2007年高考數學試題匯編(函數與導數)

(07廣東)

已知函數/(》)="=的定義域為〃，g(x)=ln(l+x)的定義域為N,則"cN=

yj\—X

()

A.{x|x>11B.{x|x<1}C.{x|-1<x<1}D.(f>

C.

(07廣東)

客車從甲地以60km/h的速度勻速行駛1小時到達乙地，在乙地停留了半小時,然后以80km/h

的速度勻速行駛1小時到達丙地，下列描述客車從甲地出發.經過乙地，最后到達丙地所經

過的路程s與時間t之間關系的圖象中，正確的是()

A.B.C.D.

(07全國I)

設。>1,函數/(x)=log.x在區間［a,20上的最大值與最小值之差為;，則。=()

A.V2B.2C.2A/2D.4

A

（07全國1）

設/(X)，g(x)是定義在R上的函數,h(x)=/(x)+g(x).則“/(x)，g(x)均為偶函數”

是“〃⑺為偶函數”的(）

A.充要條件B.充分而不必要的條件

C.必要而不充分的條件I).既不充分也不必要的條件

B

(07江西)

設函數f(X)是R上以5為周期的可導偶函數，則曲線y=f(X)在x=5處的切線的斜率為

A

-TB.0C-ID.5

B.

(07浙江)

設/(%)=g(x)是二次函數，若/［g(x)］的值域是［0,+8),則g(x)的值

x,1

域是()

A.(-oo,-l]U[l,+oo)B.(―co,—ijlj[0,+oo)

C.[0,+oo)D.[l,+oo)

C.

(07天津)

在R上定義的函數/(x)是偶函數，且/(x)=/(2-x),若/(x)在區間1,2］是減函數，則

函數/(x)()

A.在區間［-2,-1］上是增函數，區間［3,4］上是增函數

B.在區間［-2,-1］上是增函數，區間［3,4］上是減函數

C.在區間［-2,-1］上是減函數，區間［3,4］上是增函數

D.在區間［-2,-1］上是減函數，區間［3,4］上是減函數

B.

(07天津)

設a,“c均為正數，且2"=log|4,=log,b,(g)=log2c.貝iJ(》

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c

A.

(07湖南)

函數芥c)=1,'一的圖象和函數g(X)=10g2X的圖象的交點個數是()

x-4x+3,x>1

A.4B.3C.2D.1

B.

（07湖南）

設集合A/={1,2,3,4,5,6},號應,…,S*都是"的含有兩個元素的子集，且滿足：對任意

的￡={q,"}、S,={%,%}（e{1,2,3,--?，^））都有

/、”［）、

min<—>wmin<—>,（min{x,y}表示兩個數中的較小者），則左的最大

b.a.h.a.

v'?zJJ,

值是（）

A.10B.11C.12D.13

（07福建）

已知函數f（x）為R上的減函數，則滿足的實數x的取值范圍是（）

A.（-1,1）B.（0,1）C.（—1,0）U（0,1）D.（—8,—l）U（l,+s）

C.

（07重慶）

已知定義域為R的函數/（x）在區間（8,+oo）上為減函數，且函數y=/（x+8）為偶函數，則

（）

A./（6）>/（7）B./（6）>/（9）C./（7）>/（9）D./（7）>/（10）

D

（07山東）

已知集合〃={—□},N=<xezg<2>i<4>,則A/nN=（）

A.{-1,1}B.{—1}C.{o}D.{—I,。}

B.

（07山東）

設as—1,1,；,31，則使函數y=x°的定義域為R且為奇函數的所有a的值為（）

A.1,3B.-l,1C.-l,3D.-l,1,3

A.

（07江西）

四位好朋友在一次聚會上，他們按照各自的愛好選擇了形狀不同、內空高度相等、杯口半徑

相等的圓口酒杯，如圖所示.盛滿酒后他們約定：先各自飲杯中酒的一半.設剩余酒的高度

從左到右依次為h”h2,h”h.,,則它們的大小關系正確的是（）

A.

