千里之行，始于足下朽木易折，金石可鏤Word-可編輯新思路數學《教誨數學初中讀本》前言為什么我們要寫這個讀本,而且叫“新思路”?新思路,不是新數學。還是本來的初中數學,不是講另外的數學內容。就好比“條條道路通羅馬”,沿不同的道路,到同一個羅馬。我們是沿另一條道路,到同一個初中數學。初中數學就是我們要到的“羅馬”。幾何、代數和三角,是中學數學課程的主要內容。初中數學是它們初出茅廬開始建功立業的舞臺。幾何研究的對象是圖形。研究主意以推理為主,從容易的顯然的命題出發,推出不容易不顯然的結論。在數學教誨的歷史上,幾何推理是訓練學生邏輯思維的重要途徑。醉翁之意不在酒,在乎山水之間。幾何推理之意不僅在推幾何結論,更在乎借助幾何訓練邏輯推理。這是單純的邏輯課程或剝離了數學內容單純講邏輯用語不能代替的。我們堅持必須推理,不能讓學生誤認為知識是數學家憑自己的權威規定出來的。數學家唯一的權威就是講道理。任何人只要懂了同樣的道理,就可以同樣地舉行推理,得出同樣的準確結論,在這個問題上有同樣的權威。除了幾何推理之外,還有代數推理,通過計算得出結論。計算的根據是運算律。運算律也是容易的顯然的命題。在運算律指揮下舉行計算,就是從運算律出發舉行推理。計算過程有一定之規,可以按部就班舉行,不像幾何推理那么靈便,而是更死板,因此更容易控制。代數計算可以用來解決各種問題,包括幾何問題,詳細做法是建立直角坐標系,用坐標表示點,方程表示曲線,通過坐標和方程的計算推出幾何。這部分內容叫做解析幾何。本來就是初中數學的“羅馬”的重要組成部分。還有一條用計算推幾何性質的的路徑是三角。幾何與三角研究的對象都是圖形,首先是最容易但內容依然豐盛的三角形。幾何側重定性的研究,三角側重定量的研究。但三角的“定量”不是處理數據,而是將圖形性質轉化為數據,將角與邊的關系、方向與位置的關系通過三角函數轉化為數,然后交給代數運算去處理。三角是聯系幾何與代數的一座橋梁,是溝通初等數學和高等數學的一條通道。函數、向量、坐標、復數等許多重要的數學知識與三角有關,大量的實際問題的解決要用到三角知識。三角固然是橋梁,這座橋卻修得有點晚。幾何大廈都已經初具規模了,才請三角來修橋。修橋之前只能由幾何推理孤軍奮戰做定性研究。幾何的優點是形象直觀,一張圖一看就懂,勝過千言萬語。缺點是:定性研究大而化之,缺乏量化;邏輯推理過于靈便,缺乏一定之規,難以控制。孤軍奮戰建幾何,建得辛勞,學得也辛勞。三角空懷特技卻袖手旁觀難以施展,頗感委屈。代數隔岸觀火,沒有橋梁不能過河助陣,被冷落在對岸。為什么三角不能早點出場呢?因為三角需要的決定工作太多。至少必須先有相似三角形,才干有三角函數。相似之前必須有全等三角形。按照鄭重的邏輯推理,由全等過渡到相似,要經過相似比為正整數、有理數、實數三個階段。有理數到實數需要用到極限。即使把這些過渡全砍了,路途依然遙遠。張景中先生經過多年探索,嘗試了一條新路:用面積計算協助建立幾何系統。面積公式小學就學過了,可以直接作為推理的出發點。平行四邊形面積等于底乘高,三角形面積等于底乘高除以2,直接作為公理,學生容易采納,邏輯也說得通。面積公式的底和高不分整數分數無理數,繞過了從整數到實數的鴻溝。還有一個優點,平面圖形的面積很容易做加法。一個圖形劃分成幾部分,總面積等于各部分面積之和。既直觀,又顯然,還不失邏輯嚴密性。在平面上算線段,方向既不相同也不相反的兩條線段怎么相加相減,就需要大費周折。我們這個讀本按照這個思路通向初中數學的“羅馬”。既不是“奉天承運皇帝詔曰”強行頒布幾何定理,也不按傳統路徑讓幾何推理孤軍奮戰,而是引入面積計算作為一種重要推理方式,與幾何推理分工合作,共同建設幾何系統。面積計算也是代數推理,代數運算提前進場助陣。