課時過關檢測(七十)數學模型的構建與擬合【原卷版】1．高為H，滿缸水量為V的魚缸的軸截面如圖所示，其底部破了一個小洞，滿缸水從洞中流出，若魚缸水深為h時水的體積為v，則函數v＝f(h)的大致圖象是()2．某區要從5名干部甲、乙、丙、丁、戊中隨機選取2人，赴區屬的某村進行駐村工作，則甲或乙被選中的概率是()A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(7,10)3．已知函數t＝－144lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(N,100)))的圖象可表示打字任務的“學習曲線”，其中t(h)表示達到打字水平N(字/min)所需的學習時間，N表示打字速度(字/min)，則按此曲線要達到90字/min的水平，所需的學習時間是()A．144h B．90hC．60h D．40h4．一個球從100m高處自由落下，每次著地后又跳回到原高度的一半再落下，當它第10次著地時，經過的路程是()A．100＋200(1－2－9) B．100＋100(1－2－9)C．200(1－2－9) D．100(1－2－9)5．在某市2022年3月份的高三線上質量檢測考試中，學生的數學成績服從正態分布N(98,100)．已知參加本次考試的全市學生有9455人，如果某學生在這次考試中的數學成績是108分，那么他的數學成績大約排在全市第()A．1500名 B．1700名C．4500名 D．8000名6．“今有城，下廣四丈，上廣二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺．”這是我國古代數學名著《九章算術》卷五中“商功”中的問題．意思為“現有城(如圖，等腰梯形的直棱柱體)，下底長4丈，上底長2丈，高5丈，縱長126丈5尺(1丈＝10尺)”，則該問題中“城”的體積等于()A．1．8975×106立方尺 B．3．7950×106立方尺C．2．5300×105立方尺 D．1．8975×105立方尺7．(多選)若f(x)滿足f′(x)＋f(x)＞0，則對任意正實數a，下列不等式恒成立的是()A．f(a)＜f(2a) B．f(a)e2a＞f(－a)C．f(a)＞f(0) D．f(a)＞eq\f(f0,ea)8．某市出租車的計價標準為1．2元/km，起步價為10元，即最初的4km(不含4km)計費10元．如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，需要支付車費________元．9．已知定義在(0，＋∞)上的函數f(x)，其導函數為f′(x)，滿足f′(x)＞3，且f(3)＝4，則不等式xf(x)＞3x2－5x的解集為________．10．在一次海上聯合作戰演習中，紅方一艘偵察艇發現在北偏東45°方向，相距12nmile的水面上，有藍方一艘小艇正以每小時10nmile的速度沿南偏東75°方向前進，若紅方偵察艇以每小時14nmile的速度，沿北偏東45°＋α方向攔截藍方的小艇，若要在最短的時間內攔截住，求紅方偵察艇所需的時間和角α的正弦值．11．在一次抽樣調查中測得5組成對數據，其數值及散點圖如下：x0．250．5124y1612521(1)根據散點圖判斷y＝a＋bx與y＝c＋k·x－1哪一個更適宜作為y關于x的經驗回歸方程類型；(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(1)的判斷結果及表中數據，試建立y與x的經驗回歸方程；(計算結果保留整數)(3)在(2)的條件下，設z＝y＋x且x∈[4，＋∞)，試求z的最小值．課時過關檢測(七十)數學模型的構建與擬合【解析版】1．高為H，滿缸水量為V的魚缸的軸截面如圖所示，其底部破了一個小洞，滿缸水從洞中流出，若魚缸水深為h時水的體積為v，則函數v＝f(h)的大致圖象是()解析：Bv＝f(h)是增函數，且曲線的斜率應該是先變大后變小，故選B．2．某區要從5名干部甲、乙、丙、丁、戊中隨機選取2人，赴區屬的某村進行駐村工作，則甲或乙被選中的概率是()A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(7,10)解析：D從5名干部中隨機選取2人，共有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)這10種等可能方案，其中符合條件的有7種方案，∴所求概率為eq\f(7,10)．故選D．3．已知函數t＝－144lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(N,100)))的圖象可表示打字任務的“學習曲線”，其中t(h)表示達到打字水平N(字/min)所需的學習時間，N表示打字速度(字/min)，則按此曲線要達到90字/min的水平，所需的學習時間是()A．144h B．90hC．60h D．40h解析：A由N＝90可知，t＝－144lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(90,100)))＝144(h)．4．一個球從100m高處自由落下，每次著地后又跳回到原高度的一半再落下，當它第10次著地時，經過的路程是()A．100＋200(1－2－9) B．100＋100(1－2－9)C．200(1－2－9) D．100(1－2－9)解析：A由題意，第10次著地時，經過的路程是100＋2×(50＋25＋…＋100×2－9)＝100＋2×100×(2－1＋2－2＋…＋2－9)＝100＋200×eq\f(2－1×1－2－9,1－2－1)＝100＋200(1－2－9)，故選A．