第九章統計與成對數據的統計分析第2節用樣本估計總體ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知識診斷基礎夯實1(1)第p百分位數的定義一般地，一組數據的第p百分位數是這樣一個值，它使得這組數據中至少有______的數據小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數據大于或等于這個值.(2)計算一組n個數據的第p百分位數的步驟第1步，按__________排列原始數據.第2步，計算i＝n×p%.第3步，若i不是整數，而大于i的比鄰整數為j，則第p百分位數為第j項數據；若i是整數，則第p百分位數為第i項與第(i＋1)項數據的________.1.總體百分位數的估計p%從小到大平均數(1)眾數：一組數據中______________的那個數據，叫做這組數據的眾數.(2)中位數：把n個數據按大小順序排列，處于________位置的一個數據(或最中間兩個數據的平均數)叫做這組數據的中位數.2.樣本的數字特征出現次數最多最中間1.頻率分布直方圖與眾數、中位數、平均數的關系(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數.(2)中位數左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的.(3)平均數是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和.×解析(1)平均數指的是這組數據的平均水平；中位數指的是這組數據的中間水平，它們之間沒有必然聯系，故該說法錯誤.(3)方差是標準差的平方，故它們單位不一樣.1.思考辨析(在括號內打“√”或“×”) (1)對一組數據來說，平均數和中位數總是非常接近.(

) (2)在頻率分布直方圖中，最高的小長方形底邊中點的橫坐標是眾數.(

) (3)方差與標準差具有相同的單位.(

) (4)如果一組數中每個數減去同一個非零常數，則這組數的平均數改變，方差不變.(

)√×√A解析把該組數據按照由小到大排列，可得：2.1，3.0，3.2，3.4，3.8，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6，由i＝10×25%＝2.5，不是整數，則第3個數據3.2是第25百分位數.2.下列一組數據的第25百分位數是(

) 2.1，3.0，3.2，3.8，3.4，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6 A.3.2

B.3.0

C.4.4 D.2.5C解析10x1，10x2，…，10xn的方差為102×0.01＝1.3.設一組樣本數據x1，x2，…，xn的方差為0.01，則數據10x1，10x2，…，10xn的方差為(

) A.0.01

B.0.1

C.1 D.10因為c≠0，所以A，B不正確，C，D正確.4.(多選)有一組樣本數據x1，x2，…，xn，由這組數據得到新樣本數據y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1，2，…，n)，c為非零常數，則(

) A.兩組樣本數據的樣本平均數相同

B.兩組樣本數據的樣本中位數相同 C.兩組樣本數據的樣本標準差相同

D.兩組樣本數據的樣本極差相同CD解析設該組數據為x1，x2，…，xn，5.(易錯題)一組數據的平均數是28，方差是4，若將這組數據的每一個數據都加上20，得到一組新數據，則所得新數據的平均數是________，方差是________.4846.由于受到網絡電商的沖擊，某品牌的洗衣機在線下的銷售受到影響，承受了一定的經濟損失，現將A地區200家實體店該品牌洗衣機的月經濟損失統計如圖所示，估算月經濟損失的平均數為m，中位數為n，則m－n＝________.360所以m＝1000×0.3＋3000×0.4＋5000×0.18＋(7000＋9000)×0.06＝3360，故m－n＝360.KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考點突破題型剖析2A.－2 B.0 C.1 D.21.如圖所示是某市3月1日至3月10日的最低氣溫(單位：℃)的情況繪制的折線統計圖，由圖可知這10天最低氣溫的第80百分位數是(

