10版數學《高中全程復習方略》（提升版）人教A版五十一兩條直線的位置關系五十一兩條直線的位置關系(時間:45分鐘分值:95分)【基礎落實練】1.(5分)(2024·濰坊模擬)已知三角形的三個頂點A(2,4),B(3,-6),C(5,2),則BC邊上中線的長為()A.210 B.10 C.112 D.310【解析】選A.設BC的中點為D(x,y),由中點坐標公式得x=3+52所以AD=(4-2)22.(5分)已知直線l1:2x-y+1=0,l2:x+ay-1=0,且l1⊥l2,則點P(1,2)到直線l2的距離d等于()A.55 B.255 C.35【解析】選D.由l1⊥l2可得2×1-1·a=0,即a=2,故d=|1+2×2-1【加練備選】(2024·深圳模擬)直線l1:mx-y+1=0,l2:(3m-2)x+my-2=0,若l1⊥l2,則實數m的值為()A.0 B.1C.0或1 D.13【解析】選C.l1⊥l2?m(3m-2)-m=0,即m2-m=0,解得m=0或m=1.3.(5分)(2024·南昌模擬)已知直線l1:x+ay-2=0,l2:(a+1)x-ay+1=0,若p:l1∥l2;q:a=-2,則p是q的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選B.若l1∥l2,則1×(-a)-a(a+1)=0,解得a=0或a=-2,經檢驗,符合題意.所以pq,q?p,所以p是q的必要不充分條件.4.(5分)直線ax+y+3a-1=0恒過定點N,則直線2x+3y-6=0關于點N對稱的直線方程為()A.2x+3y-12=0 B.2x+3y+12=0C.2x-3y+12=0 D.2x-3y-12=0【解析】選B.由ax+y+3a-1=0可得a(x+3)+y-1=0.令x+3=0,y-1=0所以N(-3,1).設直線2x+3y-6=0關于點N對稱的直線方程為2x+3y+c=0(c≠-6),則|-6+3-6解得c=12或c=-6(舍去).故所求直線方程為2x+3y+12=0.5.(5分)(多選題)已知A(2,4)與B(3,3)到直線l的距離相等,則直線l的方程為()A.x+y=0 B.x-y=0C.x+y-6=0 D.x-y+1=0【解析】選ACD.因為A(2,4)與B(3,3)的中點為(52,72),且kAB=4-32-3一類是過A,B的中點的直線,另一類是與AB平行的直線,顯然x+y-6=0、x-y+1=0過點(52,7直線x+y=0的斜率為-1與AB平行,故A正確;直線x-y=0的斜率為1與AB垂直,且不過點(52,726.(5分)(多選題)已知直線l1:4x-3y+4=0,l2:(m+2)x-(m+1)y+2m+5=0(m∈R),則()A.直線l2過定點(-3,-1)B.當m=1時,l1⊥l2C.當m=2時,l1∥l2D.當l1∥l2時,兩直線l1,l2之間的距離為1【解析】選ACD.因為(m+2)x-(m+1)y+2m+5=0,所以2x-y+5+m(x-y+2)=0,所以2x-所以直線l2過定點(-3,-1),選項A正確;當m=1時,直線l2:3x-2y+7=0,k2=32又因為l1:4x-3y+4=0,所以k1=43,k1k2當m=2時,直線l2:4x-3y+9=0,而l1:4x-3y+4=0,所以兩直線斜率相等,在y軸上的截距不等,所以兩直線平行,此時兩直線之間的距離d=|9-7.(5分)已知兩條直線2x+3y-k=0和x-6y+12=0的交點在y軸上,那么k的值是6.

