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備戰2021年中考數學全真模擬卷?1月卷

第一模擬

注意事項：

本試卷滿分130分，考試時間120分鐘，試題共28題.答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自

己的姓名、班級等信息填寫在試卷規定的位置.

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.（2020秋?南京期末）-2021的倒數為（）

【分析】直接利用倒數的定義分析得出答案.

【解答】解：-2021的倒數為：

2021

故選：A.

【知識點】倒數

2.（2020秋?撫順縣期末）一種花瓣的花粉顆粒直徑用科學記數法表示為6.5X10,這個數用小數表示為

（）

A.0.00065B.0.000065C.0.0000065D.0.00000065

【分析】把6.5的小數點向左移動6位即可求解.

【解答】解：6.5X106,這個數用小數表示為0.0000065.

故選：C.

【知識點】科學記數法一原數、科學記數法一表示較小的數

3.（2010秋?南川區期末）化簡：（-/）一代（一層）］的結果是（）

A.2h2-a2B.-a2C.a2D.cr-Hr

【分析】根據去括號的法則計算即可.

【解答】解：-［-（-t?）-m-什（-/）］=-（a2-/）-（-b1'）--a1+lr+b2=2b2-a2

故選：A.

【知識點】去括號與添括號

4.（2018春?越秀區校級期中）如果3/廠2"-4式小+12=0是關于x、y的二元一次方程，那么相、”的值分

別為（）

A.m=2,〃=3B.m=2,〃=1C.m=-1,n=2D.m=3,〃=4

【分析】利用二元一次方程的定義判斷即可.

【解答】解：：3552〃-4）尸［"+12=0是關于工、.丫的二元一次方程,

.f3m-2n=l

1n-m=1

m=3

解得:>

n=4

故選：D.

【知識點】二元一次方程的定義

5.（2020秋?二道區期末）如圖，在△ABC中，NB=80°,NC=30°.若△ABC絲ZDAC=35°,

則/E4C的度數為（)

B.35°C.30°D.25°

【分析】利用全等三角形的性質可得NBAC=/OAE,再利用三角形內角和可得NBAC的度數，然后可得

答案.

【解答】解：；/8=80°,NC=30°,

...NBAC=180°-80°-30°=70°,

,//XABC^/XADE,

：.ZBAC=ZDAE,

:.NBAC-NDAC=NDAE-ZDAC,

：.ZEAC=ZBAD=10°-35°=35°,

故選：B.

【知識點】全等三角形的性質

6.（2020秋?香坊區期末）如圖，以△ABC的邊A8、AC為邊向外作等邊△A8Q與等邊△ACE,連接BE交

0c于點F,下列結論：①C￡>=BE；②以平分/OFE；③/8FC=120°；④繪延”=黑.其中正確

^AEFCFC

的有（）

D

B

A.4個B.3個C.2個D.1個

【分析】由“SAS”可證△AOC絲ZVIBE,由全等三角形的性質可推出①②③正確，利用三角形的面積公

式可判斷④正確.

【解答】解：過點4作4M，。。于用，ANLBE于N,過點C作C77LBE于4，

D

V/\ABD,△ACE都是等邊三角形，

：.AD=AB,AE=AC,ND48=NEAC=60°,

ZDAC=NBAE,

在△4OC和△ABE中，

'AD=AB

<ZDAC=ZBAE.

AC=AE

AAADC^AABE(SAS),

:.CD=BE,ZAEB=ZACD,故①正確

：.AM=AN,

?.?4M_LC￡>于M,AN1BE于N,

平分NOFE,故②正確，

,/ZAEB^ZACD,

：.ZAEC+ZACE^120°=ZAEB+ZBEC+ZACE,

：.ZACF+ZBEC+ZACE=120°,

：.ZBFC=\20°,故③正確,

：.ZDFE=120°,

ZDM=ZEM=60°=NCFE,

'：AN1.BE,CHIEF,

:.NFAN=NFCH=30°,

:.AF=2FN,AN=MFN,FC=2FH,HC=gFN,

：.AN=J^-AF,HC=?FC,

22

C7-XEFXAN

二學迎=:----------=黑，故④正確，

SAEFCyXEFXCHFC

故選：A.