)D解析由折線圖可知，這10天的最低氣溫按照從小到大的排列為：－3，－2，－1，－1，0，0，1，2，2，2，解析∵75%×20＝15，2.一個容量為20的樣本，其數據按從小到大的順序排列為：1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18，則該組數據的第75百分位數為________，第86百分位數為________.14.517∵86%×20＝17.2，∴第86百分位數為第18個數據17.3.將高三某班60名學生參加某次數學模擬考試所得的成績(成績均為整數)整理后畫出頻率分布直方圖如圖，則此班的模擬考試成績的80%分位數是________.(結果保留兩位小數)124.44解析由頻率分布直方圖可知，分數在120分以下的學生所占的比例為(0.01＋0.015＋0.015＋0.03)×10×100%＝70%，分數在130分以下的學生所占的比例為(0.01＋0.015＋0.015＋0.03＋0.0225)×10×100%＝92.5%，因此，80%分位數一定位于[120，130)內.所以此班的模擬考試成績的80%分位數約為124.44.(1)請你計算這兩組數據的平均數、中位數；例1

某工廠甲、乙兩名工人參加操作技能培訓.現分別從他們在培訓期間參加的若干次測試成績中隨機抽取8次，數據如下(單位：分)：角度1樣本的數字特征甲9582888193798478乙8375808090859295甲、乙兩組數據的中位數分別為83分，84分.①從平均數看，甲、乙均為85分，平均水平相同；②從中位數看，乙的中位數大于甲的中位數，乙的成績好于甲；(2)現要從中選派一人參加操作技能比賽，從統計學的角度考慮，你認為選派哪名工人參加合適？請說明理由.④從數據來看，獲得85分以上(含85分)的次數，甲有3次，而乙有4次，故乙的成績好些；⑤從數據的變化趨勢看，乙后幾次的成績均高于甲，且呈上升趨勢，因此乙更具潛力.綜上分析可知，甲的成績雖然比乙穩定，但從中位數、獲得好成績的次數及發展勢頭等方面分析，乙具有明顯優勢，所以應派乙參賽更有望取得好成績.例2

某市市民用水擬實行階梯水價，每人月用水量中不超過w立方米的部分按4元/立方米收費，超出w立方米的部分按10元/立方米收費，從該市隨機調查了10000位居民，獲得了他們某月的用水量數據，整理得到如下頻率分布直方圖：角度2頻率分布直方圖中的數字特征解如題圖所示，用水量在[0.5，2)的頻率的和為(0.2＋0.3＋0.4)×0.5＝0.45，用水量在[0.5，3)的頻率的和為(0.2＋0.3＋0.4＋0.5＋0.3)×0.5＝0.85.∴用水量小于等于2立方米的頻率為0.45，用水量小于等于3立方米的頻率為0.85，又w為整數，∴為使80%以上的居民在該月的用水價格為4元/立方米，w至少定為3.(1)如果w為整數，那么根據此次調查，為使80%以上居民在該月的用水價格為4元/立方米，w至少定為多少？(2)假設同組中的每個數據用該組區間的右端點值代替，當w＝3時，估計該市居民該月的人均水費.解當w＝3時，該市居民該月的人均水費估計為(0.1×1＋0.15×1.5＋0.2×2＋0.25×2.5＋0.15×3)×4＋0.15×3×4＋[0.05×(3.5－3)＋0.05×(4－3)＋0.05×(4.5－3)]×10＝7.2＋1.8＋1.5＝10.5(元).即當w＝3時，該市居民該月的人均水費估計為10.5元.訓練1(1)有兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶7次，每次命中的環數如下：

甲：7

8

10

9

8

8

6

乙：9

10

7

8

7

7

8

則下列判斷正確的是(

) A.甲射擊的平均成績比乙好 B.乙射擊的平均成績比甲好 C.甲射擊的成績的眾數小于乙射擊的成績的眾數 D.甲射擊的成績的中位數等于乙射擊的成績的中位數D乙射擊的平均成績為眾數為7，中位數為8；故甲射擊的平均成績等于乙射擊的平均成績，甲射擊的成績的眾數大于乙射擊的成績的眾數，甲射擊的成績的中位數等于乙射擊的成績的中位數.(2)(多選)某校高二年級共有800名學生參加了數學測驗(滿分150分)，已知這800名學生的數學成績均不低于90分，將這800名學生的數學成績分組為：[90，100)，[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150)，得到的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法中正確的是(

