【創新設計】-學年高中數學3.2(1+2)幾個冪函數的導數一些初等函數的導數表活頁訓練湘教版選修1-1eq\a\vs4\al\co1(基礎達標限時20分鐘)1．若f(x)＝eq\f(1,x)，則f′(－2)等于 ()．A.eq\f(1,4) B．0C．－eq\f(1,2) D．－eq\f(1,4)解析由求導公式得f′(x)＝－eq\f(1,x2)，故f′(－2)＝－eq\f(1,4).選D.答案D2．已知函數y＝x3上一點P處的切線l的方程為y＝3x－2，那么點P的坐標為 ()．A．(1,1) B．(－1，－1)C．(1,1)或(－1，－1) D．(2,8)解析令y′＝3x2＝3，得x＝±1.當x＝1時，y＝1，此時點P(1,1)在直線l上；當x＝－1時，y＝－1，因為點(－1，－1)不在直線l上，舍去，選A.答案A3．不恒為零的函數f(x)滿足f′(x)＝f(x)，則f(x)可能是 ()．A．c B．xeC．ex D．lnx答案C4．曲線y＝x4在點P(2,16)處的切線方程是____________．解點P(2,16)在曲線y＝f(x)＝x4上，切線斜率k＝f′(2)＝4×23＝32，故切線方程是y＝32x－48.答案32x－y－48＝05．曲線y＝eq\f(1,x)和y＝x2在它們交點處的兩條切線與x軸所圍成的三角形面積是________．解析曲線的交點是(1,1)，兩條切線斜率分別是－1,2，切線方程分別是y＝－x＋2，y＝2x－1，如圖．與x軸的交點是(2,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，兩切線的交點是(1,1)，則所圍成的三角形的面積是eq\f(3,4)，填eq\f(3,4).答案eq\f(3,4)6．已知曲線y＝eq\f(4,x)在點P(1,4)處的切線與直線l平行且距離等于eq\r(17)，求直線l的方程．解點P(1,4)在曲絲y＝f(x)＝eq\f(4,x)上，則f′(x)＝－eq\f(4,x2)，故切線斜率是f′(1)＝－4，從而切線方程是是y－4＝－4(x－1)，即4x＋y－8＝0.設l方程為：4x＋y＋c＝0，由兩平行線距離為eq\r(17)得：eq\f(|c＋8|,\r(42＋12))＝eq\r(17)，∴c＝9或－25，∴直線l方程為：4x＋y＋9＝0或4x＋y－25＝0.eq\a\vs4\al\co1(綜合提高限時25分鐘)7．若f(x)＝logax，且f′(2)＝eq\f(1,2ln3)，則a等于 ()．A．2 B．3C．4 D．6解析f′(x)＝eq\f(1,xlna)，f′(2)＝eq\f(1,2lna)＝eq\f(1,2ln3)，∴a＝3.答案B8．若f0(x)＝cosx，f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，則f(x)等于 ()．A．sinx B．－sinxC．cosx D．－cosx解析f1(x)＝－sinx，f2(x)＝－cosx，f3(x)＝sinx，f4(x)＝cosx，f5(x)＝－sinx，…，f(x)＝f4×502＋3(x)＝f3(x)＝sinx.答案A9．已知y＝eq\f(1,2)x＋b是曲線y＝lnx(x>0)的一條切線，則實數b＝____________.解析y′＝eq\f(1,x)，由eq\f(1,x)＝eq\f(1,2)得x＝2，故切點為(2，ln2)，切線方程為y－ln2＝eq\f(1,2)(x－2)，即y＝eq\f(1,2)x－1＋ln2，∴b＝ln2－1.答案ln2－110．若函數f(x)＝eq\f(1,3)x3－f′(－1)·x2＋x＋5，則f′(1)＝________.解析∵f(x)＝eq\f(1,3)x3－f′(－1)·x2＋x＋5，∴f′(x)＝x2－2f′(－1)·x＋1，將x＝－1代入上式得f′(－1)＝1＋2f′(－1)＋1，∴f′(－1)＝－2，再令x＝1，得f′(1)＝6.答案611．求下列函數的導數：(1)f(x)＝ln5；(2)f(x)＝cos2eq\f(x,2)－sin2eq\f(x,2)；(3)f(x)＝lgx；(4)f(x)＝cosxtanx；(5)f(x)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tan\f(x,2)－cot\f(x,2))).解(1)f′(x)＝0；(2)f(x)＝cosx，f′(x)＝－sinx；(3)f′(x)＝eq\f(1,xln10)；(4)f(x)＝sinx，f′(x)＝cosx；(5)f(x)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin\f(x,2),cos\f(x,2))－\f(cos\f(x,2),sin\f(x,2))))＝eq\f(sin2\f(x,2)－cos2\f(x,2),2sin\f(x,2)cos\f(x,2))＝eq\f(－cosx,sinx)＝－cotx，∴f′(x)＝eq\f(1,sin2x).12．求過點(1,1)且和曲線y＝x3相切的直線方程．解設切點為(x0，y0)，因為y′＝3x2，所以該切線方程為y－y0＝3xeq\o\al(2,0)(x－x0)，即y＝3xeq\o\al(2,0)x－2xeq\o\al(3,0)，又該直線過點(1,1)，得3xeq\o\al(2,0)－2xeq\o\al(3,0)＝1，即2xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋1