初中數學二次函數大匯總

第一部分知識點總結

<二法一一—砒知鈉

1、二次函數的定義

⑴定義：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常數,a豐0)的函數

叫做二次函數.

(2)定義要點：|

①關于X的代數式一定是整式,a,b,c為常數,且aWO.

②等式的右邊最高次數為2,可以沒有一次項和常數項,但不能沒有二次項.

如：j=—x2,y=2x2-4x+3,j=10()—flv2>v=—Zd+Sx—3等等都是二」次

廠2、二次函數的表達式下

(1)三種形式

一般式：y=ax2+bx^c

頂點式：y=a(x-h)2+k

交點式：尸a(x-X])(x-x2)

(2)確定表達式的方法：待定系數法

拋物線y=ax2y=ax2?ey-xhy-廿?★ya^^hx^c

當時開口向上，并向上無限延伸;

開口方向a>0

當a<0時開口向下，并向下無限延伸.

if

頂點坐標(0,0)(0,c)(h,0)(h,k)(2o*4">

直線R-

對稱軸Y軸丫軸直線x=h直線x=h￡

k?xh0W1>x=h時x=h時h.4ac-b2

最a>0x=n1'=-----------

°y^n=。yw。y2=kla

值AT

x=0H寸x=h時x=h時b(,1

X=-----呵.二

a<0=O加J4?

.匕i=Cy=0y=k

在對稱軸左側，y隨x的增大而減小

增a>0

在對稱軸右側，丫隨X的增大而增大

減\|yx7|\x

性在對稱軸左側，y隨x的增大而增大

a<0

一在對稱軸右側，丫隨X的增大而減小

5、二次函數的圖象與系數a、b、c的關系

a>0,拋物線開口向上，a<0,拋物線開口向下

決定拋物線的開口方向和

a忖|越大，拋物線的開口越小，|a|越小，拋物線的

大小

開口越大

b=0時，對稱軸為丫軸

共同決定拋物線對稱軸

0、ba、b同號，則對稱軸在y軸左側，筒記為“左同”

的位置a、b異號，則對稱軸在丫軸右側，筒記為“右異”

c=0,拋物線過原點

決定拋物線與V軸交點

cc>0,拋物線與y軸交于正半軸

的位置c<0,拋物線與y軸交于負半軸

bYacR時，與x軸有唯一交點(即頂點)

決定拋物線與X軸交

bZYac>0時，與x軸有兩個交點

點的情況

b?4ac<0時，與x軸沒有交點

當x=l時，y=a*b>c：當時，y=a-b*c

特殊關系當x=2時，y=4a*2b*c；當x=?2時，y=4a-2b*c

當對稱軸為直線x=l時，則2a沖=0

當對稱軸為直線x=?l時，則2a七二0

6、二次函數與方程、不等式的關系

(1)拋物線與x軸交點的橫坐標是方程ax2+bx+c=O(awO)的解.

(2)①ax2+bx+c>0(aw0)的解

集就是拋物線y=ax2+bx+c在x軸

上方圖象上對應的點的橫坐標

的取值范圍

②ax2+bx+c<0(aH0)的解集就是

拋物線y=ax?+bx+c在x軸下方圖

象上對應的點的橫坐標的取值

范圍

第二部分學習口訣

二次函數圖像與性質口訣

二次函數拋物線，圖象對稱是關鍵;

開口、頂點和交點，它們確定圖象限;

開口、大小由a斷，c與丫軸來相見，b的符號較特別，符號與a相關聯;

頂點位置先找見，Y軸作為參考線，左同右異中為0,牢記心中莫混亂;

頂點坐標最重要，一般式配方它就現，橫標即為對稱軸，縱標函數最值見。

若求對稱軸位置，符號反，一般、頂點、交點式，不同表達能互換。

（1）拋物線開口向上，并向上無限延伸；（i）拋物線開口向下，并向下無限延伸;

