第4講統計與概率綜合解答題目錄重難點題型突破突破一：頻率分布直方圖與概率統計突破二：線性回歸與非線性回歸突破三：概率綜合題突破四：概率統計與數列交匯突破五：概率統計與導數交匯突破一：頻率分布直方圖與概率統計1．（2022·河南·馬店第一高級中學模擬預測（理））在高考結束后，程浩同學回初中母校看望數學老師，順便幫老師整理初三年級學生期中考試的數學成績，并進行統計分析，在整個年級中隨機抽取了200名學生的數學成績，將成績分為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，共6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，記分數不低于90分為優秀．(1)從樣本中隨機選取一名學生，已知這名學生的分數不低于70分，問這名學生數學成績為優秀的概率；(2)在樣本中，采取分層抽樣的方法從成績在SKIPIF1<0內的學生中抽取13名，再從這13名學生中隨機抽取3名，記這3名學生中成績為優秀的人數為X，求X的分布列與數學期望．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列見解析；SKIPIF1<0【詳解】（1）依題意，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則不低于70分的人數為SKIPIF1<0，成績在SKIPIF1<0內的，即優秀的人數為SKIPIF1<0；故這名學生成績是優秀的概率為SKIPIF1<0；（2）成績在SKIPIF1<0內的有SKIPIF1<0（人）；成績在SKIPIF1<0內的有SKIPIF1<0（人）；成績在SKIPIF1<0內的有SKIPIF1<0人；故采用分層抽樣抽取的13名學生中，成績在SKIPIF1<0內的有6人，在SKIPIF1<0內的有5人，在SKIPIF1<0內的有2人，所以由題可知，X的可能取值為0，1，2，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以X的分布列為：X012PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故SKIPIF1<0．2．（2022·云南云南·模擬預測）足球運動，最早的起源在中國.在春秋戰國時期，就出現了“蹴鞠”或名“塌鞠”某足球俱樂部隨機調查了該地區100位足球愛好者的年齡，得到如下樣本數據頻率分布直方圖.(1)估計該地區足球愛好者的平均年齡：（同一組數據用該區間的中點值作代表）(2)估計該地區足球愛好者年齡位于區間SKIPIF1<0的概率；(3)已知該地區足球愛好者占比為SKIPIF1<0，該地區年齡位于區間SKIPIF1<0的人口數占該地區總人口數的SKIPIF1<0，從該地區任選1人，若此人的年齡位于區間SKIPIF1<0，求此人是足球愛好者的概率.【答案】(1)SKIPIF1<0歲(2)0.48(3)SKIPIF1<0【詳解】（1）估計該地區足球愛好者的平均年齡SKIPIF1<0歲.（2）由題圖，得該地區足球愛好者年齡位于區間SKIPIF1<0的頻率為SKIPIF1<0，用頻率估計概率，故足球愛好者年齡位于區間SKIPIF1<0概率為0.48.（3）記事件A為：“任選一人，年齡位于區間SKIPIF1<0”，事件B為：“任選一人是足球愛好者”，由條件概率公式可得：SKIPIF1<0.3．（2022·北京育才學校模擬預測）在某地區，某項職業的從業者共約8.5萬人，其中約3.4萬人患有某種職業病.為了解這種職業病與某項身體指標（檢測值為不超過6的正整數）間的關系，依據是否患有職業病，使用分層抽樣的方法隨機抽取了100名從業者，記錄他們該項身體指標的檢測值，整理得到如下統計圖：(1)求樣本中患病者的人數和圖中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值；(2)在該指標檢測值為4的樣本中隨機選取2人，求這2人中有患病者的概率；(3)某研究機構提出，可以選取常數SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），若一名從業者該項身體指標檢測值大于SKIPIF1<0，則判斷其患有這種職業病；若檢測值小于SKIPIF1<0，則判斷其未患有這種職業病.從樣本中隨機選擇一名從業者，按照這種方式判斷其是否患有職業病.寫出使得判斷錯誤的概率最小的SKIPIF1<0的值及相應的概率（只需寫出結論）.【答案】(1)樣本患病人數為SKIPIF1<0人，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0，誤判概率為SKIPIF1<0.（1）由題設，患病者與未患病者的比例為SKIPIF1<0，故患者人數為SKIPIF1<0人；由直方圖知：SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.（2）由題意，指標檢測值為4的未患病者有SKIPIF1<0人，指標檢測值為4的患病者有SKIPIF1<0人；所以指標檢測值為4的樣本中隨機選取2人，這2人中有患病者的概率的概率SKIPIF1<0.