【知識點】等邊三角形的性質、角平分線的性質、全等三角形的判定與性質

7.（2020秋?吳興區期末）如圖，將邊長為6的正六邊形4BCDEF沿HG折疊，點B恰好落在邊A尸的中點

上，延長8'C交所于點M,則C'M的長為（）

【分析】過點”作曲延長的垂線“Q,設A”=x,可得AQ=*x,QH=J^-x,可得BH=B'H=AB-AH

=6-x,由A8'=^AB=3,可得8'Q=B'A+AQ=3+^x,在中，根據勾股定理即

可得x的值，再證明△AB'Ms^FMB',對應邊成比例即可求出結果.

【解答】解：如圖，過點〃作布延長的垂線”。，

；NBAF=120°,

...N/M0=6O°,N〃QA=90°,

AZAHQ=30°,

設AH=x,，4。=當，。"=亞x,

22

H=AB-AH=6-x,

=—AB=3,

2

：.B'Q=B'A+AQ=3+志，

在RtZkB'"Q中，根據勾股定理，得

B'H2=B'Q1+QH2,

(6-x)~=(3+—x)2+—x2,

24

解得x=1,

5

91

：.B'H=6-x^—,

6

■：ZHAB1=NF=NHB'M=120°,

：.AAHB'+ZAB'H=60°,NFB'M+ZAB'H=60°,

：.ZAHB'=NFB'M,

.'.△AB'Ms^FMB',

?B7HAH

「B，ICB，F'

219

."T_~5

?丁M丁

解得8'M=7,

：.CM=B'M-B'C'=7-6=1.

故選:A.

【知識點】翻折變換(折疊問題)、正多邊形和圓

8.（2020春?巴馬縣期末）如圖，一次函數》=辦+8與一次函數），2=日+4的圖象交于點尸（1,3）,則下列

說法正確的個數是（）

①x=l是方程ox+b=3的一個解；

②方程組（Xax+b的解是卜=3；

（y=kx+4Iy=l

③不等式ax+h>kx+4的解集是x>1；

④不等式ax+b<loc+4<4的解集是0VxV1.

丫2=foc+4y

y,=ax~b

【分析】根據函數圖象可以宜接作出判斷.

【解答】解：①如圖所示，一次函數yi=ac+6與一次函數”=心，+4的圖象交于點P(1,3).則點?(1,3)

位于直線》=依+6上，所以x=l是方程數+6=3的一個解，故①說法正確.

②如圖所示，一次函數yi=ax+b與一次函數>2=履+4的圖象交于點P(1,3),則方程組1片2“+5

y=kx+4

的解是｛x：；,故②說法錯誤.

③如圖所示，一次函數yi=or+6與一次函數”=6+4的圖象交于點P(1,3),則不等式ax+￡>

>辰+4的解集是x>l,故③說法正確.

④如圖所示，一次函數yi=ox+〃與一次函數y2=履+4的圖象交于點P(1,3),且宜線以=h+4

與y軸的交點是(0,4),則不等式分+b<依+4<4的解集是0<x<l,故④說法正確.

綜上所述，說法正確的個數是3,

故選：C.

丫2=Ax+4y

y,=ax-b

【知識點】一次函數與二元一次方程(組)、一次函數與一元一次不等式、一次函數的性質

9.(2020秋?豐南區期中)如圖，一段拋物線：y=-x(x-3)(0?),記為G，它與x軸交于點。,

Ai；將Ci繞點Ai旋轉180°得C2,交x軸于點A2；將C2繞點4旋轉180°得C3,交x軸于點A3;…,

如此進行下去，直至得C”.若P(32,在第11段拋物線Cu上，則機值為()

A.2B.1.5C.-2D.-2.25

【分析】求出拋物線G與x軸的交點坐標，觀察圖形可知第奇數號拋物線都在x軸上方，然后求出到拋物

線?3平移的距離，再根據向右平移橫坐標加表示出拋物線Cu的解析式，然后把點P的坐標代入

計算即可得解.