)A.a＝0.045B.這800名學生中數學成績在110分以下的人數為160C.這800名學生數學成績的中位數約為121.4D.這800名學生數學成績的平均數為125BC解析由題意，(0.005＋0.01＋0.01＋0.015＋0.025＋a)×10＝1，解得a＝0.035，A錯誤；110分以下的人數為(0.01＋0.01)×10×800＝160，B正確；平均數為95×0.1＋105×0.1＋115×0.25＋125×0.35＋135×0.15＋145×0.05＝120，D錯誤.例3

某廠研制了一種生產高精產品的設備，為檢驗新設備生產產品的某項指標有無提高，用一臺舊設備和一臺新設備各生產了10件產品，得到各件產品該項指標數據如下：舊設備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5解由表格中的數據易得：所以認為新設備生產產品的該項指標的均值較舊設備有顯著提高.(1)分別估計這類企業中產值增長率不低于40%的企業比例、產值負增長的企業比例；訓練2

某行業主管部門為了解本行業中小企業的生產情況，隨機調查了100個企業，得到這些企業第一季度相對于前一年第一季度產值增長率y的頻數分布表.y的分組[－0.20，0)[0，0.20)[0.20，0.40)[0.40，0.60)[0.60，0.80]企業數22453147用樣本頻率分布估計總體分布得這類企業中產值增長率不低于40%的企業比例為21%，產值負增長的企業比例為2%.所以，這類企業產值增長率的平均數與標準差的估計值分別為0.30，0.17.FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分層訓練鞏固提升3解析由題中數據的分布，可知極差不同，1.甲組數據為：5，12，16，21，25，37，乙組數據為：1，6，14，18，38，39，則甲、乙的平均數、極差及中位數相同的是(

) A.極差

B.平均數 C.中位數 D.都不相同B所以甲、乙的平均數相同.解析中位數是將9個數據從小到大或從大到小排列后，處于中間位置的數據，因而去掉1個最高分和1個最低分，不變的是中位數，平均數、方差、極差均受影響.2.演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數字特征是(

) A.中位數

B.平均數 C.方差

D.極差A解析將12個數據按從小到大排序：1.55，1.59，1.60，1.65，1.67，1.68，1.69，1.70，1.72，1.74，1.75，1.78，3.12名跳高運動員參加一項校際比賽，成績分別為1.70，1.65，1.68，1.69，1.72，1.59，1.60，1.67，1.74，1.78，1.55，1.75(單位：m)，則比賽成績的75%分位數是(

) A.1.72 B.1.73

C.1.74

D.1.75B4.某樣本中共有5個數據，其中四個值分別為0，1，2，3，第五個值丟失，已知該樣本的平均數為1，則樣本方差為(

)A則下列結論正確的是(

)A.極差為12.5萬噸

B.平均數為24萬噸C.中位數為24萬噸

D.眾數為17.5萬噸5.(多選)下表為2021年某煤炭公司1～10月份的煤炭生產量：ABD月份12345678910產量(單位：萬噸)23252417.517.52126293027解析將表格中的數據由小到大排列依次為17.5，17.5，21，23，24，25，26，27，29，30.極差為30－17.5＝12.5(萬噸)，A正確；＝24(萬噸)，B正確；平均數為眾數為17.5(萬噸)，D正確.A.得分在[40，60)之間的共有40人B.從這100名參賽者中隨機選取1人，其得分在[60，80)之間的概率為0.5C.估計得分的眾數為55D.這100名參賽者得分的中位數為656.(多選)某校進行了一次創新作文大賽，共有100名同學參賽，經過評判，這100名參賽者的得分都在[40，90]之間，其得分的頻率分布直方圖如圖所示，則下列結論正確的是(

