第二十一章一元二次方程21．1一元二次方程1.了解一元二次方程的概念，應用一元二次方程概念解決一些簡單問題.2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c=0(a≠0)及有關概念.3．會進行簡單的一元二次方程的試解；理解方程解的概念.重點：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索.難點：由實際問題列出一元二次方程；準確認識一元二次方程的二次項和系數以及一次項和系數及常數項.角各切去一個同樣的正方形，然后將四周突出部分折起，就能制作一個無蓋方盒．如果要制作的無蓋方盒的底面分析：設切去的正方形的邊長為xcm，則盒底的長 (100－2x)(50－2x)＝3600，化簡整理，得x2-75x＋350＝0.①問題2：要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場．根據場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應邀請多少個分析：全部比賽的場數為4×7＝28.設應邀請x個隊參賽，每個隊要與其他(x－1)個隊各賽1場，所以全部比賽共x（x－1）2場．列方程x（x－1）2＝28，化簡整理，得x2－x－56=0.②歸納：方程①②的共同特點是：這些方程的兩邊都是整式，只含有一個未知數(一元)數的最高次數是2的方程.1．一元二次方程的定義等號兩邊都是整式，只含有一個未知數叫做一元二次方程.2．一元二次方程的一般形式一般地，任何一個關于x的一元二次方程，經過整這種形式叫做一元二次方程的一般形式．其中 ax2是二次項，a是二次項系數，bx是一次項，b是一次項系數，c是常數項.點撥精講：二次項系數、一次項系數、常數項都要包含它前面的符號．二次項系數a≠0是一個重要條件，不能漏掉.二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，(3)5x2－2x－14＝x2－2x＋35；(4)2(x＋1)2＝3(x＋1)；解：(2)(3)(4).點撥精講：有些含字母系數的方程，盡管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知數，這樣的方程仍然是整式方程.2．將方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數、一次項系數及常數項.解：去括號，得3x2－3x＝5x＋10.移項，合并同類項，得3x2－8x－10＝0.其中二次項系數是3，一次項系數是－8，常數項是－10.點撥精講：將一元二次方程化成一般形式時，通常要將首項化負為正，化分為整.一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，1．求證：關于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1=證明：m2－8m＋17＝(m－4)2＋1，∴(m－4)2＋10，即(m－4)2＋1≠0.∴無論m取何值，該方程都是一元二次方程.點撥精講：要證明無論m取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明m2－8m＋17≠0即可.-4321，0，1，2，3，4.解：將上面的這些數代入后，只有－2和－3滿足等式，所以x＝－2或x＝－3是一元二次方程2x2＋10x+12＝0的兩根.點撥精講：要判定一個數是否是方程的根，只要把這個數代入等式，看等式兩邊是否相等即可.二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內交1．判斷下列方程是否為一元二次方程.2．若x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一個根，求a的值.解得a根據下列問題，列出關于x的方程，并將其化成一元二次方程的一般形式：(1)4個完全相同的正方形的面積之和是25，求正方x2－2x－100＝0.1．一元二次方程的概念以及怎樣利用概念判斷一元二次方程.2．一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，特別強調a≠0.3．要會判斷一個數是否是一元二次方程的根.學習至此，請使用本課時對應訓練部分．(10分鐘)21．2解一元二次方程21．2.1配方法(1)1.使學生會用直接開平方法解一元二次方程.2.滲透轉化思想，掌握一些轉化的技能.