【解答】解：令y=0,則-x(x-3)=0,

解得笛=0,*2=3,

二4(3,0),

由圖可知，拋物線Cu在x軸上方，

相當于拋物線G向右平移6X5=30個單位得到，

拋物線CH的解析式為y=-(x-30)(x-30-3)—■(x-30)(x-33),

'：P(32,m)在第11段拋物線Cu上，

：.m=-(32-30)(32-33)=2.

故選：A.

【知識點】二次函數圖象上點的坐標特征、二次函數圖象與幾何變換、拋物線與x軸的交點、二次函數的

性質

10.(2020?青山區模擬)已知。。的半徑為2,A為圓內一定點，AO=l.P為圓上一動點，以AP為邊作等

腰△APG,AP=PG,ZAPG=U0Q,0G的最大值為（）

C.2+V3D.2M-1

【分析】如圖，將線段0A繞點。順時針旋轉120°得到線段OT,連接47,GT,OP.則40=07=1,AT

=、乃，利用相似三角形的性質求出GT,再根據三角形的三邊關系解決問題即可，

【解答】解：如圖，將線段OA繞點。順時針旋轉120°得到線段07,連接4T,GT,OP.則AO=OT=1,

AT=心

,：/\AOT,/XAPG都是頂角為120°的等腰三角形,

：.ZOAT=ZPAG=3Q°,

pAPA/3

：.ZOAP^ZTAG,==2

ATAG

?OAAL

,?瓦=「而’

：./\OAP^/\TAG,

二型=怨=返，?/op=2,

TGTA3

：.TG=2y/3,

'：OG^OT+GT,

，OGW1+26

；.OG的最大值為1+2?,

故選：B.

【知識點】等腰三角形的性質、圓周角定理

二、填空題(本大題共8小題，每小題3分，共24分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上)

11.(2020春?番禺區校級月考)分解因式：a/-4a=.

【分析】直接找出公因式“，進而提取公因式得出答案.

【解答】解：ab3-4a=a(b3-4).

故答案為：a(〃-4).

【知識點】因式分解-提公因式法

12.(2020秋?武侯區校級期中)已知實數a滿足4a-2021+12020-a|=a,則a-2020』.

【分析】根據二次根式有意義的條件得到。》2021,根據絕對值的性質化簡得到“=202()2+2021,把。的值

代入所求的式子計算,得到答案.

【解答】解：要使Ua-2021有意義,則〃-2021》0,

解得，。》2021,

?Wa-2021+a-2020=。，

???■-2021=2020,

；.4=20202+2021,

：.a-202()2=2021,

故答案為:2021.

【知識點】二次根式有意義的條件、實數的運算

13.（2020春?甘井子區期末）如圖，A8〃C￡）,/FG8=150°,FG平分NE"）,則NAEF的度數等于

【分析】利用平行線的性質計算出/GF￡＞的度數，進而可得/EFD的度數，然后再利用平行線的性質可得

答案.

【解答】解：,：AB//CD,NFGB=150°,

：.ZGFD=30°,

■:FG平令乙EFD,

:.NEFD=60°,

'CAB//CD,

；.NAEF=NEFD=60°,

故答案為：60.

【知識點】平行線的性質

14.（2020秋?海淀區校級月考）如圖，梯形ABC。中，AB//CD,A8=A￡）=14,BC=18,CO=34,/4、

NO的角平分線交于點E,NB、NC的角平分線交于片則EF=.

【分析】延長AE交CD于G,延長8尸交CD于4，根據平行線的性質、角平分線的定義得到ND4G=N

AGD,根據等腰三角形的判定定理得到OG=A￡＞,根據等腰三角形的性質得到AE=EG,同理得到

8F=尸”，根據梯形中位線定理計算，得到答案.