（2）對稱軸是x=-2,頂點坐標是（-上,（2）對稱軸是x=-2,頂點坐標是（

la2a2a2,

4ac—b?、4ac

--------）；--------）；

4a4a

（3）在對稱軸的左側，即當水-士時，v隨（3）在對稱軸的左側，即當x<—2時，y

性2a'2a

x的增大而減小；在對稱軸的右側，即當隨x的噌大而噌大；在對稱軸的右側，

質

X>-2時，V隨X的增大而噌大，簡記即當*-三時，V隨X的噌大而激小，

2a2a

簡記直蜘索

h

（4）拋物線有最低點，當x=-二時，、?有最（4）拋物線有最高點，當x=-&時，v有

2a'2a

小值'最大值,

如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當

如果自變量的取值范圍是XjVxMx、，那么，首先要看-士是否在自變量取值范圍

2a

與￡x￡與內，若在此范圍內，則當x=-2時，'工=把二Q；若不在此范圍內，則需要

2a4a

考慮函數在X]Wx4x：范圍內的增減性，如果在此范圍內，y隨X的增大而增大，則當x=上

時，=渥+%T，當X=Xj時，J&.=OX：+g+C；如果在此范圍內，、,隨X的增大

而減小，則當X=X：時，]1_=渥+姐+C,當x=x：時，\&=ax：~bx：-rCO

平移規律

在原有殛的基礎上“，值正池，負左移…:值正上移，負下移二

函數平移圖像大致位置規律（中考試題中，只占3分，但掌握這個知識點，對提高答題速度有很大幫助，

可以大大節省做題的時間）

特別記憶一同左上加異右下減（必須理解記憶）

說明①函數中班?值同號，圖像頂點在y軸左側同左，abMBB-圖像頂點必在Y軸直徽號右.

②向左向上移動為加左上力口，向右向下移動為減右下臧

①將拋物線的式般其兄V;

②保持拋物線J=G：的形狀不變，將其頂點平隨1，3￡處，具體平移方法如下：

二次函數的解析式有三種形式：口訣…-一般兩根三頂點

(1)一般一般式：j=今,+bx-c(a)，溪常數，aw。)

(2)兩根當拋物線.1=加+旅,c與x軸有交點時，即對應二次好方程ax：-加+c=0有

實根X；和X：存在時，根據二次三項式的分解因式ax：+bx-c=a(x-￡)(x-x：),二次函數

:

y=ax+bx-c可轉化為兩根式1=a(.x-x,)(x-x;).如果沒有交點，則不能這樣表示.

a的絕對值越大，拋物線的開口越小.

⑶三頂點頂點式：j=a(x-力)：/血丸提常數，a=0)

第三部分易錯分析

函數是初中數學知識的主線，而二次函數是這條主線上的高潮.我們通過探索二次函數與方程的關系，

讓我們領悟到事物之間相互聯系的辨證關系.我們能夠利用二次函數解決實際問題，培養數學建模的

能力.

【知識結構】

【知識梳理】

1、定義：形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數，a?^0）的函數叫做x的

二次函數.

二次函數的一般形式是y=g：+W+c（a，0）,還可以用配方法化為

y=a（x-4）2+上的形式，它可直接看出其頂點坐標為（g,故把

y=-〃尸+k叫做二次函數的頂點式.

2、圖象:二次函數的圖象是拋物線,它是軸對稱圖形,其對稱軸平行于y軸.

注意：二次函數y+6x+c的圖象的形狀、大小、開口方向只與a有關,

所以，y=g1+bx+c的圖象可通過y=g2的圖象平移得到.平移可按照如下

口訣進行：上加下混，左加右減，即向上或向左用加，向下或向右用減.例如，

將y=2%2向左平移1個單位為j，=2（x+l）?,再向下平移3個單位為

V=2（X+1）2-3.