（3）若SKIPIF1<0為未患病者，SKIPIF1<0為患病者，SKIPIF1<0SKIPIF1<0為體指標檢測值為SKIPIF1<0者，所以100名樣本中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0未患病者62115963患病者00481216當SKIPIF1<0時，患病者、未患病者被誤判的人數分別為0、54，誤判率為SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，患病者、未患病者被誤判的人數分別為0、33，誤判率為SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，患病者、未患病者被誤判的人數分別為4、18，誤判率為SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，患病者、未患病者被誤判的人數分別為12、9，誤判率為SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，患病者、未患病者被誤判的人數分別為3、24，誤判率為SKIPIF1<0；綜上，當SKIPIF1<0時誤判概率最小為SKIPIF1<0.4．（2022·四川省瀘縣第二中學模擬預測（理））某市高一招生，對初中畢業學生進行體育測試，是激發學生、家長和學校積極開展體育活動，保證學生健康成長的有效措施．該市2022年初中畢業升學體育考試規定，考生必須參加立定跳遠、擲實心球、1分鐘跳繩等三項測試，三項考試總分為50分，其中立定跳遠15分，擲實心球15分，1分鐘跳繩20分．該市一初中學校為了在初三上學期開始時掌握全年級學生每分鐘跳繩的情況，隨機抽取了100名學生進行測試，得到每段人數的頻率分布直方圖（如圖），且規定計分規則如表：每分鐘跳繩個數SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0得分17181920若該初中學校初三年級所有學生的跳繩個數X服從正態分布SKIPIF1<0，用樣本數據的平均值和方差估計總體的期望和方差，已知樣本方差SKIPIF1<0（各組數據用中點值代替）．根據往年經驗，該初中學校初三年級學生經過一年的訓練，正式測試時每人每分鐘跳繩個數都有明顯進步，假設今年正式測試時每人每分鐘跳繩個數比初三上學期開始時個數增加10個，現利用所得正態分布模型：(1)預估全年級恰好有2000名學生時，正式測試每分鐘跳182個以上的人數；（結果四舍五入到整數）(2)若在全年級所有學生中任意選取3人，記正式測試時每分鐘跳195個以上的人數為SKIPIF1<0，求隨機變量SKIPIF1<0的分布列和期望．附：若隨機變量X服從正態分布SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】(1)1683(2)分布列見解析，1.5（1）SKIPIF1<0又SKIPIF1<0所以正式測試時，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（人）（2）由正態分布模型，全年級所有學生中任取1人，每分鐘跳繩個數195以上的概率為0.5，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的分布列為．SKIPIF1<00123SKIPIF1<00.1250.3750.3750.125所以，SKIPIF1<05．（2022·安徽師范大學附屬中學模擬預測（理））隨著智能手機的普及，手機計步軟件迅速流行開來，這類軟件能自動記載每個人每日健步的步數，從而為科學健身提供一定的幫助.某市工會為了解該市市民每日健步走的情況，從本市市民中隨機抽取了2000名市民（其中不超過40歲的市民恰好有1000名），利用手機計步軟件統計了他們某天健步的步數，并將樣本數據分為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0九組（單位：千步），將抽取的不超過40歲的市民的樣本數據繪制成頻率分布直方圖如右，將40歲以上的市民的樣本數據繪制成頻數分布表如下，并利用該樣本的頻率分布估計總體的概率分布.分組（單位：千步）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0頻數1020203040020020010020（1）現規定，日健步步數不低于13000步的為“健步達人”，填寫下面列聯表，并根據列聯表判斷能否有SKIPIF1<0％的把握認為是否為“健步達人”與年齡有關；健步達人非健步達人總計40歲以上的市民不超過40歲的市民總計（2）（ⅰ）利用樣本平均數和中位數估計該市不超過40歲的市民日健步步數（單位：千步）的平均數和中位數；（ⅱ）由頻率分布直方圖可以認為，不超過40歲的市民日健步步數SKIPIF1<0（單位：千步）近似地服從正態分布SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0近似為樣本平均數SKIPIF1<0（每組數據取區間的中點值），SKIPIF1<0的值已求出約為SKIPIF1<0.現從該市不超過40歲的市民中隨機抽取5人，記其中日健步步數SKIPIF1<0位于SKIPIF1<0的人數為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的數學期望.參考公式：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.參考數據：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【答案】（1）填表見解析；有SKIPIF1<0％的把握認為是否為“健步達人”與年齡有關（2）（ⅰ）平均數為SKIPIF1<0，中位數為SKIPIF1<0（ⅱ）SKIPIF1<0【詳解】（1）列聯表為健步達人非健步達人總計40歲以上的市民5204801000不超過40歲的市民4006001000總計92010802000SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0％的把握認為是否為“健步達人”與年齡有關.