熱點6-1空間幾何體的交線與截面問題空間幾何體的交線與截面問題既是高考數(shù)學(xué)的熱點，也是難點，往往在高考的選填壓軸題中出現(xiàn)，難度較大。此類題目綜合考察考生的空間想象能力和邏輯推理能力，處理這類問題的基本思路是借助空間點線面的位置關(guān)系和相應(yīng)的定理，將空間問題平面化。【題型1作出空間幾何體的截面】滿分技巧1、作截面應(yīng)遵循的三個原則：（1）在同一平面上的兩點可引直線；（2）凡是相交的直線都要畫出它們的交點；（3）凡是相交的平面都要畫出它們的交線；2、作交線的方法有如下兩種：（1）利用基本事實3作直線；（2）利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線。【例1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，正方體SKIPIF1<0的棱長為8，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點．（1）畫出過點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的平面與平面SKIPIF1<0的交線；（2）設(shè)平面SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．【變式1-1】（2024·甘肅·高三武威第六中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）如圖，正方體SKIPIF1<0的棱長為SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0的中點.（1）請在正方體的表面完整作出過點SKIPIF1<0的截面，并寫出作圖過程；（不用證明）（2）求點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，直四棱柱SKIPIF1<0的底面為正方形，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點．（1）請在直四棱柱SKIPIF1<0中，畫出經(jīng)過SKIPIF1<0三點的截面SKIPIF1<0并寫出作法（無需證明）．（2）求截面SKIPIF1<0的面積．【變式1-3】（2023·貴州銅仁·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，已知在正三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，三棱柱外接球半徑為SKIPIF1<0，且點SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點．（1）過點SKIPIF1<0作三棱柱截面，求截面圖形的周長；（2）求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的所成角的余弦值．【題型2判斷截面多邊形的形狀】滿分技巧判斷截面多邊形形狀時需要注意以下幾點：1、截面與幾何體表面相交，交線不會超過幾何體表面?zhèn)€數(shù)。2、不會與同一個表面有兩條交線。3、與一對平行表面相交，交線平行（不一定等長）4、截面截內(nèi)切球或者外接球時，區(qū)分與面相切和與棱相切之間的關(guān)系【例2】（2024·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）（多選）在正方體SKIPIF1<0中，用垂直于SKIPIF1<0的平面截此正方體，則所得截面可能是（）A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形【變式2-1】（2023·江西宜春·高三宜豐中學(xué)校考階段練習(xí)）在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點，點SKIPIF1<0在對角線SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0作一個截面，該截面的形狀為（）A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形【變式2-2】（2024·陜西安康·安康中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0的中點，過SKIPIF1<0三點作該正方體的截面，則（）A．該截面是四邊形B．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0D．該截面與棱SKIPIF1<0的交點是棱SKIPIF1<0的一個三等分點【變式2-3】（2024·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）（多選）已知直三棱柱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面EFG與直三棱柱SKIPIF1<0相交形成的截面為SKIPIF1<0，則（）A．存在正實數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得截面SKIPIF1<0為等邊三角形B．存在正實數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得截面SKIPIF1<0為平行四邊形C．當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，截面SKIPIF1<0為五邊形D．當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，截面SKIPIF1<0為梯形【題型3求解截面多邊形的周長】滿分技巧求解截面多邊形的周長有兩個思路：（1）利用多面體展開圖進(jìn)行求解；（2）在各個表面確定交線，分別利用解三角形進(jìn)行求解。【例3】（2024·四川成都·高三樹德中學(xué)校考期末）如圖，已知正方體SKIPIF1<0的棱長為SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，過點SKIPIF1<0作與直線SKIPIF1<0垂直的平面SKIPIF1<0，則平面SKIPIF1<0截正方體SKIPIF1<0的截面的周長為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式3-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在棱長為2的正方體SKIPIF1<0中，E為棱BC的中點，用過點SKIPIF1<0，E，SKIPIF1<0的平面截正方體，則截面周長為（）A．SKIPIF1<0B．9C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式3-2】（2023·全國·高三對口高考）如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上的一動點，則過SKIPIF1<0三點的平面截該三棱柱所得截面的最小周長為．【變式3-3】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，則過點SKIPIF1<0的平面截正四棱柱SKIPIF1<0所得截面多邊形的周長為（）【變式3-4】（2024·河北廊坊·高三文安縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖所示，正四棱臺SKIPIF1<0中，上底面邊長為3，下底面邊長為6，體積為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上且滿足SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0的平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0平行，且與正四棱臺各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【題型4求解截面多邊形的面積】滿分技巧求解截面多邊形的面積問題的步驟：（1）通過解三角形求得截面多邊形各邊的長度；（2）判斷多邊形的形狀是否規(guī)則，若為規(guī)則圖形可直接使用面積公式求解；否則可通過切割法將多邊形分為多個三角形求解。