（07安徽）

若對任意xcR,不等式忖恒成立，則實數a的取值范圍是

A.a<~\B.同W1C.|a|<lD.

B.

（07安徽）

定義在R上的函數/*）既是奇函數，又是周期函數，T是它的?個正周期.若將方程

/（x）=0在閉區間［-7,網上的根的個數記為〃，則〃可能為

A.0B.1C.3D.5

D.

(07安徽)

圖中的圖象所表示的函數的解析式為

3

(A)y=萬|x-11(0WW2)

33

(B)=(0W后2)

3

(0j；=--|x-l|(0WW2)

(D)y=i-\x-\\(0WxW2)

B.

（07安徽）

2

設a>l,且相=loga(a+l)w=logfl(a-l),p=log。(2a),則加,的大小關系為

(A)n>ni>p(B)/n>p>n(C)ni>n>p(D)p>ni>n

B.

(07北京)

對于函數①/(x)=IgQx-2|+1),②/(x)=(x—2)2,③/(x)=cos(x+2).判斷如下三個

命題的真假：命題甲：/(x+2)是偶函數；命題乙：/(x)在區間(-*2)上是減函數，在區

間(2,+8)上是增函數；命題丙：/(》+2)-/(%)在(-8,+8)上是增函數.能使命題甲、乙、

丙均為真的所有函數的序號是()

A.①③B.①②C.③D.②

1)

(07湖北)產(電克)

為了預防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒.已知|卜

藥物釋放過程中，室內每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小\

時)成正比；藥物釋放完畢后，y與力的函數關系式為y=(a/——

為常數)，如圖所示，根據圖中提供的信息，回答下列問題：

(I)從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y(毫克)與時間t(小時)之間的函數

關系式為.

(H)據測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學生方可進教室，那

從藥物釋放開始，至少需要經過小時后，學生才能回到教室.

1030</<0.1

(07山東)

函數歹=log〃(x+3)-l(a〉0,4X1)的圖象恒過定點A,若點A在直線ZMX+”+1=0上,

12

其中加〃>0,則一+—的最小值為.

mn

8

(07重慶)

若函數/(x)=的定義域為R,則實數。的取值范圍—。［-1,0］(07寧

夏)設函數/(X)=(X+**+■為奇函數,

則實數Q=。

X

-1

(07全國I)

函數y=/(x)的圖象與函數y=log3x(x〉0)的圖象關于直線y=x對稱，則

./(x)=----------°

3A(xe7?)

(07北京)

已知函數/(x),g(x)分別由下表給出：

X123X123

f(X)131g(x)321

則/［g(l)］的值;滿足/b(x)］>g［./(x)］的x的值.

1,2

(07廣東)

已知a是實數，函數/(x)=2辦2+2x-3-“，如果函數y=/(x)在區間［-1,1］上有零點,

求a的取值范圍.

解：若。=0,/(x)=2x—3，顯然在［—1,1］上沒有零點，所以a^O.

令A=4+8a(3+a)=8"2+24"+4=0,解得j近

①當q二—3；近時,y=/(x)恰有一個零點在［一1,1］上；

②當/(—l)-/(l)=(a—1L—5)<0,即1<。<5時,y=/(x)在

［-1,1］上也恰有一個零點.

③當y=/(x)在［-1,1］上有兩個零點時，則

a>0a<0

A=8a2+24。+4>0△=8片+24Q+4>0

,1,

<—1<----<1或＜

2a

/(I)NO/(l)MO

、/(-1)20

解得aN5或。<一3-6

。>1或a<±^H

綜上所求實數a的取值范圍是

2

（07北京）

已知集合/=\ay,a-,,a3,---,ak\k＞2）其中qeZ（z=1,2,…，左），由2中的元素構成兩個

相應的集合S=｛（＜7,b]aww4a+bw/｝,T=^a,b\aeA,beA,a-beA）,其中

（。力）是有序實數對，集合S和T的元素個數分別為〃,〃.