3、，顫

一般式y=+bx+c頂點式

y=a(x-/z)2+k

開口a>0向上向上

方向a<0向下向下

頂點坐標zb4ac-bz、（九左）

1一_，)

2a4a

對稱軸直線x=h

直線X=

a>0b當x=%，）'最小值=后

a

最大la，

（小）4ac-b2

)量小至一片L

值4a

a<0業當x=〃，y最大值=

當工b’k

4ac-b2

4a

注意：二次函數的性質要結合圖象，認真理解，靈活應用，不要死記硬背.

4、二次函數與一元二次方程的關系

對于二次函數y=g2+bx+c（a卉0）,當y=0時，就變成了一元二次方程

ar2+bx+c=0.

二次函數y=g2+bx+c（a卉0）的圖象與x軸的交點有三種情況：

當〃-4ac>0時，有兩個交點；

當〃-4ac=0時，有一個交點；

當〃-4ac<0時，無交點.

當二次函數），=㈤？+取+。（&盧0）的圖象與x軸的有交點時，其交點橫坐

標就是方程方2+bx+c=O的根.

【易錯點剖析】

一、忽略二次項系數不等于0

錯解:選C.由題意，得d=（-6>-4/義3>0,解得JK3,故選C.

錯解分析：當"0時,二次項系數為0,此時原函數不是二次函數.欲求k的取

值范圍，須同時滿足:①函數是二次函數;②圖象與x軸有交點，上面的解法只注

重了而忽略了二次項系數不等于0的條件.

正解：選D.由題意，得Q=（-6）2-4*X3>0且##0,即*W3且A六0,故

應選D.

二、忽略隱含條件

例2如圖,已知二次函數y=/+bx+c的圖象與y軸交于點A,與x軸正半

錯解：選B.依題意BC=2,S?=應得點A(0,3),即c=3.又BC=2,得方程

R+&+c=0的兩根之差為2,故七十環工-H乒^=2,解得1±4.

22

故選B.

錯解分析:上面的解法忽略了“拋物線的對稱軸x=-號在y軸的右側”這一

隱含條件,正確的解法應是同時考慮>0,得2<0,爐4應舍去,故應選D.

正解：選D.

錯解：因為函數行(a-2)x：-(2a-l)x+a的圖象與坐標軸有兩個交點，而其中

與y軸有一個交點9a),則與x軸就只有一個交點，所以關于x的一元二次方

程戶(a-2)x72a-l)x+a有兩個相等的實數根，所以判別式

[-(2a-l)]:-4X(a-2)a=0,解得a=--.

4

錯解分析：本題關于函數的描述是“y關于x的函數“，并沒有指明是二次

困數，所以需要分“y關于x的一次函數”和“y關于x的二次函數”兩種情況

進行討論.

正解：當函數y是關于x的一次函數時，a=2,函數的解析式為k-3x+2,

函數圖像與y軸交點坐標為(0,2),與x軸的交點坐標為(：，0).所以a=2

符合題意.

當函數y是關于x的二次函數時，函數尸(a-2)x:-(2a-l)x+a的圖象與y軸

有一個交點(0,a)，與坐標軸共有兩個交點，所以與x軸只有一個交點，則關于

x的一元二次方程y=(a-2)x2-(2a-l)x+a有兩個相等的實數根，所以判別

式4=[—(2a—I)]2—4(a—2)a=0解得a=一：.

而當a=0時，與y軸的交點為原點，此時，y=-2x?+x與x軸還有一個交

點(1,0).

綜上可得a=2或a=0或a=

三、忽略數形結合思想方法的應用

錯解:當x=-3時，產2;當x=0時,y=5;所以,-3<x<0時，y最小=2,.量大=5.

錯解分析:上面的解法錯在忽略了數形結合思想方法的應用,誤以為端點的

值就是這段函數的最值.解決此類問題，畫出函數圖象,借助圖象的直觀性求解即

可.

正解：y=X?+4X+5=(X+2產+1,...對稱軸是直線X=-2,頂點坐標是

(-2,1),畫出大致的圖象，如圖是拋物線位于-3WxWO的一段，顯然圖象上

最高點是C,最低點是頂點B而不是端點A,所以-3<x工OB寸，y最大值為5,

y最小值為1.

四、求頂點坐標時混淆符號

錯解1用配方法

y=-x:+2x-2=-(x:-2x)-2

=-(x:-2x+l-l)-2

=-(x:-2x+l)-1

=-(x-l)2-1

所以二次函數產-x：+2x-2的頂點坐標為(-1,-1).

錯解2用公式法在二次函數尸-x：+2x-2中，a=-l,b=2,c=-2,

則上=」=T,之竺=2-1以(-2)=]

2a2x(-1)4a2x(-1)

所以二次函數行-x：+2x-2的頂點坐標為(-1,1).

錯解分析：二次函數行a(x-h)：+k的頂點坐標為(h,k),即橫坐標與配方后完

全平方式巾的常數項互為相反數，而非相等，也就是說不是Qh,k).二次函數

尸ax：+bx+c(a#O)的頂點坐標為(-Q2%)，橫坐標前面帶，縱坐標

2a4a

的分子為4ac-b1不要與一元二次方程根的判別式方-4ac混淆.另外，把一般式

轉化為頂點式，常用配方法，如果二次項系數是1,則常數項為一次項系數一半

的平方；如果二次項系數不是1,則先提出二次項系數(注意：不能像解方程一

樣把二次項系數消去)，使括號中的二次項系數變為1,再時括號中進行配方.

正解：(1)用配方法

y=-x2+2x-2=-(x-I)2-1

所以二次函數y=—x2+2x-2的頂點坐標為(1,-1).

(2)用公式法

b24ac-b24x(-l)X(-2)-224

-----=-----------=1---------=-------------------=-1

2a2x(-1)4a2x(-1)

所以二次函數y=—x2+2x-2的頂點坐標為(1,-1).

五、忽視根的判別式的作用

錯解：因為A與B關于y軸對稱，所以拋物線對稱軸為y軸，即直線

b6-C

x—————----------...-0.

2a2x(-1)

解得IIF6或m=-6.

當詬6時，方程拋物線解析式為x:+3.

錯解分析：拋物線與x軸有兩個交點為A,B,等價于：相應的一元二次方

程有兩個不相等的實數根,所以b:-4ac>0.如果忽視根的判別式在解題中的作用，

就不能排除不符合題意的解，擴大了解的范圍，導致錯誤.

正解：因為A與B關于y軸對稱，所以拋物線對稱軸為y軸，即直線

x=-==：-；%、=0,解得而6,或者ITF-6.

2a2X(—)

當m=6時，拋物線解析式為y=-jx2+3.

此時，b2—4ac=02—4X^—0X3=6>O,方程—+3=o有兩個不

相等的實數根，拋物線y=-：x2+3與x軸有兩個交點，符合題意.

當ITF-6時，拋物線解析式為y=—92-9.此時，b:-4ac=02-4X

(-1)x(-9)=-18<0,方程—；x2-9=0沒有實數根，拋物線y=-|x2-9

與x軸有兩個交點，不符合題意，舍去.

因此所求拋物線解析式為y=-1X2+3

第四部分巧選解析式

二次函數解析式的確定是中考的高頻考點，在壓軸題的第一問就難倒了不少小伙伴。那么如何巧選表

達式來確定二次函數的解析式呢？

1.一般式法：

當已知拋物線上的三點坐標時，可用一般

式y=（以二+〃％+C（0）,通過解三元一

次方程組求解（如圖①）；

2.頂點式法：

當已知拋物線的頂點坐標（或對稱軸、最值）

和另一點時，可用頂點式y-〃尸+k

（Q，0）,通過列方程求解即可（如圖②）；

3.交點式法：

①已知拋物線與九軸的交點坐標（孫，0）,

（冤2，。）和另一點時，可設交點式y=

-%1）（%-%2）（Q。0）,通過列方程求

解即可（如圖③）；

②已知拋物線與％軸的一個交點坐標

（陽刀）、對稱軸和另一點時，利用拋物線

的對稱性求出拋物線與九軸的另一交點

坐標，設交點式y-町）（%-%2），列

1.一個二次函數的圖象頂點坐標是(2,4),

且過另一點(0,-4),則這個二次函數的

解析式為.

