第二章隨機變量及其分布

一、內容提要

(-)隨機變量

1.隨機變量的定義設隨機試驗￡的樣本空間為Q={?},如果對于任意的。eQ,都有唯一

的實數X(。)與之對應,則稱X(。)是定義在樣本空間C上的一個隨機變量。

隨機變量常用大寫字母X,幾Z等表示。

2.隨機變量的兩種主要類型

(1)離散型隨機變量X:X只能取有限個值或可列個值。

(2)連續型隨機變量X:若存在一定義在(-8,+8)內的非負函數網，使對任意的a,b{a<壇,

都有

P[a<XW。}=jp(x)dx,

則稱X為連續型隨機變量。

連續型隨機變量X可取某個有限區間[a,句上或無限區間(-00,+00)內的一切值。

3.隨機變量的分布函數：設X是一隨機變量，則稱函數

F(x)-P[X<x},—oo<x<+<x>

為％的分布函數，它表示事件{X4A)的概率。

(1)分布函數的基本性質

①為非負、單值不減函數，即對任意*1〈及，有片,1)48及);

②F(-^x))-limF(x)=0,F(+oo)=limF(x)=1;

XT-00XT+CO

③04F(x)Wl;

④片M為右連續函數，即對任意x有片x+0)=HM.

這一分布函數的定義，對離散型或連續型隨機變量都適用。

(2)分布函數8用能全面完整地描述隨機變量，是描述隨機變量的重要工具之一。

①對任意6,有P{XW圻=F(b),即X取值不超過任意實數b的概率，等于其分布函數在這

一點的函數值。

②對任意a<b,有P{a<X<例=F(b)-F(a)，即Xe(a,b］的概率等于其分布函數在該區

間上的改變量。

③對任意/?,有尸{X=4=F⑸-F(b-0),即X取任一點的概率，等于其分布函數在該點

的函數值與左極限的差。

(二)離散型隨機變量的概率分布

1.離散型隨機變量的概率分布(或分布列)

設離散型隨機變量X可能取到的值為Xl,X2.................X取各個值的相應的概率為

P{X=xJ=Pk，*=1,2,3,…)，則稱P{X=xj=Pk為X的概率分布。

分布列有時也由表格給出

XAiX2

PPlPl...Pk

2.分布列的基本性質

(1)以20#=1,2，…;

(2)±Pk=L

k=\

3.分布列與分布函數的關系：分布列與分布函數可以相互唯一確定，并都能對隨機變量進行完

整描述：

(1)若已知P{X=xk}=pk,(k=1,2,…)，則X的分布函數為

F(x)=P{X<x}=^pk,-oo<x<+oo;

(2)若已知X的分布函數GM,則的各間斷點就是X的可能值，且

%=P{X=xJ=F(Xk)-F(x「0),k=1,2,….

4.幾種常用的離散型分布

(1)兩點分布(貝努里分布)

P[X=k}=pk(l-p)'-k,k=0,\.

即

X01

P1-pp

(2)二項分布

如果隨機變量X的概率分布為

P{X=4}水=0,1,2,…〃.其中0＜夕＜1,g=l”，則稱X服從參數為夕的二

項分布，記作X~B(〃R).

若用X表示在〃重貝努里試驗中事件/發生的次數，則

X~B^n.p),其中p=RA)。

特別地，當〃=1時，二項分布化為

P{X=k}=pkqi,(k=0,l)

這就是兩點分布(0—1分布).

(3)泊松分布

如果隨機變量X的概率分布為

P{X=%}=^^,d,1,2,…).

則稱X服從參數為入(入>0)的泊松分布，記作x~Ti(x).

泊松定理設隨機變量Xn,(77=L2,...)服從二項分布，其分布為

k

p{xn=k}=c：p：(1-P,y-=0,1,2,??.,/?)

此處?是與〃有關的數.又設np“—+oo),則有

忸P{X”=止4一/

由此定理可見，若x~,則當“較大，。較小時，有近似公式

-2

P{X=曷=C：p"“T?——,(k=0,1,2,…,〃)，其中\=np.

(4)幾何分布

如果隨機變量X的概率分布為

P{X=燈=〃/T,(左=1,2,…).