【解答】解：延長4E交C￡＞于G,延長8/交。。于H,

'JAB//CD,

J.ZBAG^ZAGD,

平分/BAO,

：.ZBAG=ZDAG,

：.ZDAG=ZAGD,

：.DG=AD=\4,

?.例平分/57，

J.AE^EG,

同理，CH=BC=18,BF=FH,

:.GH=DC-DG-CH=2,

"：AE=EG,BF=FH,

：.EF=—X(AB+GH)=—X(14+2)=8,

22

【知識點】梯形

15.（2020秋?大邑縣期中）己知“、蟲c滿足一L=——=^=h從下列四點：①（1,A）.②（2,

a+cc+ba+b2

1）；③（1,-小；@（L7）,中任意取一點恰好在正比例函數尸質圖象上的概率是—.

【分析】根據。、b、。滿足上=-—=，一=%,可求出k的值，再判斷四個點中在正比例函數y=h圖

a+cc+ba+b

象上的情況，進而求出概率即可.

【解答】解：???衛-=」-=-^=上

a+cb+ca+b

?

a+b+c------l.r

a+c+b+c+a+b

2

當％=微■時，正比例函數y=*x,

下列：①（1，*）；②（2,1）；③（1,-y）；④（1,-1）四個點中，

只有點①（1,*）在正比例函數尸點的圖象上，

?.?產p仔取也恰好在正比例函數）?=心圖象：.-_----1-

4

故答案為：-y.

4

【知識點】一次函數圖象上點的坐標特征、概率公式

16.（2021?虹口區一模）如圖，圖中提供了一種求cotl5°的方法.作RtZXABC,使NC=90°,NABC=30°,

再延長C8到點O,使80=84,聯結AD,即可得/。=15°.如果設4c=r,則可得C￡>=（2+?）r,

那么cotl5°=cotQ="g=2+J5.運用以上方法，可求得cot22.5°的值是.

Av

D匚

B

【分析】利用題中的方法構建一個RtAAZJC,使/￡>=22.5°,然后利用余切的定義求解.

【解答】解：作RlZVlBC,使/C=90°,/48C=45°,再延長CB到點。，使8O=BA,聯結

■:AB=BD,

：.ZBAD=ZD,

"：NABC=NBAD+ND,

ZD=—ZABC=22.5°,

2

設AC=f,則BC=f,AB=?t,

：.CD=BC+BD=t+y[2t=（V2+Dt,

在RtAADC中，cot￡>=絲=-蟲+1）弋=&+1,

.".cot22,5°=V2+1.

故答案為圾+1.

【知識點】含30度角的直角三角形、解直角三角形

17.（2020秋?涪城區月考）如圖，拋物線y=Y-尊v+5與x軸分別交于A、B兩點（點A在點B的左側），

Oo

與），軸交于C,在其對稱軸上有一動點俯，連接AM、MC,AC,則當△MAC的周長最小時?，點M的坐

標是-.

【分析】點A關于函數對稱軸的對稱點為點8,連接C8交函數對稱軸于點M,則點M為所求點，即可求

解.

【解答】解：點A關于函數對稱軸的對稱點為點8,連接CB交函數對稱軸于點例，則點M為所求點，

理由：連接AC,由點的對稱性知，MA=MB,

△MAC的周K=AC+MA+yWC=AC+M8+MC=CA+BC為最小，

令了二會2--^金+5=0,解得x=l或3,令x=0,則y=5,

oo

故點A、B、C的坐標分別為(1,0)、(3,0)、(0,5),

則函數的對"稱軸為x=￡(1+3)—2,

設直線8c的表達式為y=fcr+b,則|°=3k+b,解得|卜二萬，

1b=5b=5

故直線BC的表達式為尸-疑5,

RR

當x—2時，y=-?X+5=K

33

R

故點A7的坐標為(2,y).

【知識點】二次函數的最值、二次函數的性質、軸對稱-最短路線問題、拋物線與x軸的交點

18.(2020?浙江自主招生)如圖，在Rt^ABC中，ZABC=90°,以CB為半徑作OC,交AC于點。，交

AC的延長線于點E,連結8￡),BE.若黑=/，N8AC的平分線AF=2,則0C的半徑為___.