若對于任意的aw/,總有-。仁〃，則稱集合N具有性質尸.

（I）檢驗集合｛0,1,2,3｝與｛-1,2,3｝是否具有性質P,并對其中具有性質產的集合寫出相

應的集合S和T；

（II）對任何具有性質產的集合Z,證明：〃《巫二D；

2

（III）判斷相和”的大小關系，并證明你的結論.

（I）解：集合｛0,1,2,3｝不具有性質P,｛-1,2,3｝具有性質P,其相應的集合S和T是

5=｛（-1,3）,（3.-1）｝,T=｛（2-1）,（2,3））；

（H）證明：首先由/中的元素構成的有序實數對共有公個，因為

Oe4（4,4）eT（i=1,2,…㈤，

又因為當a￡4時，一a￡/,

所以當（a,,盯）eT時，（盯,aJ任T（i=1,2,…,左），于是集合T中的元素的個數最多為

〃=；(左2_,=夫伏_1),即〃W*-1).

(Ill)解：m=n,證明如下：

①對于(q,b)￡S,根據定義QE4bE4，貝IJQ+6E/,從而+

如果(。,6田(。,")是S中的不同元素，那么。=。與6=4中至少有一個不成立，于是

a+b=c+d與b=d中至少有一個不成立，故(“+6,6)與(c+d,d)也是T中的不同元素.

可見

S中的元素個數不多于T中的元素個數，即加V”；

②對于(。⑹eT,根據定義^\a-beA,從而(a-6,b)eS

如果(a,6肖(c,d)是T中的不同元素，那么a=c與b=d中至少有一個不成立，于是

a—b=c—d與b=d中至少有一個不成立，故(a-b,b)與(c-d,d)也是S中的不同元素.

可見

T中的元素個數不多于S中的元素個數，即〃4機.

由①②可知根=〃.

(07上海)

已知函數/'(x)=x2+—(x0,ae7?)

x

(1)判斷函數/(x)的奇偶性；

(2)若/(x)在區間［2,+oo)是增函數，求實數a的取值范圍。

解：(1)當。=0時，/(x)=，為偶函數；當。wO時，/(x)既不是奇函數也不是偶函數.

2

(2)設》2>M》2,/(X])-/(x2)=X,+--^2

再■x2

—~—[%)%2(%]+x2)~a],

x]x2

由％2>N2得%]、2(再+了2)〉16，Xx-X2<0,XjX2>0

要使/(x)在區間［2,+8)是增函數只需/(^)-/(%2)<0,

即x{x2(x1+工2)-。>0恒成立，則。<16o

另解(導數法)：/'(x)=2x—二，要使/(x)在區間[2,+8)是增函數，只需當x22時,

X

/'(x)>0恒成立，即2x-420,則“42x3e[16,+oo)恒成立，

X

故當。416時，/(x)在區間[2,+oo)是增函數。

(重慶理)

已知函數/(》)=。/111%+版4一。色>0)在*=1處取得極值—3—c,其中a,b,c為常數。

(1)試確定a,b的值；

(2)討論函數f(x)的單調區間；

(3)若對任意x>0,不等式/(x)N-2c?恒成立，求c的取值范圍。

解：(I)由題意知/(1)=一3-。，因此6—c=—3—c,從而6=—3.

又對/(x)求導得/'(x)=4ax3lnx+ar4F4bx3=x“4”lnx+a+46).

x

由題意/'(1)=0,因此。+46=0,解得。=12.

(II)由⑴^/(x)=48x3Inx(x〉0),令/<x)=0,解得x=l.

當0<x<l時，f'(x)<0,此時/(x)為減函數；

當x>l時，f'(x)>0,此時/(x)為增函數.

因此/(%)的單調遞減區間為(0,1),而/(x)的單調遞增區間為(1,+8).