（2）（ⅰ）樣本平均數為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由前4組的頻率之和為SKIPIF1<0，前5組的頻率之和為SKIPIF1<0，知樣本中位數落在第5組，設樣本中位數為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故可以估計：該市不超過40歲的市民日健步步數的平均數為SKIPIF1<0，中位數為SKIPIF1<0.（ⅱ）SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的數學期望為SKIPIF1<0.6．（2022·全國·模擬預測）從《唐宮夜宴》火爆破圈開始，河南電視臺推出的“中國節日”系列節目被年輕人列入必看節目之一.從某平臺“中國節日”系列節目的粉絲與游客（未注冊的訪客）中各隨機抽取200人，統計他們的年齡（單位：歲，年齡都在SKIPIF1<0內），并按照SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分組，得到粉絲年齡頻率分布直方圖及游客年齡頻數分布表如下所示.年齡/歲SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0頻數1060504535(1)估計粉絲年齡的平均數SKIPIF1<0及游客年齡的中位數SKIPIF1<0（同一組中的數據用該組區間的中點值為代表）；(2)以頻率估計概率，從該平臺“中國節日”系列節目的所有粉絲與游客中各隨機抽取2人，記這4人中年齡在SKIPIF1<0內的人數為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列與期望.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)分布列見解析，數學期望SKIPIF1<0【詳解】（1）由粉絲年齡頻率分布直方圖知SKIPIF1<0，由游客年齡頻數分布表知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.（2）從該平臺“中國節日”系列節目的所有粉絲中隨機抽取1人，該粉絲年齡在SKIPIF1<0內的概率為SKIPIF1<0，從該平臺“中國節日”系列節目的所有游客中隨機抽取1人，該游客年齡在SKIPIF1<0內的概率為SKIPIF1<0，由題可得SKIPIF1<0的所有可能取值為0，1，2，3，4，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<001234SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.突破二：線性回歸與非線性回歸1．（2022·江蘇·蘇州中學模擬預測）隨著人臉識別技術的發展，“刷臉支付”成為了一種便捷的支付方式，但是這種支付方式也帶來了一些安全性問題．為了調查不同年齡層的人對“刷臉支付”所持的態度，研究人員隨機抽取了300人，并將所得結果統計如下表所示．年齡SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0頻數30751056030持支持態度2466904218(1)完成下列2×2列聯表，并判斷是否有99.9％的把握認為年齡與所持態度具有相關性；年齡在50周歲以上（含50周歲）年齡在50周歲以下總計持支持態度不持支持態度總計(2)以（1）中的頻率估計概率，若在該地區所有年齡在50周歲以上（含50周歲）的人中隨機抽取4人，記X為4人中持支持態度的人數，求X的分布列以及數學期望；(3)已知某地區“萬嘉”連鎖超市在安裝了“刷臉支付”儀器后，使用“刷臉支付”的人數y與第x天之間的關系統計如下表所示，且數據的散點圖呈現出很強的線性相關的特征，請根據表中的數據用最小二乘法求y與x的回歸直線方程SKIPIF1<0．i1234567第SKIPIF1<0天24812222638使用人數SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0參考數據：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<00.0500.0100.001k3.8416.63510.828參考公式：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】(1)表格見解析，有(2)分布列見解析，SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0．【詳解】（1）完成列聯表如下：年齡在50周歲以上（含50周歲）年齡在50周歲以下總計持支持態度60180240不持支持態度303060總計90210300故本次實驗中SKIPIF1<0的觀測值SKIPIF1<0，故有99.9％的把握認為年齡與所持態度具有相關性；（2）依題意，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；故X的分布列為：X01234PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故SKIPIF1<0；（3）依題意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故y關于x的線性回歸方程是SKIPIF1<0．2．（2022·四川·成都七中模擬預測（理））新冠肺炎疫情發生以來，我國某科研機構開展應急科研攻關，研制了一種新型冠狀病毒疫苗，并已進入二期臨床試驗.根據普遍規律，志愿者接種疫苗后體內會產生抗體，人體中檢測到抗體，說明有抵御病毒的能力.通過檢測，用x表示注射疫苗后的天數，y表示人體中抗體含量水平（單位：miu/mL，即：百萬國際單位/毫升），現測得某志愿者的相關數據如下表所示.天數x123456抗體含量水平y510265096195根據以上數據，繪制了散點圖.(1)根據散點圖判斷，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0（a，b，c，d均為大于0的實數）哪一個更適宜作為描述y與x關系的回歸方程類型？（給出到斷即可，不必說明理由）(2)根據（1）的判斷結果求出y關于x的回歸方程，并預測該志愿者在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值；(3)從這位志愿者的前6天的檢測數據中隨機抽取3天的數據作進一步的分析，求其中的y值小于50的天數X的分布列及數學期望.參考數據：其中SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<03.5063.673.4917.509.4912.95519.014023.87參考公式：；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0更適宜作為描述y與x關系的回歸方程類型(2)SKIPIF1<0，該志愿者在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值約為SKIPIF1<0miu/mL(3)分布列見解析，SKIPIF1<0【詳解】（1）根據散點圖判斷，SKIPIF1<0更適宜作為描述y與x關系的回歸方程類型.理由：方程SKIPIF1<0表示的是直線，而方程SKIPIF1<0表示的是曲線，散點圖表示的是曲線.（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以y關于x的回歸方程為SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則該志愿者在注射疫苗后的第10天的抗體含量水平值約為SKIPIF1<0miu/mL.（3）由表中數據可知，前三天的SKIPIF1<0值小于50，故SKIPIF1<0的可能取值為0，1，2，3.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<00123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以數學期望SKIPIF1<0.3．（2022·福建·三明一中模擬預測）當前，新一輪科技革命和產業變革蓬勃興起，以區塊鏈為代表的新一代信息技術迅猛發展，現收集某地近5年區塊鏈企業總數量相關數據，如下表年份20172018201920202021編號x12345企業總數量y（單位：千個）2.1563.7278.30524.27936.224(1)根據表中數據判斷，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0…為自然對數的底數），哪一個回歸方程類型適宜預測未來幾年我國區塊鏈企業總數量？（給出結果即可，不必說明理由），并根據你的判斷結果求y關于x的回歸方程；(2)為了促進公司間的合作與發展，區塊鏈聯合總部決定進行一次信息化技術比賽，邀請甲、乙、丙三家區塊鏈公司參賽．比賽規則如下：①每場比賽有兩個公司參加，并決出勝負；②每場比賽獲勝的公司與未參加此場比賽的公司進行下一場的比賽；③在比賽中，若有一個公司首先獲勝兩場，則本次比賽結束，該公司獲得此次信息化比賽的“優勝公司”．已知在每場比賽中，甲勝乙的概率為SKIPIF1<0，甲勝丙的概率為SKIPIF1<0，乙勝丙的概率為SKIPIF1<0，若首場由甲乙比賽，求甲公司獲得“優勝公司”的概率．參考數據：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）．附：樣本SKIPIF1<0的最小二乘法估計公式為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0適宜；SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0（1）根據表中數據SKIPIF1<0適宜預測未來幾年我國區塊鏈企業總數量．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，由公式計算可知SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（2）設事件SKIPIF1<0“甲公司獲得“優勝公司””，事件SKIPIF1<0“在一場比賽中，甲勝乙”，事件SKIPIF1<0“在一場比賽中，甲勝丙”，事件SKIPIF1<0“在一場比賽中，乙勝丙”，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0兩兩獨立，SKIPIF1<0兩兩互斥，由概率的加法公式與乘法公式得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以甲公司獲得“優勝公司”的概率為SKIPIF1<0．4．（2022·河南安陽·模擬預測（文））為有效防控疫情，于2021年9月開始，多省份相繼啟動新冠疫苗加強免疫接種工作．