BC3

【分析】先證明再根據A8：8c=4：3,可設A8=4,BC=3,求出AC的值，再利用(I)

中結論可得A82=4Z>4E,進而求出AE的值，所以tanE=2D=￡殳，設A8=4x,8c=3x,由于

BEAE

已知4尸的值，構造直角三角形后利用勾股定理列方程求出x的值，即可知道半徑3x的值.

【解答】解：?.?NABC=90°,

/.ZABD=90°-ZDBC,

由題意知：/)E是直徑，

:.NDBE=90°,

:.NE=90°-NBDE,

*：BC=CD,

:.NDBC=ZBDE,

：.ZABD^ZE,

；NA=N4,

'：AB：BC=4：3,

.?.設AB=4,BC=3,

/MC=VAB2+BC2=5,

“：BC=CD=3,

J.AD^AC-CD^5-3=2,

,?△A8QSZ\AEB,

,,AEAB^BE'

:.AB2=AD-AE,

.?.42=2AE,

：.AE=S,

在RlADBE中

「AB：BC=4：3,

，設AB=4x,BC=3x,

，由上可知；AE=Sx,AD=2x,

：.DE=AE-AD=6x,

尸平分N54C,

.BF_AB

??麗-AE'

.BF4X=1

，-EF=8x2,

?；tanE=—,

2

cosE--'^-,sin￡=^-^-,

55

BE_275

1一,

DE5

12恒

BE=■A,

5

EF=ZBE=MAX,

35

sin￡=—=2^,

EF5

MF=^x,

5

tanE=—,

2

5

AM=AE-ME=—24x,

5

AF2=AM2+MF2,

)2+(之)2,

5

8

OC的半徑為：3x=g叵.

8

【知識點】圓的綜合題

三、解答題(本大題共10小題，共76分.請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過

程或演算步驟)

19.(2020春?漂水區期末)因式分解：

(1)a3-2a2+a；

(2)4a2(2x-y)+b2(y-2x).

【分析】(1)先提公因式”，再利用完全平方公式進行因式分解即可；

(2)先提公因式(2r-y),再利用平方差公式進行因式分解即可；

【解答】解：(1)原式=a(a2-2a+\)=a(a-1)2,

(2)原式=(2r-y)(4a2-b2)=(2x-y)(2a+b)(,2a-b).

【知識點】提公因式法與公式法的綜合運用

20.(2020秋?金水區校級期中)解下列方程：

(1)4f-8x-3=0；

(2)(x+4)2=5(x+4).

【分析】(1)利用配方法解出方程；

(2)利用提公因式法解出方程.

【解答】解：(1)4X2-8X-3=0,

移項，得f-2x=W，

配方，得f-2x+l=W+1,

4

則(X-1)2=±2/Z,

_2

.'.x=±2ZZ+i,

2_

/.Xl=-^^-+1,X2=^-+\;

22

(2)(x+4)2=5(x+4),

移項，得(x+4)2-5(x+4)=0,

(x+4)(x+4-5)=0,

(x+4)(x-1)=0,

：.X\=-4,X2=l.

【知識點】解一元二次方程-配方法、解一元二次方程-因式分解法

21.(2020?鎮江)(1)解方程：2-=」一+1；

x+3x+3

4x+2>x-7,

(2)解不等式組:

3(x-2)<4+x.

【分析】(1)解分式方程的步驟有：去分母，去括號，移項，合并同類項，系數化為1,檢驗；

(2)先求出每個不等式的解集，再在數軸上表示出其解集，然后根據是否存在公共部分求解即

可.

2x=l+x+3,

2x-x=1+3,

x=4,

經檢驗，x=4是原方程的解,

???此方程的解是x=4；

‘4x+2>x-7①

(2)〈/、/-，

3(x-2)<4+x②

①4x-x>-2-7,

3x>-9,

x>-3；

②3x-6<4+x,

3x-x<4+6>

2x<10,

x<5,

不等式組的解集是-3<x<5.