【思路點撥】已知拋物線的頂點坐標(2,

4)，可設二次函數表達式為y=?(x-2)2

+4,將點(0,-4)代入求解即可.

【答案】父二_2(久-2y+4

2.一個二次函數的圖象與九軸交于4(-1,

0),5(3,0)兩點，與y軸交于點C(0,4),

則該二次函數的解析式為_.

【思路點拔】已知拋物線與九軸交于兩點

4(-1,0),3(3,0),可設二次函數解析式

為0=。(％+1)(%-3),將點。(0,4)代入

求解即可.

4

【答案】y=--(x+1)(x-3)

做完這兩道題，你學會了嗎？

【幾種特殊情況】

第五步法動態最值專題

我們再來看最大值.將X=〃J和*=〃分別代入解析式.讖更大徙就是最大值,到底誰

更大呢？依據圖象的對稱性.ift)對稱軸遠冊代入解析式就更大.徙博對稱軸遠呢?石范困

的中點量E與對稱軸的大小關系即可,分為兩類:

4

(I)中點生吆在對稱軸的左側.如圖4.此時m離對稱軸更遠,將x=/w代入得最

2

大值：

(2)中點巴產在對稱軸的右側,如圖5.此時〃離對稱軸更遠,將x=〃代入得最大

值.

7

圖4圖5

苔：次函數開I響卜..則其城大值的情膨類似下如1湖小值.分為三類;其最小值的情

形類似于如上最大值.分為兩類.不再贅述.

課堂例題

例1?《.r4，+l時.求：次函數y=.--2r+2的最小值.

解::次場數是確定的，但范朋是移動的.要找最小值,汕音同月與對稱軸x=I的位

置關系,分為三類:

(I)的用作對稱軸左側，即，+141,/<0時,在范ll，Vx4/+l卜..y隨X的增大

向減小,所以代入x=r+1行此小值m=r+\t

(2)范國住對稱軸右側.即/>I時，住范孫<》</+］上,)，隨.r的增大而增大，所

以代入x=/得依小值，〃=〃-27+2：

(3)范用包含對稱軸,即，<1</+1,()</<!Hi，在的圍/4x〈r+l匕y光缸t

的增大而減小,再隨x的增大而增大,此時在對稱軸處取得最小值1.

?+1./<()

標上所述.H小值〃?=?.

/'-2/+2,/>1

注：此題考察分類討論思想的運用.屬于軸定范圍動的類型.最小值的求解分“左''”右”

“中”三類.本題也可考慮求解最大值，分兩類得最大值”=,2.感興趣

r+\j>-

2

的同學不妨一試.

例2與04X42時,求：次函數.1，=1-2m,1的最大值.

解：葩國站確定的,但二次函數是移動的，對稱軸為此線x=a(位置不定).是找最

大值.得看。和2儺離對稱軸更遠,分為兩類：

(I),*u/<UM,2離對稱軸更遠,將K=2代入得破大值51=3-4”：

(2)當時,0離對稱軸更遠,將x=0代入得最大值”=-1.

3-4。.。＜1

綜上所述,H大值M=

例3''i5<.v<20時,：次函數V=4--kv-8既沒仃以大他也沒仃以小值,求人的

取值范B9.

解：：次函數r=4.v2-kx-S汗“向上」對稱軸為H線x=與（不確定）.與5<*<20

8

時.它既沒儕能大值也沒盯最小值（注意這個施慍不包含兩個端點）,這說明對稱軸不在這

個范用內（不然的話.對稱軸處必取然最小值）,而且當對稱軸不在此范圍內時.經檢驗《畫

圖象）確實符合題意.則」<5或±;20.得在440或々>160.

88

注:最大值和最小值一定是可以取到的值才行.由于題中所給危因不包含潴點5和2（）.

所以將5或20代人解析式并不會得到最值.

例4函數j，=x'+2x+3在，”<x<0（，〃<0）上的最大位為3.最小值為2,求，”的

取值范用.

解：易知,巧*=0和一2時,j，=3；"ix=—l時,y=2.如情所示.數形結合可和

”，的取值位困是-24/”《-I.

例5設〃>（）.當-14x41時.函數.1，=-/一亞+/>+】的燃小值是-4.他大值是

0.求m6的值.

解：二次函數），=一『一皿+/>+1開口向F.對稱軸為》=-3<。<1,一g與范闞

22

-14工〈的左端點-I的大小關系不定.分為兩類:

（I）當一g《—1即時.范圍一14》41在對稱軸右側，uSIlx的增大而減小,由

2

綜上所述,a,b的值分別為2和-2.

注：條件“>0在不確定的大環境下帶來了一絲確定.減少了分類討論的次數,降低了

試墨難度.有興趣的讀者不妨將此條件去坤一試.

例6己知二次函數+x.時.y的取值范困足2，"V2〃.

求，〃.〃的值.

解：：次函數1，=-1￥+*=-1(》-1)'+,開11向"節x=l時,y取最大值,，

,22、，2?7

則2〃41.n<-<I.這衣明范用，在對稱軸左側.所以rfifi.r的增大而增大.

24

由題意知

1,、

—nr+m=2〃i

2

《■

1，.

—〃“+〃=2n

2

注意到這兩個等式的結構完全?致.則〃，,〃(，〃<")是二次方程+x=2.V的兩個不等

實數根,解得，”=-2./?=().

注：此題若不是抓住〃《!這個條件就得至少分三類討論,而且每一類型還得解，”，〃的

4

二元二次方程組,有時會很難解.

課后作業

I.，11/<,v<r+1ll-t.求：次函數v一x-工的/“小伍.

22

2.L1知:次函數y=aT+6、?的對稱軸為I'(線工=I.IL/j程a/+岳?=2x有兩個楣等

的實數根.

(I)求：次函數的解析式：

(2)與04*《/(/>0)時，求該:次函數的M人值.

3.已知《x《a時.：次函數),=/-6x+8的最小值為a'-6“+8.求實數。的取

值一圈.

4.已知函數j，=./+2av+l在一14》42上的以大值為4,求“的值.

第六部分解題技巧

學好函數還是有訣竅的，要結合圖像說性質，結合性質畫圖像，正所謂數形結合，函數無敵!

開口向上—Q>0

開口向下一Q<0

對稱軸為中軸—〃二。

對稱軸在）?軸左側一〃、〃同

號—ah>0

對稱軸在,軸右側-a、b異

號wab<0

拋物線過原點一。二()