重點：運用開平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程；領會降次——轉化的數學思想.難點：通過根據平方根的意義解形如x2＝n(n≥0)的方程，知識遷移到根據平方根的意義解形如(x＋m)2=n(n≥0)的方程.用這桶油漆恰好刷完10個同樣的正方體形狀的盒子的全設正方體的棱長為xdm，則一個正方體的表面積為 6x2dm2，根據一桶油漆可刷的面積列出方程： 10×6x2＝1500，根據平方根的意義，得x=±5，即x1＝5，x25.可以驗證5和－5都是方程的根，但棱長不能為負值，所以正方體的棱長為5dm.探究：對照問題1解方程的過程，你認為應該怎樣解方程(2x－1)2＝5及方程x2＋6x＋9＝4?方程(2x－1)2＝5左邊是一個整式的平方，右邊是一個非負數，根據平方根的意義，可將方程變形為2x-1=±5，即將方程變為2x－1＝5和2x－1=-5兩個一元一次方程，從而得到方程(2x－1)2＝5的兩個解為x1＝1＋52，x2＝1－52.在解上述方程的過程中，實質上是把一個一元二次方程“降次”，轉化為兩個一元一次方程，這樣問題就容易解決了.方程x2＋6x＋9＝4的左邊是完全平方式，這個方程可以化成(x＋3)2＝4，進行降次，得到x＋3=±2，方程的根為x11，x25.歸納：在解一元二次方程時通常通過“降次”把它轉化為兩個一元一次方程．如果方程能化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x=±p或mx＋n=±p.二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，y=±2，x－8=±5，＝－＝－＝－點撥精講：觀察以上各個方程能否化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，若能，則可運用直接開平方法解.一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，(3)4±點撥精講：運用開平方法解形如(mx＋n)2=p(p≥0)的方程時，最容易出錯的是漏掉負根.2．已知關于x的方程x2＋(a2＋1)x－3＝0的一個根解：±1.二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內交(2)x1＝2＋5，x2＝2－5；＝－＝－1．用直接開平方法解一元二次方程.2．理解“降次”思想.3．理解x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)中，為什么p≥0?學習至此，請使用本課時對應訓練部分．(10分鐘)21．2.1配方法(2)1．會用配方法解數字系數的一元二次方程.2．掌握配方法和推導過程，能使用配方法解一元二次方程.重點：掌握配方法解一元二次方程.難點：把一元二次方程轉化為形如(x－a)2＝b的過程.(3)x2＋px＋__(p2)2__＝(x＋_2．若4x2－mx＋9是一個完全平方式，那么m的值是__±12__.問題1：要使一塊矩形場地的長比寬多6m，并且面設場地的寬為xm，則長為(x＋6)m，根據矩形面積為16m2，得到方程x(x＋6)＝16，整理得到 x2＋6x－16＝0.探究：怎樣解方程x2＋6x－16＝0?對比這個方程與前面討論過的方程x2＋6x＋9＝4，可以發現方程x2＋6x＋9＝4的左邊是含有x的完全平方形式，右邊是非負數，可以直接降次解方程；而方程x2+6x－16＝0不具有上述形式，直接降次有困難，能設解：移項，得x2＋6x＝16，+(b2)2的形式，得 x2＋6x＋9＝16＋9，左邊寫成平方形式，得 開平方，得 x＋3=±5，(降次)＝－解一次方程，得x1＝2，x28.歸納：通過配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是為了降次，把一元二次方程轉化為兩個一元一次方程.(3)4x2＋16x＋16＝9.＝－＝－歸納：利用配方法解方程時應該遵循的步驟：(1)把方程化為一般形式ax2＋bx＋c＝0；(3)方程兩邊同時除以二次項系數a；(5)此時方程的左邊是一個完全平方式，然后利用平方根的定義把一元二次方程化為兩個一元一次方程來解.二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0.配方得x2＋6x＋32＝－5＋32，(x＋由此可得x＋3=±2，即x1＝－1，x2＝－5.＝－配方得x2＋3x＋(32)2＝(x＋32)2＝54，由此可得x＋32=±52，即x1＝52－32，＝－(3)去括號，整理得x2＋4x－1＝0，移項得x2＋4x＝1，x＋2=±5，即x1＝5－2，x2＝－5－2.點撥精講：解這些方程可以用配方法來完成，即配一個含有x的完全平方式.一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，m，點P，Q同時由A，B兩點出發分別沿AC，BC方向向點C勻速移動，它們的速度都是1m/s，幾秒后△PCQ的面解：設x秒后△PCQ的面積為Rt△ABC面積的一即x2－14x＋24＝0，x－7=±5，x1＝12，x2＝2都是原方程的根，但x1＝12不合題意，舍去.答：2秒后△PCQ的面積為Rt△ABC面積的一半.點撥精講：設x秒后△PCQ的面積為Rt△ABC面積的一半，△PCQ也是直角三角形．根據已知條件列出等式.二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內交(2)x1＝2＋2，x2＝2－2；(3)x1＝14＋174，x2＝14－174；＝－2．如果x2－4x＋y2＋6y＋z＋2＋13＝0，求(xy)z的值.解：由已知方程得x2－4x＋4＋y2＋6y＋9＋z＋2=0，即(x－2)2＋(y＋3)2＋z＋2＝0，∴x＝2，y3，z=-2.∴(xy)z＝[2×(－3)]－2＝學生總結本堂課的收獲1．用配方法解一元二次方程的步驟.2．用配方法解一元二次方程的注意事項.學習至此，請使用本課時對應訓練部分．(10分鐘)21．2.2公式法1.理解一元二次方程求根公式的推導過程，了解公式法的概念.2.會熟練應用公式法解一元二次方程.重點：求根公式的推導和公式法的應用.難點：一元二次方程求根公式的推導.＝－＝－問題：如果這個一元二次方程是一般形式ax2＋bx+c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步驟求出它們的問題：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，試推導它的兩個根x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a.分析：因為前面具體數字已做得很多，現在不妨把a，b，c也當成一個具體數字，根據上面的解題步驟就可以一直推下去.探究：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由(1)解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax2＋bx＋c＝0，當b2－4ac≥0時，將a，b，c代入式子＝－方程沒有實數根.(2)x＝－b±b2－4ac2a叫做一元二次方程ax2＋bx+c＝0(a≠0)的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__2個實數根，也可能有__1__個實根或者__沒有__實根.(5)一般地，式子b2－4ac叫做方程ax2＋bx＋c==b2－4ac.二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，用公式法解下列方程，根據方程根的情況你有什么(3)無實數根.點撥精講：Δ>0時，有兩個不相等的實數根；Δ=0時，有兩個相等的實數根；Δ＜0時，沒有實數根.一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，1．方程x2－4x＋4＝0的根的情況是(B)A．有兩個不相等的實數根B．有兩個相等的實數根C．有一個實數根D．沒有實數根2．當m為何值時，方程(m＋1)x2－(2m－3)x＋m＋1=0，2x＝m－1沒有實數根，求證：x2＋mx＝1－2m必有兩個不相等的實數根.證明：∵x2＋2x－m＋1＝0沒有實數根，∴4－4(1－m)＜0，∴m＜0.對于方程x2＋mx＝1－2m，即x2＋mx＋2m－1＝0，Δ=m2－8m＋4，∵m＜0，∴Δ>0，∴x2＋mx＝1－2m必有兩個不相等的實數根.二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內交(4)有兩個不相等的實數根.＝－(2)x1＝2＋32，x2＝2－32；＝－＝－＝－＝－的根是由一元二次方程的系數a，b，c確定的；(2)在解一元二次方程時，可先把方程化為一般形式，然后在b2－4ac≥0的前提下，把a，b，c的值代入x=-b±b2－4ac2a(b2－4ac≥0)中，可求得方程的兩個根；(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有兩個實數根.1.求根公式的推導過程.2.