)ABC解析根據頻率和為1，計算(a＋0.035＋0.030＋0.020＋0.010)×10＝1，解得a＝0.005，得分在[40，60)之間的頻率是0.4，估計得分在[40，60)之間的有100×0.4＝40(人)，A正確；得分在[60，80)之間的頻率為0.5，可得從這100名參賽者中隨機選取1人，得分在[60，80)之間的概率為0.5，B正確；解析∵x1，x2，x3，…，xn的平均數為5，∵x1，x2，x3，…，xn的方差為2，∴3x1＋1，3x2＋1，3x3＋1，…，3xn＋1的方差是32×2＝18.16，18＝3×5＋1＝16，(1)這20名工人中一天生產該產品數量在[55，75)的人數是________；(2)這20名工人中一天生產該產品數量的中位數為________；(3)這20名工人中一天生產該產品數量的平均數為________.8.為了調查某廠工人生產某種產品的能力，隨機抽查了20名工人某天生產該產品的數量得到頻率分布直方圖如圖所示，則：1362.564解析(1)在[55，75)的人數為(0.040×10＋0.025×10)×20＝13.(2)設中位數為x，則0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，解得x＝62.5.(3)0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64.解析設成績的70%分位數為x，9.某年級120名學生在一次百米測試中，成績全部介于13秒與18秒之間.將測試結果分成5組：[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17)，[17，18]，得到如圖所示的頻率分布直方圖.如果從左到右的5個小矩形的面積之比為1∶3∶7∶6∶3，那么成績的70%分位數約為________秒.16.5經計算，兩組的平均分都是80分，請根據所學過的統計知識，進一步判斷這次競賽中哪個組更優秀，并說明理由.解

從不同的角度分析如下：①甲組成績的眾數為90分，乙組成績的眾數為70分，從成績的眾數這一角度看，甲組成績好些.10.一次數學知識競賽中，兩組學生的成績如下：分數5060708090100人數甲組251013146乙組441621212③甲、乙兩組成績的中位數、平均數都是80分，其中甲組成績在80分以上(含80分)的有33人，乙組成績在80分以上(含80分)的有26人，從這一角度看，甲組成績總體較好.④從成績統計表看，甲組成績大于或等于90分的有20人，乙組成績大于或等于90分的有24人，所以乙組成績在高分段的人數多.同時，乙組滿分比甲組多6人，從這一角度看，乙組成績較好.解

因為頻率分布直方圖中最高小長方形所在的區間的中點值為65，所以眾數為65，又因為第一個小長方形的面積為0.3，第二個小長方形的面積是0.4，0.3＋0.4＞0.5，所以中位數在第二組，設中位數為x，則0.3＋(x－60)×0.04＝0.5，解得x＝65，所以中位數為65.11.某中學舉行電腦知識競賽，現將參賽學生的成績進行整理后分成五組繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求參賽學生的成績的眾數、中位數；(2)求參賽學生的平均成績.解

依題意，可得平均成績為(55×0.030＋65×0.040＋75×0.015＋85×0.010＋95×0.005)×10＝67，所以參賽學生的平均成績為67分.A.甲的邏輯推理能力指標值優于乙的邏輯推理能力指標值B.甲的數學建模能力指標值優于乙的直觀想象能力指標值C.乙的六維能力指標值整體水平優于甲的六維能力指標值整體水平D.甲的數學運算能力指標值優于甲的直觀想象能力指標值12.(多選)為比較甲、乙兩名學生的數學學科素養的各項能力指標值(滿分為5分，分值高者為優)，繪制了如圖所示的六維能力雷達圖，例如圖中甲的數學抽象指標值為4，乙的數學抽象指標值為5，則下面敘述正確的是(

)AC解析對于A，甲的邏輯推理能力指標值為4，乙的邏輯推理能力指標值為3，故A正確；對于B，甲的數學建模能力指標值為3，乙的直觀想象力指標值為5，故B錯誤；對于D，甲的數學運算能力指標值為4，甲的直觀想象能力指標值為5，故D錯誤.13.氣象意義上從春季進入夏季的標志為：“連續5天的日平均溫度均不低于22℃”，現有甲、乙、丙三地連續5天的日平均溫度的記錄數據(記錄數據都是正整數)： ①甲地：5個數據的中位數為24，眾數為22； ②乙地：5個數據的中位數為27，總體均值為24； ③丙地：5個數據中有一個數據是32，總體均值為26，總體方差為10.8.

則肯定進入夏季的地區的序號為______