5．在某市2022年3月份的高三線上質量檢測考試中，學生的數學成績服從正態分布N(98,100)．已知參加本次考試的全市學生有9455人，如果某學生在這次考試中的數學成績是108分，那么他的數學成績大約排在全市第()A．1500名 B．1700名C．4500名 D．8000名解析：A因為學生的數學成績X服從正態分布N(98,100)，則P(X>108)＝eq\f(1,2)[1－P(88≤X≤108)]＝eq\f(1,2)[1－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]≈eq\f(1,2)×(1－0．6827)＝0．15865，而0．15865×9455≈1500，所以該學生的數學成績大約排在全市第1500名．故選A．6．“今有城，下廣四丈，上廣二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺．”這是我國古代數學名著《九章算術》卷五中“商功”中的問題．意思為“現有城(如圖，等腰梯形的直棱柱體)，下底長4丈，上底長2丈，高5丈，縱長126丈5尺(1丈＝10尺)”，則該問題中“城”的體積等于()A．1．8975×106立方尺 B．3．7950×106立方尺C．2．5300×105立方尺 D．1．8975×105立方尺解析：AV＝eq\f(40＋20×50,2)×1265＝1897500＝1．8975×106(立方尺)，故選A．7．(多選)若f(x)滿足f′(x)＋f(x)＞0，則對任意正實數a，下列不等式恒成立的是()A．f(a)＜f(2a) B．f(a)e2a＞f(－a)C．f(a)＞f(0) D．f(a)＞eq\f(f0,ea)解析：BD設h(x)＝exf(x)，則h′(x)＝ex[f′(x)＋f(x)]，因為f′(x)＋f(x)＞0，所以h′(x)＞0，h(x)在R上是增函數，因為a是正實數，所以a＜2a，所以eaf(a)＜e2af(2a)，即f(a)＜eaf(2a)，又ea＞1，故f(a)，f(2a)大小不確定，故A錯誤；因為－a＜a，所以e－af(－a)＜eaf(a)，即e2af(a)＞f(－a)，故B正確；因為a＞0，所以eaf(a)＞e0f(0)＝f(0)，即f(a)＞eq\f(f0,ea)，又ea＞1，所以f(a)，f(0)大小不確定，故C錯誤，D正確．故選B、D．8．某市出租車的計價標準為1．2元/km，起步價為10元，即最初的4km(不含4km)計費10元．如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，需要支付車費________元．解析：根據題意，當該市出租車的行程大于或等于4km時，每增加1km，乘客需要支付1．2元．所以可以建立一個等差數列{an}來計算車費．令a1＝11．2，表示4km處的車費，公差d＝1．2，那么當出租車行至14km處時，n＝11，此時需要支付車費a11＝11．2＋(11－1)×1．2＝23．2(元)．答案：23．29．已知定義在(0，＋∞)上的函數f(x)，其導函數為f′(x)，滿足f′(x)＞3，且f(3)＝4，則不等式xf(x)＞3x2－5x的解集為________．解析：構造函數g(x)＝f(x)－3x，x＞0，則g′(x)＝f′(x)－3＞0，故函數g(x)為(0，＋∞)上的增函數，則g(3)＝f(3)－9＝－5．當x＞0時，由xf(x)＞3x2－5x可得f(x)＞3x－5，即f(x)－3x＞－5，即g(x)＞g(3)，解得x＞3，所以不等式xf(x)＞3x2－5x的解集為(3，＋∞)．答案：(3，＋∞)10．在一次海上聯合作戰演習中，紅方一艘偵察艇發現在北偏東45°方向，相距12nmile的水面上，有藍方一艘小艇正以每小時10nmile的速度沿南偏東75°方向前進，若紅方偵察艇以每小時14nmile的速度，沿北偏東45°＋α方向攔截藍方的小艇，若要在最短的時間內攔截住，求紅方偵察艇所需的時間和角α的正弦值．解：如圖，設紅方偵察艇經過x小時后在C處追上藍方的小艇，則AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°．根據余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，解得x＝2．故AC＝28，BC＝20．根據正弦定理得eq\f(BC,sinα)＝eq\f(AC,sin120°)，解得sinα＝eq\f(20sin120°,28)＝eq\f(5\r(3),14)．所以紅方偵察艇所需要的時間為2小時，角α的正弦值為eq\f(5\r(3),14)．11．在一次抽樣調查中測得5組成對數據，其數值及散點圖如下：x0．250．5124y1612521(1)根據散點圖判斷y＝a＋bx與y＝c＋k·x－1哪一個更適宜作為y關于x的經驗回歸方程類型；(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(1)的判斷結果及表中數據，試建立y與x的經驗回歸方程；(計算結果保留整數)(3)在(2)的條件下，設z＝y＋x且x∈[4，＋∞)，試求z的最小值．解：(1)由題中散點圖可以判斷，y＝c＋k·x－1更適宜作為y關于x的經驗回歸方程類型．(2)令t＝x－1，則y＝c＋kt，構造新的成對數據，如下表：t4210．50．25y1612521易知y與t存在線性相關關系．計算得eq\o(t,\s\up6(－))＝1．55，eq\o(y,\s\up6(－))＝7．2，eq\o(k,\s