新冠疫苗接種一段時間后，有保護效果削弱的情況存在，加強針的接種則會使這種下降出現“強勢反彈”．研究結果顯示，接種加強針以后，受種者的抗體水平將大幅提升，加強免疫14天后，抗體水平相當于原來10-30倍，6個月后，能維持在較高水平，并且對德爾塔等變異株出現良好交叉中和作用．某市開展加強免疫接種工作以來，在某一周的接種人數（單位：萬人）如下表所示：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日接種人數1.71.92.12.32.42.5a規定星期一為第1天，設天數為SKIPIF1<0，當日接種人數為y．(1)若y關于SKIPIF1<0具有線性相關關系，求y關于x的線性回歸方程；(2)根據所求的線性回歸方程分別計算星期五，星期六的預報值y，并與當日接種人數的真實值y進行比較．若滿足SKIPIF1<0，則可用此回歸方程預測以后的接種人數，并預測星期日的接種人數a；若不滿足，請說明理由．參考公式：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)答案見解析.(1)SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.所以y關于x的線性回歸方程為SKIPIF1<0.(2)當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0成立；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不成立.所以此回歸方程不可以預測以后的接種人數，也不能用來預測星期日的接種人數a.5．（2022·江蘇·南京師大附中模擬預測）自1980年以來我國逢整十年進行一次人口普查，總人口等指標與年份如下表所示：指標19801990200020102020年份數SKIPIF1<012345總人口SKIPIF1<0（億）9.811.312.613.414.1(1)建立總人口SKIPIF1<0關于年份數SKIPIF1<0的回歸直線方程.(2)某市某街道青年人（15-35歲）?中年人（36-64歲）與老年人（65歲及以上）比例約為SKIPIF1<0，為了比較中青年人與老年人購物方式，街道工作人員按比例隨機調查了120位居民，購物方式統計如下表.實體店購物網上購物電視購物其它青年人15354中年人1582老年人221將實體店購物視作傳統購物方式，網上購物?電視購物和其它方式視作新興購物方式.根據所給數據，補充上表并完成下面的SKIPIF1<0列聯表：傳統購物方式新興購物方式總計中青年人（15-64歲）老年人（65歲及以上）總計并請判斷是否有99.9%的把握認為該街道居民購物方式與其是否為老年人有關？參考公式：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.參考數據：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<00.100.050.010.0050.001SKIPIF1<02.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)SKIPIF1<0(2)列聯表見解析；有99.9%的把握認為該街道居民購物方式與其是否為老年人有關(1)由題意得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故總人口SKIPIF1<0關于年份數SKIPIF1<0的回歸直線方程為SKIPIF1<0；(2)由題意可得列聯表如下：傳統購物方式新興購物方式總計中青年人（15-64歲）3070100老年人（65歲及以上）15520總計4575120故SKIPIF1<0，結合臨界值表可知有99.9%的把握認為該街道居民購物方式與其是否為老年人有關.6．（2022·黑龍江·哈師大附中三模（理））為了構筑“綠色長城”，我國開展廣泛的全民義務植樹活動，有力推動了生態狀況的改善.森林植被狀況的改善，不僅美化了家園，減輕了水土流失和風沙對農田的危害，而且還有效提高了森林生態系統的儲碳能力.某地區統計了2011年到2020年十年中每年人工植樹成活數SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，2，3，…，10）（單位：千棵），用年份代碼SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，2，3，…，10）表示2011年，2012年，2013年，…，2020年，得到下面的散點圖：對數據進行回歸分析發現，有兩個不同的回歸模型可以選擇，模型一：SKIPIF1<0，模型二；SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是自然對數的底數.(1)根據散點圖，判斷所給哪個模型更適宜作為每年人工植樹成活數y與年份代碼x相關關系的回歸分析模型（給出判斷即可，不必說明理由）；(2)根據（1）中選定的模型，求出y關于x的回歸方程；(3)利用（2）中所求回歸方程，預測從哪一年開始每年人工植樹成活棵數能夠超過5萬棵？附：對于一組數據SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其回歸直線SKIPIF1<0的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.