【解析】由x-6y+12=0可得直線與y軸的交點坐標為(0,2),將點(0,2)代入2x+3y-k=0可得k=6.8.(5分)(2024·揚州模擬)唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說:“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”,即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發,先到河邊飲馬再回到軍營,怎樣走才能使總路程最短?在如圖所示的直角坐標系xOy中,設軍營所在平面區域為{(x,y)|x2+y2≤1},河岸線所在直線方程為2x+2y-5=0,假定將軍從點P(1,12)處出發,只要到達軍營所在區域即回到軍營,當將軍選擇最短路程時,飲馬點A的縱坐標為1514,最短總路程為【解析】設點P(1,12)關于直線2x+2y-5=0的對稱點P'(a,b則b-12所以P'2,32,將軍從P出發到達直線上點A再到營區,因為PA=P'A,所以本題問題轉化為求點P'2,32到營區的最短距離,根據圓的幾何特征可知最短距離為|P'O|-1=22+322-1=3由3x-4y=0故A點的縱坐標為15149.(10分)已知直線l經過直線2x+y-5=0與x-2y=0的交點.(1)點A(5,0)到l的距離為3,求l的方程.(2)求點A(5,0)到l的距離的最大值.【解析】(1)經過兩條已知直線交點的直線系方程為(2x+y-5)+λ(x-2y)=0,即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0.所以|10+5λ即2λ2-5λ+2=0,所以λ=2或12所以l的方程為x=2或4x-3y-5=0.(2)由2x+y-5=0,x設d為點A到l的距離,則d≤|PA|(當l⊥PA時等號成立,其余距離d與PA構成直角三角形,PA為它們的斜邊),所以dmax=|PA|=10.【能力提升練】10.(5分)(2024·福州模擬)已知過點A(-2,m)和點B(m,4)的直線為l1,l2:y=-2x+1,l3:y=-1nx-1n.若l1∥l2,l2⊥l3,則m+n的值為(A.-10 B.-2 C.0 D.8【解析】選A.因為l1∥l2,所以kAB=4-mm+2=-2,解得m=-8,又l2⊥l解得n=-2.所以m+n=-10.11.(5分)美術繪圖中常采用“三庭五眼”作圖法.三庭:將整個臉部按照發際線至眉骨,眉骨至鼻底,鼻底至下頦的范圍分為上庭、中庭、下庭,各占臉長的13,五眼:指臉的寬度比例,以眼形長度為單位,把臉的寬度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如圖,假設三庭中一庭的高度為2cm,五眼中一眼的寬度為1cm,若圖中提供的直線AB近似記為該人像的劉海邊緣,且該人像的鼻尖位于中庭下邊界和第三眼的中點,則該人像鼻尖到劉海邊緣的距離約為(A.524cm B.C.924cm D.【解析】選B.如圖,以鼻尖所在位置為原點O,中庭下邊界為x軸,垂直中庭下邊界且過鼻尖的直線為y軸,建立平面直角坐標系,則A(12,4),B(-3直線AB的方程:y-42整理為x-y+72原點O到直線距離為721+1=712.(5分)數學家歐拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上,且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線.已知△ABC的頂點A(2,0),B(0,1),且|AC|=|BC|,則△ABC的歐拉線的方程為()A.2x+4y-3=0 B.x-2y-3=0C.2x-y-3=0 D.4x-2y-3=0【解析】選D.由|AC|=|BC|及題意可知△ABC的歐拉線即為線段AB的垂直平分線,因為AB的中點為M(1,12),斜率kAB=-12,所以AB垂直平分線的斜率k因此△ABC的歐拉線的方程為y-12=2(x-1),即4x-2y-3=013.(5分)在△ABC中,點A(2,-1),AB邊上中線所在的直線方程為x+3y-6=0,∠ABC的內角平分線所在的直線方程為x-y+1=0,則點B的坐標為(52,72),△ABC的邊BC所在直線的方程為x-9y【解析】設點B(x,y),則x-y+1=0,x+22+3×y-設點A(2,-1)關于x-y+1=0的對稱點A'(m,n),則AA'的中點坐標為(m+22,n-12),于是n+1m則A'(-2,3),所以kA'B=72-3所以直線BC的方程為y-72=19(x-即x-9y+29=0.14.(10分)(2024·寧波模擬)已知兩條直線l1:ax+y+a+1=0,l2:2x+(a-1)y+3=0.(1)若l1,l2不重合,且垂直于同一條直線,求a的值.(2)從①直線l過坐標原點,②直線l在y軸上的截距為2,③直線l與坐標軸形成的三角形的面積為1.這三個條件中選擇一個補充在下面問題中,并作答.若a=0,直線l與l2垂直,且__________,求直線l的方程.