幾何、代數、三角三駕馬車齊頭并進,既不失嚴密,又便于學習,可望減低難度。這種教學方式在一些中學舉行過實驗,具有可行性。然后寫成這個讀本,以便進一步實驗。張景中先生的計劃是用單位菱形的面積代表菱形內角的正弦。倘若內角是直角,就是單位正方形,面積就是1。內角不是直角,面積就要打折扣,折扣率由角決定,就是這個角的正弦。倘若用底乘高的公式來計算單位菱形的面積,底邊長為1,面積就等于高,折扣率就是高與1之比,也就是直角三角形的直角邊與斜邊長之比,與傳統正弦的定義一致。用面積而不用邊來計算正弦,帶來無數優勢。面積比邊更直觀,更容易做加法。用計算來推理,輕車熟路,操作容易不容易錯。正弦定理、和角公式、正弦增減性輕巧算出,傳統的教學難點無形中出現了。不妨以和角公式為例,用如下一幅圖展示面積相加的妙用:圖中OD⊥AB,△OAB的面積S△AOB=S△AO1sin不需要精巧設計,兩個三角形面積相加就得到和角正弦公式。普通來說,幾何推理更形象直觀,容易理解它的幾何意義。缺點是過于靈便,不容易控制。代數推理就是計算。計算的準確性由運算律保證,不容易犯錯。計算過程與數的計算相同,都有一定之規,容易控制。缺點是計算過程是一個黑匣子:輸入已知算式,輸出計算結果,中間過程的幾何意義都藏在運算律中了,看不出來。這既是優點也是缺點。優點只做代數運算不必管幾何意義,得心應手。缺點是看不懂原理。因此,異常重要異?；镜膸缀涡再|我們依然先用幾何推理做一遍,例如平行四邊形的判定和性質,三角形全等的判定,等腰三角形的性質,用幾何圖形的旋轉、平移來解釋,盡量直觀。以后用面積計算再推一遍,看成訓練面積主意的習題。代數要協助研究幾何和三角,首先需要修練自己。代數研究的對象是算式。研究主意是計算,是算式的加減乘除。小學學了算術的加減乘除。初中為什么要學代數的加減乘除?算術只能算有限個已知數的加減乘除,不能算無窮多數。只能由已知數算出未知數,不能由未知數算出已知數或算出其它未知數?，F實卻常常需要算無限個數,要求用未知數算出已知數或其它未知數。算術不能算,代數才干算。怎么算?用字母代表數。一個字母代表無窮多個數,也代表未知數的無窮多個可能的值。只算一次,一次不止頂一萬次,而是頂無窮多次,得到的結果就代表無窮多不同答案。有一種時髦,是訓練學生看見數據“探索”邏輯。例如,寫幾個平方數0,1,4,9,16,25,…計算其中相鄰兩數之差得到1,3,5,7,9,….看見到它們是前若干個奇數,就“由此得到”所有的相鄰平方數之差都滿意同樣的邏輯。看見是有益的,能猜到邏輯也是可喜的,“由此得到”卻是錯誤的。只看見有限個數據,不能由此斷定無窮多個平方數也滿意同樣的邏輯。只能預測,不能成為結論。惟獨“探”,沒有“究”。必須對所有的平方數所有驗證才干得出結論,n2n?1就是所有的奇數。不必等教了兩數差的平方公式再算n?12,或著教了兩數平方差公式再算n2?無數人沒有感到字母運算用了運算律。他們覺得沒實用運算律,用的書上教的運算法則。3+2教了掰手指,分數1/3+1/2教了必須通分,異號兩數相加(-3)+2教了絕對值相減。字母運算教了同底數冪相乘指數相加、去括號、合并同類項等等。算術法則只能適用于一小部分數,例如掰手指只能算十以內的正整數,字母代表所有的數,其中大量的不能掰手指,因此不能掰手指算字母。惟獨能夠適用于所有的數的運算法則才干適用于字母。所有這些運算法則所有都是由運算律推出來的。包括通分約分、去括號、合并同類項等等,都是運算律推出來的。運算律很少,推出來的法則卻運算律不多,眾所周知的有交換律,結合律,分配律。還有加法的0的性質0+a=a,乘法的1的性質1a=a。引入分數之后乘法添加倒數1/a的定義a1/a字母運算的加減乘除全靠這些運算律,不然就徹低沒法運算。其它法則都由它們推出來。