【知識點】解分式方程、解一元一次不等式組

22.(2020秋?鹽湖區期末)運城市對市民開展了有關霧霾的調查問卷，調查內容是“你認為哪種措施治理

霧霾最有效”，有以下四個選項：

4綠化造林&汽車限行C：拆除燃煤小鍋爐》使用清潔能源.

調查過程隨機抽取了部分市民進行調查，并將調查結果繪制了兩幅不完整的統計圖，請回答下列問題：

(1)這次被調查的市民共有多少人？

(2)請你將統計圖1補充完整.

(3)求圖2中。項目對應的扇形的圓心角的度數.

(4)請你結合自己的實際情況對有效治理霧霾提幾點建議.(至少寫一條)

人數人

圖1圖2

【分析】(1)從兩個統計圖可得，“A組”的有20人，占調查人數的10%,可求出調查人數;

(2)求出“C組”人數，即可補全條形統計圖：

(3)樣本中，“。組”占黑，因此圓心角占360。的黑，可求出度數；

200200

(4)從減少尾氣排放、增加植樹造林等方面提出意見和建議..

【解答】解：(1)20?10%=200(人)，

答：本次調查的人數為200人；

(2)200-20-80-40=60,補全條形統計圖如圖所示：

40

(3)360°X3-=72°,

200

答：圖2中。項目對應的扇形的圓心角的度數為72°；

(4)①建議綠色出行，盡量乘坐公共交通工具上班，減少開車的次數,

②加強植樹造林，增加綠化面積，提高綠化率，還綠水青山.

圖1

【知識點】條形統計圖、調查收集數據的過程與方法、扇形統計圖

23.(2020春?市南區期末)某商場為了吸引顧客，設立了一個如圖可以自由轉動的轉盤，并規定：顧客每

購買30元的商品就能獲得一次轉動轉盤的機會.如果轉盤停止后，指針正好對準紅、綠或黃色區域，顧

客就可以獲得100元、50元，20元的購物券，(轉盤被等分成20個扇形)，已知甲顧客購物320元

(1)他獲得購物券的概率是多少？

(2)他得到100元、50元、20元購物券的概率分別是多少？

(3)若要讓獲得20元購物券的概率變為告，則轉盤的顏色部分怎樣修改？請說明理由.

5

【分析】(1)根據題意直接利用概率公式求出答案；

(2)根據題意直接利用概率公式求出答案；

(3)利用概率公式找到改變方案即可.

【解答】解：(1)???共有20種等可能事件，其中滿足條件的有11種,

：.P(獲得購物券)=聶

20

（2）由題意得：共有20種等可能結果，其中獲100元購物券的有2種，獲得50元購物券的有

4種，獲得20元購物券的有5種，

=2=工

：.P（獲得100元）~20-10

P（獲得50元）=20"S-：

旦=工

P（獲得20元）=20-T

（3）直接將3個無色扇形涂為黃色.

【知識點】概率公式

24.（2020秋?芝景區期中）在“停課不停學”期間，小明用電腦在線上課，圖①是他的電腦液晶顯示器的

側面圖，顯示屏A8可以繞。點旋轉一定角度，圖②是平面示意圖.研究表明：當眼睛E與顯示屏頂端

A在同一水平線上｛AE//CD'）,且望向顯示器屏幕中心形成一個18°俯角（即點尸是AB中點，ZAEP

=18°）時，對保護眼睛比較好，而且顯示屏頂端A與底座C的連線AC與水平線垂直時，觀看屏

幕最舒適，此時測得N8CD=30°,ZAPE=90°,液晶顯示屏的寬A8為32c〃?.（參考數據：sinl8°-

0.31,cosl8°入0.95,正亡1.41,?七1.73）

（1）求眼睛E與顯示屏頂端4的水平距離AE；（結果精確到0.1c%）

（2）求顯示屏頂端A與底座C的距離AC.（結果精確到0.1c機）

【分析】（1）由己知得根據銳角三角函數即可求出眼睛E與顯示屏頂端A的水平

距離AE；

（2）如圖，過點8作4c于點F,根據銳角三角函數求出AF和BF的長，進而求出顯示

屏頂端4與底座C的距離AC.

