需花錢購買3品牌科學(xué)計算器的數(shù)量為(42—%)個，

.?.最少花費w=24m+18X(42-")=6m+756,

V6>0,根據(jù)題意可得，20WmW30,

，當機=20時，總花費最少，為6X20+756=876(元);

選擇方案二購買：最低花費w=[24?7+18X(50-m)]X0.85=5.lw+765,

V5.1>0,根據(jù)題意可得20W〃?W30,

二當切=20時，總花費最少,為5.1X20+765=867(元).

V876>867,

二選擇方案二，購買20個/品牌科學(xué)計算器，30個8品牌科學(xué)計算器時，花費最少.

3.解：(1)設(shè)N款玩偶購進x個，3款玩偶購進7個,

x+y=30,

根據(jù)題意,得

40x+30y=1100,

x=20,

解得

y=10,

答：A款玩偶購進20個，8款玩偶購進10個;

(2)設(shè)/款玩偶購進。個，則3款玩偶購進(30一°)個，利潤為出

由題意可知，aWg(30—a),

解得aW10,

w=(56-40)a+(45—30)(30—a)

=16a+15(30—a)

=a+450.

Vl>0,

.,.w隨a的增大而增大，

.?.當a=10時，卬有最大值，卬最大=10+450=460(元)，

答：購進/款玩偶10個，3款玩偶20個時，利潤最大，最大利潤為460元;

(3)第-次利潤率為2°X(56—⑷一如.’％,

第二次利潤率為重義(56―4。)+20X(45-3。)=46%,

10X40+20X30

?.?46%>42.7%,

.?.從利潤率的角度分析，對于小李來說第二次更合算.

4.解：(1)設(shè))=立+貼20),把(40,180),(70,90)代入得

4004*6=180,?,%=-3,

,解得.

〔70左+6=90,以=300,

關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=-3x+3OO；

(2)由(1)得，少=(-3x+300)(x-a),

把x=40,少=3600,代入上式，

得3600=(-3X40+300)(40—a),

解得°=20,

二沙=(—3x+300)(x—20)=—3N+360x-6000=—3(x—60)2+4800.

V-3<0,

，售價x=60元/件時，周銷售利潤少最大，最大利潤為4800元；

(3)由題意得，W=—3(x—100)(%—20一機)(xW55),

V-3<0,對稱軸為直線x=60+%>60,

2

...當0VxW55時，卬隨x的增大而增大，

...當x=55時，周銷售利潤最大，

.*.4050=—3(55—100)(55—20—m),

??冽=5.

答：當周銷售最大利潤是4050元時，m的值為5.

5.解：(1)48000,37；

【解法提示】[(50—10)X50+3000]X10—200X10=48000元，...當每個公司租出的汽車為

10輛時，甲公司的月利潤是48000元；設(shè)每個公司租出的汽車為x輛，由題意可得，[(50

-x)X50+3000].x-200x=3500x-1850,解得x=37或x=—1(舍)，，當每個公司租出的汽

車為37輛時，兩公司的月利潤相等.

(2)設(shè)兩公司的月利潤分別為y甲，y乙，月利潤差為“

則y申=K50-X)X50+3000]L200X,

y乙=3500》一1850,

當甲公司的利潤大于乙公司時，0<x<37,

2

^=J￥-^Z,=[(50-X)X50+3000].X-200X-(3500X-1850)=-50x+1800x+1850,

V-50<0,

...當x=——更嘰=18時，利潤差最大，最大值為18050元；

-50X2

當乙公司的利潤大于甲公司時，37<xW50,

乙一y甲=3500x—1850一[(50一X)X50+3000]X+200X=50X2—1800X—1850,

V50>0,對稱軸為直線x=—二”以=18,

50X2

,當x=50時,利潤差最大，最大值為33150元.

V1805003150,

兩公司月利潤差的最大值為33150元；

(3)：捐款后甲公司剩余的月利潤仍高于乙公司月利潤，

則利潤差為y=-50x2+1800x+1850-ax=-50x2+(l800—a)x+1850,

對稱軸為直線》="”二，

100

V-50<0,x只能取整數(shù)，且當兩公司租出的汽車均為17輛時，月利潤之差最大,

解得50<a<150.

6.解：(1)：購進/型健身器材x臺，

購進B型健身器材(100—勸臺，

根據(jù)題意，得y=400x+500(100—x)=400x+50000—500x=-100x+50000,

即y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=-100x+50000；

(2)V5型健身器材的臺數(shù)不超過/型健身器材臺數(shù)的3倍，

.?.100—xW3x,解得x225.