其中0</?<1,q=l-p,則稱X服從參數為夕的幾何分布。

(5)超幾何分布

如果隨機變量X的概率分布為

其中M,N,〃都是正整數，目ji￡N—M,l=min(M,n),則稱X服從超幾何分布。

(三)連續型隨機變量的密度函數

L*的密度函數：設X為隨機變量，為其分布函數，如果存在非負可積函數AM,使對一

切實數x,有

尸(x)=JLp(t)dt.

則稱/XM為X的概率密度函數。

顯然在AM的連續點x處，有F(M=/XM,這就是密度函數與分布函數之間的關系。

2.密度函數/XM的基本性質：

(1)刖0；

(2)JUp(x)公=1；

⑶P{X1<XW々}=J：P⑺4=尸(々)-F(x,);

px+Av

(4)P[x<X<%+Ax}=JpQ)dt=p(x0)Ax,其中x<x0<x+Ax.

(5)對連續型隨機變量X在任一指定點府處，其概率為零。

即P{X=x0}=0。

3.幾種常用的連續型分布

(1)均勻分布：對有限數a,E(a>母，若X具有密度函數

1

,a<x<b,

P(x)=<b-a

0,其它.

則稱X服從均勻分布，記為X~U[a,b]。

分布函數為

0,x<a,

x-a

尸(x)=a<x<b,

b-a

1,x>b.

顯然雙切20且

0?KC「a1

=

LP（x）公力"一clx10

（2）指數分布：若X具有密度函數

,、及弋x>0,2>0,

p(x)={

0,x<0.

稱X服從參數為人的指數分布。

顯然雙心0

jp(x)dx=J。p(x)dx=1.

分布函數為

l-e-Zt,x>0,

尸（幻=

0,x<0.

指數分布適用于元件壽命、動物壽命、服務時間等實際問題。

(3)正態分布：在理論和實踐中，正態分布都是非常重要的一種分布。

1.一般正態分布

①密度函數：若X具有密度函數

](?/

P(X)=--■一,e，-00<%<+00.

則稱X服從參數為〃，。的正態分布(高斯分布)，記為X~N(%S)

②密度函數的性質：

1)xXM處處連續；

2);XM>0;

3)(p(x)dx=l;

4)曲線關于后〃對稱；

5)p(〃)=I—最大;

72兀o

6)當x=〃±cr時有拐點(〃-a,2—),(//+<7,;

■>j2e7i<j12碇cr

7)漸近線為x軸，即片0;

8)當c固定時，曲線形狀不變，而位置隨p的不同而改變；當口固定，曲線位置不變，但形

狀隨c的不同而改變，。越大曲線越扁平，即分布越分散，。越小，曲線越陡峭，即分布越集中。

③分布函數為

](1“I

F(x)=P{X<x}=-p=-「dt.

n.標準正態分布

①密度函數：若x具有密度函數

1H

夕(%)=e2,-oo<x<+oo.

則稱X服從標準正態分布(高斯分布)，記為X~N(%『)

②密度函數的性質：有與一般正態分布完全類同的性質。

③分布函數

產1--

①(x)=P{X<%}=[,—e2dt.

2兀

(編有專門的標準正態分布函數表，供查用)

對標準正態分布，必須記住：

①(一口)=1—①(。),(1>0)。

60)=1

2

P[a<x<b]=^(p{x}dx=①(0)-①(a).

m.一般正態分布與標準正態分布的關系：

①若x~N（M，/）,則隨機變量y二上幺服從標準正態分布,BPK~/V（O,1）.

（7

②若X~N（M，）,要求P{xt<X<x2}可轉化為求

PP<j<?}.

(J(JCT

其中令y=甚二4

即有p{玉<x</}=p{土二幺<丫<三二"}

aa

=o（^^）-a）（^z2￡）o（查表）

aa

_~“、zX-[IC-LI.w/C-〃、,__I-、

又P[X<c}=P[——-<--}=O(―竺)。(查表)

(Ja(J

P{X>c}=l-P{X<c}=l-P{立幺<絲幺

(TCT

=1-①（匚4）。（查表）

（7

③“三一b"原則：若*~N（〃Q2）,則有

丫=以

P{〃-cr<x<〃+b}0P{-l<y<l}

=①⑴—①(―1)=0(1)-[1-0(1)]

=2①(1)—1=0.6846

P{〃-2b<X<〃+2cr}=2①⑵-1=0.9545

P{〃-3cr<X<〃+3cr}=2①⑶-1=0.9973

(四)隨機變量函數的分布

L隨機變量函數的定義：設是一個實函數，若隨機變量X取值x時，隨機變量卜取值4M,

則稱隨機變量％是X的函數，記作/=/(A)o

如果X的分布已知，則可以確定其函數上4萬的分布。

2.離散型隨機變量函數的分布

設離散型隨機變量X的概率分布"=&￥=},(4=1,2,...),則上不用也為離散型隨機變量，取值

為次""=12...).