用公式法解一元二次方程的一般步驟：先確定a，b，c的值，再算出b2－4ac的值、最后代入求根公式求解.3.用判別式判定一元二次方程根的情況.學習至此，請使用本課時對應訓練部分．(10分鐘)21．2.3因式分解法1.會用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些簡單的數字系數的一元二次方程.2.能根據具體的一元二次方程的特征，靈活選擇方程的解法，體會解決問題方法的多樣性.重點：用因式分解法解一元二次方程.難點：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想.問題：根據物理學規律，如果把一個物體從地面以10m/s的速度豎直上拋，那么經過xs物體離地的高度(單位：m)為10x－4.9x2.你能根據上述規律求出物體經即10x－4.9x2＝0，①思考：除配方法或公式法以外，能否找到更簡單的方法解方程①?分析：方程①的右邊為0，左邊可以因式分解得：x(10－4.9x)＝0，于是得x＝0或10－4.9x＝0，②∴x1＝0，x2≈2.04.上述解中，x2≈2.04表示物體約在2.04s時落回地面，而x1＝0表示物體被上拋離開地面的時刻，即0s時物體被拋出，此刻物體的高度是0點撥精講：(1)對于一元二次方程，先將方程右邊化為0，然后對方程左邊進行因式分解，使方程化為兩個一次式的乘積的形式，再使這兩個一次因式分別等于零，從而實現降次，這種解法叫做因式分解法.(2)如果ab＝0，那么a＝0或b＝0，這是因式分解法的根據．如：如果(x＋1)(x－1)＝0，那么__x＋1＝0或__x－1＝0__，即__x1__或__x＝1.二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，(3)5x2－20x＋20＝0.＝－一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，＝－＝－點撥精講：用因式分解法解一元二次方程的要點是方程的一邊是0，另一邊可以分解因式.(3)5x2－2x－14＝x2－2x＋34；＝－＝－點撥精講：注意本例中的方程可以試用多種方法.二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內交＝－(5)x1＝3，x2＝1.點撥精講：因式分解法解一元二次方程的一般步驟：(1)將方程右邊化為__0__；(2)將方程左邊分解成兩個一次式的__乘積__；(3)令每個因式分別為__0__，得到兩個一元一次方(4)解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.2．把小圓形場地的半徑增加5m得到大圓形場地，場地面積增加了一倍，求小圓形場地的半徑.解：設小圓形場地的半徑為x則可列方程2πx2=解得x1＝5＋52，x2＝5－52(舍去).答：小圓形場地的半徑為(5＋52)學生總結本堂課的1．用因式分解法解方程的根據由ab＝0得a＝0或b=0，即“二次降為一次”.2．正確的因式分解是解題的關鍵.學習至此，請使用本課時對應訓練部分．(10分鐘)21．2.4一元二次方程的根與系數的關系1.理解并掌握根與系數的關系：x1＋x2＝－ba，x1x2=2.會用根的判別式及根與系數的關系解題.重點：一元二次方程的根與系數的關系及運用.難點：一元二次方程的根與系數的關系及運用.方程x1x2x1＋x2x1x2x2－5x＋6＝02x2＋3x－10＝02－5－3－10答：兩根之和為一次項系數的相反數；兩根之積為常數項.②x2＋px＋q＝0的兩根x1，x2用式子表示你發現的規律.答：x1＋x2＝－p，x1x2＝q.方程x1x2x1＋x2x1x22x2－3x－2＝02－12-13x2－4x＋1＝0問題：上面發現的結論在這里成立答：兩根之和為一次項系數與二次項系數之比的相反數，兩根之積為常數項與二次項系數之比.②ax2＋bx＋c＝0的兩根x1，x2用式子表示你發現的規律.答：x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.ax2＋bx＋c＝0的兩根x1b＋b2－4ac2a，x2b－b2－4ac2a.x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca.二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，根據一元二次方程的根與系數的關系，求下列方程的兩根之和與兩根之積.＝－＝－(3)x1＋x2＝6，x1x2＝0.一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，1．