參考數據：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，2，3，…，10），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【答案】(1)模型二(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0年（1）根據散點圖可知，呈指數式增長，故應選模型二SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是自然對數的底數；（2）由已知SKIPIF1<0得，兩邊同時取對數可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，預測從SKIPIF1<0年開始人工植樹成活棵樹能超過SKIPIF1<0萬棵.7．（2022·江西·模擬預測（文））SKIPIF1<0和SKIPIF1<0時代，我們的聽覺得以延伸，掏出手機撥通電話，地球另一頭的聲音近在咫尺．到了SKIPIF1<0時代，我們的視覺也開始同步延伸，視頻通話隨時隨地，一個手機像一個小小窗口，面對面輕聲閑聊，天涯若比鄰.SKIPIF1<0時代，我們的思想和觀念得以延伸，隨時的靈感隨時傳上網，隨手的視頻隨手拍和發，全球同步可讀可轉可評，個人的思想和觀點能夠在全球的信息網絡中延伸、保存、碰撞、交流，微博、微信、抖音等等這些我們生活中極其常見的社交網絡正是延伸與交流之所．現在，SKIPIF1<0的到來給人們的生活帶來更加顛覆性的變革．某科技創新公司基于領先技術的支持，SKIPIF1<0業務收入在短期內逐月攀升，該創新公司在SKIPIF1<0月份至SKIPIF1<0月份的SKIPIF1<0業務收入SKIPIF1<0（單位：百萬元）關于月份SKIPIF1<0的數據如下表所示，并根據數據繪制了如圖所示的散點圖．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)從前SKIPIF1<0個月的收入中隨機抽取SKIPIF1<0個，求恰有SKIPIF1<0個月的收入超過SKIPIF1<0百萬元的概率；(2)根據散點圖判斷：SKIPIF1<0與SKIPIF1<0（SKIPIF1<0均為常數）哪一個更適宜作為SKIPIF1<0業務收入SKIPIF1<0關于月份SKIPIF1<0的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）(3)根據（2）的結果及表中的數據，求出SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0的回歸方程．（結果保留小數點后兩位）參考數據：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0其中，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．參考公式：對于一組具有線性相關關系的數據SKIPIF1<0，其回歸直線SKIPIF1<0的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)選擇SKIPIF1<0更適宜(3)SKIPIF1<0【詳解】（1）由表格數據可知：前SKIPIF1<0個月的月收入超過SKIPIF1<0百萬元的有SKIPIF1<0個月，SKIPIF1<0所求概率SKIPIF1<0.（2）由散點圖可知：選擇SKIPIF1<0更適宜.（3）由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0的回歸方程為：SKIPIF1<0.8．（2022·安徽省含山中學三模（文））2020年新冠肺炎疫情突如其來，在黨中央的號召下，應對疫情，我國采取特殊的就業政策、經濟政策很好地穩住了經濟社會發展大局．在全世界范圍內，我國疫情控制效果最好，經濟復蘇最快．某汽車銷售公司2021年經濟收入在短期內逐月攀升，該公司在第1月份至6月份的銷售收入y（單位：百萬元）關于月份x的數據如表：時間（月份）123456收入（百萬元）6.68.616.121.633.041.0根據以上數據繪制散點圖，如圖所示．(1)根據散點圖判斷，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0（a，b，c，d均為常數）哪一個適宜作為該公司銷售收入y關于月份x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據（1）的結果及表中數據，求出y關于x的回歸方程，并預測該公司8月份的銷售收入．（結果近似到小數點后第二位）參考數據：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<03.5021.152.8517.50125.356.73其中設SKIPIF1<0參考公式和數據：對于一組具有線性相關關系的數據SKIPIF1<0，其回歸直線SKIPIF1<0的解率和截距的最小二乘法估計公式分別為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】(1)用SKIPIF1<0表示更合適(2)SKIPIF1<0，95.58百萬元（1）解：SKIPIF1<0，散點圖中點的分布不是一條直線，相鄰兩點在y軸上差距是增大的趨勢，故用SKIPIF1<0表示更合適；（2）解：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則回歸方程為SKIPIF1<0，預測該公司8月份的銷售收入SKIPIF1<0百萬元．突破三：概率綜合題1．