(III)由(II)知，/(x)在x=l處取得極小值/⑴=一3-。，此極小值也是最小值，要使

/(x)>-2c2(x〉0)恒成立，只需一3-。2-2c2.

即2c2—c-320,從而(2c—3)(c+l)N0,

、3一

解得cN—或cW-1.

2

所以C的取值范圍為(―8,—1]U|,+00j.

(浙江理)

X322

設/(x)=女，對任意實數人記g,(x)=#x—

(I)求函數y=/(x)-&(x)的單調區間;

(II)求證：(i)當x>0時，/(x)g/(x)2g,(x)對任意正實數/成立；

(ii)有且僅有一個正實數看,使得gx(x0)2g,(x0)時任意正實數才成立.

本題主要考查函數的基本性質，導數的應用及不等式的證明等基礎知識，以及綜合運用

所學知識分析和解決問題的能力.滿分15分.

丫3[6

(I)解：y=—-4x+—.由=/一4=0,得x=±2.

因為當xe(-oo,-2)時，y'>0,當xe(-2,2)時，y'<0,當xe(2,+oo)時，y'>0,

故所求函數的單調遞增區間是(-oo,-2),(2,+00)；單調遞減區間是(-2,2).

d22

(II)證明：⑴方法一：令/?(x)=/(x)—g,(x)=§—/3x+§/(x>0),

221

則/?'(x)=X?,當/>0時，由”(x)=0,得x=「，當xe(x3,+oo)時，h'(x)>0,

所以h(x)在(0,+8)內的最小值是〃廬)=0.

故當x〉0時，/(x)2g,(x)對任意正實數/成立.

方法二：

222---

對任意固定的X>0,令〃(/)=g(%)=/3%一§，(/〉0),則〃'(1)=]/3(x-#),

由力'(。=0,得)=/.當0</<。時,h\t)>0.當時,。”)<0,

所以當f=d時，力(/)取得最大值。(丁)=；》3.

因此當x〉0時，/(x)Ng(x)對任意正實數才成立.

Q

(ii)方法一：/(2)=-=g,(2).由(i)得，g(2)2g,(2)對任意正實數/成立.

即存在正實數升=2，使得g*(2)2g,(2)對任意正實數/成立.

下面證明/的唯一性：當玉)工2,毛〉。，，=8時，

/Uo)="^_,且式/心僅)一竽,由⑴得,羊＞4%。一(,

再取/=/3,得g%3(Xo)=1~，所以gx(Xo)=4Xo_g〈微_=8端(刀0),

即5w2時，不滿足gx(x0)2g,(x0)對任意/〉0都成立.

故有且僅有一個正實數%=2,使得8、.(%)0》&(%)對任意正實數1成立.

方法二：對任意X°〉0,g,v(X0)=4x0-y,因為g,(x0)關于/的最大值是;％3,所以要

3

使g.、(x°)2g,(x0)對任意正實數成立的充分必要條件是：4x0-y^1x0,

即(/―2)2(公+4)WO,①又因為%〉0,不等式①成立的充分必要條件是%=2,

所以有且僅有一個正實數%=2,使得g,(x0)2g,(x0)對任意正實數/成立.

(天津理)

已知函數/(x)=2"x；"+l(xeR),其中aeR.

(I)當。=1時，求曲線y=/(x)在點(2,/(2))處的切線方程；

(II)當時，求函數/(x)的單調區間與極值.

本小題考查導數的幾何意義，兩個函數的和、差、積、商的導數，利用導數研究函數的單調

性和極值等基礎知識，考查運算能力及分類討論的思想方法.滿分12分.

2x4

(I)解：當。=1時，/(x)=-^-,/⑵=二，

x+15

46

所以，曲線丁=/(x)在點(2,/(2))處的切線方程為^一］=一行(》一2),

即6x+2y-32=0.

2a(x2+1)-2x(2ax-a2+1)-2(x-a)(ax+1)

(0)解：/'(x)=

，+l)2(x2+l)2

由于"NO,以下分兩種情況討論.

(1)當。〉0時，令/'(x)=0,得到花=一1，x2=a.當x變化時，/'(x),/(x)的變

a

化情況如下表：

1

Xa(a,+0°)

/'(X)—04-0—

/(X)減函數極小值增函數極大值減函數

所以/(x)在區間1―8,—工)，(a,+8)內為減函數，在區間(一L,a］內為增函數.

函數/(x)在芯=一)處取得極小值/［一5)，且/(-3)=一“2，

函數/(x)在乙=工處取得極大值f(a)，且f(a)=1.

a

(2)當a<0時，令f'(x)=0,得到玉=a,x2=---當x變化時，f\x),/(x)的變化

a

情況如下表：

1

X(一8,a)a(-7+8)

a

/'(X)+0—0+

/(X)增函數極大值減函數極小值增函數

所以/(x)在區間(—8,a),f_l,+8］內為增函數，在區間(a,—!］內為減函數.

函數/(x)在西=a處取得極大值/(a)，且/(a)=1.

函數/(x)在彳2=_:處取得極小值/(一▲)，且

(四川理)

設函數/(X)=(l+』］(〃€",且〃>1,%€%).

(I)當x=6時，求(1+：)的展開式中二項式系數最大的項；

(II)對任意的實數x,證明，(2x)；/(2).>/，(x)(/，(x)是“乃的導函數)；

(III)是否存在asN，使得an<￡^l+1j<(?+!>恒成立?若存在，試證明你的結論并求

出。的值;若不存在，請說明理由.

本題考察函數、不等式、導數、二項式定理、組合數計算公式等內容和數學思想方法。考查

綜合推理論證與分析解決問題的能力及創新意識。

(I)解：展開式中二項式系數最大的項是第4項，這項是2=義

\n)n

(11)證法一：因/(2x)+/⑵=0+!)+G+-1

證法二:

因/(2x)+/(2)

而2/'(x)=2

故只需對+和In[1+：)進行比較。

1]

令g(x)=xTnx(xN]),有g(x)=l————

由上土=0,得x=l

X

因為當0cx<1時,g(x)<0,g(x)單調遞減;當l<x<+8時，g(x)>0,g(x)單

調遞增，所以在X=1處g(x)有極小值1

故當x>10寸，g(x)>g(l)=l，

從而有x-lnx>l,亦即x〉lnx+l>lnx

故有++：卜亙成立。

所以/(2x)+〃2)22/(x),原不等式成立。

(III)Xj*mGN,且加>1

有h+與Y+Q+…+C+???+4'

m

tn

十???十

m\

…1-S

vm

2!3!k\m\

c111]

<2+---+----+???++----F

2x13x2N"i)

2+4+11ii

+■-?+

J-3k-\km-\m

3--<3

m

m

0(左=2,3,4,…,加)，故2<jl+，

又因>I<3

Im

m

<3,從而有2〃<Z[1+L

V2<[1+—<3〃成立,

\m

即存在a=2,使得2〃<X1+i<3〃恒成立。

k=\

(陜西理)

2

設函數7(x尸一/c——,其中a為實數.

x+ax+a

(I)若/(x)的定義域為R,求a的取值范圍；

(II)當兀0的定義域為R時，求外丫)的單減區間.

解：(I)/(x)的定義域為R,。0恒成立，"一4。<0,

.,.0<Q<4,即當0<Q<4時/(X)的定義域為R.

C+2)e

(II)f'(x)=-L--；.,令/”(x)W0,得x(x+a—2)W0.

(X+OX+Q)

由/"(x)=。，得x=。或x=2—又

0<<7<2時，山f\x)<0得0<X<2-Q；

當Q=2時，f(x)0；當2<Q<4時，由/'(x)<0得2—Q<X<0,

即當0VQ<2時,/(X)的單調減區間為(0,2-67)；

當2VQ<4時，/(x)的單調減區間為(2—。,0).