【解答】解：（1）由已知得

在RtAAPE't1,

AP

VsinZAEP=—,

AE

碧-3.3皿

""sin/AEPsinl80.3

答：眼睛E與顯示屏頂端A的水平距離AE約為53.3o%;

(2)如圖，過點3作引UAC于點立

VZEAB+ZBAF=90°,NEAB+NA"=90°,

：.ZBAF=ZAEP=\S°,

在RtZ\A8/中，

4尸=A8?cosN8A尸=32Xcos180-32X0.95*30.4,

BF=AB-sinZBAF=32Xsinl8°^32X0.31^9.92,

■:BF//CD,

：.ZCBF=ZBCD=30°,

CF=B/-'.tanZCBF=9.92Xtan300=9.92X返=5.72,

3

."C=A尸+C尸=30.4+5.72=36.1(cm).

答：顯示屏頂端A與底座C的距離AC約為36.1CM.

【知識點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題

25.(2020秋?香坊區期末)已知：等邊△ABC,點。為AC上一點，DF±BC,垂足為點F,點、E為BC延

長線上一點，分別連接。8、DE,AD=CE.

(I)如圖1,AD^CD,求證：BF=EF：

(2)如圖2,點G為BC中點，連接OG,若AD=CD,在不添加任何輔助線的情況下,請直接寫出圖

中所有是△OFG面積二倍的三角形.

【分析】(I)作。M〃8c交A8于例，根據等邊三角形的性質得/4=/4&?=/4。8=60°,AB=AC,

則N￡>CE=120°,由。歷〃BC得乙4Mo=60°,可證△4MO為等邊三角形，則4￡>=DW=4例，

而4C=CE,則。M=EC,所以MB=OC,利用“S4S”可判斷絲△￡>",則BD=￡)E,然

后根據等腰三角形的性質由OFLBC得到BF=EF；

(2)由直角三角形的性質和等邊三角形的性質可得BG=GC=2CF=AD=CE,由三角形的面

積公式可求解.

【解答】證明：作QM〃BC交A8于M,如圖，

???△ABC為等邊三角形，

：.ZA=ZABC=ZACB=60°,AB=AC,

...NOCE=120°,

'JDM//BC,

/.Z4MD=60°,

；./BMD=120°,△AMO為等邊三角形，

：.AD=DM^AM,

'：AD=CE,

：.DM=EC,

：.AB-AM=AC-AD,

：.MB=DC,

在△BMC和△OCE中，

rIB=DC

<ZBMD=ZDCE,

DM=CE

：./\BMD^ADCE(SAS),

：.BD=DE,

而DFLBC,

：.BF=EF；

(2),JAD^CD,△ABC是等邊三角形，

J.BDLAC,NABD=NCBD=30°,

；.BC=2CD,

,：ZACB=60Q,DFLBC,

：.ZCDF=30°,

：.CD=2CF,

：.BC=4CF,BF=3CF,

???G是BC中點，

BG=GC=2CF=AD=CE,

：.ADGC,ADBG,△0CE的面積是△。尸G面積的二倍.

【知識點】等邊三角形的性質、含30度角的直角三角形、全等三角形的判定與性質

26.(2020秋?南沙區期中)如圖，在正方形ABC。中，E、尸分別是邊CZX8c上的兩點，且/區4Q=45°,

AE、AF分別交正方形的對角線8。于G、”兩點，將△AOE繞點4順時針旋轉90°后，得到△ABQ,

連接EF.

(1)求證：以平分NQAE.

(2)求證：EF=BF+DE.

(3)試試探索84、HG、GO三條線段間的數量關系，并加以說明.