(1)若次“)，(攵=1,2...)的值全不相同，則『=42的概率分布為

Y力yk

PP1P2PiPk

(2)若次")，(代1,2,...)的值有相同的，則把那些相等的值分別合并，并用概率加法公式將

相應的概率值相加，即得至!l『的概率分布。例如在諸心,(〃=1,2,...)中，

有y&i=/(x&i)-/(xk2)=…=/(x*,),

則P{y=%}=P{f(x)=%}=p{x=%}+P{x=42}+-+P{x=Xh}

Pk\+Pk2+…+07。

3.連續型隨機變量函數的分布

設X的概率密度為制切，則可以確定其函數上44的概率密度夕?。常采用"求分布函數”

的方法。即先求『=4內的分布函數。

FY（y）=P{Y<y}=P{f（X）<y}=\px（x）dx.

然后對上式兩邊關于y求導，則可求出P的密度函數。

特別地，若連續型隨機變量X的概率密度為

[>0,a<x<b,

，、（咋0,其它.

此處a可以是-8,6可以是+8,且片嚴格單調，則上”0的概率密度

,,Px（g（y））|g'（y）|，a<y</3,

0,其它.

其中*=則是片七）的反函數,a=min{4a）,e）},/=max伍a）,肌）}.

二、要求

1.充分理解隨機變量的概念，并學會用隨機變量取某值（某范圍內的值）來表示隨機事件。

2.深刻理解隨機變量的分布函數、離散型的分布列、連續型的密度函數的概念；掌握它們的基

本性質；學會用分布函數或概率分布（密度）來完整地描述隨機變量；知道分布列（密度函數）與

分布函數之間的關系。

3.掌握幾種常用的一元分布及其適用范圍。

(1)二項分布：分布列(〃=1即兩點分布)，在〃較小時會計算概率。

(2)泊松分布：分布列、概率計算、二項分布逼近泊松分布。

(3)均勻分布：密度函數、分布函數、計算概率。

(4)指數分布：密度函數、分布函數、計算概率。

(5)正態分布：

①X~N3d)：密度函數、分布函數，計算相應概率、"三。"原則。

②*~2(0,1)：密度函數、分布函數及其性質，熟練使用標準正態分布表，解決概率的計算

問題。

③熟練掌握將一般正態分布通過標準化變量Y=紅幺代換，轉化為標準正態分布，從而解決

(J

服從分布N(出/)的y在某區間內取值的概率的計算問題。

4.會求離散型隨機變量函數的概率分布，會求連續型隨機變量函數的概率密度。

三、例題分析

例1袋中有12個大小規格相同的球，其中含有2個紅球，從中任取3個球，求取出的3個

球中紅球個數的分布列及分布函數。

分析這是一個求離散型隨機變量X的分布列問題，其關鍵就是要分析X所能取哪些值并求出

取得這些值的相應概率。

解設X表示取出的3個球中紅球的個數，顯然X是離散型，只能取值0,1,2,利用古典概

率計算公式得:

「代。卜管卡。爾

2

P{X=1}=C'CN9=0.409

Cl22

c；c；。_=J-o.O46

P{X=2}==

G；22

所以X的分布列為

X012

P0.5450.4090.046

X的分布函數

/（X）=ZP"

4女

0,x<0,

0.5450<x<1,

即尸（幻=

0.9541<x<2,

1,x>2.

例2設隨機變量X的概率分布為

X0246

P0.10.20.30.4

求(1)X的分布函數；(2)P[-1<X<3}；(3)P[2<X<8}；(4)P{X>0}.

分析X服從離散型分布，只能取0,2,4,6這4個值。由F(x)=P{X<x}=￡PA知，

為分段函數。利用X的概率分布可求出X取值于任意區間的概率。

解(1)當*<0時，尸(幻=P{乂48=0;

當0”<2時，尸(x)=P{X4x}=P{X=0}=0.1;

當2wx<4時，F(x)=P{X=0}+P{X=2}=0.1+0.2=0.3;

當44x<6時，F(x)=P{X=0}+P(X=2}+P{X=4}

=0.1+0.2+03=0.6;

當X26時，F(x)=P[X=0}+P{X=2}+P{X=4}+P{X=6}

=0.1+0.2+03+0.4=1.