(山東理)

設函數/(1)=%2+bln(x+1),其中6wO.

(I)當忖，判斷函數/(x)在定義域上的單調性：

(H)求函數f(x)的極值點；

(III)證明對任意的正整數〃，不等式—4都成立.

\n)nn

解⑴函數/(x)=x2+Mn(x+1)的定義域為(一1,+8).

,?b2x2+2x+b

f(x)=2x+--=-------——，

x+1x+1

令g(x)=2*2+2x+6,則g(x)在［-；,+oo］上遞增，在［-l,-；］上遞減，

g(X)min=g(_；)=_；+6?當6>g時，gOOmin=-g+6>0，

g(x)=2x2+2x+6〉0在(-1,+oo)上恒成立.二./(x)>0,

即當6〉；時，函數/(%)在定義域(—1,+8)上單調遞增。

(II)分以下幾種情形討論：(1)由(I)知當6〉；時函數/(x)無極值點.

12(x+；>(1、

(2)當b=e時，/'(x)=x+：,.”€卜1,一會時，/(x)>0,

xe[-g,+oo)時，/'(x)>0,：.Z)=g時，函數/(x)在(一1,+oo)上無極值點。

1_1_J\_2h-14.Ji-?/)

(3)當人<5時，解/'(x)=o得兩個不同解玉=——工----,x2=——[-----.

…—17"2b,-1+V1-2A,

當6<0時，x.------------<-1,X..------------>-1,

1222

g(-l,+00),X2G(-1,4-00),

此時/(x)在(一1,+8)上有唯一的極小值點x2=7+-2b.

當0<6<,時，X],G(―1,+8),

/'(X)在(一1,苞),(》2，+8)都大于0，/'(X)在(玉,乙)上小于0，

此時/(X)有一個極大值點占=7和一個極小值點丁=.

_1+Jl_)h

綜上可知，6<0時，/(X)在(―L+00)上有唯一的極小值點上=；；

1-1_Ji_2A_1+出_2b

0<6(人時，/(%)有一個極大值點x,=7和一個極小值點吃=”

62g時，函數/(X)在(—1,+8)上無極值點。

(III)當人=一1時.，/(x)=x2-ln(x+1).

令h(x)=x3-/(x)=x3-x2+ln(x+1),則h(x)=')(\D在他小)上恒正，

/.h{x)在[0,+00)上單調遞增，當x￡(0,+8)時，恒有A(x)>6(0)=0.

即當x￡(0,+oo)時，有x3-x24-ln(x+l)>0,ln(x+l)>x2-x3,

對任意正整數〃，取》=,得ln(」+l)>>4—二

nnnn

【試題分析】函數的單調性、導數的應用、不等式的證明方法。(I)通過判斷導函數的正負來

確定函數的單調性是/(x)>0是3〉；和定義域(-1,+8)共同作用的結果；(II)需要分類

討論，由(I)可知分類的標準為(HI)構造新函數為證明不等式“服

22

務”，構造函數的依據是不等式關系中隱含的易于判斷的函數關系。用導數解決函數的單調

性問題一直是各省市高考及各地市高考模擬試題的重點，究其原因，應該有三條：這里是知

識的交匯處，這里是導數的主陣地，這里是思維的制高點.此類問題的?般步驟都能掌握，

但重要的是求導后的細節問題--一參數的取值范圍是否影響了函數的單調性？因而需要進

行分類討論判斷：當參數給出了明確的取值范圍后，應根據/(x)導函數的特點迅速判斷

/'。)>0或/'。)<0。參數取某些特定值時，可直觀作出判斷，單列為一類；不能作出直

觀判斷的，再分為一類，用通法解決.另外要注意由/'(x)=0求得的根不一定就是極值點，

需要判斷在該點兩側的異號性后才能稱為“極值點”.