（2022·湖北·黃岡中學三模）2022世界乒乓球團體錦標賽將于2022年9月30日至10月9日在成都舉行．近年來，乒乓球運動已成為國內民眾喜愛的運動之一．今有甲、乙兩選手爭奪乒乓球比賽冠軍，比賽采用三局兩勝制，即某選手率先獲得兩局勝利時比賽結束．根據以往經驗，甲、乙在一局比賽獲勝的概率分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且每局比賽相互獨立．(1)求甲獲得乒兵球比賽冠軍的概率；(2)比賽開始前，工作人員買來兩盒新球，分別為“裝有2個白球與1個黃球”的白盒與“裝有1個白球與2個黃球”的黃盒．每局比賽前裁判員從盒中隨機取出一顆球用于比賽，且局中不換球，該局比賽后，直接丟棄．裁判按照如下規則取球:每局取球的盒子顏色與上一局比賽用球的顏色一致，且第一局從白盒中取球．記甲、乙決出冠軍后，兩盒內白球剩余的總數為SKIPIF1<0，求隨機變量SKIPIF1<0的分布列與數學期望．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)分布列見解析，SKIPIF1<0（1）記事件SKIPIF1<0:“甲在第SKIPIF1<0局比賽中獲勝”，SKIPIF1<0，事件SKIPIF1<0:“甲在第SKIPIF1<0局比賽中末勝”SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.記事件SKIPIF1<0“甲奪得冠軍"，則SKIPIF1<0.（2）設甲乙決出冠軍共進行了SKIPIF1<0局比賽，易知SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.記SKIPIF1<0表示第SKIPIF1<0局從白盒中抽取的白色球，SKIPIF1<0表示第SKIPIF1<0局從黃盒中抽取的黃色球，SKIPIF1<0的所有可能取值為SKIPIF1<0;SKIPIF1<0SKIPIF1<0;SKIPIF1<0SKIPIF1<0;SKIPIF1<0.綜上可得，SKIPIF1<0的分布列如下:X123SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0數學期望為SKIPIF1<02．（2022·內蒙古·海拉爾第二中學模擬預測（理））某職業中專開設的一門學科的考試分為理論考試和實踐操作考試兩部分，當理論考試合格才能參加實踐操作考試，只有理論考試與實踐操作考試均合格，才能獲得技術資格證書，如果一次考試不合格有1次補考機會.學校為了掌握該校學生對該學科學習情況，進行了一次調查，隨機選取了100位同學的一次考試成績，將理論考試與實踐操作考試成績折算成一科得分（百分制），制成如下表格：分段[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]人數510a30a+510(1)①求表中a的值，并估算該門學科這次考試的平均分（同一組數據用該組區間的中點值代表）；②在[40，50)，[50，60)，[60，70)這三個分數段中，按頻率分布情況，抽取7個學生進行教學調研，學校的教務主任要在這7名學生中隨機選2人進行教學調查，求這2人均來自[60，70)的概率；(2)該校學生小明在歷次該學科模擬考試中，每次理論合格的概率均為SKIPIF1<0，每次考實踐操作合格的概率均為SKIPIF1<0，這個學期小明要參加這門學科的結業考試，小明全力以赴，且每次考試互不影響.如果小明考試的次數的期望不低于2.5次，求SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】(1)①a=20，平均分74；②SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0（1）①由題意得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，②[40，50)，[50，60)，[60，70)頻率之比為1:2:4，抽取7個學生進行教學調研，故[40，50)，[50，60)，[60，70)分別抽取1人，2人，4人，設抽取的[40，50)的學生為SKIPIF1<0，[50，60)的學生為SKIPIF1<0，[60，70)的學生為SKIPIF1<0，這7名學生中隨機選2人進行教學調研，則一共的選法有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，共有21種情況，其中這2人均來自[60，70)的情況有SKIPIF1<0，共6種情況，所以這2人均來自[60，70)的概率為SKIPIF1<0.（2）小明考試的次數為2次的概率為SKIPIF1<0，考試次數為3次的概率為SKIPIF1<0，考試次數為4次的概率為SKIPIF1<0，考試次數的期望值為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.3．（2022·福建省德化第一中學模擬預測）現代戰爭中，經常使用戰斗機攜帶空對空導彈攻擊對方戰機，在實際演習中空對空導彈的命中率約為SKIPIF1<0，由于飛行員的綜合素質和經驗的不同，不同的飛行員使用空對空導彈命中對方戰機的概率也不盡相同．在一次演習中，紅方的甲、乙兩名優秀飛行員發射一枚空對空導彈命中藍方戰機的概率分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，兩名飛行員各攜帶4枚空對空導彈．(1)甲飛行員單獨攻擊藍方一架戰機，連續不斷地發射導彈攻擊，一旦命中或導彈用完即停止攻擊，各次攻擊相互獨立，求甲飛行員能夠命中藍方戰機的概率？