【解析】(1)因為l1,l2不重合,且垂直于同一條直線,所以l1∥l2,所以a(a-1(2)因為a=0,直線l2:2x-y+3=0,其斜率為2,又直線l與l2垂直,所以直線l的斜率為-12選條件①.由直線l過坐標原點,則直線l的方程為y=-12x,即x+2y=0選條件②.由題意設直線l的方程為x+2y+c=0,令x=0,則y=-c2,則-c2=2,即所以直線l的方程為x+2y-4=0.選條件③.由題意設直線l的方程為x+2y+c=0,令x=0,則y=-c2,令y=0,則x=-c所以12×|-c2|×-c=1,解得c=±2,直線l的方程為x+215.(10分)已知A(4,-3),B(2,-1)和直線l:4x+3y-2=0,若坐標平面內存在一點P,使|PA|=|PB|,且點P到直線l的距離為2,求點P的坐標.【解析】設點P的坐標為(a,b),因為A(4,-3),B(2,-1),所以線段AB的中點M的坐標為(3,-2).而AB所在直線的斜率kAB=-3+14-2=-1,所以線段AB的垂直平分線方程為即x-y-5=0.因為點P(a,b)在直線x-y-5=0上,所以a-b-5=0①;又點P(a,b)到直線4x+3y-2=0的距離為2,所以|4即4a+3b-2=±10②.聯立①②,解得a=1,故所求點P的坐標為(1,-4)或(277,-87【素養創新練】16.(5分)已知M(-1,3),N(2,1),點P在x軸上,且使PM+PN取得最小值,則最小值為5,此時點P的坐標為(54,0)【解析】如圖所示:點N關于x軸的對稱點為Q(2,-1),由對稱性可知PN=PQ,所以,PM+PN=PM+PQ≥MQ=(-1當且僅當M,P,Q三點共線時,等號成立,直線MQ的斜率為kMQ=3+1-1-2=-43,直線MQ的方程為y+1=-43(聯立4x+3y即點P(54故當點P的坐標為(54,0)時,PM+PN取得最小值5核心素養測評·拓展拔高練一集合(時間:45分鐘分值:95分)【基礎落實練】1.(5分)(2022·新高考Ⅱ卷)已知集合A={-1,1,2,4},B={x||x-1|≤1},則A∩B=()A.{-1,2} B.{1,2}C.{1,4} D.{-1,4}【解析】選B.B={x|0≤x≤2},故A∩B={1,2}.2.(5分)(2024·大連模擬)已知集合A={1,a2+4a,a-2},-3∈A,則a= ()A.-1 B.-3C.-3或-1 D.3【解析】選B.因為-3∈A,所以-3=a2+4a或-3=a-2,若-3=a2+4a,解得a=-1或a=-3,當a=-1時,a2+4a=a-2=-3,不滿足集合中元素的互異性,故舍去;當a=-3時,集合A={1,-3,-5},滿足題意,故a=-3成立,若-3=a-2,解得a=-1,由上述討論可知,不滿足題意,故舍去,綜上所述,a=-3.3.(5分)(2024·成都模擬)定義:若一個n位正整數的所有數位上數字的n次方和等于這個數本身,則稱這個數是自戀數.已知集合A={4,26,81,153,370},B={x∈A|x是自戀數},則B的子集個數為 ()A.16 B.8 C.4 D.2【解析】選B.因為41=4,所以4是自戀數,因為22+62=40≠26,所以26不是自戀數;因為82+12=65≠81,所以81不是自戀數;因為13+53+33=153,所以153是自戀數;因為33+73+03=370,所以370是自戀數;所以B={4,153,370},則子集個數為23=8.4.(5分)(2024·沈陽模擬)設集合A={x|x(4-x)≥3},B={x|x>a},若A∩B=A,則a的取值范圍是 ()A.(-∞,1] B.(-∞,1)C.(-∞,3] D.(-∞,3)【解析】選B.解不等式x(4-x)≥3,即x2-4x+3≤0,解得1≤x≤3,即A={x|1≤x≤3},因為A∩B=A,且B={x|x>a},則A?B,所以a<1.5.