【例4】（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）如圖，正方體SKIPIF1<0的棱長為2，E，F(xiàn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，則平面SKIPIF1<0截正方體所得的截面面積為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．9D．18【變式4-1】（2023·四川成都·高三石室中學(xué)校考期中）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四邊形AA1B1B是矩形，D是棱CC1的中點，CC1=AC=4，SKIPIF1<0，AB=3，SKIPIF1<0，過點D作平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則平面SKIPIF1<0截三棱柱ABC-A1B1C1所得截面面積為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式4-2】（2023·安徽·高三合肥一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正三棱錐SKIPIF1<0底面邊長為1，側(cè)棱長為2，過棱SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0作與該棱垂直的截面分別交SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則截面SKIPIF1<0的面積為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式4-3】（2023·山西大同·高三大同一中校考階段練習(xí)）已知正方體SKIPIF1<0的棱長為3，點SKIPIF1<0分別在棱SKIPIF1<0上，且滿足SKIPIF1<0為底面SKIPIF1<0的中心，過SKIPIF1<0作截面，則所得截面的面積為.【變式4-4】（2023·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知棱長為4的正四面體SKIPIF1<0，用所有與點A，B，C，D距離均相等的平面截該四面體，則所有截面的面積和為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【題型5截面分割幾何體的體積問題】滿分技巧截面分割后的幾何體易出現(xiàn)不規(guī)則的幾何體，對此往往采用“切割法”或“補(bǔ)形法”進(jìn)行體積的求解。【例5】（2023·河北衡水·衡水中學(xué)校考一模）已知正三棱柱SKIPIF1<0，過底邊SKIPIF1<0的平面與上底面交于線段SKIPIF1<0，若截面SKIPIF1<0將三棱柱分成了體積相等的兩部分，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式5-1】（2024·重慶·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）已知正方體SKIPIF1<0，棱SKIPIF1<0的中點分別為SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0截正方體得兩個幾何體，體積分別記為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式5-2】（2024·浙江湖州·高三統(tǒng)考期末）在正四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0的邊長為SKIPIF1<0為正三角形，點SKIPIF1<0分別在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，若過點SKIPIF1<0的截面交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，則四棱錐SKIPIF1<0的體積是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式5-3】（2023·江蘇揚州·高郵中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是棱AB上一點，若平面SKIPIF1<0把三棱柱SKIPIF1<0分成體積比為SKIPIF1<0的兩部分，則SKIPIF1<0（）A．1B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式5-4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在如圖所示的幾何體中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）過點SKIPIF1<0作一平行于平面SKIPIF1<0的截面，畫出該截面（不用說明理由），并求夾在該截面與平面SKIPIF1<0之間的幾何體的體積.【題型6截面最值的相關(guān)問題】滿分技巧截面最值問題的計算，主要由以下三種方法：1、極限法：通過假設(shè)動點運動至兩端，計算最值（需注意判斷是否單調(diào)）；2、坐標(biāo)法：通過建系設(shè)坐標(biāo)，構(gòu)造對應(yīng)的函數(shù)進(jìn)行求解；3、化歸法：通過圖形轉(zhuǎn)化，把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，尋找平面圖形中的最值計算。【例6】（2024·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)正方體SKIPIF1<0的棱長為1，與直線SKIPIF1<0垂直的平面SKIPIF1<0截該正方體所得的截面多邊形為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積的最大值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式6-1】（2024·江西贛州·南康中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0的平面SKIPIF1<0分別交棱AB，AC于點D，E，若直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則截面三角形SKIPIF1<0面積的最小值為．【變式6-2】（2024·山東煙臺·高三統(tǒng)考期末）如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該三棱柱外接球的表面積為；若點SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點，點SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上一動點，則平面SKIPIF1<0截三棱柱SKIPIF1<0所得截面面積的最大值為.【變式6-3】（2024·廣西·模擬預(yù)測）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0上一點，過點SKIPIF1<0作三棱錐SKIPIF1<0的截面，使截面平行于直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，當(dāng)該截面面積取得最大值時，SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式6-4】（2023·廣西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在棱長為2的正方體SKIPIF1<0內(nèi)，放入一個以SKIPIF1<0為鈾線的圓柱，且圓柱的底面所在平面截正方體所得的截面為三角形，則該圓柱體積的最大值為．【題型7球的截面問題】滿分技巧求解球的截面問題的要點：（1）確定球心與半徑；（2）尋找作出并計算截面與球心的距離；（3）充分利用“球心做弦的垂線，垂足是弦中點”這個性質(zhì)；（4）強(qiáng)調(diào)弦的中點，不一定是幾何體線段的中點。