(2)藍方機群共有8架戰機，若甲、乙共同攻擊（戰機均在攻擊范圍之內，每枚導彈只攻擊其中一架戰機，甲，乙不同時攻擊同一架戰機）．①若一輪攻擊中，每人只有兩次進攻機會，記一輪攻擊中，擊中藍方戰機數為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列；②若實施兩輪攻擊（用完攜帶的導彈），記命中藍方戰機數為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的數學期望SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)①分布列見解析；②數學期望為SKIPIF1<0.(1)設甲、乙兩名飛行員發射的第SKIPIF1<0枚導彈命中對方戰機分別為事件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設甲飛行員能夠擊中藍方戰機為事件SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(2)解：①依題意SKIPIF1<0的可能取值為SKIPIF1<0，1，2，3，4，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的分布列為SKIPIF1<001234SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0②記兩輪攻擊中：甲命中戰機數為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，乙命中戰機數為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．4．（2022·福建泉州·模擬預測）隨著網絡的快速發展，電子商務成為新的經濟增長點，市場競爭也日趨激烈，除了產品品質外，客服團隊良好的服務品質也是電子商務的核心競爭力，衡量一位客服工作能力的重要指標——詢單轉化率，是指咨詢該客服的顧客中成交人數占比，可以看作一位顧客咨誨該客服后成交的概率，已知某網店共有10位客服，按詢單率分為A，B兩個等級（見下表）等級AB詢單轉化率[70%，90%）[50%，70%）人數64視A，B等級客服的詢單轉化率分別為對應區間的中點值，完成下列兩個問題的解答；(1)現從這10位客服中任意抽取4位進行培訓，求這4人的詢單轉化率的中位數不低于70%的概率；(2)已知該網店日均咨詢顧客約為1萬人，為保證服務質量，每位客服日接待顧客的數量不超過1300人.在網店的前期經營中，進店咨詢的每位顧客由系統等可能地安排給任一位客服接待，為了提升店鋪成交量，網店實施改革，經系統調整，進店咨詢的每位顧客被任一位A等級客服接待的概率為a，被任一位B等級客服接待的概率為b，若希望改革后經咨詢日均成交人數至少比改革前增加300人，則a應該控制在什么范圍？【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0（1）依題意得：A，B等級客服的詢單轉化率分別為SKIPIF1<0，設事件C表示“這4人的詢單轉化率的中位數不低于70%”，A等級客服的人數為X，則X的可能取值為0,1,2,3,4，對應每種情況的詢單轉化率中位數分別為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；（2）設改革前后A等級客服的接待顧客人數分別為Y，Z改革前，每位進店咨詢顧客被A等級客服接待的概率為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為A，B等級客服的詢單轉化率分別為SKIPIF1<0，所以改革前日均成交人數為SKIPIF1<0，改革后，每位進店咨詢顧客被A等級客服接待的概率為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故改革后日均成交人數為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，①因為每位顧客被一位A等級客服接待的概率為SKIPIF1<0，所以每位顧客被一位B等級客服接待的概率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，②由①②得：SKIPIF1<0，所以a應該控制在SKIPIF1<05．（2022·陜西·長安一中模擬預測（理））某校高三男生體育課上做投籃球游戲，兩人一組，每輪游戲中，每小組兩人每人投籃兩次，投籃投進的次數之和不少于SKIPIF1<0次稱為“優秀小組”.小明與小亮同一小組，小明、小亮投籃投進的概率分別為SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則在第一輪游戲他們獲“優秀小組”的概率；（2）若SKIPIF1<0則游戲中小明小亮小組要想獲得“優秀小組”次數為SKIPIF1<0次，則理論上至少要進行多少輪游戲才行？并求此時SKIPIF1<0的值.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）理論上至少要進行SKIPIF1<0輪游戲.SKIPIF1<0.【詳解】（1）由題可知，所以可能的情況有①小明投中1次，小亮投中2次；②小明投中2次，小亮投中1次；③小明投中2次，小亮投中2次.故所求概率SKIPIF1<0（2）他們在一輪游戲中獲“優秀小組”的概率為SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，他們小組在SKIPIF1<0輪游戲中獲“