(全國卷二理)

已知函數/(x)=、-x.

(1)求曲線y=/(X)在點/(7,/(/))處的切線方程；

(2)設。〉0,如果過點(a,b)可作曲線y=/(x)的三條切線，證明：

解：(1)/(X)的導數/'(x)=3x2—1.曲線y=/(x)在點/(7,/(7))處的切線方程為：

y—/⑺=/'(/)(xT)，即歹=(3/-l)x-2/3.

(2)如果有一條切線過點(a,6),則存在/,使6=(3/—1)。一2戶.

若過點(a,人)可作曲線歹=/(x)的三條切線，則方程2/3—3〃2+。+/,=0有三個相異的

實數根.記g(f)=2/3-3at2+。+力，則g'?)=6/2-6(7/=6/(/-6F).

當」變化時,g(/),g'(/)變化情況如下表：

t(—8,0)0(0,a)a(a,4-oo)

g'⑺+0—0+

g(0增函數極大值a+b減函數極小值b—/(a)增函數

由g?)的單調性，當極大值。+6<0或極小值6-/(“)>0時，方程g(/)=0最多有一個

實數根；

當。+6=0時，解方程g(/)=o得/=0,/=三，即方程g(f)=0只有兩個相異的實數根:

當6-/(0=0時，解方程g(7)=o得/=-],/=。，即方程g(7)=0只有兩個相異的實

數根.

綜上，如果過(。，8)可作曲線歹=/(x)三條切線，即g(7)=0有三個相異的實數根，

。+人>0,

-a<b<f(a).

^-/(?)<0.

(全國卷一理)

設函數/(x)=e、—eT.

(I)證明:/(X)的導數/'(X)的2；

(II)若對所有x20都有/(x)2數，求a的取值范圍.

解：(I)/3)的導數/'(外=砂+心.由于e、+e722je、e」'=2,故/'(x)N2.

(當且僅當x=0時，等號成立).

(II)令g(x)=/(x)-ax,則gr(x)=r⑴一a=e*+0一a,

(i)若QW2,當x>0時，gf(x)=eA+e-x-^>2-470,

故g(x)在(0,+8)上為增函數,

所以，0時,g(x)2g(0),即f(x)2ax.

(ii)若。〉2,方程g'(x)=0的正根為x,=In”李二色，

此時，若xe(0,xj,則g'(x)<0,故g(x)在該區間為減函數.

所以，xe(0,xj時，g(x)<g(0)=0,即/(x)<ax,與題設/(x)2方相矛盾.

綜上，滿足條件的。的取值范圍是(-8,2].

設函數/(x)=ln(x+a)+x2

（I）若當x=-1時，/（x）取得極值，求。的值，并討論/（X）的單調性；

P

（II）若/（x）存在極值，求。的取值范圍，并證明所有極值之和大于In/.

（江西理）

JT

如圖，函數y=2cos（的+e）（xwRQWeW］）的圖象與歹

軸交于點（0,73），且在該點處切線的斜率為-2.

（1）求。和口的值；

（2）已知點/?!，（））,點P是該函數圖象上一點，點。（%,y0）

是尸/的中點，當y§=*,x0em，兀時，求飛的值?

解：（1）將x=0,y=代入函數y=2cos（（yx+6）得cos。=-5-,因為

所以。=2.

6

又因為=-2（ysin（?yx+。），y'|v=0=-2,，所以＜y=2,因止匕y=28$（2》+言）.

（2）因為點N,0,Q（x,打）是尸/的中點，為73

0T點尸的坐標為

又因為點尸在夕=2cos（2x+^）的圖象匕所以cos（4x（）-V-―^

因為巴W與W兀，所以Fw4x0—也，

2666

.?-J—5711IK,5兀13兀2兀3兀

從而得ZH4Ax（）―-/=%-或4X（）---=.即nn/=3-或/=彳.