所以X的分布函數為

0,x<0,

0.1,0<x<2,

F(x)=<0.3,2<x<4,

0.6,4<x<6,

x>6.

(2)P{-1<Xv3}=P{X=0}+P{X=2}=0.1+0.2=0.3.

(3)尸{2<X<8}=P{X=2}+P{X=4}+P{X=6}=0.2+03+0.4=0.9.

(4)P{X>0}=1-P{X<0}=1-P{X=0}=1-0.1=0.9.

例3某人有5發子彈，向一目標射擊，每次命中率均為0.9，若擊中目標或子彈用盡就停止射

擊，求其射擊次數X的概率分布。

分析射擊次數X可能取值為1,2,3,5,然后計算取這些值的概率。

解射擊次數X所有可能的取值為1,2,3,4,5,其概率分布為

HX=l}=0.9,

RX=20}=0.1x0.9=0.09,

P{X=3}=0.12x0.9=0.009,

P{X=4}=0.13X0.9=0.0009,

P{X=5}=0.14X0.9+0.15=0.0001.

概率分布為

X12345

P0.90.090.0090.00090.0001

例4電話總機站為300個用戶服務，一小時內每一用戶使用電話的概率為0.01,求在一小時

內：

(1)恰有4個用戶使用電話的概率；

(2)最多有4個用戶使用電話的概率。

分析這是二項分布問題，既可由二項分布公式計算概率，也可用泊松分布(仍=3)近似計算其

概率。

解設X為在一小時內使用電話的用戶數

(1)*~8(300,0.01):按二項分布精確計算得

P{X=4}=4(0.01)4(0.99)%=0.1689

按泊松分布近似計算，由/l=〃p=3?=4

34

得P{X=4}==0.1681。(查表)

4!

43%

(2)P{0<X<4}==°-81530(查表)

&=ok]

例5設X分布列為P{X=燈=。丁，(攵=0,1,2,…">0)，求(1)確定常數C；(2)求

k\

X落在[1,3)內的概率。

分析確定分布列(密度函數)中的常數C,能利用總概率為1的基本性質。

00#

解(1)由不—1,

%=0匕

即ceA=1,

得c=e”.

從而P(X=k}=-e~\

(2)P{l〈X<3}=P{X=l}+P{X=2}=^eT+ge-"=—產廠,

只要給人以定值，則概率就完全確定了。

例6設X服從參數為A的泊松分布，已知P{X=1}=P[X=2},試求P{X=4}.

分析首先要利用所給條件確定參數人。

解因P{X=曷=刀6*(^=0,l,2,---,A>0),

kl

由P{X=1}=P{X=2},

即42—24=0.

得符合條件入>0的解入=2(入=0舍去)

?4?

從而P{X=4}=—e-2=—e-2.

4!3

例7為了保證設備正常工作，需要配備一定數量的維修工人，現有同類型設備300臺，各臺

設備工作是相互獨立的，發生故障的概率都是0.01。在通常情況下，一臺設備發生故障只需一個工

人進行維修。問至少配備多少工人才能保證設備發生故障時能及時維修的概率大于0.99?

分析以“表示發生故障的臺數，由于每臺機器只有"正常"和"發生故障"兩種狀態，而且

機器的工作是相互獨立的，所以X服從二項分布，即X~8(300,0.01),本題要求確定維修工人

數/V使得當設備發生故障時能及時維修的概率大于0.99，即求/V使得P{X4N}>0.99.由于〃=300,

p=0.01滿足泊松近似公式的條件，因而RX4M可用泊松分布來作近似計算。

解以X表示機器發生故障的臺數，則X~8(300,0.01),設需要配備/V名維修工人，使得

P{X<N}>0.99.

由于〃=300較大，P=0.01較小，入=/70=300x0.01=3,利用泊松定理得：

P{X〈N}=1—P{X>N}

300

=1-^CjooO.OfO.Q^00-*

k=N+l

-1-7—；—.

Jb\

k=N+\

工3心一3

所以1一工-->699,

k=N+l匕

W3〃?一3

即ZjJ〉0.OL

k=N+lk!