例如去括號和合并同類項由分配律推出來。甚至0的乘法性質0a=0也由加法性質0a+a=0a+1a=0+1a看見有篇文章研究為什么?12=1,舉了各種推理過程,卻又疑惑它們是循環論證。其中有以?12為例。?1+1=0與?1×1?兩邊同加1得?1?1+?1+1=1固然由運算律建立運算法則經過了鄭重推理。你適用這些法則的時候可以不懂這些推理,但應該知道這些法則的來源。不要以為沒有運算律什么事,把老祖宗忘了。就好比你可以不會種田,但別認為米飯是碗里長出來的或是超市的貨架上長出來的。更重要的是,你可以隨時利用這個來源補充你的資源,例如,當我們讓學生計算a+ba?b的時候,就別說還沒有教平方差公式怎么能算這個乘法。我們不是教平方差公式,只是讓學生領教字母運算的威力,讓學生通過字母運算做這道乘法習題,理所固然不教答案,讓學生自己做答案。我們也不是教字母運算法則,而是讓學生利用已經在小學學過的運算律做乘法。不管做出什么答案,都不超綱。不管他算a+ba?b還是a+ba2等差數列和等比數列是高中數學的內容,高中教了等差數列和等比數列的名稱,教了通項公式,求和公式。倘若初中教“等差數列”、“等比數列”的名稱,教公式,要求學生套公式求通項或求和。這就是超綱。但倘若你什么都不教,把這些數排在那里,不說它是等差數列,不說是數列,只說是“一列數”。也不教公式,讓學生自己想主意求和1+2+3+?1=一開始用加法交換律。然后用“50個相同加數101的和等于乘積101×50”。這些都是小學知識。并不因為高斯是偉大的數學家就在9歲的時候想出一個誰也不懂的主意求和。恰好相反,他想的是一個大家都懂的主意。大家都懂,但是大家都想不到這么用,教師也沒想到。這就是9歲小高斯的偉大之處:能夠用大家都懂的容易主意解決大家都解決不了的“難題”,讓大家大概你覺得,高斯那么偉大,誰也趕不上。后來的高斯確實高不可攀。但是9歲的高斯可以趕,可以攀,應該趕,應該攀。怎么趕,怎么攀?建立一個意識,并且形成習慣:努力利用已經學過的知識解決沒學過的問題。做出答案了,有可能你就發現了一項新知識。這叫授之以漁,或曰素質教誨,核心素質。喜歡動腦筋的人可能還會問:運算律是天然數運算總結出來的邏輯,為什么新添加的分數,負數也恰好滿意這些運算律呢?不是新數恰好滿意舊的運算律,而是新數的運算都是按依然的運算律制定出來的,固然應該滿意。天然數的算法本身就是按運算律制定的。學算術一開始背天然數的順序0,1,2,3,4,5,…就是背3這是按結合律規定加法。為什么3×2=3+33這是按分配律和1的乘法性質a×1人類歷史上,加減乘除的運算法則最開始應該是按現實需要制定的。后來發現按現實需要制定的算法都滿意運算律,符合運算律的算法適用于廣泛的現實需要。因此,以后擴充數就按照運算律制定算法。不但數的運算滿意運算律,數以外的其它對象也可以制定運算,只要滿意運算律,就是合法的運算,就有資歷分享運算律推出的所有性質。以下就是一例:上圖同位角∠1=∠2相等。怎樣由此導出每個角由始邊旋轉到終邊得到,刻畫了始邊到終邊的方向改變,可以寫成:終邊方向-始邊方向=旋轉角。從而有:終邊方向=始邊方向+旋轉角。同位角∠1=∠TSA與∠方向相同的兩條始邊向左旋轉相等角度∠1與∠2到達的終邊SA,TC固然應該方向相同。因此SA//TC.都知道可以由第三條直線與前兩條直線相交所成的角來判定平行。為什么要用第三條直線?上圖講清晰了:第三條直線的作用是提供了不同點S,T出發的同方向始邊ST,方向固然不是數,滿意運算律也能加減。另一方面,能夠加減了,就能用數表示。選一個公共的始邊方向用0°表示,0°方向旋轉到每個方向有個旋轉角,終邊方向=始邊方向+旋轉角=0+旋轉角旋轉角的度數就變成終邊方向的度數了。倘若0°表示的始邊方向