2019-2020學年八年級數學下冊19.1變量與函數教學設計（新版）新人教版教學設計思想：本節一共分為四個課時，第一、二課時主要是對一些概念的學習與應用，這也是本節的難點，要通過結合一些具體的事例來理解．第三、四課時主要是學習函數的三種表示法、運用函數知識解決實際問題，要注意“數形結合”思想方法的運用．教學目標：知識與技能：能敘述常量、變量、函數以及函數圖像的意義；能敘述函數的表示法、自變量的取值范圍及函數值的意義；發展運用函數知識解決實際問題的能力．過程與方法：經歷畫簡單函數的圖像的過程提高識圖能力．情感態度價值觀：感受變量與函數是刻畫現實生活中許多變化事物的一種重要的數學工具．教學重點：運用函數知識解決實際問題．教學難點：常量、變量、函數以及函數圖像的意義．教學安排：4課時．教具：多媒體教學過程：第一課時（一）問題的提出現請思考下面幾個問題：（1）汽車以60千米／時的速度勻速行駛，行駛里程為s千米，行駛時間為t小時，先填下面的表，再試用含t的式子表示s．t/時12345s/千米

（2）每張電影票的售價為10元，如果早場售出票150張，日場售出票205張，晚場售出票310張，三場電影的票房收入各多少元？設一場電影售出票x張，票房收入為y元，怎樣用含x的式子表示y？（3）在一根彈簧的下端懸掛重物，改變并記錄重物的質量，觀察并記錄彈簧長度的變化，探索它們的變化規律．如果彈簧原長10cm，每1kg重物使彈簧伸長0.5cm，怎樣用含重物質量m（單位：kg）的式子表示受力后的彈簧長度l（單位：cm）？（4）要畫一個面積為10cm2的圓，圓的半徑應取多少？圓面積為20cm2呢？怎樣用含圓面積S的式子表示圓半徑r？（5）如圖，用10m長的繩子圍成長方形．試改變長方形的長度，觀察長方形的面積怎樣變化．記錄不同的長方形的長度值，計算相應的長方形面積的值，探索它們的變化規律．設長方形的長為xm，面積為Sm2，怎樣用含x的式子表示S？這些問題反映了不同的事物的變化過程，其中有些量（例如時間t，里程s；售出票數x，票房收入y……）的值是按照某種規律變化的．在一個變化過程中，我們稱數值發生變化的量為變量（variable）．有些量的數值是始終不變的，例如上面問題中的速度60（單位：千米／時），票價10（單位：元）……繩長10（單位：m）以及長方形的長寬之和5（單位：m），我們稱它們為常量（constant）．在日常生活中，工農業生產和科學實驗中，常量和變量是普遍存在的，但數學所要研究的是某一變化過程中的兩個量之間的關系，即它們是怎樣互相制約、互相聯系的．提問：一個量變化，具體地說是它的什么在變？什么不變呢？引導學生觀察發現：是量的數值變與不變．應該讓學生注意到在某一個變化過程中，變量、常量都可能有多個．常量可以是一個實數，也可以是一個代數式（數值始終保持不變）．（二）思考具體指出上面的各問題中，哪些量是變量，哪些量是常量．讓學生從定義出發指出問題中的變量與常量．剖析概念常量與變量必須存在于一個變化過程中．判斷一個量是常量還是變量，需著兩個方面：①看它是否在一個變化的過程中，②看它在這個變化過程中的取值情況．（三）練習舉出一些變化的實例，指出其中的常量與變量．（充分發揮學生的主體作用，暢所欲言）．（四）小結小結對變量與常量意義的理解．（五）板書設計變量問題兩個概念：變量、常量思考練習第二課時（一）問題的討論11.1.1的每個問題中是否各有兩個變量？同一個問題中的變量之間有什么聯系？在問題（1）中，觀察填出的表格，你會發現：每當行駛時間t取定一個值時，行駛里程s就隨之確定一個值，例如t=1，則s=60；t=2，則s=120……t=5，則s=300．問題（2）中，經計算可以發現：每當售票數量x取定一個值時，票房收入y就隨之確定一個值，例如早場x=150，則y=l500；日場x=205，則y=2050；晚場x=310，則y=3100．問題（3）中，通過試驗可以看出：每當重物質量m取定一個值時，彈簧長度l就隨之確定一個值．如果彈簧原長10cm，每lkg重物使彈簧伸長0．5cm，那么當m=1時，l=10．5．當m=10時，l等于多少？問題（4）中，你容易算出：當S=10cm2時，r=_______cm；當S=20cm2時，r=_______cm．每當S取定一個值時，r隨之確定一個值．你能得出：兩者的關系為r=_______.問題（5）中，我們可以根據下表中給出的數值確定長方形一邊的長，得出另一邊的長，計算長方形的面積，填表并探索變量間的關系．長x/m432.52寬（5－x）/m