【分析】(1)將△4OE繞點A順時針旋轉90°得到△A8。，根據旋轉的性質可得/34。=/D4E,則可得

出結論；

(2)先判斷出點Q、8、F三點共線，然后利用“邊角邊”證明△AEF和△AQF全等，根據全

等三角形對應邊相等可得EF=QF,再根據QF=8Q+BF等量代換即可得證.

(3)把△A8“繞點A逆時針旋轉90°得到△AOM.連結GM.證明△A”G絲ZXAMG(SAS),

由全等三角形的性質得出MG=HG.求出NGDM=90°,由勾股定理就可以得出結論HG2=

GE^+BH1.

【解答】(1)證明：將△ADE繞點A順時針旋轉90°得到△A8Q,此時A8與AO重合，

由旋轉可得：ZBAQ^ZDAE,

：NE4F=45°,

：.ZDAE+ZBAF=ZBAD-ZEAF=90Q-45°=45°,

ZBAQ=ZDAE,

：.ZBAQ+ZBAF=45a,

即月

：.FA平分/04E.

(2)證明：?.?將△月。E繞點4順時針旋轉90°得到△ABQ,此時AB與AO重合，

：.AB^AD,BQ=DE,/ABQ=/￡>=90°,

：.ZABQ+ZABF=900+90°=180°,

因此，點。，B,F在同一條直線上，

'：AQ=AE,ZQAF=ZEAF,AF=AF,

:.△QM:9l\EAF(SAS),

：.QF=EF,

:.EF=BF+DE；

(3)解：BH、HG、GO三條線段間的數量關系為〃G2=Gr>2+8〃2.

證明：如圖，在正方形48c力中，A8=AO,N8AO=90°,

/.ZABH=ZADG=45°.

把△4BH繞點A逆時針旋轉90"得到連結GM.

:.DM=BH,AM^AH,/A￡)M=/A3H=45°,NDAM=NBAH.

ZADB+ZADM=45°+45°=90°,

即NGZ)M=90°.

VZEAF=45°,

...N544+/D4G=45°,

.../￡>AM+NZME=45°,

即NMAG=45°,

，/MAG=ZHAG.

在△A/7G和aAMG中，

fAH=AM

</HAG=/MAG，

AG=AG

.?.△4HG絲△AMG(SAS),

:.MG=HG.

'：ZGDM=9QQ,

：.MG2^GD2+DM2,

:.HG2^GD2+BH2.

【知識點】四邊形綜合題

27.(2020秋?東海縣期中)【問題情境】如圖1,C,。是/AOB的邊OA上兩點，在邊08上找一點P,使

得NCPQ最大.

【問題解決】小明在解決這個問題時認為：如圖2,同時過C、。兩點的圓與OB邊相切于點P,當且僅

當取此切點時，/CPO才最大.

（1）小明證明自己結論的思路是：在射線。8上任取另一點P1（不同于切點P）,證明

即可請完成小明的證明；

【結論應用】請和小明一起，利用“問題情境”的結論解決下列問題：

（2）如圖3,一幢樓BC上有一高為2m的信號塔A8,當觀測點E在水平地面C。上，且滿足CE=6萬

時，看信號塔A3的視角（即/AEB）最大，求樓高8C；

（3）如圖4,四邊形ABC￡>中，/4=/B=90°,ZBCD=60°,BC=9,對角線AC平分NBCD點

E是8C上一點，請問當8E的長滿足什么條件時，在線段4。上恰好只存在一點P,使得NBPE=60。?

（直接寫出結果，不必寫出解答過程）

【分析】（l）NCPD=NCED,ZCED>ZCP}D,即可求解；

（2）證明OECF為矩形，以0為圓心08為半徑的圓0,必與C。切于點E,則0B=0E,得

到8F=1；在直角三角形08尸中，有0丹2=8尸+。尸，即（］+x）2=（6/而產+1,即可求解；

（3）①當以BE為弦的圓與AQ相切時，符合題設要求，得到解得r

=2退，進而求解；②如圖4,當以8E為弦的圓過點C時，符合題設要求，即點P、Z）重合，

進而求解；③