查泊松分布表得

N+l=9,N=8,

即只需配備8名工人即可。

例8一本500頁的書，共有500個錯字，每個錯字等可能地出現在每一頁上，試求在給定的

一頁上至少有3個錯字的概率。

解觀察每一個錯字是否出現在給定的一頁上，共有兩種可能，或者是"出現"，或者是"不

1499

出現"。"出現"的概率為〃=三W，"不出現”的概率為q=*?觀察500個錯字是否出現在給

500500

定的一頁上，可看作為500重的貝努里試驗。以X表示出現在給定一頁上的錯字數，則X~B(500,

-7)?所求事件的概率為

50014QQ

P{X23}=之<(」-)*(竺為…

￡500500500

由于a=500較大，p=+較小，可利用泊松定理作近似計算，這里\=np=l,所以

P{X>3}=1-P{X<3}

=1-P{X=0}—P{X=1}—P{X=2}

—\—\q

?1—e'——------=1e1~0.08.

1!2!2

或者

5001J.QO

P{X23}=甘4(―)A(—)500-t

金500500500

??o.o8.(查泊松分布表)

Mk!

例9從發芽率為0.99的種子中，隨機取出100粒，求發芽數不少于97粒的概率。

分析觀察一粒種子發芽與否可看作一次獨立試驗，隨機取100粒種子觀察其發芽情況，可看

作100重的貝努里試驗。令P表示在100粒種子中發芽的種子數，則八6(100,0.99),所求事

件為名險97},直接用二項分布計算此概率太麻煩。考慮到在泊松定理中，當〃較大，夕較小時有

力

C\pkq"-k?—e-\A=〃p).在本例中，由于a=100較大，夕=0.99也較大，不能直接用泊松定理

k!

進行近似計算。在二項分布中，夕+q=l,夕較大時，g必定較小，因此，設X表示在100粒種子中

不發芽的種子數，則X~B(100,0.01),發芽數不少于97粒，即不發芽數小于等于3粒。所求的

事件可表示為{X43},這時已滿足泊松定理的條件，可用泊松定理作近似計算。

解觀察1粒種子發芽與否可看一次獨立試驗觀察100粒種子發芽的情況可看作100重的貝

努里試驗，以X表示在100粒種子中不發芽的種子數，則X~B(100,0.01),所求事件的概率為

3

P{X?3}=^^0.01*0.9910°-*

k=O

由于n=100較大，p=0.01較小，可利用泊松定理進行近似計算,這里入=〃夕=1.所以

尸{X<3}=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}

l°e-'I'e-1l2e-'l3e-'

1-----1-----1------1----

0!1!2!3!

o

=-e-1?0.98.

3

或者P{X<3}=1-P{X>3}

100

=1-￡。1%。。/899吟

4=4

上

￡k!

查表

===1—0.01899=0.98.

評注從例7~例9中可以看出，巧妙地利用二項分布，可以解決許多實際問題，且當滿足一

定條件時，可用泊松定理對二項分布進行近似計算。

(1)當〃較大("250),夕較小(。40.1)時，有

n*-a

。34*鋁-,(4=印).

KI

(2)當〃較大(77250),夕較大(夕20.9)時，有

C；pkq“-k=

yi-k-A,

?------,(Z=nd).

(n-Q!

例10某商店出售某種商品，據歷史記錄分析，月銷售量遵從泊松分布，參數為5，問在月初

進貨時要庫存多少此種商品，才能以0.95的概率不脫銷。

分析由題意知，月銷售量X~n(5),要確定月初的庫存數n,使得

P{X<?}>0.95.

解以X表示月銷售量，由題意知X~TI(5),設月初要庫存n件此種商品，便得

P{X<?}>0.95,

或者P{X>n}<0.05,

即P{X>n}=^-<0.05.

*=?+!k]

查泊松分布表得〃+1=10,77=9.

即月初的庫存至少9件，才能以95%的概率不脫銷。

例11(1)乘以什么常數將使e5(F<x<y),變成概率密度函數；

(2)設p(x)=("國，驗證其為某一隨機變量的概率密度。

分析隨機變量X的概率密度/XM滿足性質①向切20,②「〃(x)dx=1.(1)設乘上常數K,

J-00

使Ke中成為概率密度函數，應滿足CKe~^dx=1,由此可確定常數Ko(2)要驗證向⑼是否為

J-oo

某一隨機變量的密度函數，只需驗證/XM是否滿足上述兩條性質。

解(1)設乘上常數K使Ke^成為概率密度函數，須滿足

CKe^dx=l

J-oO

而rKe^dx=2KCexdx^IK,

J-RJ()

所以得K=

2

即乘上常數!，將使6卡成為概率密度函數。

2

(2)因為

①p(x)=ge，">0,

②「,p(x)必：=/用；6一*公=『6-"公=1.