,.>=-100x4-50000,-100<0,

隨x的增大而減小，

...當x=25時，y有最大值，y最大=47500元.

答：當購進/型健身器材25臺時，銷售的總利潤最大，最大利潤為47500元；

(3)根據(jù)題意得y=(400+Mx+500(100—x),

即y=(m—100)x+50000,其中25WxW80.

①當0<小<100時，m-100<0,y隨x的增大而減小，

...當x=25時，y取最大值.

即該體育專賣店購進25臺N型健身器材和75臺B型健身器材才能使得總利潤最大;

②當加=100時，m-100=0,y=50000.

即該體育專賣店購進/型健身器材數(shù)量滿足25WxW80的整數(shù)時，總利潤相同；

③當100<小<400時，加一1000/隨x的增大而增大，

...當x=80時，>取最大值.

即該體育專賣店購進80臺/型健身器材和20臺8型健身器材才能使得總利潤最大.

類型二分段函數(shù)

1.解：(1)由題意知，當一次性購買足球不超過10個時，y=90x,

當一次性購買足球超過10個時，j=90X10+90X0.8X(x-10)=72x+180,

90x(0<xW10),

[72x+180(x>10)；

⑵當x=10時，>=90X10=900,

1200-900=300>90,

...購買的數(shù)量超過10個，

.,.72x+180^1200,

解得xW畫.

為整數(shù),

，最多能購買14個足球;

(3)V20>10,

.,.y=72X20+180=1620,

則平均售價為1620+20=81元,

答：平均每個足球的售價為81元.

2.解：(1)設(shè)蘋果的進價為加元/千克，根據(jù)題意，得理上=平9

〃？+2m~2

解得m=10,

經(jīng)檢驗，加=10是原分式方程的解，且符合題意.

蘋果的進價為10元/千克；

(2)根據(jù)題意,當OWxWlOO時,y=10x；

當x>100時，j；=100X10+(10-2)(x-100)=8x+200,

超市購進蘋果的支出y(元)與購進數(shù)量x(千克)之間的函數(shù)關(guān)系式是y

10x(04W100),

8x+200(x>100)；

(3)根據(jù)題意，購進蘋果數(shù)量與銷售數(shù)量都為x千克，且購進量不超過300千克，

①當OWxWlOO時，w=xz—y=(—j^x+12)x—10x

2

=—--x+2x=--必一100)2+100

...當x=100時，w取最大值，最大值為100；

②當100VxW300時，w=xz-y=(—-—x+12)x-(8x+200)=---x2+4x~200=---(x

100100100

—200)2+200.

...當x=200時，w取最大值，最大值為200.

VI00<200,

???要使超市銷售蘋果利潤最大，則一天購進的蘋果數(shù)量為200千克.

3.解：⑴當04W8時,設(shè)>="2(0力0),

由題意得，1.25=aX52,解得a=0.05,

.'.y—0,05x2；

當8VxW14時，設(shè)》=履+以左W0),

'3.8=10k+b,

由題意得

4.4=12左+6,

左=0.3,

解得

8=0.8,

...y=0.3x+0.8.

綜上所述，y與x的函數(shù)關(guān)系式為

_0.05/(oWx：W8),

’l0.3x+0.8(8<xW14)；

(2)由題意得，x噸水果加工成水果制品銷售，貝1(14—x)噸直接銷售,

當0?8時,w=0.2(14—x)+0.6x—0.059=3.4,

解得xi=2,X2=6；

當8cxW14時，w=0.2(14-x)+0.6x-(0.3x+0.8)=3.4,

解得x=14.

綜上所述，當銷售總利潤W為3.4萬元時，x的值為2或6或14；

(3)設(shè)銷售完這14噸水果所獲得的利潤為w,由題意得，當0WxW8時，w=0.2(14—x)+0.6x

—0.05x2=-0.05x2+0.4x+2.8=—0.05(x—4)2+3.6,

V-0.05<0,

...當x=4時，w有最大值，最大值為3.6萬元；

當8<xW14時,三=0.2(14—x)+0.6x—(0.3x+0.8)=0.1x+2,

V0.1>0,

...當x=14時，W有最大值，最大值為3.4萬元.

V3.4<3.6,

???這14噸水果全部銷售完的情況下，能獲得的最大總利潤為3.6萬元.

類型三面積問題

1.解：(1)存在，理由如下:

由題意可得，AG=3x,在矩形CDFE中，DC=AG+