(5分)(多選題)方程組x+y=3x-y=A.(B.(C.{1,2}D.{(1,2)}【解析】選ABD.方程組x+y=3x-y=-1的解為x=1y=2,所以方程組6.(5分)(多選題)(2024·佛山模擬)已知集合A={x|x2-2x-3<0},集合B={x|2x-4<0},則下列關系式正確的是 ()A.A∩B={x|-1<x<2}B.A∪B={x|x≤3}C.A∪(?RB)={x|x>-1}D.A∩(?RB)={x|2≤x<3}【解析】選ACD.由x2-2x-3<0,(x-3)(x+1)<0,解得-1<x<3,所以A={x|-1<x<3};由2x-4<0,解得x<2,所以B={x|x<2}.對于A,A∩B={x|-1<x<2},故A正確;對于B,A∪B={x|x<3},故B錯誤;對于C,?RB={x|x≥2},A∪(?RB)={x|x>-1},故C正確;對于D,由選項C可知?RB={x|x≥2},A∩(?RB)={x|2≤x<3},故D正確.7.(5分)(2024·運城模擬)若集合A={-1,1},B={x|ax=1},且B?A,則實數a取值的集合為__________.

【解析】由B?A,所以集合B可以是{-1},{1},?,當B={-1}時,則-a=1,解得a=-1;當B={1}時,可得a=1;當B=?時,可得a=0;所以a的取值的集合為{-1,1,0}.答案:{-1,0,1}8.(5分)設集合A={-1,1,2},B={a+1,a2-2},若A∩B={-1,2},則a的值為________.

【解析】由題知a+1=a+1=2,a2-2=經檢驗,a=-2和a=1均滿足題意.答案:-2或19.(10分)(2024·徐州模擬)已知a為實數,A={x|9-x3≥8},B={x|2-a≤x≤2a-1}(1)若a=2,求A∩B,?AB;(2)若A∩B=B,求實數a的取值范圍.【解析】(1)因為a=2,由9-x3≥8,得x所以A={x|x≤3},B={x|0≤x≤3},所以A∩B={x|x≤3}∩{x|0≤x≤3}=[0,3],?AB=(-∞,0).(2)因為A∩B=B,所以B?A,由(1)知,A={x|x≤3},當B=?時,2a-1<2-a,解得a<1;當B≠?時,2a-1≥2綜上所述:實數a的取值范圍是(-∞,2].【能力提升練】10.(5分)(多選題)設集合M={x|x=(a+1)2+2,a∈Z},P={y|y=b2-4b+6,b∈N*},則 ()A.P?M B.1?PC.M=P D.M∩P=?【解析】選BC.因為a∈Z,所以a+1∈Z,且(a+1)2+2≥2,即M={x∈N*|x≥2},因為b∈N*,b2-4b+6=(b-2)2+2≥2,所以P={y∈N*|y≥2},所以1?P且M=P.【誤區警示】解答本題的關鍵是對集合P中的元素滿足的等式進行配方變形,否則,不易判斷兩個集合之間的關系,耽誤時間.11.(5分)(多選題)(2024·南充模擬)已知全集U=R,集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1≤x≤2m-1},則使A??UB成立的實數m的取值范圍可能是()A.{m|6≤m≤10}B.{m|-2<m<2}C.{m|-2<m<-12D.{m|5<m≤8}【解析】選BC.①當B=?時,令m+1>2m-1,得m<2,此時?UB=R符合題意;②當B≠?時,m+1≤2m-1,得m≥2,則?UB={x|x<m+1或x>2m-1},因為A??UB,所以m+1>7或2m-1<-2,解得m>6或m<-12因為m≥2,所以m>6.綜上,m的取值范圍為{m|m<2或m>6}.12.(5分)已知全集U={0,1,2,3,4,5,6},集合A={0,2,4,5},集合B={2,3,4,6},用如圖所示的陰影部分表示的集合為__________.