（湖南理）

如圖4,某地為了開發旅游資源，欲修建??條連接風景點尸和居民區O的公路，點尸所在

2

的山坡面與山腳所在水平面a所成的二面角為。（0°＜。＜90°）,月.sin6=—，點尸到平

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血a的距離P"=0.4（km）.沿山腳原有一段筆直的公路可供利用.從點。到山腳修

路的造價為。萬元/km,原有公路改建費用為2萬元/km.當山坡上公路長度為/km

2

(1W/W2)時，其造價為(p+l)。萬元.已知0Z_LZ8,PBLAB,48=1.5(km),

OA=V3(km).

(I)在N8上求一點。，使沿折線尸。4。修建公路的總造價最小；

(II)對于(I)中得到的點。，在。〃上求一點E,使沿折線POEO修建公路的總造價

最小.

(III)在Z8上是否存在兩個不同的點。'，E',使沿折線PO'E'O修建公路的總造價小于

(II)中得到的最小總造價，證明你的結論.

解：(I)如圖，PH人a,HBua,PB工AB,

由三垂線定理逆定理知，ABLHB,所以NPBH是

山坡與a所成二面角的平面角，則NPBH=6,

PB=^-=1.設8Z)=x(km),0Wx<1.5

sin。

則PD=yJx2+PB2=Vx2+1e[1,2].

記總造價為/(x)萬元,

,,1,111

據題設有/(x)=(Pr>2+i+：/o+NO)a=(x2—5x+^+Gr)a

當x=；,即8。=:(km)時，總造價/(x)最小.

(II)設Z￡=y(km),OWyW；,總造價為6(y)萬元，根據題設有

人00=PO2+l+7/+3

則方(?=。，由《3)=0,得V=L

W+32J

當yw(0,1)時,為'(y)<0,式(y)在(0,1)內是減函數;

當歹41弓)時，43)>0,人(/在卜椅)內是增函數.

故當y=l,即NE=1(km)時總造價人(y)最小，且最小總造價為2。萬元.

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(III)解法一：不存在這樣的點O',E'.

事實上，在N8上任取不同的兩點O',E'.為使總造價最小，E顯然不能位于與5之

間.故可設E'位于。'與N之間，且8。'=玉(km),ZE'=y(km),0^x,+y2

總造價為S萬元，則5=[%2_尹&；+3_5+弓).類似于(I)、(ID討論知，

一行一/7^+3-y^|>當且僅當再=；，"=1同時成立時，上述兩個不

等式等號同時成立，此時BO'=，(km),NE=l(km),S取得最小值包“，點O',￡'分

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別與點。，E重合，所以不存在這樣的點D',E',使沿折線PD'E'O修建公路的總造價

小于(II)中得到的最小總造價.

解法二：同解法一得S=(x；_±+Jy；+3—

(224J

2ax2J3(正耳^一乂)(J+3+yjX￡7+~(7~^a,

當且僅當須=；且3Q"+3_y)Q"+3+/),即玉=(,乂=1同時成立H寸，s取得

最小值生。，以上同解法….

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(湖北理)

已知定義在正實數集上的函數/(x)=:f+2ax,g(x)=3/lnx+6,其中。>0.設兩

曲線y=/(x),y=g(x)有公共點，且在該點處的切線相同.

(I)用“表示6,并求6的最大值;

(II)求證:/(x)Ng(x)(x>0).

本小題主要考查函數、不等式和導數的應用等知識,考查綜合運用數學知識解決問題的能力.

解：(I)設^=/(x)與y=g(x)(x〉O)在公共點(如外)處的切線相同.

7f\x)=x+2a,g'(x)=——，由題意/(Xo)=g(Xo)，/'(%)=g'(%o).

X

+2辦0=3021nx0+b,?

2.3/

即《

2由X。+2d=---得：xQ=a,或%=一3。(舍去).

x0+2力也，/

%

即有b=+2/-3/Ina=-3a2\na.

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令〃(7)=|/2—