交點在y軸正半軸—c>0

交點在y軸負半軸-c<0

有兩個交點—b2-4ac>0

有一個交點—，/-4ac=0

沒有交點—川-4ac<0

對鄢為直線K=1—12n+〃=0

艱確為直線x=-1-=0

6、湖國子集錦

a+/)+c令”二1,看縱坐標

y

x=1時,y=0+64-c=0

x

=1時,y〉0+6+c>0

=1時,y<0+6+c<0

a—b+c—令冥二-1，看縱坐標

—1時,y=0a+c=。

-1時，,>()-*a-b+c>0

-1時,y<0^*a-1)+c<0

加+2/)+c―令需=2,看縱坐標

**4</+21)+c=0

^^4/+21)+<1>0

-*4f7+26+。<0

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第七部分變式13解

在初中三年數學學習中，二次函數一直是重難點，正是因為很多學生都沒學會，因此讓出題老師們鉆

了空子，在中考中最喜歡出二次函數的題，不管是選擇，填空還是大題壓軸題。

老師最喜歡給學生出難題，可是學生們就該叫苦不迭了，趁著中考前這段時間，多復習這一類知識，

再做一個鞏固加深印象。

以二次函數進行考查的題目，命題形式都是比較固定的，一般都是給一個含有字母系數的二次函數,

通過給出條件確定解析式，然后討論交點問題，往往看著簡單的題目，最不容易做出來，出題稍微有

點變化，學生就看不出來。

針對學生們做題出現的問題，我整理出來一些技巧以及考試中常出現的變式題，以便學生們上考場不

自亂陣腳。

1、近兩年考試真題剖析，方法技巧提炷

考查方式：從前幾年所考二次函數的綜合性問題可以看出，命題模式比較固定，都是給出一個

含有字母系數的二次函數，通過某些條件確定這個二次函數的解析式，然后基于這個已知的二次函數

討論某個一次函數和它（或它的一部分或它的變化形式）的交點情況.（二次函數壓軸題一般有3小

間）

【二次函數壓軸題第（DC）間的解訣技巧】：

技巧1.（1）若給出確定的解析式：

第一步，計箕出對稱軸（利用*=三三或者x=-：）

第二帆再利用因式分解或求根公式親出拋物線與坐套軸的交點

（2）若給出含字母系數的解析式：

第一步：根據各種特定的已知條件求出二次函效解析式（注意二次項系數不為0）;

第二步：求出時稱軸及拋物線與坐標軸交點坐標；

第三步：若求一次函數與二次函數的交點，只需把兩解析式聯立解方程組即可；

第四步：若有圖像變換直接利用平移結論“上加下減，左加右減”，或對稱公式來解決,

這些都是解決最后T司的前提.

注言：求拋物線對稱軸最重要！對稱軸和交點都定后，之后再怎么變化就都盡在掌握了.

【二次函數壓軸題第（3）問的解決技巧】：

技巧2.搐定它的秘籍首先就是精確作圖，一定要用100。。的耐心加細心把圖象畫好，這是中考說明

中給出的A級，是最基本的要求，再找出院界點（臨界.點：圖象邊緣的兩個點，不等式中恰好在邊

界的那些數值），利用臨界點確定字母系數的值或取值范圍.

【真蹙案例對比分析1——2014年北京中考23題】

在平面直角坐標系。中，拋物線J=2F-1經過點70,-2：,Bi3,4|,

（1）求拋物線的表達式及對稱軸；

（2）設點3關于原點的對稱點為C,點D是拋物線對稱軸上一動點，記拋物線在H,5之間的部分

為圖家G（包含T,3兩點）.若直線CD與圖象G有公共點，結合函數圖象，求點D縱坐標f

的取值范圍.

【解析】（D：）=2/-痔-“經過點."!（0,-2）,

代人得:技巧L給出含字母系數的解析式：那

1S-3?M->!=4'n=-2

仁首先根據已知.4（0,-2）,3（3,4?兩點

拋物線的表達式為了=2x:-4x-2

坐標求出二次函數解析式。確定解析式

后，直接計算出對稱軸。

技巧2.首先精確作圖，再找到。點的

仁修界位置，發現C點的縱坐標和頂點的

縱坐標一樣，那么D點最低就是頂點，

再連接C4和C3發現哪條直線和對稱

軸交點比較高？顯然是C3,問題就搞定

了.直接代入解析式即可。

(2)

由題意可知C(-3,-4)，二次函數］=2x:-4x-2的最小值為-4,

由圖象可以看出D點縱坐標最小值即為-4,最大值即3(?與對稱軸交點。

直線3C的解析羔j=gx

當x=l時，1=1

【真題案例對比分析2——2013年北京中考23整】

在平面直角坐標系“^中，拋物線T=枇J-2?tv-2C”WQ.i與丁軸交于點A,其對稱軸與工軸交于點

B.