【解析】因為全集U={0,1,2,3,4,5,6},集合A={0,2,4,5},集合B={2,3,4,6},所以A∩B={2,4},A∪B={0,2,3,4,5,6},所以陰影部分的集合為?(A∪B)(A∩B)={0,3,5,6}.答案:{0,3,5,6}13.(5分)已知M,N為R的子集,若M∩(?RN)=?,N={1,2},則滿足題意的M的個數為________.

【解析】因為M∩(?RN)=?,所以M?N,又N={1,2},所以M={1}或M={2}或M=?或M={1,2},故滿足題意的M的個數為4.答案:414.(10分)(2024·深圳模擬)已知A={x|x2-x-6≤0},B={x|a-2<x<3a},全集U=R.(1)若a=2,求A∩(?UB);(2)若B?A,求實數a的取值范圍.【解析】(1)因為A={x|x2-x-6≤0},所以(x-3)(x+2)≤0,解得-2≤x≤3,所以A=[-2,3],當a=2時,B=(0,6),?UB=(-∞,0]∪[6,+∞),所以A∩(?UB)=[-2,0];(2)因為B?A,所以當B=?時,a-2≥3a,解得a≤-1,當B≠?時,a-2≥-所以實數a的取值范圍為(-∞,-1]∪[0,1].15.(10分)已知集合A={x∈N|3x2-13x+4<0},B={x|ax-1≥0}.(1)當a=12時,求A∩B(2)若__________,求實數a的取值范圍.

請從①A∪B=B,②A∩B=?,③A∩(?RB)≠?,這三個條件中選一個填入(2)中橫線處,并完成第(2)問的解答.【解析】(1)由題意得,A={x∈N13<x當a=12時,B=x12x-1≥0={x|x(2)選擇①:因為A∪B=B,所以A?B.當a=0時,B=?,不滿足A?B,舍去;當a>0時,B=xx≥1a,要使則1a≤1,解得a≥1;當a<0時,B=xx≤1a,此時1a<0,A∩B選擇②:當a=0時,B=?,滿足A∩B=?;當a>0時,B=xx≥1a,要使A∩B=?,則1a>3,解得0<a<13;當a<0時,B=xx≤1綜上,實數a的取值范圍為(-∞,13)選擇③:當a=0時,B=?,A∩(?RB)=A≠?,滿足題意;當a>0時,B=xx≥1a,?RB=xx<1a,要使則1a>1,解得0<a當a<0時,B=xx?RB=xx此時A∩(?RB)=A≠?,滿足題意,綜上,實數a的取值范圍為(-∞,1).【加練備選】(2024·葫蘆島模擬)已知集合A={x|x<-3或x>7},B={x|m+1≤x≤2m-1}.(1)若(?RA)∪B=?RA,求m的取值范圍;(2)若(?RA)∩B={x|a≤x≤b},且b-a≥1,求m的取值范圍.【解析】(1)由題意知,?RA={x|-3≤x≤7};因為(?RA)∪B=?RA,所以B?(?RA);①當B=?,即m+1>2m-1時,滿足B?(?RA),此時m<2;②當B≠?時,若B?(?RA),則m+1≤2m-綜上所述,m的取值范圍為{m|m≤4}.(2)因為(?RA)∩B={x|a≤x≤b},b-a≥1,所以B≠?,即m+1≤2m-1,解得:m≥2,所以m+1≥3,2m-1≥3;①當2m-1≤7,即m≤4時,(?RA)∩B=B={x|m+1≤x≤2m-1},所以2m-1-(m+1)≥1,解得:3≤m≤4;②當2m-1>7m+1≤7,即4<m≤6時,(?RA)∩B={x所以7-(m+1)≥1,解