不解方程，求下列方程的兩根之和與兩根之積.＝－＝－(3)x1＋x2＝54，x1x2＝點撥精講：先將方程化為一般形式，找對a，b，c.2．已知方程2x2＋kx－9＝0的一個根是－3，求另一根及k的值.解：另一根為32，k＝3.將x＝－3代入方程先求k，再求另一個根；一種是利用根與系數的關系解答.3．已知α,β是方程x2－3x－5＝0的兩根，不解方程，求下列代數式的值.(1)1α+1β;(2)α2+β2；(3)α-β.二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內交1．不解方程，求下列方程的兩根和與兩根積：＝－(4)x1＋x2＝0，x1x2＝－2．兩根均為負數的一元二次方程是(C)A．7x2－12x＋5＝0B．6x2－13x－5＝0C．4x2＋21x＋5＝0D．x2＋15x－8＝0點撥精講：兩根均為負數的一元二次方程根與系數的關系滿足兩根之和為負數，兩根之積為正數.不解方程，根據一元二次方程根與系數的關系和已知條件結合，可求得一些代數式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系數的值.1．先化成一般形式，再確定a，b，c.2．當且僅當b2－4ac≥0時，才能應用根與系數的關系.3．要注意比的符號：x1＋x2＝－ba(比前面有負號)，x1x2＝ca(比前面沒有負號).學習至此，請使用本課時對應訓練部分．(10分鐘)21．3實際問題與一元二次方程(1)1．會根據具體問題(按一定傳播速度傳播的問題、數字問題等)中的數量關系列一元二次方程并求解.2．能根據問題的實際意義，檢驗所得結果是否合理.3．進一步掌握列方程解應用題的步驟和關鍵.重點：列一元二次方程解決實際問題.難點：找出實際問題中的等量關系.問題1：有一人患了流感，經過兩輪傳染后共有121①設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，那么患流感的這一個人在第一輪中傳染了__x__人，第一輪后共②第二輪傳染中，這些人中的每個人又傳染了__x__人，第二輪后共有__(x＋1)(x＋1)__人患了流感. 再思考：如果按照這樣的傳染速度，三輪后有多少問題2：一個兩位數，它的兩個數字之和為6，把這兩個數字交換位置后所得的兩位數與原兩位數的積是1008，求原來的兩位數.分析：設原來的兩位數的個位數字為x，則十位+x][10x＋(6－x)]＝1008，解得x1＝2，x2＝4，∴原來的兩位數為二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，某初中畢業班的每一個同學都將自己的相片向全班其他同學各送一張表示留念，全班共送了2550張相片，如果全班有x名學生，根據題意，列出方程為()A．x(x＋1)＝2550B．x(x－1)＝2550C．2x(x＋1)＝2550D．x(x－1)＝2550×2分析：由題意，每一個同學都將向全班其他同學各送一張相片，則每人送出(x－1)張相片，全班共送出x(x－1)張相片，可列方程為x(x－1)＝2550.故選B.一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，1．某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支，主干、支干和小分支的總數解：設每個支干長出x個小分支，則有1＋x＋x2=故每個支干長出9個小分支.點撥精講：本例與傳染問題的區別.2．一個兩位數，個位上的數字比十位上的數字小4，且個位數字與十位數字的平方和比這個兩位數小4，設個位數字為x，則列方程為：x2＋(x＋4)2＝10(x＋4)+x－4.二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內交1．兩個正數的差是2，它們的平方和是52，則這兩個數是(C)A．2和4B．6和8C．4和61．列一元二次方程解應用題的一般步驟：(1)“審”：即審題，讀懂題意弄清題中的已知量和(2)“設”：即設__未知數__，設未知數的方法有直(4)“解”：即求出所列方程的__根__；(6)“答”：即回答題目中要解決的問題.2.對于數字問題應注意數字的位置.學習至此，請使用本課時對應訓練部分．(10分鐘)21．3實際問題與一元二次方程(2)1.會根據具體問題(增長率、降低率問題和利潤率問題)中的數量關系列一元二次方程并求解.2．能根據問題的實際意義，檢驗所得結果是否合理.3．進一步掌握列方程解應用題的步驟和關鍵.重點：如何解決增長率與降低率問題.