第四章圖形的相似*5相似三角形判定定理的證明數學九年級上冊BS版課前預習典例講練目錄CONTENTS數學九年級上冊BS版01課前預習三角形相似的判定定理.（1）定理一：

?；（2）定理二：

?；（3）定理三：

?.兩角分別相等的兩個三角形相似

兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似

三邊成比例的兩個三角形相似

數學九年級上冊BS版02典例講練

如圖，在等邊三角形

ABC

中，點

D

，

E

，

F

分別是三邊上的

點，且

AE

＝

BF

＝

CD

，那么△

ABC

與△

DEF

相似嗎？請說明

理由.【思路導航】證明△

DEF

是等邊三角形，可得∠

EDF

＝∠

A

＝

∠

B

＝∠

DEF

＝60°，這樣就可以證明△

ABC

∽△

DEF

.

【點撥】在等邊三角形三邊上取三點，截取三條相等線段，無

論三截點怎么變化，截出的含頂角的三個小三角形都全等，中

間小三角形一定是等邊三角形.特別地，若截點是各邊中點，則

四個三角形都是等邊三角形.

如圖，在Rt△

ABC

中，已知∠

ACB

＝90°，

CD

⊥

AB

于點

D

，分

別以

AC

，

BC

為邊向三角形外部作等邊三角形

ACE

和等邊三角

形

BCF

，連接

DE

，

DF

.

證明：△

ADE

∽△

CDF

.

證明：∵四邊形

ABCD

是正方形，∴

AB

＝

BC

，∠

DAB

＝90°.∴∠

GBA

＋∠

AEG

＝90°.∵

AG

⊥

BE

，∴∠

EGA

＝∠

AGB

＝90°.∴∠

EAG

＋∠

AEG

＝90°.∴∠

EAG

＝∠

GBA

.

∴△

AGE

∽△

BGA

.

【點撥】當無法證明“比例式”或“等積式”線段所在的兩個

三角形相似時，可以考慮“等線段替換”或者“等比替換”，

將問題進行轉化.

如圖，在菱形

ABCD

中，已知∠

ABC

＝60°，點

E

是射線

CB

上

一點，點

F

是線段

CD

上一點，且∠

EAF

＝120°，求證：

AE

·

CF

＝

AF

·

BC

.

證明：如答圖，連接

AC

.

∵四邊形

ABCD

是菱形，∴

AB

＝

BC

，

AD

∥

BC

.

∵∠

ABC

＝60°，∴△

ABC

是等邊三角形.∴∠

ACB

＝∠

BAC

＝60°，

AC

＝

BC

.

∵

AD

∥

BC

，∠

ABC

＝60°，∴∠

BAD

＝120°，∠

CAD

＝∠

ACB

＝∠

ACF

＝60°.又∵∠

EAF

＝120°，答圖∴∠

EAB

＝∠

FAD

.

設∠

EAB

＝∠

FAD

＝α，則∠

E

＝∠

ABC

－α＝60°－α.∵∠

CAF

＝∠

CAD

－∠

FAD

＝60°－α，∴∠

E

＝∠

CAF

.

又∵∠

ACF

＝∠

ACB

＝60°，∴△

ACF

∽△

ECA

.

∵

AC

＝

BC

，答圖

∴

AE

·

CF

＝

AF

·

BC

.

答圖

已知點

E

是矩形

ABCD

的邊

BC

上一點，連接

AE

，過點

E

作

EF

⊥

AE

于點

E

，分別交

AC

，

CD

于點

M

，

F

.

過點

B

作

BG

⊥

AC

于點

G

，交

AE

于點

H

.

（1）如圖1，求證：△

ABE

∽△

ECF

；圖1（2）如圖1，找出與△

ABH

相似的三角形，并證明；圖1（3）如圖2，若點

E

是

BC

的中點，

BC

＝2

AB

，

AB

＝2，求

EM

的長.圖2【思路導航】（1）易知∠

ABE

＝∠

ECF

＝90°，要證明△

ABE

∽△

ECF

，只需要再找一組對應角相等即可；（2）找出圖中與

∠

ABH

，∠

BAH

相等的角，進而可找出與△

ABH

相似的三角

形；（3）首先作

MR

⊥

BC

，垂足為

R

，由相似三角形，可求得

MR

，

ER

的長，再由勾股定理即可求得

EM

的長.（1）證明：∵四邊形

ABCD

是矩形，∴∠

ABE

＝∠

ECF

＝90°.∵

EF

⊥

AE

，∴∠

AEB

＋∠

FEC

＝90°.又∵∠

AEB

＋∠

BAE

＝90°，∴∠

BAE

＝∠

CEF

.

∴△

ABE

∽△

ECF

.

圖1（2）解：△

ECM

∽△

ABH

.

證明如下：∵

BG

⊥

AC

，∴∠

ABG

＋∠

BAG

＝90°.∵∠

ACB

＋∠

BAC

＝90°，∴∠

ECM

＝∠

ABH

.

由（1）知，∠

CEM

＝∠

BAH

，∴△

ECM

∽△

ABH

.

圖1（3）解：如圖，作

MR

⊥

BC

，垂足為

R

.

∵

BC

＝2

AB

，點

E

是

BC

的中點，∴

BE

＝

EC

＝

AB

＝2.∴∠

AEB

＝45°.∴∠

MER

＝45°.∴

MR

＝

ER

.

易知△

MRC

∽△

ABC

，

圖2

∴

CR

＝2

MR

.

在Rt△

EMR

中，由勾股定理，得

【點撥】注意數形結合思想的應用，以及有兩組角對應相等的

兩個三角形相似的判定定理的應用.

如圖，在平面直角坐標系中，已知點

A

，

C

分別在

x

軸和

y

軸

上，四邊形

AOCB

為矩形，

AB

＝16，

BC

＝12，點

D

與點

A

關于

y

軸對稱.點

E

，

F

分別是線段

AD

，

AC

上的動點（點

E

不與點

A

，

D

重合），且∠

CEF

＝∠

ACB

.

（1）求

AC

的長與點

D

的坐標；

（2）說明△

AEF

與△

DCE

相似；解：（2）∵點

D

與點

A

關于

y

軸對稱，∴∠

CDE

＝∠

CAO

.

∵∠

CEF

＝∠

ACB

，∠

ACB

＝∠

CAO

，∴∠

CDE

＝∠

CEF

.

又∵∠

AEC

＝∠

AEF

＋∠

CEF