面積S/m2

每當長方形長x取定一個值時，面積S就隨之確定一個值，S=_________.引導學生觀察發現：對于變量的每一個值，另一變量都有唯一的值與它對應．所以兩個變量的關系又可敘述為：對于一個變量的每一個值，另一個變量都有唯一的值與它對應．即一種對應關系．（二）歸納上面每個問題中的兩個變量互相聯系，當其中一個變量取定一個值時，另一個變量就________.在一些用圖或表格表達的問題中，也能看到兩個變量間上面那樣的關系．（三）觀察（1）下圖是體檢時的心電圖，其中橫坐標x表示時間，縱坐標y表示心臟部位的生物電流，它們是兩個變量．在心電圖中，對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的對應值嗎？（2）在下面的我國人口數統計表中，年份與人口數可以記作兩個變量x與y，對于表中每一個確定的年份（x），都對應著一個確定的人口數（y）嗎？中國人口數統計表年份人口數/億198410.34198911.06199411.76199912.52一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量（independentvariable），y是x的函數（function）．如果當x=a時y=b，那么b叫做當自變量的值為a時的函數值．剖析概念理解函數概念把握三點：①一個變化過程，②兩個變量，③一種對應關系．判斷兩個量是否具有函數關系也以這三點為依據．可以認為：前面問題（1）中，時間t是自變量，里程s是t的函數，t=1時的函數值s=60，t=2時的函數值s=120，t=2.5時的函數值s=_____……同樣地，在心電圖中，時間x是自變量，心臟電流y是x的函數；人口數統計表中，年份x是自變量，人口數y是x的函數，當x=1999時，函數值y=________．提醒學生注意：判斷兩個變量是否存在函數關系，不要只從能否存在（或寫出）函數關系式入手，這只是表示函數的一種方法（解析法），而應嚴格按其定義來判定．從上面可知，許多問題中的變量之間都存在函數關系．（四）探究（1）在計算器上按照下面的程序進行操作：填表x13－40101y

顯示的數y是輸入的數x的函數嗎？為什么？（2）在計算器上按照下面的程序進行操作：下表中的x與y是輸入的5個數與相應的計算結果．x1230－1y3571－1所按的第三、四兩個鍵是哪兩個鍵？y是x的函數嗎？如果是，寫出它的表達式（用含x的式子表示y）．（五）例題例1