【例7】（2024·江西贛州·南康中學(xué)校聯(lián)考一模）球的兩個平行截面面積分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，球心到這兩個截面的距離之差等于1，則球的直徑為（）A．3B．4C．5D．6【變式7-1】（2024·陜西榆林·統(tǒng)考一模）已知SKIPIF1<0是球SKIPIF1<0的直徑SKIPIF1<0上一點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為垂足，SKIPIF1<0截球SKIPIF1<0所得截面的面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的一點，且SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作球SKIPIF1<0的截面，則所得的截面面積最小的圓的半徑為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式7-2】（2024·河北邢臺·高三統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》中將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為球心，SKIPIF1<0為半徑的球面與側(cè)面SKIPIF1<0的交線長為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式7-3】（2023·湖北荊州·高三沙市中學(xué)校考階段練習(xí)）三棱錐SKIPIF1<0的四個頂點都在表面積為SKIPIF1<0的球O上，點A在平面SKIPIF1<0的射影是線段SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，則平面SKIPIF1<0被球O截得的截面面積為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式7-4】（2024·山東濱州·高三統(tǒng)考期末）已知直四棱柱SKIPIF1<0的所有棱長均為4，SKIPIF1<0，以ASKIPIF1<0為球心，SKIPIF1<0為半徑的球面與側(cè)面SKIPIF1<0的交線長為．【題型8圓錐的截面問題】【例8】（2023·全國·模擬預(yù)測）某圓錐的母線長為4，軸截面是頂角為120°的等腰三角形，過該圓錐的兩條母線作圓錐的截面，當(dāng)截面面積最大時，圓錐底面圓的圓心到此截面的距離為（）A．4B．2C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式8-1】（2024·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）已知高為2的圓錐內(nèi)接于球O，球O的體積為SKIPIF1<0，設(shè)圓錐頂點為P，平面SKIPIF1<0為經(jīng)過圓錐頂點的平面，且與直線SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0截球O和圓錐所得的截面面積分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【變式8-2】（2024·廣東中山·中山紀(jì)念中學(xué)校考二模）已知球SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，高為1的圓錐內(nèi)接于球O，經(jīng)過圓錐頂點的平面SKIPIF1<0截球SKIPIF1<0和圓錐所得的截面面積分別為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【變式8-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）圖，在圓錐SKIPIF1<0中，已知高SKIPIF1<0.底面圓的半徑為2，SKIPIF1<0為母線SKIPIF1<0的中點，根據(jù)圓錐曲線的定義，下列三個圖中的截面邊界曲線分別為圓、橢圓、雙曲線，則下面四個命題中正確的有（）A．圓錐的體積為SKIPIF1<0B．圓的面積為SKIPIF1<0C．橢圓的長軸長為SKIPIF1<0D．雙曲線兩漸近線的夾角SKIPIF1<0【變式8-4】（2023·河北·河北衡水中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，用一垂直于某條母線的平面截一頂角正弦值為SKIPIF1<0的圓錐，截口曲線是橢圓，頂點A到平面的距離為3.（1）求橢圓的離心率；（2）已知P在橢圓上運動且不與長軸兩端點重合，橢圓的兩焦點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明：二面角SKIPIF1<0的大小小于SKIPIF1<0.（建議用時：60分鐘）1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知OA為球O的半徑，過OA的中點M且垂直O(jiān)A的平面截球得到圓M，若圓M的面積為SKIPIF1<0，則球O的表面積為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<02．（2024·全國·模擬預(yù)測）在正方體SKIPIF1<0中，E，F(xiàn)分別為棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，過直線EF的平面截該正方體外接球所得的截面面積的最小值為SKIPIF1<0，最大值為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<03．（2023·四川宜賓·高二四川省興文第二中學(xué)校校考開學(xué)考試）如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，過SKIPIF1<0的截面與AC交于點D，與BC交于點E（D，E都不與C重合），若該截面將三棱柱分成體積之比為SKIPIF1<0的兩部分，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<04．（2024·四川·校聯(lián)考一模）設(shè)正方體SKIPIF1<0的棱長為1，與直線SKIPIF1<0垂直的平面SKIPIF1<0截該正方體所得的截面多邊形為M．則下列結(jié)論正確的是（）．A．M必為三角形B．M可以是四邊形C．M的周長沒有最大值D．M的面積存在最大值5．（2023·河南·信陽高中校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0兩兩垂直，且SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為球心，SKIPIF1<0為半徑作球，則球面與底面SKIPIF1<0的交線長度的和為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<06．（2023·河北滄州·高三泊頭市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正方體SKIPIF1<0的棱長為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0上異于端點的動點，若平面SKIPIF1<0截該正方體所得的截面為五邊形，則線段SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<07．（2024·河南南陽·高三統(tǒng)考期末）（多選）用一個平面去截正方體，關(guān)于截面的說法，正確的有（）A．截面有可能是三角形，并且有可能是正三角形B．截面有可能是四邊形，并且有可能是正方形C．截面有可能是五邊形，并且有可能是正五邊形D．截面有可能是六邊形，并且有可能是正六邊形8．（2023·遼寧朝陽·高三校聯(lián)考期中）（多選）如圖，有一個正四面體形狀的木塊，其棱長為a．現(xiàn)準(zhǔn)備將該木塊鋸開，則下列關(guān)于截面的說法中正確的是（