(D求點/，B的坐標；

(2)設直線:與直線團關于該拋物線的對稱軸對稱，求直線，的解析式；

(3)若該拋物線在-2<x<-l這一段位于直線j的上方，并且在2<x<3這一段位于直線.羽的下方,

求該拋物線的解析式.

【解析】⑴令x=0,得］=-2,

技巧1.解析式中只有一個字母系數，

則,4(0,-2),而且題干中提到了對稱軸，那么直接利

又對稱軸.v=--==1,用》=-之求出對稱軸.你看看，連續

2a2m

則3(1,0).兩年都考對稱軸，它重要不重要？！你

(2)由(1)可知,直線A5的解析式］=2x-2,再看看二012年，一樣也考！

關于對稱軸對稱后的解析式為r=-2.\-2.

⑶

技巧2.第(3)問說了一堆什么這一段

位于直線上方，那一段位干直線下方，

是不是很暈很迷茫？精確作圖就能搞定

了.有沒有發現其實整個圖形是對稱的,

觀察一下臨界位置，就是我們剛才說過

的不等式中恰好在邊界的數值，

仁-2,-1,2,3,有沒有發現什么？這么

對稱的圖形，當然是發現對稱點了，-1

和3是關干對稱軸對稱的有木有？說明

他們倆都恰好在拋物線上，哦了，問題

搞定！

.拋物線的對稱軸為直線,x=l,

拋物線在2cxy3這一段與在T<x<0這一段關于對稱軸對稱，

結合圖象可以觀察到拋物線在-2<A<-1這一段位于直線：的上方，在-l<x<0這一段位于

直線，的下方，

，拋物線與直線/的交點的橫坐標為-1,

當x=-l時，1=-2x（-l）-2=4,所以，拋物線過點（-1,4）,

當x=-l時，m-2m-2=4,解得加=2,

二.拋物線的解析式為1=2x:-4x-2.

2、堂握13個原創變式，完勝二次函數中考最難點

根據近5年北京中考、一二模考試對于二次函數綜合越i一短23匙）笆考查情況以及2015與北

京壬招生笥理辦公室和北京市教育考試院給出的關于中考改堇的意見.口考法究曰心專家.根

據歷年此題最后一問的考查形式.原創了如下13個變式題目，都助同學士熟悉考法并徹底至運此類

題型，輕松應貯中考：

【例題】已知二次函數1=3；：的圖象與X軸交于川-1，0rBl3,0,與1軸交于

ClO,-3）.求該二次函數的解析式.

【考法1】一宛砌堤沿x融翻折與平移直線的交點向貳難度：★★

將二次函數的圖象在.,、軸下方的部分沿入軸翻折，其余部分保持不變，另得到一個新的圖象，請你結

合新圖冢回答，直線J與新圖象的交點情況.

（2009"三0手；：；二手N三弓奏）

（2013壬￡一?:：乙冬三可呼祭）

【考法2】——挹物線沿x軸翻折與旋轉直線的交點間題建度：★★★

將二次函數的圖象在》軸下方的部分沿:;軸翻折，其余部分保持不變，得到一個新的圖冢，請你結合

圖冢回答，直線）=%-3伏*0:與新圖象的交點情況.

（2012米工一工匚力名W三弓桑）

【考法3】——死物線沿平行于x埼的動直淺融折與平移直線的交點問題難反：★★★★

將二次函數的圖象在］=七下方的部分沿］=-匕翻折，其余部分保持不變，得到一個新的圖象，請你

【考法9】——平移艙物線和線段的交點問題造度：★★

已知WQ,-L,M4,5,將二次函敷.[=加-笈-c向上或向下平移，若平移后的拋物線與線段

.TZV始終有公共點，求平移距離力的取值范圍.

（2011東工一堂7”孝一-考奈）

【考法10】——反比例圖數與拋物線交點的范圍問題造度：★★

反比例函數]=與2>。，x>0的圖冢與二次函數的圖象在第一冢限的交點橫坐標X：滿足4<j<5,

求低的取值范圍.

（2014