一輛汽車的油箱中現有汽油50L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（單位：L）隨行駛里程x（單位：km）的增加而減少，平均耗油量為0.1L／km．（1）寫出表示y與x的函數關系的式子．（2）指出白變量x的取值范圍．（3）汽車行駛200km時，油箱中還有多少汽油？解：（1）行駛里程x（單位：km）是自變量，油箱中的油量y（單位：L）是x的函數，它們的關系為y=50－0.1x．（2）僅從式子y=50－0.1x看，x可以取任意實數，但是考慮到x代表的實際意義為行駛里程，所以x不能取負數，并且行駛中的耗油量為0.1x，它不能超過油箱中現有汽油量50L，即0.1x≤50．因此，自變量x的取值范圍是0≤x≤500．（3）汽車行駛200km時，油箱中的汽油量是函數y=50－0.1x在x=200時的函數值．將x=200代入y=50－0．1x，得y=50－0.1×200=30．汽車行駛200km時，油箱中還有30L汽油．注意確定自變量的取值范圍時，不僅要考慮函數關系式有意義，而且還要注意問題的實際意義．（六）練習下列問題中哪些量是自變量？哪些量是自變量的函數？試寫出用自變量表示函數的式子．1．改變正方形的邊長x，正方形的面積S隨之改變．2．秀水村的耕地面積是106m2，這個村人均占有耕地面積y隨這個村人數n的變化而變化．（七）小結引導學生總結本節的主要知識點．（八）板書設計函數問題的討論例題練習第三課時有些問題中的函數關系很難列式子表示，但是可以用圖來直觀地反映，例如用心電圖表示心臟生物電流與時間的關系．即使對于能列式表示的函數關系，如也能畫圖表示則會使函數關系更清晰．正方形的邊長x與面積S的函數關系為S=x2，其中自變量x的取值范圍是x>0．我們還可以利用在坐標系中畫圖的方法來表示S與x的關系．自變量x的一個確定的值與它所對應的唯一的函數值S，是否確定了一個點（x，S）呢？計算并填寫下表：x00.511.522.533.54S

如圖，在直角坐標系中，將上面表格中各對數值所對應的點畫出，然后連接這些點，所得曲線上每一個點都代表x的值與S的值的一種對應，例如點（2，4）表示x=2時，S=4．一般地，對于一個函數，如果把自變量與函數的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內由這些點組成的圖形，就是這個函數的圖象（graph）．上圖的曲線即函數S=x2（x>0）的圖象．我們需要注意的三點是：（1）函數圖象上的點P（x，y）與函數自變量x及對應函數值y的關系：圖象上的每個點的橫坐標x與縱坐標y一定是這個函數的自變量x和函數y的一對對應值，反之，以這一對對應值為橫、縱坐標的點必在函數的圖象上．（2）函數圖象上任意一點P（x，y）中的x和y滿足函數關系式，反之，滿足函數關系式的任意一對x和y的值組成的點（x，y）一定在函數的圖象上．（3）判斷點P（x，y）是否在函數圖象上的方法是：將點的坐標（x，y）代入函數關系式，即自變量等于橫坐標x，函數值等于縱坐標y，如果滿足函數關系式，則這個點就在函數圖象上，否則這個點就不在函數圖象上．（一）觀察下圖是自動測溫儀記錄的圖象，它反映了北京的春季某天氣溫T如何隨時間t的變化而變化．你從圖象中得到了哪些信息？可以認為，氣溫T是時間t的函數，上圖是這個函數的圖象．由圖象可知：（1）這一天中凌晨4時氣溫最低（－3℃），14時氣溫最高（8℃）；（2）從0時至4時氣溫呈下降狀態（即溫度隨時間的增長而下降），從4時到14時氣溫呈上升狀態，從14時至24時氣溫又呈下降狀態；（3）我們可以從圖象中看出這一天中任一時刻的氣溫大約是多少；（4）如果長期觀察這樣的氣溫圖象，我們就能得到更多信息，掌握更多氣溫的變化規律．（二）例題例2

下面的圖象（如圖所示）反映的過程是：小明從家去菜地澆水，又去玉米地鋤草，然后回家．其中x表示時間，y表示小明離他家的距離．根據圖象回答下列問題：（1）菜地離小明家多遠？小明走到菜地用了多少時間？（2）小明給菜地澆水用了多少時間？（3）菜地離玉米地多遠？小明從菜地到玉米地用了多少時間？（4）小明給玉米地鋤草用了多少時間？，（5）玉米地離小明家多遠？小明從玉米地走回家的平均速度是多少？分析：小明離家的距離y是時間x的函數，從圖象中有兩段是平行于x軸的線段可知，小明離家后有兩段時間內先后停留在菜地與玉米地．解：（1）由縱坐標看出，菜地離小明家1.1千米；由橫坐標看出，小明走到菜地用了15分．（2）由橫坐標看出，小明給菜地澆水用了10（即25－15）分．（3）由縱坐標看出，菜地離玉米地0.9（即2—1.1）千米；由橫坐標看出，小明從菜地到玉米地用了12（即37—25）分．（4）由橫坐標看出，小明給玉米地鋤草用了18（即55－37）分．（5）由縱坐標看出，玉米地離小明家2千米；由橫坐標看出，小明從玉米地走回家用了25（即80—55）分，平均速度是0．08千米／分．例3