難點：理解增長率與降低率問題的公式a(1±x)n=b，其中a是原有量，x為增長(或降低)率，n為增長(或降低)的次數，b為增長(或降低)后的量.生產1噸乙種藥品的成本是6000元，隨著生產技術的進乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降絕對量：甲種藥品成本的年平均下降額為(5000-3000)÷2＝1000(元)，乙種藥品成本的年平均下降額為(6000－3600)÷2＝1200(元)，顯然，乙種藥品成本的年平均下降額較大.相對量：從上面的絕對量的大小能否說明相對量的大小呢？也就是能否說明乙種藥品成本的年平均下降率大呢？下面我們通過計算來說明這個問題.①設甲種藥品成本的年平均下降率為x，則一年后甲種藥品成本為5000(1－x)元，兩年后甲種藥品成本為5000(1－x)2元.依題意，得5000(1－x)2＝3000.解得x1≈0.23，x2≈1.77.根據實際意義，甲種藥品成本的年平均下降率約為 0.23.②設乙種藥品成本的年平均下降率為y.則，列方程：6000(1－y)2＝3600.解得y1≈0.23，y2≈1.77(舍).答：兩種藥品成本的年平均下降率相同.點撥精講：經過計算，成本下降額較大的藥品，它的成本下降率不一定較大，應比較降前及降后的價格.二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，某商店10月份的營業額為5000元，12月份上升到【分析】如果設平均每月增長的百分率為x，則12月份的營業額為5000(1＋x)(1＋x)元，即 5000(1＋x)2元.由此就可列方程：5000(1＋x)2＝7200.點撥精講：此例是增長率問題，如題目無特別說明，一般都指平均增長率，增長率是增長數與基準數的比.增長率＝增長數∶基準數二月(或二年)后產量為a(1＋x)2；如果已知n月(n年)后產量為M，則有下面等式：M=a(1＋x)n.解這類問題一般多采用上面的等量關系列方程.一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，某人將2000元人民幣按一年定期存入銀行，到期后支取1000元用于購物，剩下的1000元及應得利息又全部按一年定期存入銀行，若存款的利率不變，到期后本金和利息共1320元，求這種存款方式的年利率．(利息稅分析：設這種存款方式的年利率為x，第一次存第二次存，本金就變為1000＋2000x80%，其他依此類推.解：設這種存款方式的年利率為x，則1000＋2000x80%＋(1000＋2000x80%)x80%＝1320，整理，得1280x2＋800x＋1600x＝320，即8x2＋15x-2＝0，解得x1＝－2(不符，舍去)，x2＝0.125＝12.5%.答：所求的年利率是12.5%.二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內交青山村種的水稻2011年平均每公頃產7200kg，2013年平均每公頃產8460kg，求水稻每公頃產量的年平均增長率.＝－即年平均增長率為8%.答：水稻每公頃產量的年平均增長率為8%.點撥精講：傳播或傳染以及增長率問題的方程適合用直接開平方法來解.學生總結本堂課的收獲與困惑．(3分鐘)列一元二次方程解應用題的步驟：審、設、找、列、解、答．最后要檢驗根是否符合實際意義.2.若平均增長(降低)率為x，增長(或降低)前的基數是a，增長(或降低)n次后的量是b，則有：a(1±x)n=b(常見n＝2).學習至此，請使用本課時對應訓練部分．(10分鐘)21．3實際問題與一元二次方程(3)1.能根據具體問題中的數量關系，列出一元二次方程，體會方程是刻畫現實世界的一個有效的數學模型．并能根據具體問題的實際意義，檢驗結果是否合理.2.列一元二次方程解有關特殊圖形問題的應用題.重點：根據面積與面積之間的等量關系建立一元二次方程的數學模型并運用它解決實際問題.難點：根據面積與面積之間的等量關系建立一元二次方程的數學模型.寬21cm，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形．如果要使四周的陰影邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯分析：封面的長寬之比是27∶21＝9∶7，中央的長方形的長寬之比也應是9∶7，若設中央的長方形的長和寬分別是9a_cm和7a_cm，由此得上下邊襯與左右邊襯的寬度之比是(27－9a)∶(21－7a)=9∶7.請試一試.二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，在一幅長8分米，寬6分米的矩形風景畫(如圖①)的四周鑲寬度相同的金色紙邊，制成一幅矩形掛圖(如圖②)．如果要使整個掛圖的面積是80平方分米，求金色紙邊的寬.解：設金色紙邊的寬為x分米，根據題意，得(2x+6)(2x＋8)＝80.＝－答：金色紙邊的寬為1分米.點撥精講：本題和上題一樣，利用矩形的面積公式做為相等關系列方程.一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后，如圖，某小區規劃在一個長為40m、寬為26m的矩形場地ABCD上修建三條同樣寬度的馬路，使其中兩條與AB平行，另一條與AD平行，其余部分種草．若使每一塊草坪的面積都是144m2，求馬路的寬.解：假設三條馬路修在如圖所示位置.設馬路寬為x，則有解得x1＝2，x2＝44，由題意：40－2x＞0，26－x＞0,則x＜20.故x2＝44不合題意，應舍去，∴x＝2.答：馬路的寬為2點撥精講：這類修路問題，通常采用平移方法，使剩余部分為一完整矩形.二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內交1．如圖，要設計一幅寬20cm、長30cm的圖案，其中有兩橫兩豎的彩條(圖中陰影部分)，橫、豎彩條的寬度比為3∶2，如果要使彩條所占面積是圖案面積的四分之一，應如何設計彩條的寬度．(精確到0.1cm)解：設橫彩條的寬度為3xcm，則豎彩條的寬度為2x根據題意，得(30－4x)(20－6x)＝(1－14)×20×30.解得x1≈0.6，x2≈10.2(不合題意，舍去).故3x＝1.8，2x＝1.2.答：橫彩條寬為1.8cm，豎彩條寬為1.22．用一根長40cm的鐵絲圍成一個長方形，要求長方形的面積為75cm2.說明圍法.(3)若設圍成一個長方形的面積為S(cm2)，長方形的寬為x(cm)，求S與x的函數關系式，并求出當x為何解：(1)設此長方形的寬為xcm，則長為(20－x)根據題意，得x(20－x)＝75，解得x1＝5，x2＝15(舍去).答：此長方形的寬是(2)不能．由x(20－x)＝101，即x2－20x＋101＝0，知Δ=202－4×1014＜0，方程無解，故不能圍成一個面積為101cm2的長方形.＝－時，S的值最大，最大面積為100cm2.點撥精講：注意一元二次方程根的判別式和配方法在第(2)(3)問中的應用.用一元二次方程解決特殊圖形問題時，通常要先畫出圖形，利用圖形的面積找相等關系列方程.學習至此，請使用本課時對應訓練部分．(10分鐘)第二十二章二次函數22．1二次函數的圖象和性質22．1.1二次函數結合具體情境體會二次函數的意義，理解二次函數的有關概念；能夠表示簡單變量之間的二次函數關系.重點：能夠表示簡單變量之間的二次函數關系.難點：理解二次函數的有關概念.自學：自學課本P28～29，自學“思考”，理解二次函數的概念及意義，完成填空.總結歸納：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數，且a≠0)的函數叫做二次函數，其中二次項系數、一次項系數和常數項分別為a，b，c．現在我們已學過的函數有一次函數、二次函數，其表達式分別是y=ax＋b(a，b為常數，且a≠0)、y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，且a≠0).二、自學檢測：學生自主完成，小組內展示，點評，1．下列函數中，是二次函數的有__A，B，C__.B．y＝1－2x2C．y＝13(x＋2)(x－2)2．二次函數y＝－x2＋2x中，二次項系數是__-1__，一次項系數是__2__，常數項是__0__.3．半徑為R的圓，半徑增加x，圓的面積增加y，則y與x之間的函數關系式為y=πx2＋2πRx(x≥0).點撥精講：判斷二次函數關系要緊扣定義.一、小組合作：小組討論交流解題思路，小組活動后， b≠2.探究2某超市購進一種單價為40元的籃球，如果以單價50元出售，那么每月可售出500個，根據銷售經驗，售價每提高1元，銷售量相應減少10個，如果超市(2)超市計劃下月銷售這種籃球獲利8000元，又要解：(1)y10x2＋1400x－40000(50x100).(2)由題意得10x2＋1400x－40000＝8000，化簡得x2－140x＋4800＝0，∴x1＝60，x2＝80.∵要吸引更多的顧客，∴售價應定為60元.二、跟蹤練習：學生獨立確定解題思路，小組內交成反比例，則y與x的函數關系是(A)A．二次函數B．一次函數C．正比例函數D．反比例函數3．已知，函數y＝(m－4)xm2－m＋2x2－3x－1是關于x的函數.點撥精講：第3