所以P")=10川為某一隨機變量X的概率密度。

例12設隨機變量X的密度函數為

-1

5，1<x<2,

p(x)=1Cx,2vxe3,

0,其它.

求（1）常數C；（2）P{-1<X<2},P{|X|>2）,P{X<|}.

分析（1）常數C,可由「p（x）dx=1來確定.（2）有關事件的概率，可利用性質"連續型

J-00

隨機變量取值于某一區間的概率等于其密度函數在相應區間上積分"來求出。

解由于/XM是隨機變量X的概率密度，所以有

p(x)dx=1

(?21.3

]—<Zr+Cxdx

解得

1<x<2,

所以P(x)=<2<x<3,

其它.

(2)P{—l<X<2}=J：〃(x)dx

plf2]

[Odx+\—dx

3Ji2

P{|X|>2}=P{X<—2救>2}=P{X>2}+P{X<-2}

3If+=cf-2|

—dx+[Odx+[Odx=—,

J25J3Jy2

5

P{X<-}=p〃(x)dx

2J-8

i214129

=f[Odx+f[—dx+\2-xdx=—.

J-Ji2J2540

例13設隨機變量X的密度函數為

x,0<x<1,

p(x)=<2-x,1<x<2,

0,其它.

求分布函數

分析已知隨機變量X的密度函數雙切，可以求出X的分布函數汽。由定義F(x)=「p⑴dt.

J-QO

在本題中，由于被積函數夕(M是一個分段函數，因此「「⑺刈應根據x的取值分段進行計算。

J-QO

解當x<0時，

F(x)=P{X<x}=fp(t)dt—[Odt=0;

J-coJ-00

當0<x<l時,

2

F(x)=J：pQ)八+5-

當l<x<2時,

尸(x)=「p⑴出

J-oo

當止2時，

=「p(t)dt

J-oo

=Jf(),O4+]flj4+Jf2(2-f)d/+J”,O4=l。

0,x<0,

x2

0<x<I,

~2,

所以F(x)=<

-----F2x-I,I<x<2,

2

],x>2.

例14設連續型隨機變量X的概率密度為

/A,|x|<1,

p（x）=<71-x2

0,|x|>l.

求（1）系數A,（2）隨機變量X落在（T，g）內的概率，（3）分布函數蟲）.

解（1）因為「'〃（幻心=1,

J-00

所以有

解得

71

|x|<1,

于是有P(x)=

|x|>1..

⑵叫菽i

1-12

—arcsinx2_

—"3

712

(3)因為F(x)=[,“⑺今,所以有

當x<-l時，F(x)=「Odf=O;

J-co

當-14X<1時

尸(x)=「'Odr+「一萼—

J"%近方

1.i11

=—arcsinx.=—+—arcsinx;

711-1271

當應1時，/(x)=/0d/+f,+「04=1.

0,xW-1,

即F(x)=<—+—arcsinx,-1<x<1,

271

1,x>1.

評注由例11~例14可以看出：對于連續型的隨機變量X而言

(1)若概率密度函數/XM中含有待定常數，可利用性質「"p(x)dx=1求出該常數.

J-00

(2)若已知X的概率密度函數鳳M,可由P{Xe。}=Jp(x)dx求出x取值于區間D上的概

D

率。當夕(M是分段函數時，積分Jp(x)dx要采用分段積分。

D

(3)若已知X的密度函數網,可以確定X的分布函數,即/(x)=「〃。)以當/XM是

J-OC

一個分段函數時，積分「p(r)，〃必須根據/XM的分段情況，分別進行計算，從而求出在不同的分

J—00

段區間上的表達式，然后合并寫出分布函數3

例15設連續型隨機變量X的分布函數為

[0,x<-a.

C.X

F(x)=<A+oarcsin—,-a<x<a,

a

1,x>a.

其中a>0,試求(1)常數A8;(2)P]|X|<今；(3)密度函數出).

解(1)因為GM在(-8,+8)上連續，所以有

F(-a4-0)=F(—a),F(a+0)=F(a)。

7TJI

即A--B=0,A+-B=l

2