在下列式子中，對于x的每一確定的值，y有唯一的對應值，即y是x的函數，畫出這些函數的圖象：（1）y=x+0.5；

（2）（x>0）．解：（1）y=x+0.5．從上式可以看出，x取任意實數式子都有意義，所以x的取值范圍是全體實數．從x的取值范圍中選取一些數值，算出y的對應值，列表（計算并填寫表中空格）：x…－3－2－10123…y…

－0.50.51.52.5

…根據表中數值描點（x，y），并用平滑曲線連接這些點（如圖所示）．從函數圖象可以看出，直線從左向右上升，即當x由小變大時，y=x+0.5隨之增大．（2）（x>0）．列表（計算并填寫表中空格）：x…0.511.522.533.5456…y…

6

3

2

1.5

…根據表中數值描點（x，y）并用平滑曲線連接這些點（如圖所示）．從函數圖像可以看出，曲線從左向右下降，即當x由小變大時，隨之減小．（三）歸納描點法畫函數圖象的一般步驟如下：第一步：列表（表中給出一些自變量的值及其對應的函數值）；第二步：描點（在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應的函數值為縱坐標，描出表格中數值對應的各點）；第三步：連線（按照橫坐標由小到大的順序把所描出的各點用平滑曲線連接起來）．（四）思考（1）下圖是一種古代計時器——“漏壺”的示意圖，在壺內盛一定量的水，水從壺下的小孔漏出，壺壁內畫出刻度，人們根據壺中水面的位置計算時間．用x表示時間，y表示壺底到水面的高度，下面的哪個圖象適合表示一小段時間內y與x的函數關系（暫不考慮水量變化對壓力的影響）？（2）a是自變量x取值范圍內的任意一個值，過點（a，0）畫y軸的平行線，與圖中曲線相交．下列哪個圖中的曲線（如圖所示）表示y是x的函數？為什么？（提示：當x=a時，x的函數y只能有一個函數值．）（五）練習1．（1）畫出函數y=2x－1的圖象；（2）判斷點A（－2．5，－4），B（1，3），C（2．5，4）是否在函數y=2x－1的圖象上．2．下圖是北京與上海在某一天的氣溫隨時間變化的圖象．（1）這一天內，上海與北京何時溫度相同？（2）這一天內，上海在哪段時間比北京溫度高？在哪段時間比北京溫度低？3．（1）畫出函數y=x2的圖象．（2）從圖象中觀察，

當x<0時，y隨x的增大而增大，還是y隨x的增大而減??？當x>0時呢？（六）小結引導學生總結本節的主要知識點．（七）板書設計函數的圖像（一）問題的討論例題歸納思考練習第四課時我們已經看到或親自動手用列表格、寫式子和畫圖象的方法表示了一些函數，這三種表示函數的方法分別稱為列表法、解析式法和圖象法．（一）思考從前面的例子看，你認為三種表示函數的方法各有什么優點？（1）解析法：用含有自變量的代數式表示函數的方法叫做解析法．例如：y=x+1，等，其優點是簡明扼要，規范準確，便于分析推導函數性質，不足之處就是有些函數關系，不能用解析式表示．（2）列表法：把自變量x的一系列值和函數y的對應值列成一個表來表示函數關系的方法叫做列表法．其優點是能明顯地呈現出自變量與對應的函數值．不足之處是只能列出部分自變量與函數的對應值，難以從表格中看出自變量與函數之間的對應規律．（3）圖象法